Simulation numérique pour l'aérothermique avec des modèles sous-maille

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Simulation numérique pour l’aérothermique avec des

modèles sous-maille

Emmanuel Montreuil

To cite this version:

Emmanuel Montreuil. Simulation numérique pour l’aérothermique avec des modèles sous-maille.

Mé-canique [physics.med-ph]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2000. Français. �tel-00010815�

THESE DE DOCTORAT

DE L'UNIVERSIT



E PIERRE ET MARIE CURIE

Presentee pour obtenir

Le GRADE de DOCTEUR EN SCIENCES

DE L'UNIVERSIT 

E PIERRE ET MARIE CURIE

Spe ialite: M 

ECANIQUE

PAR

Emmanuel Montreuil

SIMULATIONS NUM



ERIQUES POUR L'A



EROTHERMIQUE

AVEC DES MOD



ELES SOUS-MAILLE

Soutenue le Vendredi 13o tobre2000 devant la ommission d'examen suivante:

M. J.P. CALTAGIRONE Rapporteur

M. C. CAMBON Dire teur de these

M. J.P. DUSSAUGE Rapporteur Mme M. LARCHEV  EQUE President Mme O.LABB  E Examinateur M. P. SAGAUT Examinateur

Table des matieres

Table des matieres

Table des matieres 3

Liste des gures 9

Remer iements 17 Resume 19 Introdu tion 21 I La modelisation 27 1 

Equations de Boussinesq ltrees 29

1.1 

Equations de Navier-Stokes . . . 29

1.2 Adimensionnement des equations . . . 31

1.3 Approximations de Boussinesq . . . 32

1.3.1 Cas du s alairepassif . . . 34

1.3.2 Domaine de validitede l'approximation . . . 34

1.4 Filtragedes equations adimensionnees . . . 35

1.4.1 Notion de ltre . . . 35

1.4.2  Equations pour le hamp resolu . . . 37

1.4.3 Conservation de la masse pour le hamp ltre . . . 37

1.4.4 Conservation de la quantite de mouvement pour le hamp ltre . . . 37

1.4.5 Conservation de l'energiepour le hamp ltre . . . 39

1.4.6 Re apitulatifdes equations de Navier-Stokespour le hamp ltre . . 40

2 Modelisation pour le tenseur de Reynolds sous-maille 41 2.1 Me anisme energetique . . . 41

2.2 Modeles de base . . . 45

2.2.1 Modelede Smagorinsky . . . 46

2.2.2 Modeled'e helles mixtes . . . 47

2.2.3 Modelede fon tion de stru ture . . . 49

2.3 Prise en ompte des eets de ottaison . . . 50

2.4.1 Pro edure dynamiquepour letenseur de Reynolds sous-maille . . . . 55

2.4.2 Fon tionde sele tion . . . 56

2.4.3 Pro edure d'a entuation. . . 57

3 Modelisation pour le ux de haleur sous-maille 59 3.1 Me anismesenergetiques . . . 59

3.2 Modelede type  kien . . . 64

3.3 Modeletype non- kien . . . 66

3.3.1 Extension du modelede similarited'e helles . . . 66

3.3.2 Modele ombine . . . 68

3.3.3 Propositionde modeles ve toriels . . . 69

3.4 Prise en ompte des eets de ottaison . . . 72

3.4.1 Modelealgebrique de S humann . . . 72

3.5 Pro eduredynamique pour le ux de haleur sous-maille . . . 76

II Le anal plan 79 1 Methode numerique 81 1.1 Modelemathematique ontinu . . . 81

1.1.1 Conditions aux limites . . . 82

1.1.2 Conditions initiales . . . 84

1.2 Dis retisationspatiale . . . 84

1.2.1 Lo alisationdes in onnues . . . 85

1.2.2 Filtresdis rets . . . 87

1.2.3 Dis retisationdes derivees premieres . . . 87

1.2.4 Dis retisationdes derivees se ondes . . . 89

1.3 Integrationtemporelle . . . 90

1.3.1 Dierentiation retrograde d'ordredeux . . . 91

1.3.2 S hema d'Adams/Bashforth . . . 92

1.3.3 Methode de proje tion appro hee . . . 92

1.3.4  Equations semi-dis retes sous forme in rementale . . . 93

1.3.5 Choix de la methode de resolutiondu systeme lineaire . . . 94

1.3.6 Prise en omptedes onditions aux limites . . . 95

2 Geometrie et ara teristiques des simulations 99 2.1 Choix du domainede al ul . . . 100

2.2 Choix du maillage. . . 103

2.3 Conditions initialeset onditionsaux limites . . . 106

2.3.1 Conditions aux limitespour le hamp dynamique . . . 106

2.3.5 Conditions initiales . . . 110

3 Resultats sur le hamp dynamique 113 3.1 Champde vitesse moyen . . . 114

3.1.1 Vitesse resolue au entre . . . 114

3.1.2 Vitesse de frottementresolue . . . 115

3.1.3 Validationdu hamp de vitesse moyen . . . 118

3.2 Flu tuationsturbulentes . . . 123

3.3 Analyse des modeles sous-maille . . . 129

3.3.1 Analyse de lavis ositesous-maillemoyenne . . . 129

3.3.2 Analyse de ladissipation asso iee aux modeles sous-maille . . . 130

4 Resultats sur le hamp thermique 139 4.1 Choix de la modelisationdes quantitessous-maille . . . 139

4.1.1 Modelede vis osite sous-mailleretenu . . . 139

4.1.2 Choix des modeles pour le ux de haleursous-maille . . . 139

4.2 Validation du hamp de temperaturestatistique moyen . . . 141

4.2.1 Validationpour le as Pr =0;1 . . . 142

4.2.2 Validationpour le as Pr =0;71 . . . 143

4.2.3 Validationpour le as Pr =2;00 . . . 144

4.2.4 Eet du maillagesur le hamp moyen . . . 144

4.3 Validation des hamps u tuants . . . 149

4.3.1  E art typede latemperature . . . 149

4.3.2 Flux de haleur longitudinal . . . 150

4.3.3 Flux de haleur normal . . . 151

4.3.4 Comportement pro he paroi . . . 152

4.4 Analyse des modeles pour le ux de haleursous-maille . . . 164

4.4.1 Dissipation  kienne etnon  kienne . . . 164

4.4.2 Autre de omposition de la dissipation . . . 167

4.5 Analyse du hamp instantane . . . 181

4.5.1 Comparaisondu frottementet du ux de haleura la paroi . . . 181

4.5.2 Mise eneviden e de lazone de ondu tion thermique . . . 181

4.5.3 Mise eneviden e des stru tures oherentes . . . 182

4.5.4 Mis en eviden e de balayages etd'eje tions . . . 183

III La mar he des endante 201 1 Geometrie et ara teristiques de la mar he des endante 203 1.1 Choix du domainede al ul . . . 204

1.2.1 Conditions aux limites . . . 208

1.2.2 Conditions initiales . . . 208

1.3 Des riptiondu ouplage . . . 209

1.4 Choix des modeles sous-maille . . . 211

1.4.1 Modelepour letenseur de Reynolds sous-maille . . . 211

1.4.2 Modelepour le ux de haleursous-maille . . . 211

2 Analyse des hamps moyennes 213 2.1 Champs moyens . . . 213 2.1.1  E hantillonnage . . . 213 2.1.2 Vitesse . . . 213 2.1.3 Temperature. . . 216 2.2 Champs turbulents . . . 217

2.2.1 Intensites turbulentes et tensionsde Reynolds . . . 218

2.2.2 Varian eet uxde haleur turbulents . . . 218

2.3 Frequen es ara teristiques . . . 219

3 Analyse des hamps instantanes 235 3.1 Regionen amont du de ollement . . . 236

3.2 Regionintermediaire . . . 236

3.2.1 Cou he isaillee . . . 236

3.2.2 Sur la paroiinferieure . . . 238

3.3 Regionen aval du re ollement . . . 239

Con lusion 253 Les annexes 257 A Lois de onservation et de omportement 259 A.1 Loisde onservation . . . 259

A.1.1 Conservation de la masse volumique. . . 259

A.1.2 Conservation de la quantite de mouvement . . . 260

A.1.3 Conservation de l'energie . . . 261

A.2  Equations de Navier-Stokes . . . 262

A.2.1 Loide omportement pour le tenseur des ontraintes . . . 262

A.2.2 Loide omportement pour le ux de haleur . . . 263

A.2.3 Remarques. . . 263

A.2.4 Fluidede Navier-Stokes . . . 263

B.1 Developpementspreliminaires . . . 265

B.1.1 Relationsde Clapeyron . . . 265

B.1.2 Introdu tion des oeÆ ients thermo-elastique . . . 267

B.1.3 Expression de la elerite du son a . . . 268

B.2 Derivee parti ulaire de la masse volumique . . . 269

B.3 Derivee parti ulaire de l'energie interne . . . 270

B.4 Derivee parti ulaire de l'enthalpie . . . 271

B.5 Re apitulatifdes equations de base . . . 272

C Adimensionnement et parametres de similitude 275 C.1 Choix des e helles . . . 275

