Composantes singulières des fibres de Springer dans le cas deux-colonnes

Géométrie algébrique

Composantes singulières des fibres de Springer dans le cas deux-colonnes

Lucas Fresse

Department of Mathematics, the Weizmann Institute of Science, 76100 Rehovot, Israel Reçu le 9 novembre 2008 ; accepté après révision le 2 avril 2009

Disponible sur Internet le 23 avril 2009 Présenté par Michel Duflo

Résumé

On considère la fibre de SpringerBupour un endomorphisme nilpotentutel queu²=0. On établit une condition nécessaire et suffisante de singularité pour les composantes deBu.Pour citer cet article : L. Fresse, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).

©2009 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.

Abstract

Singular components of Springer fibers in the two-column case.We consider the Springer fiberBu corresponding to a nilpotent endomorphismuof nilpotent order 2. We establish a necessary and sufficient condition of singularity for the components ofBu.To cite this article: L. Fresse, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).

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Abridged English version

LetV be an-dimensionalC-vector space and letu:V →V be a nilpotent endomorphism. LetBube the set of the complete flags (V0⊂ · · · ⊂V_n=V ) such thatu(V_i)⊂V_i for everyi. The setBu is a projective subvariety of the variety of complete flags, and it is called a Springer fiber, since it can be seen as the fiber overuof the Springer resolution of singularities of the nilpotent coneN ⊂End(V ). The varietyBuis non-irreducible and singular, unless uis zero or regular. Our purpose is to present a necessary and sufficient condition of singularity for the irreducible components ofBu, in the caseu²=0.

Parameterization of components ofBuby a set of standard tableaux

Letλ₁· · ·λ_r be the lengths of the Jordan blocks ofu, then letY (u)be the Young diagram of rows of lengths λ₁, . . . , λ_r. Then we haveu²=0 whenY (u)has at most two columns. Ifμ₁, . . . , μ_sdenote the lengths of the columns ofY (u), then the dimension ofBuis given by dim_CBu=_s

q=1

μq(μq−1)

2 .

Adresse e-mail :lucas.fresse@weizmann.ac.il.

1631-073X/$ – see front matter ©2009 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.

doi:10.1016/j.crma.2009.04.005

LetT be a standard tableau of shapeY (u). The shape of the subtableauT[1, . . . , i]of entries 1, . . . , iis a subdia- gramY_i^T ⊂Y (u)withiboxes. For any(V₀, . . . , V_n)∈Bu, the restrictionu_|Vi:V_i→V_i is a nilpotent endomorphism, whose Jordan form is represented by a subdiagramY (u_|Vi)⊂Y (u)withiboxes. We define

Bu^T =

(V₀, . . . , V_n)∈Bu: Y (u_|Vi)=Y_i^T ∀i=0, . . . , n .

According to [2, §II.5.4-5], theB^T_u’s form a partition ofBuinto locally closed, irreducible subsets such that dim_CB^T_u = dim_CBu. ThusBuis equidimensional and the components ofBuare the subsetsK^T =B^T_u.

ElementsF_τ∈Buparametrized by row-standard tableaux

We callrow-standard tableaua numbering ofY (u)by 1, . . . , n, with numbers in rows increasing to the right. If we put in increasing order the numbers in each column ofτ row-standard, then we get a standard tableau, that we denote by st(τ ). Fix a Jordan basis ofu. By construction ofY (u)we can index the basis{e_x, x∈Y (u)}on the boxes ofY (u) in such way thatu(ex)=0 ifxis in the first column ofY (u), and otherwiseu(ex)=e_x wherex is the box on the left ofx. Forτ row-standard, boxes 1, . . . , i in the tableau define a subsetXi⊂Y (u). LetFτ=(V0, . . . , Vn)be the flag such thatVi= ex: x∈Xifor everyi. ThenFτ belongs toBu. MoreoverFτis contained inBu^T forT =st(τ ).

TheFτ’s are the elements ofBuwhich are fixed by the torusH⊂GL(V )of diagonal automorphisms in the basis (e_x)_x, for its linear action on flags. There existsH⊂H a regular subtorus of rank one such that:H⊂N_u:= {g∈ GL(V ): gug⁻¹∈Cu}. ThusHacts onBuand leaves each component ofBuinvariant. The closure of anyH-orbit ofBucontains someF_τ. It follows

Lemma 0.1.The componentK^T is nonsingular if and only if everyF_τ inK^T is a nonsingular point.

From now on, suppose thatY (u)has two columns of lengthsμ₁μ₂.

