Une perspective sur la théorie quantique des champs

Astérisque

A. S. W ^IGHTMAN

Une perspective sur la théorie quantique des champs

Astérisque, tome 131 (1985), p. 175-185

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A.S. WIGHTMAN

§1 - INTRODUCTION

Dans les années 1963-1975 les fondements m a t h é m a t i q u e s de la théorie q u a n t i q u e des champs ont été clarifiés par le d é v e l o p p e m e n t de la théorie c o n s t r u c t i v e des c h a m p s . O n a construit des solutions de théories m o d è l e s en dimensions d'espace-temps deux et t r o i s . C e s solutions se comportent à p l u s i e u r s égards selon les règles du

"folklore" de la p h y s i q u e . L'existence de ces solutions anéanti une fois pour toutes la c o n j e c t u r e , suivant laquelle la conjonction des p r i n c i p e s de la théorie de la r e l a t i v i t é , de la m é c a n i q u e q u a n t i q u e , et de la théorie des champs devait m e n e r à une théorie triviale sans interaction. D'un autre c ô t é , des efforts soutenus p e n d a n t p l u s i e u r s a n n é e s , en v u e d'appliquer les m é t h o d e s acquises à la c o n s t r u c t i o n de solutions de m o d è l e s plus réalistes en d i m e n s i o n q u a t r e , n'ont pas eu de s u c c è s . Par c o n s é q u e n t , une partie importante de la recherche d'aujourdhui dans ce domaine peut s'interpréter comme un effort de c o m p r é h e n s i o n des raisons pour lesquelles les théories q u a d r i -

d i m e n s i o n n e l l e s sont plus d i f f i c i l e s . L'exposé suivant est une r e v u e , qui reflète cette p r é o c c u p a t i o n , aussi bien que les p r é j u g é s de

11 a u t e u r .

§2 - LA T H É O R I E EUCLIDIENNE DES C H A M P S : G É N É R A L I T É S SUR

R4v

Dans toute la s u i t e , j'utiliserai le formalisme de la théorie e u c l i d i e n n e des c h a m p s , en tenant compte d u fait q'une telle t h é o r i e d é t e r m i n e de façon unique une théorie dans l'espace temps M i n k o w s k i e n invariante par rapport au groupe de P o i n c a r é (= groupe de L o r e n t z i n h o m o g è n e ) . Par raison de s i m p l i c i t é , je ne considérai q'un seul champ scalaire <|>. Il est exprimé en termes de ses fonctions de S c h w i n g e r ; ce sont des fonctionnelles m u l t i l i n é a i r e s , m o m e n t s d'une m e s u r e y s u r i ' ( l Rv) (ou £ " (iRV) )

s ( f . . . f ) = / « M f ^ . . . < M f) d u ( < | > )

OÙ f,.. .f 1 n

sont fonctions test sur JR , V étant la d i m e n s i o n de l'espace t e m p s .

Si la m e s u r e y est g a u s s i e n n e , le champ cj) est un champ libre g é n é r a l i s é . Les p a r t i c u l e s d é c r i t e s par un tel champ n'inter- a g i s s e n t p a s . C e t t e d i s t i n c t i o n p e r m e t de donner une courte d é f i n i - tion de d e u x p r o g r a m m e s de la théorie des c h a m p s .

La T h é o r i e C o n s t r u c t i v e des C h a m p s :

D é m o n t r e r q1 une théorie existe et q u ' e l l e est n o n - g a u s s i e n n e . L a T h é o r i e D e s t r u c t i v e des C h a m p s :

D é m o n t r e r que toutes les théories d'une certaine classe sont g a u s s i e n n e s . (La deuxième t e r m i n o l o g i e , introduite par A . Sokal, [6]

n'est pas standard, m a i s elle est n é a n m o i n s utile.)

L ' e x e m p l e le plus étudié est la théorie 0 * , dont la m e s u r e est f o r m e l l e m e n t donnée par

dy ((f)) = y exp [- f d^Vx( i( V< M2

m0 2

2 4)² + Y R 4 ) ] d<J>

cj) € *f ' (JR ^V) ; Z une n o r m a l i s a t i o n . D o n n e r un sens m a t h é m a t i q u e à une telle e x p r e s s i o n est un des p r o b l è m e s fondamentaux de la théorie de la r e n o r m a l i s a t i o n . Pour les d i m e n s i o n s v = 2 et 3, cela a été fait d a n s la théorie c o n s t r u c t i v e des champs v e r s 1 9 7 5 ; la théorie

