E.S.E.U. MULTIMÉDIA
III - ÉTUDE DE QUELQUES SYSTÈMES OPTIQUES
D - LE PRISME
P11 : OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
OBJECTIFS DU CHAPITRE III-D
Liste des savoirs et savoir-faire que ce chapitre vise à faire acquérir.
- Connaître la définition du prisme et de sa section principale
- Connaître la définition de la déviation
- Connaître les 4 formules du prisme dans le cas ou le rayon incident est sous sa normale : sin i = n sin r A = r + r'
sin i' = n sin r' D = i + i' - A
- Connaître la condtion d'émergence (r' λ)
- Savoir que pour un prisme donné la déviation dépend de l'angle d'incidence i et passe par un minimum pour i = i'
- Connaître la méthode de mesure de l'indice de réfraction d'un prisme au minimum de déviation
- Savoir que la déviation augmente avec la fréquence de la radiation incidente
III - ÉTUDE DE QUELQUES SYSTÈMES OPTIQUES
D - LE PRISME
IIID-1 - DÉFINITIONS
Le prisme est un milieu transparent limité par deux faces planes non parallèles qui se coupent suivant l'arête du prisme.
Tout plan perpendiculaire à l'arête est un plan de section principale.
Le prisme est un système optique qui exploite une double réfraction : la première sur la face d'entrée du prisme, la seconde sur sa face de sortie.
IIID-2 - ÉTUDE DE LA MARCHE D'UN RAYON DE LUMIÈRE MONOCHROMATIQUE IIID-2-1 - CONDITIONSD'ÉTUDE
- Les deux faces du prisme sont baignées par l'air.
- La base du prisme n'est pas utilisée (sauf cas particulier).
- Le prisme est caractérisé par son angle A et son indice de réfraction n.
- Le rayon incident appartient à un plan de section principale qui sera donc le plan d'incidence choisi comme plan de figure.
- Le rayon incident est situé du côté opposé à l'arête du prisme par rapport à la normale correspondante (0 i
2
1).
P11 : OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
IIID-2-2 - CONSTRUCTIONETFORMULES
Ce qui suit est à lire en se reportant à la figure ci-contre.
Nous supposons qu'il y a réfraction du rayon intérieur II' à travers la seconde face.
Appliquons les lois de Descartes pour les deux réfractions :
1ère loi : II' et I'R appartiennent au plan d'incidence.
2ème loi : sin i = n sin r (1) sin i' = n sin r' (2)
En regardant le triangle HII' on vérifie : A = r + r' (3)
D'après ces formules et nos conditions d'étude les quatres angles i, r, r' et i' sont positifs ou nuls et inférieurs ou égaux à
2
2.
Déviation du rayon lumineux par le 1er dioptre (vers la base) : D1 = i - r . Déviation par le seconde dioptre (vers la base) : D2 = i' - r' .
Déviation totale à travers le prisme (vers la base) : D = D1 + D2 = i + i' - (r + r') D = i + i' - A (4)
Soit : la déviation D a toujours lieu vers la base du prisme.
Conclusion :Toute exploitation d'un prisme nécessite l'usage de l'ensemble de ces quatres formules (repérées par leur numéro dans la suite du cours).
Remarquons que r' est l'angle d'incidence sur la 2ème face et i' l'angle de réfraction correspondant. Cet usage d'écriture vient des rôles symétriques joués par les deux faces (cf le principe du retour inverse de la lumière).
Application n 1
Soit un prisme d'angle A = 50 et d'indice n = 1,55 ;
calculer les valeurs de r, r', i' et D pour une incidence i = 40.
IIID-2-3 - CONDITIONSD'ÉMERGENCEÀTRAVERSLA 2ÈMEFACE
Le rayon lumineux traverse la deuxième face en I' si l'angle d'incidence r' est inférieur (ou égal) à l'angle d'incidence limite λ = arcsin
n 1 3 :
Les 2 relations r' λ et (3) entraînent .
Il s'ensuit les deux conséquences suivantes : a - Condition sur le prisme
A λ + r avec r λ qui est toujours vrai
donc A 2 λ avec λ = arcsin
n 1 4
Si cette condition n'est pas respectée, à aucun rayon incident ne correspond de rayon émergent obtenu par 2 réfractions successives.
b - Condition sur l'incidence
La première condition étant supposée remplie on a :
A - r λ r A - λ .
Posons r0 = A - λ : r r0 .
Dans l'intervalle ;2 0
5, sin x est une fonction croissante
r r0 n sin r n sin r0
(1) sin i sin i0 i i0
avec sin i0 = n sin (A - λ)
donc il y a émergence sur la 2ème face si :
A - r λ
i i0 avec i0 = arcsin [n sin (A - λ)]
Application n 2
Déterminer les conditions d'émergence pour un prisme d'indice n = 1,52.