LetT be a standard tableau and letτ be a row-standard tableau. We give a necessary and sufficient condition for having F_τ∈K^T. Leta₁, . . . , a_μ1 (resp.b₁, . . . , b_μ2) be the entries of the first (resp. second) column ofT. Define a₁^∗, . . . , a_μ^∗

2 as follows. Seta^∗₁=b₁−1. Ifa₁^∗, . . . , a^∗_p−1are defined forpμ₂, seta_p^∗=Max(a∈ {a₁, . . . , a_μ1} \ {a^∗₁, . . . , a_p^∗₋₁}: a < b_p). Then defines_{j/ i}^T =#{p=1, . . . , μ2: i < a_p^∗, b_pj}. Leta₁, . . . , a_μ

1 (resp.b₁, . . . , b_μ

2) be the entries of the first (resp. second) column ofτ. For 0i < jn, defines_{j/ i}(τ )=#{p=1, . . . , μ2: i < a_p, b_pj}. We prove the following:

Proposition 0.1.We haveF_τ∈K^T if and only ifs_{j/ i}(τ )s_{j/ i}^T for any0i < jn.

Property of the flagFτ₀

Letτ0be the standard tableau with numbers 1, . . . , μ1in the first column andμ1+1, . . . , nin the second column.

We have the following

Lemma 0.2.The flagFτ₀ belongs to every componentK^T ⊂Bu, moreoverK^T is nonsingular if and only ifFτ₀ is a nonsingular point ofK^T.

LetZ_u:= {g∈GL(V ): gug⁻¹=u}be the stabilizer ofu. To prove the lemma, we show thatF_τ0 belongs to the closure of theZ_u-orbit of anyF_τ. Letibe the minimal entry which has not the same place inτ andτ₀. We construct a one-parameter group(h_τ(t ))_t∈C⊂Z_usuch that limt→∞h_τ(t )·F_τ=F_τ withτ such that 1, . . . , i have the same place inτandτ₀. Then, argue by induction oni.

Necessary and sufficient condition for singularity

LetX(τ₀)denote the set of row-standard tableaux which are obtained fromτ₀by switching two entriesi, j with i < j andiin the first column ofτ₀.

Fix a componentK^T ⊂Bu. We construct some elements of the tangent spaceTFτ0K^T.

– Letτ be obtained fromτ₀by switching two rows of length 2. Then the flagsF_τ,F_τ0are in the sameZ_u-orbit, hence F_τ∈K^T. Thus the curve{h_τ(t )·F_τ:t∈C}is contained inK^T. In addition we show that limt→∞h_τ(t )·F_τ=F_τ0. Then the tangent vector atF_τ0to this curve is an elementξ_τ∈TFτ0K^T.

– Let τ ∈X(τ₀)be such that F_τ ∈K^T. Then the curve {h_τ(t )·F_τ: t ∈C}is contained in K^T. We show that limt→∞h_τ(t )·F_τ=F_τ0, hence we get a tangent vectorξ_τ∈TFτ0K^T.

In that way we construct ^μ2(μ₂²⁻¹⁾ +#{τ ∈X(τ₀): F_τ ∈K^T}elements of the tangent spaceTFτ0K^T. These elements are all linearly independent. We prove that they generateTFτ0K^T:

Lemma 0.3.We havedimTFτ0K^T =^μ2(μ₂²⁻¹⁾+#{τ∈X(τ₀): F_τ∈K^T}.

The pointF_τ0∈K^T is singular if and only if dimTFτ0K^T >dimK^T. We deduce the following

Theorem 0.4.Suppose thatY (u)has two rows of lengthsμ₁μ₂. LetT be standard. The componentK^T is singular if and only if we have#{τ ∈X(τ₀): F_τ∈K^T}>^μ1(μ₂¹⁻¹⁾.

1. Introduction

SoitV un espace vectoriel complexe de dimensionn0 et soitu:V →V un endomorphisme nilpotent. On note parBul’ensemble des drapeaux complets(V₀⊂ · · · ⊂V_n=V )tels queu(V_i)⊂V_i pour touti. L’ensembleBuest une sous-variété projective de la variété des drapeaux complets surV. La variétéBuest appeléefibre de Springercar elle peut être vue comme la fibre au dessus deude la résolution des singularités du cône nilpotent de End(V ), introduite par Springer [3]. La variétéBuest toujours connexe, et elle est non irréductible (et donc singulière) sauf siuest nul ou régulier.