Rv4

, v = 2, 3 e x i s t e , et elle est n o n - g a u s s i e n n e si À

+ o

^{P l u s ,}

r é c e m m e n t (19 81-83) A i z e n m a n [1] et F r ö h l i c h [2] ont o b t e n u un r é s u l - tat r e m a r q u a b l e , bien q u e " d e s t r u c t i f " : $ 4 est g a u s s i e n n e , pour v £ 4. Il est commode de d é c r i r e cette situation en termes d'un p a r a m è t r e r é e l , g , _la c o n s t a n t e de couplage r e n o r m a l i s é e . E l l e p o s s è d e la p r o p r i é t é s u i v a n t e :

g = 0 implique q u e y est g a u s s i e n n e g f 0 implique que y est n o n - g a u s s i e n n e

g indique l'intensité de l'interaction entre les p a r t i c u l e s de la t h é o r i e . L e s b o r n e s 2 pour v = 0 et 6 p o u r v = 1 sont e x a c t e s (C. N e w m a n [4]) celles pour v = 2 et 3 r é s u l t e n t d1 e s t i m a t i o n s .

T r i o m p h e de la T h é o r i e C o n s t r u c t i v e

Résultat de la théorie I D e s t r u c t i v e

Figure 1, V a l e u r s de la constant de couplage r e n o r m a l i s é e , g, comme fontions de la dimension v de l'espace- temps

D'autres informations sur la théorie cj) ⁴ proviennent des séries p e r t u r b a t i v e s r e n o r m a l i s é e s . C e sont des expressions d é f i n i s s a n t les S^R comme séries formelles en p u i s s a n c e de g . Remarquons en passant q u e les séries p e r t u r b a t i v e s permettent une interpolation dans la v a r i a b l e v entre les v a l e u r s entières v = 0 , 1, 2, 3, 4 et par c o n s é q u e n t , que l'on est tenté de regarder les fonctions de Schwinger comme fonctions de trois paramètres r é e l s : une m a s s e , m , q u e d o n n e la m a s s e des particules fondamentales de la t h é o r i e , la constante de couplage r e n o r m a l i s é e , g , et la dimension de l'espace temps v . (Une telle interpolation pour les Sⁿ

n'existe pas a c t u e l l e m e n t , en dehors de la théorie des p e r t u r b a - tions.) Dans le langage de la m é c a n i q u e s t a t i s t i q u e , on pourrait dire q u e les solutions dans les régions hachurées a p p a r t i e n n e n t à une seule p h a s e , et q u e la courbe conjecturée est une frontière de p h a s e ; je l'appellerai la. transition de phase u l t r a v i o l e t t e .

Pour

R44

la comparaison de la solution p e r t u r b a t i v e avec les résultats de la théorie d e s t r u c t i v e donne lieu à une situation assez c u r i e u s e . L a solution p e r t u r b a t i v e indique qu'une solution n o n - gaussienne doit e x i s t e r , m a i s les résultats de F r o h l i c h - A i z e n m a n affirment q u e , m o y e n n a n t quelques hypothèses une telle solution n'existe p a s .

E s t - i l p o s s i b l e q u e , audessus de la transition de p h a s e u l t r a - v i o l e t t e il existe une autre p h a s e , indiquée en p o i n t i l l é s

dans la F i g u r e 2? [ 7]

Figure 2. Deux phases conjecturées de 4> *

Si o u i , il serait naturel de l'imaginer comme étant a p p a r e n t é e aux t h é o r i e s fy^¹* pour v 2. 5, théories q u i , dans la t e r m i n o l o g i e de la théorie q u a n t i q u e des c h a m p s , sont n o n - r é n o r m a l i s a b l e s . N o u s ne c o n n a i s s o n s pas bien les théories n o n - r é n o r m a l i s a b l e s . L e s i n f o r m a t i o n s m i n u s c u l e s qui existent ne donnent pas une v i s i o n c o h é r e n t e de leur c o m p o r t e m e n t . [5]

\ p r o p o s de

R44

, G a l l a v o t t i et R i v a s s e a u ont fait une sug- g e s t i o n très c o n s e r v a t r i c e . [3] Ils ont réexaminé les d é m o n s t r a t i o n s de F r ò h l i c h et de A i z e n m a n et ont proposé l'alternative s u i v a n t e : au lieu d'utiliser une c o n s t r u c t i o n de la m e s u r e u , o b t e n u e comme limite de m e s u r e s f e r r o m a g n é t i q u e s sur des r é s e a u x , ils c o n s i d è r e n t une limite de m e s u r e s a n t i - f e r r o m a g n é t i q u e s . G a l l a v o t t i et R i v a s s e a u ont trouvé des indications dans la théorie p e r t u r b a t i v e en faveur de ce r e n v e r s e m e n t de signe. L a q u e s t i o n de la convergence de R44

a n t i - f e r r o m a g n e t i q u e est apparemment c o m p l è t e m e n t o u v e r t e a c t u e l l e - m e n t .