C.2 Nombres sans dimension . . . 276

C.3 Autres nombres sans dimension . . . 278

C.4 Relationentre parametresde similitude . . . 279

C.4.1 Expression du nombre de Reynolds . . . 280

C.4.2 Expression du nombre de Ri hardson . . . 280

C.4.3 Expression du nombre de Pe let . . . 280

C.4.4 Expression du nombre d'E kert . . . 281

C.4.5 Expression du nombre de Boussinesq . . . 281

C.5 Appli ationauxequations de Navier-Stokes ompressibles. . . 282

C.5.1 Conservation de la masse volumique. . . 282

C.5.2 Conservation de la quantite de mouvement . . . 283

C.5.3 Conservation de l'energie . . . 284 D  Equations d'evolution 287 D.1  Equations pour l'energie inetique . . . 287

D.1.1  Energie inetique totale . . . 287

D.1.2  Energie inetique resolue . . . 288

D.1.3  Energie inetique sous-maille. . . 288

D.2  Equations pour lavarian ede temperature . . . 289

D.2.1 Varian ede temperaturetotale ltree . . . 289

D.2.2 Varian ede temperatureresolue . . . 290

D.2.3 Varian ede temperaturesous-maille . . . 291

D.3  Equation pour letenseur de Reynolds sous-maille . . . 291

D.3.1  Equation pour le tenseur de Reynolds ltre. . . 292

D.3.2  Equation pour le tenseur de Reynolds resolu . . . 293

D.3.3  Equation pour le tenseur de Reynolds sous-maille . . . 294

D.3.4  Equation pour le tenseur de Reynolds sous-mailledeviateur. . . 295

D.4  Equation pour le ux de haleursous-maille . . . 297

D.4.1  Equation pour le uxde haleur total ltre. . . 297

D.4.2  Equation pour le uxde haleur resolu . . . 298

Liste des gures

Liste des gures

I.2.1 Spe tresd'energieetdedissipationenturbulen ehomogeneisotrope

in om-pressible. Ave la permissionde C. SEROR[101℄ . . . 44

I.2.2 Illustration du double ltrage . . . 49

I.2.3 Illustration de la u tuationangulairedu ve teur vorti ite . . . 56

I.3.1 Spe tre de varian e de temperature: Pr <1 ( gau he ) et Pr>1( droite ). 61 I.3.2 Illustration de l'hypothese de similarited'e helles . . . 66

II.1.1 Disposition ollo ativea droiteet dispositionde alee agau he . . . 86

II.2.1 Illustration des dierentes zones . . . 101

II.2.2 Domaine de al ul . . . 102

II.2.3 Tailledu domaineen unitesde paroi . . . 102

II.2.4 Tableau re apitulatif des nombres de points et des pas d'espa e en unites de paroi pour les simulations des grandes e helles ee tuees et pour les simulationsdire tes de referen e . . . 104

II.2.5 Tableaure apitulatifdes as de al ul hors modeles . . . 104

II.2.6 Valeur du pas d'espa e dans la dire tion normalea la paroi en fon tion de la distan e a la paroi inferieure: a gau he, distribution pour Re  =180 et  a droite, distributionpour Re  =395. . . 105

II.2.7 Gestion de la periodi ite:re ouvrement sur deux points. . . 106

II.2.8 Illustration de la simulationtemporelled'un anal plan inni. . . 106

II.3.1 Erreur relative ( en %) ommise sur la vitesse de frottement resolue u  et la vitesse resolue au entre U par rapport aux donnees de referen e issues des simualtionsdire tes. . . 114

II.3.2 Prolstatistiquemoyendelavitesseresoluedansle asA=180adimensionne par lavitesse de frottement parietal. . . 119

II.3.3 Prolstatistiquemoyendelavitesseresoluedansle asB=180adimensionne par lavitesse de frottement parietal. . . 119

II.3.4 Prolstatistiquemoyendelavitesseresoluedansle asA=395adimensionne par lavitesse de frottement parietal. . . 120

II.3.5 Prolstatistiquemoyendelavitesseresoluedansle asB=395adimensionne par lavitesse de frottement parietal. . . 120

II.3.6 Prolstatistiquemoyendelavitesseresoluedansle asA=180adimensionne par lavitesse debitante. . . 121

II.3.7 Prolstatistiquemoyendelavitesseresoluedansle asB=180adimensionne par lavitesse debitante. . . 121

par lavitesse debitante. . . 122

II.3.10 Prolstatistiquemoyendel'intensiteturbulentedansladire tionl'e oulement

prin ipale dans le as A=180 adimensionne par la vitesse debitante. . . 125

II.3.11 Prolstatistiquemoyendel'intensiteturbulentedansladire tionl'e oulement

prin ipale dans le as B=180 adimensionnepar la vitesse debitante. . . 125

II.3.12 Prolstatistiquemoyendel'intensiteturbulentedansladire tionl'e oulement

prin ipale dans le as A=395 adimensionne par la vitesse debitante. . . 126

II.3.13 Prolstatistiquemoyendel'intensiteturbulentedansladire tionl'e oulement

prin ipale dans le as B=395 adimensionnepar la vitesse debitante. . . 126

II.3.14 Prol statistique moyen de l'intensite turbulente dans la dire tion normale



a la paroidans le as A=180 adimensionne par la vitesse debitante. . . 127

II.3.15 Prol statistique moyen de l'intensite turbulente dans la dire tion normale



a la paroidans le as B=180 adimensionnepar la vitesse debitante. . . 127

II.3.16 Prol statistique moyen de l'intensite turbulente dans la dire tion normale



a la paroidans le as A=395 adimensionne par la vitesse debitante. . . 128

II.3.17 Prol statistique moyen de l'intensite turbulente dans la dire tion normale