La géométrie deBudépend de la forme de Jordan deuque l’on représente par un diagramme de Young : soientλ1

· · ·λr les tailles des blocs de Jordan deu, on noteY (u)le diagramme de Young de lignes de longueursλ1, . . . , λr. LorsqueY (u) a deux lignes ou est de type crochet (i.e. une seule ligne de longueur>1), toutes les composantes irréductibles deBusont non-singulières (cf. [1]). LorsqueY (u)a deux colonnes, des composantes singulières peuvent apparaître (cf. [2, p. 167]). En général, la description des composantes singulières deBuest un problème ouvert. Le but de cette Note est de présenter un critère de singularité pour les composantes irréductibles deBu lorsqueY (u)a deux colonnes.

2. Traduction combinatoire de données géométriques surBu

Dans cette section, on ne suppose pas a priori que le diagrammeY (u)a deux colonnes. On noteμ₁, . . . , μ_s les longueurs des colonnes deY (u), alors la dimension deBuest dim_CBu=_s

q=1

μ_q(μ_q−1)

2 (cf. [2, §II.5.5]).

2.1. Paramétrage des composantes irréductiblesK^T ⊂Bupar les tableaux standards, d’après [2]

Un tableau standard de formeY (u)est une numérotation des cases deY (u)de 1 àndont les numéros sont croissants de gauche à droite dans les lignes et de haut en bas dans les colonnes. SoitT un tableau standard. La forme du sous- tableauT[1, . . . , i]d’entrées 1, . . . , iest un diagramme de Young àicases notéY_i^T. Pour tout drapeau(V₀, . . . , V_n)∈ Bu, la restriction u_|Vi :V_i →V_i est un endomorphisme nilpotent, dont la forme de Jordan est représentée par un diagramme de Young àicasesY (u_|Vi). On définit

B^T_u =

(V₀, . . . , V_n)∈Bu: Y (u_|Vi)=Y_i^T ∀i=0, . . . , n .

Les ensembles Bu^T forment une partition de Bu en sous-ensembles localement fermés, irréductibles et tels que dim_CBu^T =dim_CBu(cf. [2, §II.5.4-5]). Il suit queBuest équidimensionnelle et ses composantes irréductibles sont les ensemblesK^T =Bu^T pour toutT standard de formeY (u).

2.2. DrapeauxD_τ∈Buassociés aux tableaux lignes-standards

On appelletableau lignes-standard de formeY (u)une numérotation des cases deY (u)de 1 àndont les numéros sont croissants de gauche à droite dans les lignes. Si on remet dans l’ordre croissant les numéros dans chaque colonne deτ lignes-standard, alors le tableau obtenu est standard, et on le note st(τ ).

On fixe une base de Jordan de u. Comme les longueurs des lignes de Y (u)sont les tailles des blocs de Jordan de u, on peut indexer les vecteurs de la base sur les cases de Y (u)de sorte que, notant e_x le vecteur associé à la case x∈Y (u), on au(e_x)=0 six est dans la première colonne de Y (u), et sinon u(e_x)=e_x six est la case à gauche dex. Pourτlignes-standard, les cases 1, . . . , idans le tableauτ définissent un sous-ensembleX_i⊂Y (u). Soit D_τ =(V₀, . . . , V_n)le drapeau tel queV_i= e_x: x∈X_ipour touti. Le drapeauD_τ est un élément deBu. On voit que D_τ ∈B^Tu pourT =st(τ ).

SoitH ⊂GL(V )le sous-groupe des éléments diagonaux dans la base{ex: x∈Y (u)}. Les élémentsDτ, pourτ lignes-standard, sont les éléments deBufixés parH pour son action linéaire sur les drapeaux. Cette action ne laisse pas Bu invariant, cependant on montre qu’il existeH⊂H sous-tore régulier de rang 1 tel que H⊂N_u:= {g∈ GL(V ):gug⁻¹∈Cu}. Alors l’action deHlaisse invariantBuet chaque composante. Comme la fermeture de chaque H-orbite contient un élément de la formeD_τ, on obtient :

Lemme 2.1. Une composanteK⊂Buest non-singulière si et seulement si tout élément de la formeDτ contenu dans Kest non-singulier.

3. Description des tableaux lignes-standardsτ tels queDτ∈K^T dans le cas deux-colonnes

On suppose désormais que le diagramme Y (u)a deux colonnes de longueursμ₁μ₂. Comme dans la section précédente on a fixé une base de Jordan deuindexée sur les cases deY (u).

3.1. Propriété du drapeauDτ₀ associé au tableauτ0

Soitτ₀le tableau dont on numérote de haut en bas la première colonne de 1 àμ₁et la seconde colonne deμ₁+1 àn. Par exemple pour(μ₁, μ₂)=(4,2)on obtientτ₀= ^{1 52 6}₃

4

.