G e o r g e B a k e r et m o i avons été conduits à étudier la m ê m e

q u e s t i o n d a n s des cas beaucoup plus s i m p l e : ^0 et

R44

P e u t on

obtenir des solutions de la théorie avec g > 2 ou g < 0, alors

v i o l a n t les bornes 0 < g < 2 ? Les remarques suivantes constituent un rapport p r é l i m i n a i r e de notre t e n t a t i v e .

§3 j. if

Dans cette t h é o r i e , l'espace-temps a une seul p o i n t , et la m e s u r e est définie sur l'axe des r é e l s , JR . Les f o n c t i o n s de Schwinger sont des m o m e n t s de y

Sn = / c|)n dy(cj)) dy > 0 / d y( c | > ) = 1

Par raison de s i m p l i c i t é , nous considérons le cas symétrique:

d y( c M = d y( - c f ) )

S2 n⁺1 = ⁰

A v = 0, la formule donnant la constante de couplage est la suiv- ant e :

g = -

[ s, - 3( s²)²] [ S²]

= 3 -

S4

2 [ s J

< 2

L'inégalité résulte de l'inégalité de S c h w a r z , selon C. N e w m a n : [ S²] = (/ <f>² . 1 dy(<j>))

<[f R 4dµ(R)]

[ / du(<(,)] = s*

On a l'égalité si et seulement si d u( c j > ) ⁼ 1

2 [ô (<|>-c) + ô ((|>+C) ]

pour un certain c . C'est la m e s u r e du m o d è l e d'Ising, ou $ est une v a r i a b l e à deux v a l e u r s , <j> = ± c .

Le m o d è l e Q40 , lui m ê m e , est donné par dµ a,y (Q) = — e x p [ - acj)²-À(j)^lf ] d(j)

Li

À > 0, a é JR avec

Z = / expt-ac^-Àcj^dcj)

Une telle distribution satisfait à l'inégalité de L e b o w i t z : S⁴ - 3 ( S²) < 0

e t , par c o n s e q u e n t .

g > 0

L e s fonctions de Schwinger S 2ⁿ p e u v e n t s'exprimer en termes des fonctions h y p e r g é o m è t r i q u e s de a//X . Par e x e m p l e .

S²( a , A )

= - 1 /1

[1/4

^a

A

T (1/4)

_F

i^r î ,5 3

4'2' al,

- T ( 3/4

1^F1 /3 3

4' 2 2

; — ) ' 4A ^; a²

4A

r ( | )

^F

i 1 J 5

l4 ' 2 ' ai]

4À^J

(1)

[ T (1/4)

F 1 1

,1 1 ' 4 ' 2 «1,

4A^J

- r ( | )

^a

/X"

^iFi

(1 1. ai) ]

L e s é q u a t i o n s du m o u v e m e n t pour

Q40

p r o v i e n n e n t de l'identité /g/QQ {(|)ⁿ e x p[ - a c | )2- À ( | )4] } d<|> = 0 .

P o u r chaque entier n > 0 , on a

n S , - 2a S ⁿ - 4À S ⁿ = 0 n-1 n+1 n+3 e t , en p a r t i c u l i e r .

1 - 2a S, - 4À S, = 0 (2)

P a r c o n s é q u e n t , tous les S2n sont d é t e r m i n é s en fonction de S² et les é q u a t i o n s du m o u v e m e n t sont satisfaites pour chaque v a l e u r réel de S² . B i e n e n t e n d u , la v a l e u r de S² est d é t e r m i n é e de façon u n i q u e p a r :

g = 3 - ^ (S,)"

2 +

£ (S

2

)-

(Nor p o u r n o r m a l ) , m a i s les équations du m o u v e m e n t ont une famille de solutions étiquetées par le p a r a m è t r e r é e l , S² . N o u s d e m a n d o n s : à q u e l l e sorte de théories a p p a r t i e n n e n t les a u t r e s , qui ne

satisfont p a s à (1) ? U n e chose est c l a i r e ; ces théories p e u v e n t d o n n e r des v a l e u r s de g avec g > 2 ou g < 0 , parce q u e , à cause de ( 2 ) ,

g = 3 - ^ (S,)"

^{2 +}

£ (S

²

)-

fonction d o n t la courbe est représentée en F i g u r e 3.

N o r b²

S²

Figure 3. D e s s i n de g = 3 - _1_

4X ( s2) 2 x

X/2v (S2)

De p l u s , on a un théorème d'unicité. Il existe une seule m e s u r e de p r o b a b i l i t é , à savoir, d u ^ ^, dont les m o m e n t s sont

Nor

S2 n

=

f Q

2n dµ a,

v (Q)

n = 1,2, . . .