a la paroidans le as B=395 adimensionnepar la vitesse debitante. . . 128

II.3.18 Prol statistique moyen de la vis osite sous-maille dans le as A=180

adi-mensionnepar lavis osite mole ulaire. . . 133

II.3.19 Prol statistique moyen de la vis osite sous-maille dans le as B=180

adi-mensionnepar lavis osite mole ulaire. . . 133

II.3.20 Prol statistique moyen de la vis osite sous-maille dans le as A=395

adi-mensionnepar lavis osite mole ulaire. . . 134

II.3.21 Prol statistique moyen de la vis osite sous-maille dans le as B=395

adi-mensionnepar lavis osite mole ulaire. . . 134

II.3.22 Prolstatistiquemoyendeladissipationasso iee aladeformationmoyenne

dans le as A=180. . . 135

II.3.23 Prolstatistiquemoyendeladissipationasso iee aladeformationmoyenne

dans le as B=180. . . 135

II.3.24 Prolstatistiquemoyendeladissipationasso iee aladeformationmoyenne

dans le as A=395. . . 136

II.3.25 Prolstatistiquemoyendeladissipationasso iee aladeformationmoyenne

dans le as B=395. . . 136

II.3.26 Prol statistique moyen de ladissipation asso iee au hamp u tuant dans

le as A=180. . . 137

II.3.27 Prol statistique moyen de ladissipation asso iee au hamp u tuant dans

le as B=180. . . 137

II.3.28 Prol statistique moyen de ladissipation asso iee au hamp u tuant dans

le as A=395. . . 138

de haleur sous-mailletestes. . . 140

II.4.2 Tableaure apitulatifdes as de al ul hors modeles. . . 142

II.4.3 Prol statistique moyen de la temperature resolue dans le as A=010

adi-mensionnepar latemperature de frottement. . . 146

II.4.4 Prol statistique moyen de la temperature resolue dans le as B=010

adi-mensionnepar latemperature de frottement. . . 146

II.4.5 Prol statistique moyen de la temperature resolue dans le as A=071

adi-mensionnepar latemperature de frottement. . . 147

II.4.6 Prol statistique moyen de la temperature resolue dans le as B=071

adi-mensionnepar latemperature de frottement. . . 147

II.4.7 Prol statistique moyen de la temperature resolue dans le as A=200

adi-mensionnepar latemperature de frottement. . . 148

II.4.8 Prol statistique moyen de la temperature resolue dans le as B=200

adi-mensionnepar latemperature de frottement. . . 148

II.4.9 Comportementasymptotique auvoisinagede laparoi. . . 153

II.4.10 Prol moyen de l'e art type de la temperature resolue dans le as A=010

adimensionne par latemperaturemoyenne. . . 154

II.4.11 Prol moyen de l'e art type de la temperature resolue dans le as B=010

adimensionne par latemperaturemoyenne. . . 154

II.4.12 Prol moyen de l'e art type de la temperature resolue dans le as A=071

adimensionne par latemperaturemoyenne. . . 155

II.4.13 Prol moyen de l'e art type de la temperature resolue dans le as B=071

adimensionne par latemperaturemoyenne. . . 155

II.4.14 Prol moyen de l'e art type de la temperature resolue dans le as A=200

adimensionne par latemperaturemoyenne. . . 156

II.4.15 Prol moyen de l'e art type de la temperature resolue dans le as B=200

adimensionne par latemperaturemoyenne. . . 156

II.4.16 Prol moyen du ux de haleur dans le sens de l'e oulement dans le as

A=010 adimensionnepar le uxde haleur moyen. . . 157

II.4.17 Prol moyen du ux de haleur dans le sens de l'e oulement dans le as

B=010 adimensionnepar le uxde haleur moyen. . . 157

II.4.18 Prol moyen du ux de haleur dans le sens de l'e oulement dans le as

A=071 adimensionnepar le uxde haleur moyen. . . 158

II.4.19 Prol moyen du ux de haleur dans le sens de l'e oulement dans le as

B=071 adimensionnepar le uxde haleur moyen. . . 158

II.4.20 Prol moyen du ux de haleur dans le sens de l'e oulement dans le as

A=200 adimensionnepar le uxde haleur moyen. . . 159

II.4.21 Prol moyen du ux de haleur dans le sens de l'e oulement dans le as

B=200 adimensionnepar le uxde haleur moyen. . . 159

le ux de haleur moyen. . . 160

II.4.24 Prol moyen du uxde haleurnormaldans le as A=071adimensionnepar

le ux de haleur moyen. . . 161

II.4.25 Prolmoyen du uxde haleurnormaldansle as B=071adimensionnepar

le ux de haleur moyen. . . 161

II.4.26 Prol moyen du uxde haleurnormaldans le as A=200adimensionnepar

le ux de haleur moyen. . . 162

II.4.27 Prolmoyen du uxde haleurnormaldansle as B=200adimensionnepar

le ux de haleur moyen. . . 162

II.4.28 Prolmoyen delavarian ede temperaturedansle asB=200adimensionne

par le ux de haleur a laparoi. . . 163

II.4.29 Prolmoyen du uxde haleurnormaldansle as B=200adimensionnepar

le ux de haleur a laparoi. . . 163

II.4.30 Prolmoyen du uxde haleurnormaldansle as B=200adimensionnepar

le ux de haleur a laparoi. . . 164

II.4.31 Prolmoyendelapartie kiennedeladissipationdevarian edetemperature

sous-mailledans le as A=010. . . 169

II.4.32 Prol moyen de la partie non  kienne de la dissipation de varian e de

temperature sous-mailledans le as A=010. . . 169

II.4.33 Prolmoyendelapartie kiennedeladissipationdevarian edetemperature

sous-mailledans le as A=071. . . 170

II.4.34 Prol moyen de la partie non  kienne de la dissipation de varian e de

temperature sous-mailledans le as A=071. . . 170

II.4.35 Prolmoyendelapartie kiennedeladissipationdevarian edetemperature

sous-mailledans le as A=200. . . 171

II.4.36 Prol moyen de la partie non  kienne de la dissipation de varian e de

temperature sous-mailledans le as A=200. . . 171

II.4.37 Prolmoyendelapartie kiennedeladissipationdevarian edetemperature

sous-mailledans le as B=010. . . 172

II.4.38 Prol moyen de la partie non  kienne de la dissipation de varian e de

temperature sous-mailledans le as B=010. . . 172

II.4.39 Prolmoyendelapartie kiennedeladissipationdevarian edetemperature

sous-mailledans le as B=071. . . 173

II.4.40 Prol moyen de la partie non  kienne de la dissipation de varian e de

temperature sous-mailledans le as B=071. . . 173

II.4.41 Prolmoyendelapartie kiennedeladissipationdevarian edetemperature

sous-mailledans le as B=200. . . 174

II.4.42 Prol moyen de la partie non  kienne de la dissipation de varian e de

temperature sous-mailledans le as B=200. . . 174

II.4.43 Prol moyen de la dissipation asso iee au gradient moyen de temperature

dans le as A=071. . . 176

II.4.46 Prol moyen deladissipationasso ieeau hamp u tuantdansle asA=071. 176

II.4.47 Prol moyen de la dissipation asso iee au gradient moyen de temperature

dans le as A=200. . . 177

II.4.48 Prol moyen deladissipationasso ieeau hamp u tuantdansle asA=200. 177

II.4.49 Prol moyen de la dissipation asso iee au gradient moyen de temperature

dans le as B=010. . . 178

II.4.50 Prol moyen de la dissipation asso iee au hamp u tuant dans le as

B=010. . . 178

II.4.51 Prol moyen de la dissipation asso iee au gradient moyen de temperature

dans le as B=071. . . 179

II.4.52 Prol moyen de la dissipation asso iee au hamp u tuant dans le as

B=071. . . 179

II.4.53 Prol moyen de la dissipation asso iee au gradient moyen de temperature

dans le as B=200. . . 180

II.4.54 Prol moyen de la dissipation asso iee au hamp u tuant dans le as

B=200. . . 180

II.4.55 Methode des quadrants. . . 184

II.4.56 Nappe d'isovaleur de u tuations de vitesse adimensionnees par la vitesse

de frottementpourle as A=180:enbleu,zonebassevitesse(U 0 +

< 3;5);

en rouge, zone hautevitesse ( U 0+

>+3;5 ). . . 185

II.4.57 Nappe d'isovaleur de u tuations de temperature adimensionnees par la

temperaturedefrottementpourle asA=010:enbleu,zonebassetemperature

(  0+

< 1;0 );en rouge,zone haute temperature ( 0 +

>+1;0). . . 186

II.4.58 Nappe d'isovaleur de u tuations de temperature adimensionnees par la

temperaturedefrottementpourle asA=071:enbleu,zonebassetemperature

(  0+

< 3;0 );en rouge,zone haute temperature ( 0 +

>+3;0). . . 187

II.4.59 Nappe d'isovaleur de u tuations de temperature adimensionnees par la

temperaturedefrottementpourle asA=200:enbleu,zonebassetemperature

(  0+

< 5;0 );en rouge,zone haute temperature ( 0 +

>+5;0). . . 188

II.4.60 Gradientnormalalaparoiinferieuredu hampde vitesse instantane

longi-tudinale normepar savaleur maximale pour le as A=180. . . 189

II.4.61 Gradientnormal a laparoi inferieure du hamp de temperatureinstantane

normepar sa valeur maximale pour le as A=010. . . 189

II.4.62 Gradientnormal a laparoi inferieure du hamp de temperatureinstantane

normepar sa valeur maximale pour le as A=071. . . 190

II.4.63 Gradientnormal a laparoi inferieure du hamp de temperatureinstantane

normepar sa valeur maximale pour le as A=200. . . 190

II.4.64 En haut: oupe transversale des hamps de vitesse etde temperaturepour

Pr =0;710.Enbas:gradientde temperaturenormalsurlaparoiinferieure

normepar sa valeur maximale. . . 192

II.4.66 En haut: oupe transversale des hamps de vitesse etde temperaturepour

Pr =2;00. En bas: gradient de temperature normalsur laparoi inferieure

normepar sa valeur maximale. . . 193

II.4.67 Napped'isovaleurduproduitU 0

W 0

adimensionneparle arredelavitessede

frottementdans le as A=180: en rouge,leseje tions;en bleu, lesbalayages. 194

II.4.68 Miseneviden ed'unbalayageauvoisinagedupoint(0;100;20):iso-valeurs

positivesdes u tuationsU 0

. . . 195

II.4.69 Miseneviden ed'unbalayageauvoisinagedupoint(0;100;20):iso-valeurs

negatives des u tuations W 0

. . . 195

II.4.70 Mis en eviden e d'unbalayage auvoisinagedu point(0;100;20):

agrandis-sementdu hamp de temperature pour Pr =0;10. . . 196

II.4.71 Mis en eviden e d'unbalayage auvoisinagedu point(0;100;20):

agrandis-sementdu hamp de temperature pour Pr =0;71. . . 196

II.4.72 Mis en eviden e d'unbalayage auvoisinagedu point(0;100;20):

agrandis-sementdu hamp de temperature pour Pr =2;00. . . 197

II.4.73 Mis eneviden ed'uneeje tion auvoisinagedu point( 1050; 75;25):

iso-valeursnegatives des u tuations U 0

. . . 198

II.4.74 Mis eneviden ed'uneeje tion auvoisinagedu point( 1050; 75;25):

iso-valeurspositivesdes u tuationsW 0

. . . 198

II.4.75 Miseneviden ed'uneeje tionauvoisinagedupoint( 1050; 75;25): hamp

de temperaturepour Pr=0;10. . . 199

II.4.76 Miseneviden ed'uneeje tionauvoisinagedupoint( 1050; 75;25): hamp

de temperaturepour Pr=071. . . 199

II.4.77 Miseneviden ed'uneeje tionauvoisinagedupoint( 1050; 75;25): hamp

de temperaturepour Pr=2;00. . . 200

III.1.1 Domaine de al ulpour la mar he des endante . . . 206

III.1.2 a gau he, pas d'espa e dans ladire tion prin ipalede l'e oulementen

fon -tion de l'abs issedu domainede al ul;adroite,pas d'espa e dansla

dire -tion normale a l'e oulementprin ipal en fon tion de la hauteur. . . 207

III.2.1 

Epaisseurdevorti iteetsaderiveeparrapportaxenfon tiondeladistan e

au nez de la mar he. . . 215

III.2.2 Iso-valeursdu hamp moyennede la omposantelongitudinalede lavitesse

U 

. . . 221

III.2.3 Iso-valeursde l'intensiteturbulente longitudinaleU

rms

. . . 221

III.2.4 Prols du hampmoyenne de la omposantelongitudinalede la vitesse

U 

. 222

III.2.5 Prols de l'intensiteturbulente longitudinaleU

rms

. . . 223

rms

III.2.8 Prols du hamp moyennede la omposantenormale de lavitesse

W 

. . 225

III.2.9 Prols de l'intensiteturbulente normaleW

rms

. . . 226

III.2.10 Iso-valeursdu hamp moyennede latemperature

T 

. . . 227

III.2.11 Iso-valeursde lavarian ede temperatureturbulenteT

rms

. . . 227

III.2.12 Prols du hamp moyennede latemperature

T 

. . . 228

III.2.13 Prols de lavarian ede temperatureturbulenteT

rms

. . . 229

III.2.14 Iso-valeursdes tensionsde Reynolds D U 0 W 0 E . . . 230

III.2.15 Iso-valeursdu uxde haleur turbulentnormale D T 0 W 0 E . . . 230

III.2.16 Iso-valeursdu uxde haleur turbulentnormale D T 0 U 0 E . . . 230

III.2.17 CoeÆ ient de frottement en aval de la mar he. . . 231

III.2.18 Nombre de Nusselt en aval de la mar he. . . 231

III.2.19 Comparaisonentredierents uxde haleuralaparoinormeparleur

maxi-mum: en trait ontinu, la presente simulation;en symbole, les resultatsde

Vogel et al. [109℄. . . 232

III.2.20 Nombre de Strouhalbasse frequen emesure en x=X

r

et z =
zh. . . 233

III.2.21 Nombre de Strouhalhaute frequen e mesure en x=h etz =h. . . 233

III.3.1 Nappe d'iso-valeursde lavitesse longitudinale at =402;4h=U

: U =0;3U

. 241

III.3.2 Nappe d'iso-valeursde latemperature at =402;4h=U

: T =0;3T

. . . 242

III.3.3 Coupe transversale en x = 3h ( gure du haut ) et x =0;5h ( gure du

bas )des hamps de temperature etde ve teurs vitesse a t=402;4h=U

. . 243

III.3.4 Coupetransversale en x=2h( guredu haut )et x=3h (gure du bas )