Application n 3
Un prisme d'angle A = 50 et d'indice n = 1,50 reçoit un rayon sous une incidence de 30.
a - Y a-t-il émergence sur la deuxième face ?
b - Calculer la déviation de la lumière à travers le prisme.
Remarque : si A λ les deux conditions sont toujours remplies quelque soit i. En effet :
A λ A 2λ évidemment !
A λ A - λ 0 sin (A - λ) 0 i0 0
i étant positif, on vérifie toujours i i0 .
Exemple :pour un prisme d'indice n = 1,61 λ = arcsin
1,61
1 6 _ 38,4
a - Si A = 77 (A > 2λ)
Pour 0 i 90 0 r λ 77 r' 38,6
r' > λ pas de réfraction sur la deuxième face.
b - Pour A = 70 (A < 2λ : 1ère condition vérifiée) i0 = arcsin (1,61 sin 31,6) _ 57,5
Si i <i0 :
0 i < 57,5 0 r < 31,6 70 r' > 38,4
r' > λ pas de réfraction sur la deuxième face.
IIID-2-4 - APPLICATIONAUPRISMEDEVERREÀRÉFLEXIONTOTALE
Lorsque les conditions d'émergence ne sont pas respectées, il y a réflexion totale sur la 2ème face.
Considérons par exemple un prisme rectangle isocèle en verre et déterminons ces conditions d'émergence sur la 2ème face :
nverre = 1,50 = 2
37 λ = arcsin 3
28 _ 41,8
A = 45 i0 = arcsin [1,5 sin (3,2)] _ 4,8
Il n'y a donc pas émergence pour une incidence normale : i = 0 car dans ce cas i < i0
Ce prisme se comporte comme un miroir plan au niveau de sa 2ème face. Il est utilisé pour dévier à 90 un rayon lumineux.
Application n 4
Un prisme en verre d'indice 1,53 a pour section droite un triangle ABC rectangle en C et d'angle au sommet A = 75.
Dans le plan de section droite un rayon lumineux arrive sur la face AC en I sous une incidence i et le rayon réfracté arrive en J sur la face AB sous un angle r' = 45.
1 - Démontrer que le rayon sort du prisme par la base CB.
2 - Faire le schéma correspondant et calculer la déviation à travers le prisme.
Une autre possibilité est représentée ci-dessous :
Le rayon lumineux est réfléchi 2 fois.
La déviation vaut 180.
Le prisme se comporte comme 2 miroirs perpendiculaires.
Exemple d'utilisation : les jumelles à prismes
Pour redresser l'image donnée par l'objectif, on utilise deux prismes à réflexion totale disposés de façon que leurs arêtes soient orthogonales.
Prisme 1 :arête verticale
L'image sort renversée mais le sens de propagation est inversé.
Prisme 2 :arête horizontale
L'image est redressée et le sens de propagation à nouveau inversé pour atteindre l'oculaire.
Application n 5
On dispose d'un prisme de verre (n = 1,5) rectangle isocèle (MN = MP = 6 cm).
A 2 cm au dessus de la face MN, on place un point lumineux A comme l'indique la figure ci-dessous.
Un observateur O regarde la face MP.
1 - A l'aide d'un schéma à l'échelle 1, démontrer que tous les rayons lumineux AI ou AI', pour lesquels i
> 4,8, ressortent du prisme par la face NP. Pour mener le raisonnement on considère, pour le rayon AI, le prisme d'arête M et pour le rayon AI', le prisme d'arête N.
2 - A étant assez éloigné de la verticale MP, aucun rayon AI d'incidence i < 4,8 ne parvient sur la face MP directement après sa première réfraction en I.
Dans ces conditions, démontrer à l'aide d'un schéma que tous les rayons issus de A pour lesquels i <
4,8 ressortent du prisme par la face MP.
En déduire la position du point A' , image de A vue par l'observateur.
IIID-3 - LES PARAMÈTRES QUI INFLUENT SUR L'ANGLE DE DÉVIATION IIID-3-1 - ÉTUDEDELADÉVIATIONENFONCTIONDEL'ANGLED'INCIDENCE
Pour un prisme donné (caractérisé par ses constantes A et n), si i varie alors r, r', i' et D varient.
L'étude expérimentale de la variation de l'angle D en fonction de l'incidence i montre l'existence d'un minimum de déviation Dm (voir le graphe ci-contre).