SoitZu:= {g∈GL(V ): gug⁻¹=u}le stabilisateur deu. Le groupeZu est connexe et son action linéaire sur les drapeaux laisse stable Bu et chaque composante. Montrons que le drapeau Dτ₀ est contenu dans la fermeture de la Z_u-orbite deD_τ pour toutτ lignes-standard. Pour cela on procède par récurrence surinuméro minimal qui n’est pas à la même place dansτ etτ₀. Soientx, x₀∈Y (u)les places respectives deidansτ, τ₀. On définith_τ :C→Z_u par h_τ(t )e_x=e_x+t e_x0, eth_τ(t )e_y=e_ysiy∈Y (u)n’est pas dans la même ligne quex. Alors limt→∞h_τ(t )D_τ=D_τ1 où τ1est tel que 1, . . . , isont aux mêmes places dansτ0etτ1. Il suit par hypothèse de récurrenceDτ₀∈ZuDτ₁⊂ZuDτ. Avec le Lemme 2.1, il vient :

Proposition 3.1. (a)Le drapeauD_τ0 est contenu dans chaque composante irréductible deBu.

(b)Une composanteK⊂Buest non-singulière si et seulement siD_τ0 est un point non-singulier deK.

3.2. Relations satisfaites parD∈K^T. Description des tableauxτ tels queD_τ∈K^T

SoitD=(V0, . . . , Vn)∈Bu. Pour 0i < jnles espacesVi, Vj sont stables paruet on considère l’endomor- phisme nilpotentu_|V_j/V_i:Vj/Vi→Vj/Vi induit paru. On a rangu_|V_j/V_i=dim(Vi+u(Vj))−i, ce qui montre que l’applicationD→rangu_|Vj/Vi est semi-continue inférieurement.

SoitT standard. Notonsa₁<· · ·< a_μ1(resp.b₁<· · ·< b_μ2) les numéros dans la première (resp. seconde) colonne deT. On réindexe les numéros de la première colonne dea₁^∗àa_μ^∗

1 comme suit.

– On posea^∗₁=b₁−1.

– Sia^∗₁, . . . , a_p^∗₋₁sont définis pourpμ₂, on posea_p^∗=Max(a∈ {a₁, . . . , a_μ1} \ {a₁^∗, . . . , a_p^∗₋₁}: a < b_p).

– Pourp > μ2, on posea_p^∗=Min{a1, . . . , aμ₁} \ {a₁^∗, . . . , a_p^∗₋₁}.

Par exemple siT =

1 3 2 5 4 6

on a(a₁^∗, . . . , a₄^∗)=(2,4,1,6).

Pour 0i < jnon notes_{j/ i}^T =#{p=1, . . . , μ2: i < a_p^∗< b_pj}. On a le lemme suivant : Lemme 3.2.L’ensemble{D=(V₀, . . . , V_n)∈K^T: rangu_|Vj/Vi=s_{j/ i}^T }est un ouvert non-vide deK^T.

La proposition suivante provient du lemme :

Proposition 3.3. SoitD=(V0, . . . , Vn)∈Bu. SiDest contenu dans la composanteK^T, alors on arangu_|V_j/V_is_{j/ i}^T etdim(Vi+u(V_j))s_{j/ i}^T +ipour tout0i < jn.

Soit D = D_τ =(V₀, . . . , V_n) le drapeau associé au tableau lignes-standard τ. On note a₁, . . . , a_μ

1 (resp.

b₁, . . . , b_μ

2) les numéros de haut en bas dans la première (resp. seconde) colonne deτ. Pour 0i < j n on a rangu_|V_j/V_i =#{p∈ {1, . . . , μ2}: i < a_p< b_pj} =:sj/ i(τ ). D’après la Proposition 3.3, siDτ ∈K^T, alors sj/ i(τ )s_{j/ i}^T pour tous 0i < jn. On montre que cette condition nécessaire est aussi suffisante :

Théorème 3.4. SoientT standard etτ lignes-standard. On aD_τ ∈K^T si et seulement sis_{j/ i}(τ )s_{j/ i}^T pour tous 0i < jn.

4. Résultat principal : critère de singularité

On noteX(τ₀)l’ensemble des tableaux lignes-standards obtenus à partir du tableauτ₀en échangeant deux numéros i < j, avecidans la première colonne deτ₀. Par exemple pour(μ₁, μ₂)=(4,2)on a

X(τ0)= 2 5

1 6 3 4

,

3 5 2 6 1 4

,

4 5 2 6 3 1

,

1 5 3 6 2 4

,

1 5 4 6 3 2

,

1 5 2 6 4 3

,

1 2 5 6 3 4

,

1 3 2 6 5 4

,

1 5 2 3 6 4

,

1 4 2 6 3 5

,

1 5 2 4 3 6

.