des hamps de temperature etde ve teurs vitesse a t=402;4h=U

. . . 244

III.3.5 Coupetransversale en x=5h( guredu haut )et x=9h (gure du bas )

des hamps de temperature etde ve teurs vitesse a t=402;4h=U

. . . 245

III.3.6 Coupetransversaleen x=11h(gure du haut)etx=16h(gure dubas

) des hampsde temperatureet de ve teurs vitesse a t=402;4h=U

. . . . 246

III.3.7 Coupelongitudinaleen y=2hde lanorme(en haut )etde la omposante

longitudinale ( en bas ) du hamp de vorti itea t=187;5h=U

. . . 247

III.3.8 Coupe longitudinale en y = 2h de la norme ( en haut ) et la omposante

longitudinale ( en bas ) du hamp de vorti itea t=300h=U

. . . 247

III.3.9 Coupelongitudinaleeny =2;7hdelanorme(enhaut)etdela omposante

longitudinale ( en bas ) du hamp de vorti itea t=402;4h=U

. . . 248

III.3.10 Coupelongitudinaleeny =3;2hdelanorme(enhaut)etdela omposante

longitudinale ( en bas ) du hamp de vorti itea t=402;4h=U

. . . 248

III.3.11 CoeÆ ient de frottement ( en haut) a t = 187;5h=U

: en noir valeurs

negatives, en blan valeurs positives; 

Energie turbulente ( aumilieu )a t=

187;5h=U en z =1;2:10 2

en blan valeurs positives; 

Energie turbulente ( au milieu ) a t =300h=U

en z =1;2:10 2

h; Nombre de Nusselt ( en bas ) a t=300h=U

. . . 250

III.3.13 CoeÆ ient de frottement ( en haut) a t = 402;4h=U

: en noir valeurs

negatives, en blan valeurs positives; 

Energie turbulente ( au milieu ) a

t = 402;4h=U

en z = 1;2:10 2

h; Nombre de Nusselt ( en bas ) a t =

402;4h=U

Remer iements

Remer iements

Cestravauxdere her heonteteee tuesauseindel'uniteETRIdudepartementDSNA

de l'OÆ eNationald' 

Etudes etde Re her hes Aerospatiales.Jeremer ieMonsieurPhilippe

Mori e de m'avoira ueilli ausein du departement.

J'adresse mes remer iements a Messieurs Jean-Paul Caltagirone et Jean-PaulDussauge

pour avoir a epte de rapporter es travauxde re her he.

Je tiens a remer ier Madame Lar heveque pour avoirbien voulu parti iperaujury.

Je remer ie Monsieur Claude Cambon pour avoir a epte d'en adrer ette these. Je te

remer ie pour toute l'aide que tu as pu m'apporter. Le petit rituel "des emails" et de la

"petite fen^etre" va me manquer.

Je tiens a remer ier vivement Monsieur Pierre Sagaut pour l'en adrement durant es

annees: je lui en suis tres re onnaissant. Je pense que tu dois ^etre ontent: le syndr^ome

"Montreuil" a enn ete eradique, mais attention aux suivants. 

A la question "Combien de

pour entage?", je te repondrai dorenavant "100%".

Je remer ie tout parti ulierement Madame Odile Labbe pour sa grande disponibilite et

son grand sens de l'e oute durant es annees de these. C'est toujours agreable d'avoir des

personnes re onfortantes au travail, dans les moments de doute. Mer i en ore pour ton

in-tervention lors de la soutenan e.

Un tres haleur mer i a l'in ontournable Didier Blaise pour son aide, dans tous les

do-maines:Te Plot,Latex, Shell.

Je tiens a remer ier vivement Monsieur Alain Re o 'h sans qui la reda tion ne serait

peut-^etre pas en orenie. Je lui en suis tres re onnaissant.

Jetiens aussiaremer ierLydie(et saproprietaire),Valerie("...reponditl'e ho"),Anne,

Christelle (et sasupervoiture), 

Eri (et son syndr^ome), Bri eWallas(AH!AH!AH!Mar , je

pensequetut'esre onnu),Jean-Christophe(etsesdessinsanimes),Lauren e(etsonrire),le

oupleManuetJJ,Ivan,Eri ,l'ex-equipedeToulouse(Mar ,RouRou,FabienneetFlorent)

et sans oublierEri (legruyere des^les) .

Je nirai par remer ier toute mafamilleet tout parti ulierementNadiaqui m'aura

sou-tenu durant es annees de these, Yannis qui m'aura attendu tous les soirs, sans oublier la

Resume

Resume

Lasimulationdesgrandese hellesdansles ongurationsdu analplan( asrepresentatif

d'e oulementsinternesenequilibre)etde lamar hedes endante( asrepresentatifd'

e oule-ments internes de olles ) a ete utilisee pour etudier les transferts de haleur d'un uide

faiblement dilatable. Les equations de Navier-Stokes dans l'approximation de Boussinesq

sont resolues sur une grille non-de alee a l'aide d'une methode hybride dieren es nies

/ elements nis qui evite l'apparition d'os illations. L'integration temporelle est realisee

ave les hema d'Adams/Bashforthetune formulationretrograde. Lasimulationtemporelle

du anal plan a requis la mise au point d'un for age permettant la onservation du debit

et la temperature moyenne. La simulation de l'e oulement sur la mar he des endante a

ne essitede developperun ouplageoriginalave unesimulationtemporelled'un analplan,

ettedernierefournissantdes hampsdynamiqueetthermiquepleinementturbulents omme

onditions auxlimites.Dierentsmodelesauto-adaptatifspour letenseur de Reynolds

sous-mailleont etepresentes. En e qui on erne le uxde haleur sous-maille,onpresente deux

nouveauxmodelessous-mailleainsiquedierentsmodeles lassiques.Tous esmodeles

sous-maille sont testessur la ongurationdu anal plan inni et omparesave des simulations

dire tes. Pour la simulationdansla ongurationde lamar he des endante, un seulmodele

pour le tenseur de Reynolds sous-mailleetle uxde haleur sous-mailleaete utilise.

Mots les:simulationdes grandese helles,e oulementin ompressible,e oulement

tur-bulent, modelessous-maille, transfert de haleur,s alaire passif, analplan, mar he

des en-dante.

Large-Eddy simulations of the turbulent hannel ow ( representative ase of internal

owsinequilibrium)andtheturbulent owpastaba kward-fa ingstep(representative ase

ofseparated ows)havebeenperformedtostudytheheattransferforaquasi-in ompressible

ow. The Boussinesqequationsare solved onanon-staggered grid withthe use ofanhybrid

nite dieren e / nite element s heme whi h prevents wiggles. The time integration is

performed with an Adams/Bashforth s heme and a ba kward dieren iation formulae. In

order to maintain a onstant bulk velo ity and bulk temperature in the turbulent hannel

ow simulation, a pressure gradient and a temperature sour e term, both varying in time,

areaddedtotheequations.Inordertoobtaintheturbulentunsteadydynami alandthermal

elds at the in ow of the ba kward-fa ing step, an original oupling is arried out with a

previous turbulent hannel ow simulation. Several self-adaptative models for the

Subgrid-S ale Reynolds tensor are presented. For the Subgrid-S ale heat ux, two new

Subgrid-S ale models and several dierent lassi al models are des ribed. All these Subgrid-S ale

models are tested ina turbulent hannel owand ompared with dire t simulation.Forthe

turbulent ow past aba kward-fa ingstep, onlyone Subgrig-S alemodelhas been used for

the Subgrid-S aleReynolds tensor and heat ux.

Keywords: large eddy simulation, in ompressible ow, turbulent ow, subgrid s ale

Introdu tion

Introdu tion

La omprehension des me anismes de transport turbulent est d'une grande importan e

dans le domaine de l'ingenierie, notamment dans les problemes de transfert de haleur ou

de transport de polluants. En eet, le transport turbulent est onnu pour ses proprietes de

melange, bien plus eÆ a es que le transport par diusion mole ulaire. Le omportement

turbulent provient de la non-linearite du terme onve tif des equations de Navier-Stokes

qui regissent le mouvement du uide. Ce terme permet les intera tions entre les dierentes

e helles de l'e oulement.