Pour établir les formules du minimum de déviation Dm et de l'incidence im qui le conditionne, il faut exprimer les conditions d'annulation de la dérivée
di
dD9 de la fonction D = f(i) .
a - Établir l'expression di dD10
Le calcul direct est impossible ; il faut dériver les quatres formules du prisme par rapport à i :
(1) di
(sini)
d 11 =
di r) sin (n
d 12 cos i =
n cos r di
dr13 (1')
(2) di
(sini_)
d 14 =
di r_) sin (n
d 15 cos i'
di
di_ 16 =
n cos r' di
dr_ 17 (2')
(3) di
(A) d 18 =
di r_) + (r
d 19 0 =
di +dr_
di
dr 20 (3')
(4) di
(D)
d 21 =
di A) - i_
+ (i
d 22
di (D)
d 23 =
di +di_
1 24 (4')
En remplaçant dans la relation (3') :
di
dr25 par son expression tirée de (1')
di
dr’26 par son expression tirée de (2')
on peut obtenir une expression de di
di’27 qui, portée dans (4'), donne :
i_
cos r cos
r_
cos i - cos 1 di =
dD 28 .
méthode schématisée ci-dessous :
Figure 2 :La rotation du plateau permet ensuite une lecture directe des angles i et D.
di
i_
=
i
i_ s in
= i
s in
i_ si n
= i
sin
t ion
si mpli fi ca aprä s
n
i si n i_
+si n i
sin n -
i_ - s in
n =
i_ sin
i +si n
i_ s in
n -
i - si n
(2 ) et
(1)
i s in r_
si n +
i s in -
r_ s in
-
= i
si n r
s in +
i _ sin
- r sin
-
i) si n
- ( 1
r_ ) s in
- ( 1
= i_ )
s in -
( 1 r) sin
- (1
i cos
r_ cos
= i_
cos r
cos
i co s r _
co s
= i
co s r
co s
0
di = dD
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
±
± _
′ _
30
La solution i = -i' n'est pas acceptable car dans ce cas :
i' < 0 cela ne correspond pas aux conditions d'études (cf page 4) et r = - r' .
On ne peut donc retenir que la solution i = i' . (1) (2) (3) r = r' =
2 A 31
(1)
2 sinA n arcsin
= i
=
i m 32
La fonction D = f(i) présente donc un extremum pour cette valeur im. Il s'agit d'un minimum car, pour les valeurs extrêmes possibles de i, on a :
i = i0 r = A - λ r' = λ i' =
2
33 →-∞ di
dD 34
i = 2
35 r = λ r' = A - λ i' = i0
di dD36 = 1
APPLICATIONS DIRECTES
i = i' = im
Dm = 2im - A
Ce tableau résume l'étude de la variation de la déviation en fonction de l'incidence.
Application n 6
Un prisme équilatéral en verre a pour indice n = 1,58. Quelle doit être la valeur de l'angle d'incidence sur la face d'entrée pour que le rayon intérieur au prisme soit parallèle à la base ? Quelle est alors la déviation à travers ce prisme ?
Application n 7
Un prisme d'indice n = 237 reçoit un rayon lumineux sous l'incidence i = 45 et on constate que la déviation est minimale. Calculer l'angle du prisme ainsi que la déviation.
Pour A petit et i faible, r, r' et i' sont petits : les sinus peuvent être confondus avec les valeurs d'angles en radians.
(1) i _ nr
(2) i' _ nr'
(4) D _ n (r + r') -A _ A (n - 1) = Cte
D ne dépend pas de i et on vérifie dans ce cas =0 di
dD 38 .
Un prisme de petit angle est au minimum de déviation pour de faibles incidences.
d - Application à la mesure de l'indice d'un prisme
On règle le prisme au minimum de déviation et à l'aide d'un goniomètre (appareil de mesure d'angle muni d'une lunette de visée et d'un vernier) on mesure A et Dm.
(1) n =
sin r i sin
m
m39 soit
( )
2 sin A
2 + D sin A
= n
m
40
APPLICATIONS DIRECTES
Application n 8
A l'aide d'un goniomètre ou mesure avec une précision de 2' les angles A et Dm d'un prisme.
a - Compléter les égalités ci-dessous : A = 60,00 ± ...
Dm = 39,00 ± ...
b - Calculer les valeurs extrêmes possibles de l'indice du prisme nmax et nmim .
c - Cette méthode permet la détermination de l'indice avec une excellente précision.
Ici que peut-on proposer comme valeur d'indice et avec quelle précision ?
a - Observation
Un prisme décompose une lumière polychromatique (par exemple de la lumière blanche) en séparant les différents rayons émergents de lumière monochromatique.