Notre résultat principal est le suivant :

Théorème 4.1. Si le diagramme Y (u)a deux colonnes de longueurs μ₁μ₂, pour T standard, la composante K^T ⊂Bu est singulière si et seulement si#{τ ∈X(τ0): D_τ ∈K^T}> ^μ1(μ₂¹⁻¹⁾. De plus, siK^T est non-singulière, alors on a l’égalité#{τ∈X(τ₀): D_τ∈K^T} =^μ1(μ₂¹⁻¹⁾.

Par exemple la composanteK^T est singulière pour

T = ^{1 32 5}₄

6

,

1 3 2 5 4 7 6

,

1 2 3 4 5 6 7

,

1 3 2 5 4 7 6 8

,

1 2 3 4 5 6 7 8

,

1 4 2 6 3 5 7

,

1 3 2 6 4 5 7

,

1 3 2 5 4 6 7

. . .

Preuve (esquisse). Suivant la Proposition 3.1, il suffit d’étudier l’espace tangent àK^T enD_τ0, notéT. On indexe les vecteurs de la basee₁, . . . , e_n de sorte queD_τ0=(e₁, . . . , e_i)_i=0,...,n. On noteB⊂GL(V )le sous-groupe des automorphismes triangulaires inférieurs. L’ensemble Ω=BD_τ0 est ouvert dans la variété des drapeaux complets.

Pour D∈Ω il existe d’unique scalaires (φ_i,j(D))_1i<jn tels que les vecteurs f_i(D)=e_i +_n

j=i+1φ_i,j(D)e_j forment une base adaptée àD. Les applicationsφ_i,j:Ω→Csont algébriques et identifientΩ à un espace vectoriel de dualΩ^∗=

i<jCφ_i,j. Soit(ε_i,j)une base duale deΩ. L’espace tangentT est un sous-espace deΩ, soitT^⊥= {φ∈Ω^∗: φ(γ )=0∀γ∈T}.

Soient 0i < jn. (a) Sii > μ₁, alors on noteτ le tableau obtenu à partir deτ₀en échangeantiavecjeti−μ₁ avecj−μ₁. On aD_τ∈Z_uD_τ0⊂K^T. La courbe{h_τ(t )D_τ: t∈C}oùh_τ est défini dans 3.1 est contenue dansK^T et admet enD_τ0 le vecteur tangentε_i,j+ε_{i−μ1,j−μ1}. D’oùε_i,j+ε_{i−μ1,j−μ1}∈T.

(b) Sij i+μ₁alors on obtientφ_i,j ∈T^⊥en différentiant en 0 la relation det(u(fi), f₁, . . . , f_i−1)=0.

Soitiμ₁etj < i+μ₁. Le tableauτ obtenu à partir deτ₀en échangeanti, jest un élément deX(τ₀).

(c) SiD_τ ∈K^T, alors la courbe{h_τ(t )D_τ: t∈C}est contenue dansK^T et admet enD_τ0 le vecteur tangentε_i,j. D’oùε_i,j∈T.

(d) Supposons D_τ ∈/K^T. Par le Théorème 3.4, il existe 0a < bn tels que s_b/a(τ ) > s_b/a^T , d’où s_b/a^T = s_b/a(τ₀)=Max(0, b−a−μ₁). Par la Proposition 3.3, on a dim(Va+u(V_b))^Max(a, b−μ₁). En différentiant la relation d’annulation d’un mineur impliquée par cette inégalité, on montre φ_i,j −φ_i+μ1,j+μ1∈T^⊥ sij μ₂, et φ_i,j∈T^⊥sij > μ₂.

Des points (a)–(d) on déduit dimT =#{τ∈X(τ₀): D_τ∈K^T} +^μ2(μ₂²⁻¹⁾. D’où le théorème. 2 Références

[1] F.Y.C. Fung, On the topology of components of some Springer fibers and their relation to Kazhdan–Lusztig theory, Adv. Math. 178 (2003) 244–276.

[2] N. Spaltenstein, Classes unipotentes et sous-groupes de Borel, Lecture Notes in Math., vol. 946, Springer-Verlag, Berlin, New York, 1982.

[3] T.A. Springer, The unipotent variety of a semisimple group, in: Proc. Colloq. Alg. Geom. Tata Institute, Oxford Univ. Press, London, 1969, pp. 373–391.