L'appro he experimentale aetependant longtempsla seulevoiepossible pour l'etudede

es me anismes omplexes. Ave l'arrivee de super- al ulateurs de plus en plus puissants,

la simulation a pris une part grandissante dans l'etude de es me anismes. Elle permet

d'a ederades informationsquel'experimentateurne peutmesurer en raisonde ontraintes

te hniques. Par exemple, lamesure des tensions de Reynolds dans la sous- ou he visqueuse

oudanslazonetamponesttresdeli atevoire impossibledans ertains as, etpourtantilne

s'agitquede momentsstatistiquesd'ordrebas.Citonsegalementles orrelationsquimettent

en jeulapression u tuante. Plus generalement,ilest diÆ iled'avoira es ades hampsde

vitesse et de temperature instantanes tridimensionnels, saufde fa on globale (visualisation

),malgrelesprogres onstantsde ertaineste hniques (PIV,peinture sensiblealapression,

et ...).

Trois types de simulationssont adistinguer selon que les u tuations des hamps

dyna-mique et thermiquesoienttotalement de rites ou totalement modelisees.

Lapremiere, ditesimulationdire te(SND) puisqu'au unemodelisationsupplementaire

n'intervient dans lesequations de base, impose l'utilisationd'un maillagetresn pour

pou-voir apter toutes lese helles de la solution. La taillede la maille doit ^etre plus petite que

lese hellesdissipativespourles hampsdynamiqueetthermique(respe tivementnommees

e helles de Kolmogorov et de Bat helor ). Le hoix du maillage depend alors du niveau de

turbulen e de l'e oulement, lie a la vis osite dynamique du uide, mais aussi lie a sa

diu-sivite thermique. Le as le plus restri tif orrespond a un uide qui onduit de fa on plus

eÆ a e la quantite de mouvement que la haleur: le nombre de Prandtl ( deni omme

le rapport de la vis osite inematique et de la diusivite thermique ) est alors superieur



a l'unite. C'est le as des huiles et de l'eau par exemple. Le nombre de points ne essaire

pour obtenir toutes lese helles du hamp thermiqueest proportionnela Pr 3

Re 9

4

, le hamp

dynamiquene essitantbeau oupmoins de points.En revan he, pour un nombre de Prandtl

inferieur a l'unite ( le uide onduit mieux la haleur que la quantite de mouvement ), le

nombredepointsestdel'ordredeRe 9

4

,le hampthermiquene essitantmoinsdepoints.Les

parlenombrede Reynolds)estde l'ordrede10 a10 ;on omprendaisementleslimitations

a tuelles de l'utilisation de la simulation dire te. Dans la pratique, les simulations dire tes

sont restreintes a des valeurs moderees du nombre de Reynolds et permettent d'etudier de

fa on tres pre ise lesme anismes et lesstru tures oherentes propres a l'e oulement

turbu-lent onsidere. L'utilisation de s hemas numeriques non dissipatifs et d'ordre eleve est une

ontrainte supplementaire pour les simulations dire tes ar il ne faut pas que les e helles

dissipatives soient masquees par les erreurs de tron ature ou de dis retisation du s hema

numerique. C'est pour ela que les methodes spe trales ou pseudo-spe trales sont souvent

employees dans e type de simulation, mais elles sont pratiquement inutilisables dans un

adre industriel.



Al'inverse,lorsquetoutesles u tuationsdelasolutionsontmodeliseesparl'intermediaire

d'unefermeture,onparledesimulationdesequationsde Navier-Stokesmoyennees (RANSE

). Lesequations de base sont obtenues en de omposant la solution ommela somme d'une

partiemoyenne etd'unepartie u tuante, puisen appliquantun operateurde moyenne aux

equations de onservation. Cette te hnique ne fournit que les hamps moyens dynamique

et thermique, les hamps u tuants n'etant apprehendes que par le tenseur de Reynolds et

le ux de haleur turbulent. Celle- i est pour le moment la plus employee dans le domaine

industriel puisqu'il n'y pas de limitation sur le nombre de Reynolds et que le nombre de

pointsetlamethode numerique ne dependentpas du rapportentre laplus grandeetlaplus

petite e helle de l'e oulement turbulent. Elle permet la predi tion de divers oeÆ ients (

oeÆ ient de frottement parietal, oeÆ ientd'e hange onve tif, oeÆ ientde tra^nee etde

portan e ...) pour des valeurselevees du nombre de Reynolds.

Le troisieme type de simulation est un ompromis entre les deux autres dans la

me-sure ou une partie des u tuations de la solution est resolue dire tement et que la

par-tie omplementaire est alors modelisee; on parle de simulation des grandes e helles. La

separationentre lese hellesresoluesetlese helles nonresoluesousous-mailleest formalisee

mathematiquementpar l'appli ationd'unltresur lesequationsde Navier-Stokesetpermet

d'introduirelanotiond'e hellede oupure.Cettete hniqueasonoriginedanslameteorologie

etla predi tiondu temps: le modelesous-mailleleplus an ienetaussi le plus onnu est d^u



a Smagorinsky, en 1963. Le prin ipal r^ole des e helles sous-maille est de dissiper l'energie

turbulente resolue et la varian e de temperature turbulente resolue. Deux appro hes sont

alors possibles dans la simulation des grandes e helles en e qui on erne la modelisation

des e helles sous-maille.L'appro he MILES( Monotone Integrated Large Eddy Simulation)

d'une part, onsiste a supposer que la dissipation intrinseque du s hema numerique

em-ploye permet de modeliser impli itement l'a tiondes e helles sous-maille: dissiperl'energie

inetiqueturbulenteresolueetlavarian edetemperatureturbulenteresolue.Cetteappro he

est tres souvent utilisee dans le as d'e oulement turbulent fortement ompressible. La

se- onde appro he orrespond a lamodelisationexpli itedes e helles sous-maille; elasuppose

l'emploi de s hemas numeriques non dissipatifs dans le but de ne pas masquer l'a tion du

modelesous-maille.Cettederniereappro he,asavoir,lasimulationdes grandese hellesave

modelisationsexpli itesdese helles non-resolues,aet eretenue dansle adre de ette these.

multi-e helles,detypefermetureen deuxpointsoure onstru tionde hampsinstantanessur

labase des modes propres statistiquesenergetiques ( POD ).Nous n'en dis uterons pas i i.



A noter que les methodes de modelisationsou fermetureutilisees en RANSE peuvent aussi

se transposer partiellement en modelisation sous-maille pour les simulations des grandes

e helles; il n'y a don pas separation stri te des outils on eptuels dans les dierentes

ap-pro hes.

L'utilisation de la simulation des grandes e helles dans le as d'e oulements industriels

( geometrie et physique omplexes, niveau de turbulen e eleve, transfert de haleur

impor-tant ) represente a l'heure a tuelle un enjeu important, et e pour plusieurs raisons. Dans

le as d'e oulements internes ( moteur, hambre de ombustion, anaux de refroidissement

), les me anismes de transfert de haleur a la paroi ont une grande importan e,

notam-ment pour garantir la bonne tenue thermique du materiau de la paroi. Ce i ne essite une

onnaissan e pre ise des phenomenes mis en jeu. L'etude de es phenomenes de transfert

de haleur par la simulationest deli ate dans la mesure ou ela impose en premier lieuune

bonne resolutiondu hamp dynamique. En eet, diverses experien es montrent que le ux

de haleur a laparoi est tresbien orrele ave l'energieturbulente par exemple. Une fois la

bonne dynamique de l'e oulement garantie, on peut se demander quels sont les stru tures

ouphenomenes responsables de es transfertsde haleuret quelle est l'in uen e du nombre

de Prandtl sur es me anismes de transfert. La omplexite de la physique de l'e oulement

est a prendre en ompte lors du hoix de la modelisation sous-maille dans la mesure ou

l'e oulement peut ^etre en equilibre mais aussi de olle. En eet, la plupart des hypotheses

simpli atri esutiliseesdansles ongurationsd'e oulementdites a ademiques(turbulen e

homogene isotrope, anal plan par exemple ) disparaissent alors. Comment denir une

dis-tan e a la paroi, ne essaire pour ertains modeles sous-maille, lorsque plusieurs parois sont



a proximite? Comment denir une moyenne par plan dans une onguration geometrique

omplexe? Ces problemes de modelisations sont souvent ren ontres dans les ongurations

ou les eets d'anisotropie sont tres importants: eet de strati ation, eet de rotation,

presen ed'uneparoi. Lesmodelessous-maillesus eptiblesd'^etre utilisesdans es

ongura-tions ne doivent plus utiliser es hypotheses simpli atri es ou des orre tions ad ho mais

plut^otavoirlaproprietede s'adapterautomatiquement.Deplus,ilsdoiventavoirune a tion

ee tive sur l'e oulement dans le as de s hemas numeriques d'ordre peu eleve mais non

dissipatifs.Laraison prin ipaleprovientde l'utilisationde maillages urvilignes,multi-blo s

et m^eme non stru tures.