Pour un prisme donné et pour chaque valeur possible de l'angle d'incidence, on constate que la déviation augmente avec la fréquence de la radiation.
D est une fonction décroissante de la longueur d'onde : D(rouge) < D(jaune) < D(violet) .
b - Interprétation
Un milieu transparent est dispersif, c'est-à-dire que son indice de réfraction varie en fonction de la longueur d'onde de la radiation monochromatique qui le traverse.
Plus précisément, si l'expérience précédente est faite sous une incidence nulle du faisceau polychromatique, la même observation est vérifiée D(rouge) < D(jaune) < D(violet) .
Dans ce cas, pour toutes les radiations on vérifie :
i = 0 r = 0 r' = A i' = arcsin (n sin A)
et donc D = i' - A = arcsin (n sin A) - A .
A une déviation plus grande correspond donc un indice de réfraction plus grand.
Application n 9
L'indice absolu d'une substance varie en fonction de la longueur d'onde suivant la relation : n = a +
2
b 41 avec λ en μm.
Pour une substance transparente on a trouvé :
nR = 1,77 si λR = 0,656 μm (rouge) nB = 1,84 si λB = 0,486 μm (bleu) .
a - Calculer les coefficients a et b et en déduire la valeur de l'indice nJ pour une lumière jaune (λJ = 0,589 μm).
b - Calculer le pouvoir dispersif de cette substance :
1 n -
- n n
J R B 42 .
c - En dérivant les 4 formules du prisme par rapport à n (i et A étant des constantes) établir l'expression r
cos i_
cos A
= sin dn
dD 43 . En déduire le sens de variation de la fonction D = f(n) puis celui de la fonction D = f(λ).
CORRECTION DES APPLICATIONS DIRECTES
Application n 1
(1) r = arcsin sini n
1 44 = arcsin °
1,55 40
sin 45 _ 24,5
(3) r' = A - r _ 50 - 24,5 _ 25,5
(2) i' = arcsin [n sin r'] _ arcsin [1,55 sin 25,5] _ 41,9
(4) D _ 40 + 41,9 - 50 _ 31,9
Application n 2
1ère condition :Il est nécessaire que A 2 λ λ = arcsin 1,52
1 46 = 41,14
A 82,28
2ème condition : i i0
Mais pour déterminer i0, il faut se donner une valeur d'angle A qui satisfasse la 1ère condition. Par exemple si A = 70
i0 = arcsin [1,52 sin 28,86)] = 47,2 i 47,2
Application n 3
a - λ = 41,8 i0 = 4,8
A < 2λ et i > i0
Il y a émergence sur la deuxième face.
b - La formule (4) est donc applicable r = 19,5
r' = 30,5
i' = 49,6 D = 29,6
a -
r' = 45 (en J sur AB) (3) r = A - r' = 30
(1) i = 49,9
λ = 40,8
r' > λ réflexion totale en J
b - La déviation ne peut pas être calculée directement par la formule (4) car les conditions d'étude ne sont pas respectées.
D = D(I) + D(J) + D(K)
= (i - r) + (180 - 2r') + (α - β)
Or 75 = α + 45 α = 30 = r donc β = i = 49,9
D = 90 Le rayon émergent est perpendiculaire au rayon incident.
Application 5
1 - Si n = 1,5 λ = 41,8
Rayon AI
Les conditions d'étude impliquent de considérer le prisme d'arête M, pour lequel :
A = 90 > 2λ .
Il y a toujours réflexion totale sur la face MP et le rayon parvient en L sur la face NP.
Sur le schéma, on observe que les angles r et
PKL
47 sont égaux. Comme i > 4,8 r > 3,2
PKL > 3,2
L'observation du triangle PKL fait apparaître que le rayon KL fait avec la normale à la face PN un angle r' tel que :
r + r' = 45
r' < 41,8 r'< λ
Le rayon KL peut sortir du prisme en L.
Rayon AI'
Les conditions d'étude amènent à considérer le prisme d'arête N : A = 45 < 2λ
L'émergence sur la face opposée NP est liée à la condition i > i0 = 4,8, ce qui est notre hypothèse.
Le rayon I'L' peut sortir du prisme en L'.
Rayon AI arrivant en L sur la face PN.
Les normales aux faces en I et L font apparaître le triangle IKL, pour lequel : _
_ _
Rayon AI' arrivant en L' sur la face PN
L'étude en 1 montre que r + r' = 45 . Si r < 3,2 r' > λ il y a aussi réflexion totale.
De même que précédemment le rayon arrive en Q', sous un angle r < 3,2 et il sort du prisme par la face MP.
