2 Séries BCPST 2 - Lycée F1

F E U I L L E

2 ^Séries BCPST 2 - Lycée F1

Exercice 1: – Calculer – Cours –

Étudier la convergence et déterminer, si possible, la somme totale des séries ci- dessous

1. X

n∈N^∗

(lnn−ln(n+ 1))

2. X

n∈N

1 (n+ 1)(n+ 2)

3. X

n>3

1 (n+ 1)(n+ 2)

4. X

n>1

1 1 +. . .+n

5. X

n>2

ln ln(n+ 1)2

(lnn) ln(n+ 2)

6. X

n>2

4 eⁿ

7. X

n>1

1 n!

8. X

n∈N

ne^−λn pour toutλ >0

9. X

n∈N^∗

n−1 2

² e⁻ⁿ

10. X

n>2

1 +√

n+ 1−2√ n

2ⁿ⁺¹ K

11. X

n>2

2n²−n+ 1

n! K

12. X

n∈N

xⁿcos(nθ)etX

n∈N

xⁿsin(nθ)

pour tous (x, θ)∈]−1; 1[×R. K

13. X

n∈N^∗

xⁿ

n pour toutx∈]−1; 1[

KK

Exercice 2: – Chercher –

Étudier la convergence des séries ci-dessous

1. X

n∈N

ln(shn)

(où shx=^ex−e₂^−x)

2. X

n∈N^∗

2ⁿ n

3. X

n∈N^∗

√1 n

4. X

n>1

1 + (n−1)!

n!

5. X

n>0

sin(2ⁿ) n!

6. X

n>1

(−1)ⁿsin⁴(2^n−1π₅) 2ⁿ⁻¹

7. X

n∈N

chn ch(2n)

(où chx=^ex+e₂^−x) K

8. X

n>1 1 n(n+1)

cos¹_ncos_n+1¹ K

9. X

n>2

√ 1 n+√

n+ 1 K 10. X

n∈N

(n!)²

(2n)! KK

Exercice 3: – Raisonner –

1. Soitn∈N,n>2. Montrer que, pourk∈ {0, . . . , n−2}, k!

n! 6 1 n(n−1). 2. En déduire que

n

P

k=0

k! ∼

n→+∞n!. K

3. Écrire un algoritme Python vous permettant d’observer l’équivalence sur un graphique.

Exercice 4: – Raisonner – Chercher – K

Soit la suite(un)définie par

u0= 1 et un+1=une^−un ∀n∈N 1. Étudier le signe puis le sens de variation de la suite (un).

2. En déduire la convergence éventuelle et la limite, si elle existe.

3. Étudier la convergence de la série de terme généralu_n. K

Exercice 5: – Chercher – Raisonner – KK

Soit la suite(un)définie par

u0∈]0; 1[ et un+1=un−u²_n ∀n∈N

1. Étudier la convergence de la suite(un) KK

2. Étudier la convergence de la série de terme généralu²_n.

Exercice 6: – Chercher – Calculer – Modéliser – K Soitk∈N^∗ etn∈N. On définit

In= (−1)ⁿ⁺¹ Z 1

0

x^k(n+1)

1 +x^k dx, J = Z 1

0

1

1 +x^kdx, u^(k)_n = (−1)ⁿ kn+ 1

1. Déterminer lim

n→+∞I_n. K

2. ExprimerJ −I_n sous la forme d’une somme. K

3. Montrer que la série X

n∈N

u^(k)_n converge et déterminer sa limite en fonction de J.

1 —Feuille 2: Séries—

4. Déterminer

+∞

X

j=0

u_j pour k= 1,2.

5. a) Déterminera, b, c tels que

∀x∈R− {−1}, 1

1 +x³ = a

1 +x+ bx+c 1−x+x²

b) Calculer

+∞

X

n=0

u^(k)_n lorsquek= 3.

6. Écrire une fonction Python permettant de déterminer une valeur approchée deJ pour n’importe quelk∈N^∗. En déduire une valeur approchée deJ pour k= 5. (On ne se préoccupera pas de connaître la précision exacte de la valeur approchée mais on donnera seulement une valeur qui semble raisonnable en expliquant pourquoi.)

Exercice 7: – Calculer –

Pour toutx >0et toutn∈N^∗, on pose :

u_n = x

((n−1)x+ 1) (nx+ 1)

Comparer lim

x→0 lim

n→+∞

n

X

k=1

u_k(x)

!

et lim

n→+∞ lim

x→0 n

X

k=1

u_k(x)

!

Exercice 8: – Chercher – Raisonner – KKK

Soit(an)une suite réelle. On souhaite étudier les séries P

n∈N

anzⁿ pour tout z∈R. (Ce type de séries est appelé "séries entières".)

1. On poseR= sup{|z| ∈R| X

n∈N

anzⁿ converge} ∈R⁺=R⁺∪ {+∞}.

a) Vérifier queR existe.

b) Vérifier que pour toutztel que |z|> R, la série X

n∈N

anzⁿ diverge.

c) Montrer que pour tout z tel que |z| < R, la série X

n∈N

a_nzⁿ converge

absolument. K

On dit queRest lerayon de convergence de la série entière X

n∈N

anzⁿ. 2. Quel est le rayon de convergence des séries entières

a) X

n∈N

zⁿ

b) X

n∈N

2ⁿzⁿ

c) X

n∈N

zⁿ n!

3. Supposons que lim

n→+∞

|an+1|

|an| existe (et est finie). On la note`.

a) Montrer que le rayon de convergence de la série est 1

`. (où on s’autorise

à noter ¹<sub>`</sub> = +∞si`= 0.) KKK

b) En déduire le rayon de convergence de la série X

n∈N

n²+ 1 2n zⁿ

Exercice 9: – Chercher – Calculer – KKK

1. Montrer que, pour toutn∈N^∗, il existe un polynômePn tel que sin(2n+ 1)x

sin²ⁿ⁺¹x =P_n(cotan²x) ∀x∈R

2. a) Donner les racines de Pn pour toutn∈N^∗. b) En déduire que

n

P

k=1

cotan²_2n+1^kπ = ^n(2n−1)₃ . 3. a) Montrer que∀u∈]0;^π₂[, cotan²u6 1

u² 61 +cotan²u.

b) En déduire que X

n∈N^∗

1

n² est convergente et

+∞

X

k=1

1 k² =π²

6 .

2 —Feuille 2: Séries—

Bcpst 2 Lycée François 1^er

FE 2 - Séries Indications

Exercice 1

2. un = 1

n+ 1 − 1 n+ 2

3. Même terme général que la précédente. Seul l’indice de départ change.

4. Transformer le terme général en une fraction du type _{un produit}¹ et se ramener à un cas de technique connue.

6. u_n = 4 e⁻¹ⁿ

7. un =1ⁿ

10. Téléscopage et suites géométriques.n!

13. Penser à intégrer la somme partielle d’une série géométrique.

Exercice 4

3. passer au log.

Exercice 5

1. Déterminer le sens de variation éventuel de (u_n), puis sa limite éventuelle.

Finir le raisonnement.

2. Peut se faire sans avoir réussit à faire la question 1, mais utilise quand même le résultat de1.

Exercice 9

1. Dévelopersin(2n+ 1)x.

2. b) Il faut pour cela se souvenir que six1, . . . , xn sont toutes les racines d’un polynôme P_n(t) de degré n, alorsx₁+. . .+x_n = −a_n−1

an

où a_i est le coefficient du monômetⁱ.

3 —Feuille 2: Séries—