Dans le adre de e memoire, nous nous sommes restreints au as d'un uide

faible-ment dilatable pour etudier es me anismes de transfert de haleur dans la onguration

du anal plan ( as representatif d'e oulements internes en equilibre ) et de la mar he

des- endante ( as representatif d'e oulements internes hors equilibre) gr^a e a la simulation

des grandes e helles. Ce memoire de these est divise en trois parties. La premiere presente

e hellesetmeteneviden elestermessous-mailleamodeliser.Ledeuxieme hapitrepresente

la modelisation du tenseur de Reynolds sous-maille, terme omplementaire issu du ltrage

des equations de onservation pour la quantite de mouvement. Pour pallier ertainsdefauts

des modeles sous-maille(sur-dissipationdans la sous- ou he visqueuse entra^nantune

rela-minarisationdel'e oulementparexemple),troispro eduresd'ameliorationsontintroduites:

la pro edure dynamique, la te hnique d'a entuation et la fon tion sele tive. La pro edure

dynamiquepermetde al ulerla onstantedumodelede maniereautomatique,la onstante

ainsi al ulee tendvers zerodansleszonespro hesparoisannulantlemodelesous-maille.La

te hnique d'a entuation onsistea appliquer un ltre permettantd'a entuer l'energiedes

petites e helles. La fon tion de sele tion est en fait une pro edure onditionnelle basee sur

l'evaluationde l'angleentre lesve teurs vorti iteetvorti itemoyen:sil'angleesten dessous

de lavaleurseuil, la fon tionannule lemodele. Le dernier hapitrepresente lamodelisation

pourle uxde haleursous-maille,terme omplementairedansl'equationde onservationde

l'energie.LanotiondemodelesFi kienetnonFi kienest presentee ainsiquedeux nouveaux

modelesnon Fi kienpour le uxde haleursous-maille.Lesmodeles Fi kiens orrespondent



atous eux quirelientle ux de haleur sous-mailleau gradientde temperatureresoluepar

le biais d'unediusivitesous-mailles alaire.

La deuxieme partie du memoire est onsa ree a la omparaison et la validation des

dierentsmodeles sous-mailledans la ongurationgeometrique du anal plan. Le premier

hapitrepresentelamethodenumeriqueutiliseepourlasimulationdesgrandese helles.Dans

le but d'etudier l'impa t des dierents modeles sous-maille dans la simulation, l'utilisation

de s hemas numeriques dissipatifs ( s hemas QUICK, UPWIND par exemple ) n'a pas ete

retenue. Eneet, e typede s hemas est onnu pour masquer l'eet du modelesous-maille.

Ledeuxieme hapitrepresenteles ara teristiquesgeometriquesdes simulationsdes grandes

e helles dans le as du anal plan, orrespondant a une simulation temporelle. Les

ondi-tionsaux limitesetinitiales,ainsi quelesfor agesutilisesysontdetailles.Lesdeux derniers

hapitres fournissent lesresultats obtenusdans ette onguration.

Ladernierepartiepresentel'analysedesresultatsobtenusdansla ongurationgeometrique

de la mar he des endante. Le premier hapitre de rit les ara teristiques de la simulation,

mais aussi l'originalite du ouplage entre la simulation des grandes e helles dans la

on-guration du anal plan et de la mar he des endante pour fournir des onditions d'entree

instationnaireet turbulentea ette derniere. Lesdeux derniers hapitrespresentent

respe -tivement lesresultats on ernant les hamps moyen et instantane.

Les appli ations a la modelisation sous-maille du hamp thermique se sont nalement

limiteesau asdus alairepassif,bienquelapremierepartiedel'etudeaittenteuninventaire

plusgeneral desequationsetmodeles,sus eptiblesde ouvrirleseets de ottaisonetm^eme

lera ordement ave des as faiblement ompressiblesaudelade l'hypothese de Boussinesq



Equations de Boussinesq ltrees

Le uide onsidere est un uide monophasique di-variant a proprietes

thermodyna-miques onstantes. Il n'existe don que deux variables thermodynamiques independantes

qui de rivent les dierentes fon tions d'etat asso iees au uide. Les deux variables d'etat

retenues sontle hamp de pression P =P ( !

x;t) et le hamp de temperature T =T ( !

x;t).

Dans la suite du memoire, la masse volumique, la vis osite dynamique , la

ondu tibi-lite thermique et la apa ite alorique a pression onstante sont notees respe tivement

=(T;P), =(T;P),k =k(T;P)et

p =

p

(T;P). Ces grandeurs physiquessont alors

onsiderees omme independantes de l'espa e et du temps ( uide a proprietes

thermo-dynamiques onstantes ). Le uide est alors regi par les equations de Navier-Stokes dans

l'approximationde Boussinesq.Dans e as pre is, le ouplage entre lesequationsde

onser-vation de la quantite de mouvement et de l'energie s'ee tue gr^a e aux for es volumiques

de pesanteur. Le uide est alors onsidere omme faiblement dilatable. Le as limite est

obtenuen negligeantlesfor esde pesanteur:ily ade ouplage entrelesequationsde

onser-vation de la masse volumique=

0

, de onservation de laquantite de mouvement 

0 !

U et

l'equation de onservation de l'energie 

0

h. L'energie devient un s alaire passif. Il est alors

possible d'etudier seul l'aspe t dynamique du probleme. On parle alors des equations de

Navier-Stokes in ompressibles.

Danslesparagraphesquivontsuivre,onmontreraledomainede validitede

l'approxima-tion de Boussinesq. Pour e faire,onpresentera tout d'abord lesequations de Navier-Stokes

pour un uide ompressible qui verie la loi d'etat des gaz parfaits. Ensuite, lesequations

seront e ritessous formeadimensionnee. Enn, on dis utera le domainede validitede

l'ap-proximationde Boussinesq.

1.1 

Equations de Navier-Stokes

Le mouvement du uide onsidere est regi par les equations de Navier-Stokes. Ces

sous-(III.A.1)sous la forme: 8 > > > > > > < > > > > > > : d dt + ! r  ! U = 0  d ! U dt = ! r ! !  + ! g  dh dt dP dt P ! r  ! U = ! r  ! q + ! !    ! ! D (I.1.1)

Les tenseurs notes !

!

 et !

!

D sont appeles respe tivement tenseur des ontraintes et tenseur

destauxde vitessededeformation.Lesve teurs notes !

q et !

g represententrespe tivement

leve teur uxde haleuretleve teurpoidsdelaparti ule uide.Danslesystemepre edent,

le tenseur des ontraintes etle ve teur ux de haleur sont in onnus. Il est alors ne essaire

de donner la loi de omportement pour ha une de es deux quantites, e qui est fait dans

l'annexe A. Enexprimant l'enthalpieen fon tion du ouple de variables thermodynamiques

retenues (T;P)(voirannexeB ),lesequationsde Navier-Stokespour un uide ompressible

dontla loid'etat est =(T;P) peuvent s'e rire de la maniere suivante:

8 > > > > > > > < > > > > > > > :  (T;P) dT dt + T (T;P) dP dt + ! r  ! U = 0 (T;P) d ! U dt = ! rP + ! r   2(T;P) ! ! D d  + ! g (T;P) p (T;P) dT dt = ! r   k(T;P) ! rT  +2(T;P) ! ! D d  ! ! D d + (T;P)T dP dt (I.1.2)

Le deviateur du tenseur taux de vitesse de deformation note !

!

D d

, est deni par la

rela-tion (III.A.18). Les oeÆ ients de dilatation isobare et de ompressibilite isotherme sont

notes (T;P) et 

T

(T;P), denis respe tivement par les relations (III.B.26) et (III.B.27).

Le hamp de pesanteur est represente par le ve teur !

g . Ce dernier est onsidere omme

onstant dans la suite du probleme. On introduit la verti ale as endante en rempla ant le

ve teur pesanteur par g !

r. Le systeme (I.1.2) est formule a l'aide de la derivee

parti u-laire, denie par larelation (III.A.1).

Cette formulation est le point de depart pour obtenir les equations de Boussinesq. Le

systeme (I.1.2) est exprime en terme de onservation d'enthalpie. Les variables

thermody-namiques pour expli iter l'enthalpie sont alors la temperature T = T( !

x;t) et la pression

P =P( !

x;t).A e stade,au uneloid'etatpourlamassevolumique=(T;P)n'esten ore

expli itee. L'inter^et est qu'il est possible d'etudier la degeneres en e de e systeme vers les

equationsdeNavier-Stokesin ompressiblesouverslesequationsdeBoussinesqenlinearisant

en terme d'energie interne (III.B.64) aurait pose un probleme dans le as d'un liquide. En

eet, il est impossible de determiner de fa on experimentale la apa ite alorique a

vo-lume onstante (

v

(T;v) ) puisque toute variation de pression ou de temperature entra^ne

inelu tablementune variationde volume.