Recherche de l'image A' de A
La face MN est un dioptre plan (air-verre) qui donne de A une image A1 située à la verticale de A, à une distance d1 = nd = 3 cm.
La face NP est un miroir qui donne de A1 une image A2 symétrique de A1 par rapport à NP.
La face MP est un dioptre plan (verre-air) qui donne de A2 une image A' située à une distance d' de cette face d' =
n d2
49 .
Le dessin à l'échelle donne d' = 6 cm.
Application n 6
Un prisme équilatéral est un prisme dont la section droite est un triangle équilatéral (3 angles égaux) : A
= 60 .
Le rayon intérieur parallèle à la base impose par symétrie :
r = r' r = 30
i = i' = im = 52,2
Dm = 44,4
Application n 7
Puisque l'on observe la déviation minimale : i = i' = im = 45 r = r' = rm = 30
A = 2rm = 60 et Dm = 2im - A = 30
a - 2' correspondent à 60
2 50 = 0,033
A = 60,00 ± 0,033
Dm = 39,00 ± 0,033
b - Le quotient des 2 sinus qui permet de calculer n est maximum si le numérateur est le plus grand possible et le dénominateur le plus petit possible :
nmax =
2 0,033 -
60,00 sin
2
0,033) +
(39,00 + 0,033) +
(60,00 sin
51
nmax _ 1,522334408 et inversement :
nmin =
2 0,033 + 60,00 sin
2
0,033) -
(39,00 + 0,033) -
(60,00 sin
52
nmin _ 1,519290602
c - On sait que :
1,5193 n 1,5223
Il semble raisonnable de proposer la valeur moyenne des extrêmes pour valeur d'indice n = 1,5208 ± 0,0015
Application n 9
a - b =
1
1 - n - n
2 R 2 B
R B
53 = 0,03665 μm2
a =
-
n - n
2 R 2 B
2 R R 2 B B
54 = 1,6848 (sans unité comme n)
nJ = 1,6848 + 0,589 0,03665
2 55 = 1,79
b -
n - 1
n - n
J R
B 56 _ 0,09
c - (1) 0 = sin r + n cos r dn
dr57
(2) cos i' dn
di_ 58 = sin r' + n cos r' drdn_ 59
(3) 0 =
dn dr _ dn +
dr
60(4)
dn di _ dn =
dD
61En éliminant respectivement
dn et dr dn dr , _ dn
di _
62 on obtient :r cos i_
cos A sin r cos i_ = cos
r_) + (r sin r cos i_ = cos
r sin r_
cos + r cos r_
= sin dn dD
63
dn
dD64 est toujours positif D avec n D si λ
ATTENTION ! reprendre les corrections ici
En dérivant les formules du prisme par rapport à A, étudier le sens de variation de la déviation en fonction de l' angle du prisme.
Application n 11
Soit un prisme d'angle A = 40 et d'indice n = 1,60.
Sa première face est immergée dans un liquide d'indice n1 = 1,45.
Sa deuxième face est immergée dans un liquide d'indice n2 = 1,33.
Calculer la déviation d'un rayon arrivant sur la 1ère face : a - sous l'incidence i = 45
b - sous l'incidence i = 30.
Application n 12
Étudier le chemin suivi par la lumière arrivant sous l'angle i = 10 du côté de l'arête par rapport à sa normale pour un prisme d'indice n = 1,140 et d'angle A = 25.
Calculer la déviation du rayon à travers le prisme.
Espace dessin
Application n 10
n et i étant des constantes, r est aussi constant.
1 i_ - cos
r_
ncos dA= dD
1 dA -
=di_
dA (4) dD
dA
=dr_
1 (3)
dA r_ dr_
cos n dA = i_ di_
cos (2)
_ _
_ _
65
n > 1 sin i' sin r' cos r' co i' >0 dA
dD 66
La déviation augmente avec l'angle du prisme.
Application n 11
a - Sur la face d'entrée, la loi de Descartes donne : n1 sin i = n sin r r arcsin (
n n1
67 sin i) = 40
r' = 0 i' = 0 (émergence normale à la 2ème face) D = i + i' - A = 5
b - r = 27 r' = 13
i' = arcsin ( n
n
2
68 sin r') car n sin r' = n2 sin i' i' = 15,7
D = 5,7
Application n 12
r = 7,1 mais "en dessous" de la normale (cf schéma).
On a ici : r' = A + r = 32,1 .
Y a-t-il émergence sur la 2ème face ? λ = arcsin
1,40
1 69 = 45,6
r' < λ donc il y a réfraction i' = 48,1
D = D1 + D2 mais D1 est vers l'arête, D2 vers la base D = - (i - r) + (i' - r') = 13,1
Espace dessin