Dans la suite des developpements, la loi d'etat des gaz parfaits est utilisee. La masse

volumique est alors reliee auxvariables thermodynamiques T et P par larelation:

(T;P) = P

rT

(I.1.3)

ou r est la onstante universelle des gaz parfaits. Cette onstante vaut 287;06Jkg 1

K 1

pour l'air. En tenant ompte de la loi des gaz parfaits (I.1.3), la apa ite alorique a

pression onstante

p

(T;P),les oeÆ ientsdedilatationisobare (T;P)etde ompressibilite

isotherme  T (T;P) sereduisent a:  (T;P) = 1 T (I.1.4)  T (T;P) = 1 P (I.1.5) p (T;P) = r 1 (I.1.6)

ou ,deni dansleparagraphe B.1.3,vaut 1;4dansle as del'air. Lesequationsde

Navier-Stokes pour les gaz parfaits sereduisent a:

8 > > > > > > > < > > > > > > > : 1 T dT dt + 1 P dP dt + ! r  ! U = 0 P rT d ! U dt = ! rP + ! r  2(T;P) ! ! D d  + P rT g ! r 1 P T dT dt = ! r   k(T;P) ! rT  +2(T;P) ! ! D d   ! ! D d + dP dt (I.1.7)

1.2 Adimensionnement des equations

Pouraller plusloin, ilest apresentne essaire d'e rire lesysteme d'equations(I.1.7)sous

forme adimensionnee. Il faut don determiner les e helles ara teristiques des dierentes

grandeursqui interviennentdanslesysteme. Ledetail des al ulsest donnedans l'annexeC

8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > :  EuMa 2 1+ EuMa 2 e P  St  e P  e t + ! e U  ! e r e P  !  RiFr 2 1+RiFr 2 e T  St  e T  e t + ! e U  ! e r e T  ! + ! e r ! e U = 0 1+ EuMa 2 e P 1+RiFr 2 e T ! 0  St  ! e U  e t + ! e U  ! e r ! e U  1 A = Eu ! e r e P 1 Fr 2 1+ EuMa 2 e P 1+RiFr 2 e T ! ! e r+ 1 Re ! e r  2e ! ! e D d ! 1+ EuMa 2 e P 1+RiFr 2 e T ! St  e T  e t + ! e U  ! e r e T  ! = 1 PrRe ! e r  e k ! e r e T  +  ( 1)Ma 2 ReRiFr 2  2e ! ! e D d   ! ! e D d ! +  ( 1)EuMa 2 RiFr 2  St  e P  e t + ! e U   ! e r e P  ! (I.1.8)

ou les quantites Eu, Ma, Fr, Ri, St, Re et Pr sont appelees respe tivement les nombres

d'Euler, de Ma h, de Froude, de Ri hardson, de Strouhal, de Reynolds et de Prandtl.

1.3 Approximations de Boussinesq

Le systeme (I.1.8) de rit les equations de Navier-Stokes ompressibles. 

A e stade,

au- uneapproximationn'esten orefaite,hormisle hoixdelaloid'etatdesgazparfaits(I.1.3).

Pour retrouverlesequationsdeNavier-Stokesdans l'approximationdeBoussinesq, ilest

im-portant de denir le probleme que l'on va traiter. Dans la suite du memoire, on va plus

parti ulierement s'interesser a des e oulements turbulents dans des anaux: 'est don un

e oulement de type onve tion for ee.

On suppose tout d'abord que les for es de pesanteur qui s'exer ent sur le uide sont du

m^emeordrede grandeur quelesfor es d'inertie. C'estlenombre de FroudeFrquijauge es

for es de pesanteurs. Par onsequent, e parametre de similitudeest egal al'unite:

Fr = 1 () L 0 = U 2 0 g (I.1.9)

Le moteur de e type d'e oulement est le gradient de pression. Le parametre de similitude

jaugeantlesfor es depressionest lenombred'Eulerquivautalorsl'unite.Celaimposedon

larelation suivantepour lenombre d'Euler Eu:

Eu = 1 ()
P = 

0 U

2

par des eets de strati ation( as de la onve tion naturelle ), lesfor es de pression

n'ap-paraissent pas omme moteur de l'e oulement: 'est sous l'a tion de la gravite ou de la

temperature que le uide se met en mouvement, e qui induit une u tuation de pression.

C'est pour ela qu'il faudra tout de m^eme onserver le terme de gradient de pression. Il

en est de m^eme pour les eets instationnaires qui sont jauges par le nombre de Strouhal:

e parametre est hoisi egal a l'unite. L'e helle de temps est don determinee. La relation

s'e rit: St = 1 ()  = L 0 U 0 (I.1.11)

L'hypothese suivante est de supposer que le uide a des proprietes thermodynamiques

onstantes.Cela imposequelamassevolumique,lavis ositedynamiqueainsiquela

ondu -tibilitethermiquesoient onstantes. Par onsequent, sous laforme adimensionnee, es trois

oeÆ ientsvalentl'unite.Entenant omptedes relations(I.1.10)et(I.1.11), lesnombres de

Ma h etRi hardson doivent verier larelation suivante:

Ri  1 (I.1.12)

Ma 2

 1 (I.1.13)

D'autrepart, ilfautsupposerquelapuissan e desfor es de frottementetdes for es de

pres-sion soit negligeabledevant la diusionde la haleur par ondu tion etdevant le transport

de la haleur par onve tion.Par onsequent, il fautverier la relation:

 ( 1)Ma 2 ReRi   min  1; 1 PrRe  (I.1.14)  ( 1)Ma 2 Ri   min  1; 1 PrRe  (I.1.15)

Dans le as d'e oulements peu visqueux ( Re > 1 ), les deux inegalites pre edentes

de-viennent:  ( 1)Ma 2 ReRi   1 PrRe (I.1.16)  ( 1)Ma 2 Ri   1 PrRe (I.1.17)

Dansle as des e oulementsturbulents,la ondition (I.1.17) est alors laplus ontraignante.

Pour etablir lesequations de Boussinesq, il est ne essaire de pro eder a un developpement

limiteal'ordreundesfor esvolumiquesdepesanteur.Ledeveloppementestpossiblepuisque

lenombredeRi hardsonesttrespetitdevantl'unite(I.1.12).Entenant omptedesrelations

(I.1.9) et (I.1.10),on obtient ledeveloppement suivant a l'ordreun:

1 Fr 2 1+ EuMa 2 e P 1+RiFr 2 e T ! = 1+ Ma 2 e P 1+Ri e T ! ' 1 Ri e T (I.1.18)

8 > > > > > > > < > > > > > > > : ! e r  ! e U = 0  ! e U  e t + ! e U   ! e r ! e U  = ! e r e P g +Ri e T ! e r+ 1 Re ! e r  2 ! ! e D d !  e T  e t + ! e U   ! e r e T  = 1 PrRe ! e r   ! e r e T  (I.1.19) ou le terme e P g

est la pression piezometrique denie par e P g = e P +. Il est important

de remarquer que, ette fois- i, le hamp de temperatureva agirsur le hamp de vitesse et

re iproquement:lesequationsde onservationdelaquantitedemouvementetdel'enthalpie

sont desormais ouplees.

1.3.1 Cas du s alaire passif

Le as du s alairepassifest obtenu enimposantlenombrede Ri hardson Riegalazero.

Le hamp de temperature n'appara^tplus dans l'equation de onservation pour la quantite

de mouvement: il y ade ouplage total entre ladynamique de l'e oulementet lathermique.

Par onsequent, il est possiblede ne resoudre quele hampdynamique en utilisantlesdeux

premieres equations de onservation du systeme ( masse et quantite de mouvement ). On

parle alors d'approximation in ompressible.

1.3.2 Domaine de validite de l'approximation

Pour determiner le domaine de validite de l'approximation in ompressible et de

l'ap-proximation de Boussinesq, il est ne essaire de se xer leprobleme physique. Dans le adre

de es travaux de re her he, l'e oulement est un e oulement en onve tion for ee. Le point

de referen e (T

0 ;P

0

) hoisi est le suivant: on onsidere que le uide est a la temperature

T 0 =288 o K etlapressionP 0 =1;013:10 5

Pa.L'e helledestemperatures
T appara^t omme

une dieren ede temperature, par onsequent ilimporte peu qu'elle soitexprimee en degre

Celsius ou en degre Kelvin. L'e helle de pression
P s'exprime en fon tion de l'e helle de

vitesse gr^a e a la relation (I.1.10). Il existe don trois e helles in onnues qui sont l'e helle

de longueur L

0

, l'e helle de vitesse U

0

et l'e helle de temperature
T. Dans le as de

l'ap-proximationde Boussinesq, ilne reste plus quedeux e helles in onnues. Eneet, larelation

0 air unites  0 1;2 kg:m 3 p0 1;0:10 3 J:kg 1 :K 1  0 1;4:10 5 m 2 :s 1  0 2;0:10 5 m 2 :s 1  0 3;5:10 3 K 1  T 0 1;0:10 5 Pa 1 

A partir de es donnees experimentales, il est possible d'expli iter les relations (I.1.12),

(I.1.13), (I.1.16) et (I.1.17). Les deux premieres relations traduisent la ondition

d'in om-pressibilite,alors queles deux dernieres proviennent du fait quelespuissan es des for es de

frottement etde pression soient negligees. Le ritere "1"est alors rempla e par "0:1":

onassume don une erreur de 10%. Les relations(I.1.12) et(I.1.13) sont equivalentes a:

T  0:1T 0
T  28;8 o K U 0  r 0:1P 0  0 U 0  91;9m:s 1

Cela signie don quel'approximationde Boussinesq reste valable pour de faiblese arts de

temperature(de l'ordrede 28;8 o

C a20 o

C pour l'air)etpourdes vitesses ne depassantpas

90m:s 1

.

1.4 Filtrage des equations adimensionnees

1.4.1 Notion de ltre

La notion de ltre en simulation des grandes e helles ( S.G.E ) est tres importante. En

eet, l'information est ontenue dans toutes les e helles de la turbulen e. Ces e helles ont

desordresdegrandeurtresdierents,leproblemeetantdepouvoirprendreen ompte

l'exis-ten e des grandes etdes petites.

En simulation dire te des equations de Navier-Stokes ( S.N.D ), il est primordial de

onserver toutes es e helles, de la plus grande a la plus petite. En revan he, en S.G.E, on

hoisit de resoudre les equations jusqu'a une e helle donnee ( e helles resolues ), puis on

modelise l'a tiondes petites e helles ( e helles non resolues). La plus petite e helle resolue

est alors imposee par la taille de la maille hoisie lors de la dis retisation. Il est important

de noterque latailleee tive du ltrene orrespond pas ala taillede lamailleimposee. La

tailleee tive du ltre in lut aussi une ontributionprovenant des erreurs numeriques, des

erreurs de tron ature etdes erreursd'arrondi [90℄.

onsidere et le noyau du ltre. Si on note f(x;t), le hamp total, f(x;t), le hamp ltre

et G( !

X), lenoyaudu ltre,on obtient la relation:

f( ! x;t) = Z +1 1 f( ! y;t)G( ! x ! y )d ! y (I.1.20)

Cette denition permet de denir e que l'on nomme terme sous-maille( note f 0

) omme

ladieren e entre le hamp total et le hamp ltre ainsi obtenu:

f 0 ( ! x;t) = f( ! x;t) f( ! x;t) (I.1.21)

C'est etermesous-maillequ'ilfautmodeliser.Entheorie,leltre hoisiveriedesproprietes

omme la linearite et la ommutativite ave les operateurs de derivation. Cependant, le

ltrage n'est pas for ement un operateur de Reynolds. Un operateur de Reynolds verie

trois proprietes:

{ il doit^etre lineaire ( f+g =f+g ),

{ il doit ommuter ave laderivation( f s = f s ),

{ etil doit ^etre involutif( f =f ).

Par onsequent,lorsquel'ondenitle hampsous-maillef 0 ( ! X;t),le hampsous-mailleltre note f 0 ( !

X;t) n'est don pas nula moinsque leltre onsidere ne verie les troisproprietes

des operateurs de Reynolds. C'est une dieren e fondamentale par rapport aux methodes

des equations de Navier-Stokes moyennees (R.A.N.S ).

Il existe dierents ltres. Les trois plus ouramment utilises sont le ltre porte (I.1.22),

le ltre gaussien (I.1.23) et le ltre bo^te (I.1.24). Dans le as monodimensionnel, ils sont

denis par: G(X ) = sin  (X )
f  (X ) (I.1.22) G(X ) = s 6 
f exp 6 (X ) 2
2 f ! (I.1.23) G(X ) = 8 > > < > > : 1
f si jX j
f 2 0 si jX j>
f 2 (I.1.24)

1.4.2 Equations pour le hamp resolu

Dans le but de rendre plus lisible la suite des al uls, on va supprimer lestildes, passer

en notationindi ielleetexpli iter l'operateur derivee parti ulaire en tenant omptede

l'hy-pothesed'in ompressibilite(III.A.2).Par ommodite,letroisiemeve teurunitairedu repere

est hoisi olineaire ala verti alelo ale.Par onsequent, le ve teur !

r apour omposante

(0;0;1) T

.Le syteme d'equations(I.1.19) s'e rit alors sous la forme:

8 > > > > > > > > < > > > > > > > > : U i x i = 0 U i t +  x j (U i U j ) = P g x i + 1 Re  2 U i x k x k +RiTÆ i3 T t +  x j (TU j ) = 1 P e  2 T x k x k (I.1.25)

1.4.3 Conservation de la masse pour le hamp ltre



A present, le ltre est applique a l'equation de ontinuite. Le ltrage est represente par

lesquantites surlignees. Soit:

U i x i = 0 (I.1.26) U i x i = 0 (I.1.27)

En utilisant la propriete de ommutativite ave les operateurs de derivation, l'equation

s'e rit: U i x i = 0 (I.1.28)

1.4.4 Conservation de la quantite de mouvement pour le hamp

ltre

Tout ommele paragraphe pre edent, le ltre est applique a l'equationde onservation.

En utilisant,la en ore, la m^eme propriete,on obtient:

U i t +  x j U i U j
= P g x i + 1 Re  2 U i x k x k +RiTÆ i3 (I.1.29)

Le ltragede la onservation de la quantitede mouvement faitappara^tre le terme

quadra-tiqueen vitesse U

i U

j

qui n'est pas onnu.On lede ompose sur labase U;U 0
.Soit: U i U j = U i U j U i U j +U i U j (I.1.30) UU =  +U U (I.1.31)

ij

equation similairea elle obtenue par moyenne statistique des equations de Navier-Stokes:

U i t +  x j U i U j
= P g x i + 1 R e  2 U i x k x k +RiTÆ i3  ij x j (I.1.32)

d'ou la ne essite d'un modele pour le tenseur de Reynolds sous-maille

ij

. La modelisation

de e tenseur abordee dans le hapitre 2 peut s'ee tuer de deux fa ons dierentes: soit

le tenseur 

ij

est modelise dire tement, soit e tenseur est de ompose omme la somme de

trois ontributions: une partie provenant d'e helles resolues al ulable expli itement, une

partiemixtedependant de termesresoluset sous-mailleetune partiepurement sous-maille,

es deux dernieres ne essitant une fermeture. En rempla ant le hamp de vitesse total par

la somme du hamp de vitesse resolue et du hamp de vitesse non resolue, le tenseur de

Reynolds sous-maillepeut s'e rire sous la forme:

U i U j = U i +U 0 i
U i +U 0 i
(I.1.33) U i U j = U i U j +U i U 0 j +U 0 i U j +U 0 i U 0 j (I.1.34) U i U j = U i U j +U i U j U i U j +U i U 0 j+U 0 i U j +U 0 i U 0 j (I.1.35) U i U j U i U j | {z }  ij = U i U j U i U j | {z } L ij +U i U 0 j +U 0 i U j | {z } C ij +U 0 i U 0 j |{z} R ij (I.1.36) oulestenseurs L ij etC ij

sontlestenseurs deLeonardetdes tensions roisees.Letenseur R

ij

est nommetenseur vraide Reynolds. Le probleme de ette formulationest queles tenseurs

deLeonardetdestensions roiseesne verientpaslaproprieted'invarian egalileenne.C'est

lasomme de es deux tenseurs quiverie ette proprieted'invarian e.Lade omposition de

Germano[90℄ [34℄ dite onsistantepermet de remedier a ela:

 ij = U i U j U i U j (I.1.37)  ij = U j +U 0 j
U i +U 0 i
 U i +U 0 i  U j +U 0 j  (I.1.38)  ij = U i U j +U 0 i U j +U 0 j U i +U 0 i U 0 j U i U j U 0 i U j U 0 j U i U 0 i U 0 i (I.1.39)  ij = U i U j U i U j | {z } L ij +U 0 i U j +U 0 j U i U 0 i U j U 0 j U i | {z } C ij +U 0 i U 0 j U 0 i U 0 j | {z } R ij (I.1.40) Les tenseurs L ij , C ij et R ij

sont appeles respe tivement le tenseur de Leonard modie, le

tenseur destensions roisees modieetletenseur vraideReynolds modie.Cettefois- i, es

trois tenseurs verient independamment la propriete d'invarian e. Si le ltre hoisi est un

operateurde Reynolds, lestermes de Leonard et lestermes roises sont alors nuls. Ainsi, le

tenseur 

ij

degenere en U 0

i U

0

j



Apartirdel'equationde onservationdel'enthalpie,unefoisleltreapplique,onobtient

l'equation de l'energiepour le hamp ltre:

T t +  x j TU j
= 1 Pe  2 T x k x k (I.1.41)

Commepourleparagraphepre edent,ilestpossibledede omposer lapartiebassefrequen e

du ux de haleur total en fon tion des hamps de vitesse et de temperature resolus. On

introduit naturellement leve teur uxde haleur sous-maille

j : TU j = TU j TU j +T U j (I.1.42) TU j =  j +TU j (I.1.43) 

Apartirde ettedenition,l'equationdela onservationdel'enthalpiepeut^etrere ritesous

laforme suivante: T t +  x j T U j
= 1 Pe  2 T x k x k  j x j (I.1.44)

Il est alors ne essaire de modeliserle uxde haleur sous-maille

j

quiest pour le moment

in onnu. Il est possible d'appliquer la m^eme demar he que dans le paragraphe 1.4.4 pour

relierletenseur de Reynoldsetlestenseurs de Leonard,des tensions roisees etdeReynolds

sous-maille. Ainsi,pour le ux de haleur sous-maille

j on obtient: TU j = T +T 0
U j +U 0 j
(I.1.45) TU j = T U j +TU 0 j +T 0 U j +T 0 U 0 j (I.1.46) TU j T U j | {z }  j = TU j TU j | {z } L j +TU 0 j +T 0 U j | {z } C j +T 0 U 0 j |{z} R j (I.1.47)

Par analogie au tenseur de Reynolds sous-maille, les ve teurs L

j , C j et R j sont appeles

respe tivement ve teur ux de haleur de Leonard, ve teur ux de haleur roiseet ve teur

ux de haleur sous-maillevrai. Le ux de haleur sous-mailleest alors de ompose en trois

ontributions.Lapremiere ontribution(termeL

j

)estasso ieeuniquementauxgrandeurs

resolues.Elle est entierement al ulable puisque lesin onnues du probleme sont les hamps

de vitesse etde temperatureresolus ( U

j

et T ). La deuxieme ontribution (terme C

j ) est

mixte:saformulationfaitinterveniralafoisdestermessous-mailleetdestermesresolus.On

parleaussidetermes roises.Laderniere ontribution(termeR

j

)est ettefois- ipurement