S N o r '2n+l = 0

Pour étudier les autres s o l u t i o n s , q u e nous appelons a n o r m a l e s , il est utile d'employer la fonction génératrice

F (h) =/ e x p ^ - a c ^ - A c ^ ] d<(> (3)

E x p r i m é en termes de F , les équations de m o u v e m e n t sont 4X d³F

d h³ + 2a dF

dh -hF = 0 (4)

La solution générale de (4 ) est une combinaison linéaire de F N o r et une solution a n o r m a l e . F A n

obtenue en remplaçant le contour d'integration ]R , par l'axe i m a g i n a i r e :

F N o r

(h) = exp [h(j)-aci)²-A(i)^{I +}]d(|)

F^{A n}( h ) =

100

-1°°

exp [hcJ)-a<()-X(j)]d(()

La solution anormale donne comme fonctions de Schwinger 2n

A n . 2n

= î (f)^ⁿ exp [acj) 2

-\$

^{4 ] d(f)} exp(a(()²-X(|)'*)d(|> ] L e s fonctions de Schwinger

S⁰ = a 2n

çNor

b2 n + d - a ) c A 2n n

si a j= 1 , ne sont pas les m o m e n t s d'une m e s u r e de p r o b a b i l i t é . E n e f f e t , elles ne sont pas non plus m o m e n t s d'une d i s t r i b u t i o n en ,Q¹ OR) , p a r c e que le c o m p o r t e m e n t au point <j> = 0 est trop s i n g u l i e r .

De p l u s , ces théories t r a n s g r e s s e n t les conditions de p o s i t i v i t é

An que c h a r a c t e r i s e n t les théories n o r m a l e s . Par e x e m p l e , S^An2 < 0 .

§4 - $\

C'est la théorie d'un o s c i l l a t e u r a n h a r m o n i q u e . O n peut la d é v e l o p p e r d'une façon semblable à Q 40, en c o n s i d è r e n t l'ensemble fini de v a r i a b l e s réeles {<j)(ôn); n € A CL E} sur le reseau ô £ , comme une a p p r o x i m a t i o n de la fonction $(x) sur ]R . A l o r s , l'expression

s1x[1/2(VQ) 2

^{™m 2 0}

2 4)2 + Acj)4] est r e m p l a c é e par

62

ne/v ô -²

2 ;c()(6(n+i)) - ( M o n ) )²

m02

2 <M6n) ² + X(Môn) ⁴]

L a c o n t r i b u t i o n

ne A

ô "² <Mô(n+l))<M<5n)

est f e r r o m a g n é t i q u e : la p r o b a b i l i t é est plus grande si ( M ô ( n + l ) ) e t

<Môn)ont le m ê m e signe. Il est bien établi que cette a p p r o x i m a t i o n par un système d'un nombre fini de degrés de liberté c o n v e r g e , dans la limite A -> Z , ô -> 0 , v e r s la théorie de l'oscillateur a n h a r - m o n i q u e .

Ici le p a s s a g e de la théorie normale à la théorie anormale s'effectue en r e m p l a ç a n t le contour (-°°, +°°) par (-i°°, +i°°) , pour

chaque v a r i a b l e cj>(ôn). L'application $ -> icj) change le signe dans les termes q u a d r a t i q u e s m a i s ne m o d i f i e pas les termes de degré q u a t r e . En termes p h y s i q u e s , on a une interaction a n t i - f e r r o m a g n é - tique et une d i s t r i b u t i o n pour un seul spin à double m i m i m u m .

L'analogue de la fonction génératrice F(h) donnée par (3) est ici la fonctionnelle

F(h) = n e A

d(p (nô) { e x p [ -1 2 il, ne A

K£ n<)>Uô)<|>(nÔ)

n e A

c|> ( n ô )⁴ + n e. A

h(nô) (j)(n6) ] }

(5)

où 1

2 £ , n A

K ln <|> U ô ) 4) (nô) = m ² - 2 o

, 2a-,

+ ô ^^] n G A

<|>(nô) ²

2a

" ô⁷ n e A

cj)(nô)(j)((n+l)Ô)

et les fonctions de Schwinger sont S^k( ô n , . . . ô n^k) ô^k

6h(n¹ô). . .<5h(n^kô) F(h)

'h=0 Z(0)

L e s équations du m o u v e m e n t p r o v i e n n e n t de l'identité

n eA

dcj) (nô) 3 3<|> (ôn)

(exDT...Il = 0 (6)

Elles forment un système d'équations d i f f e r e n t i e l l e s avec h(nô) comme v a r i a b l e s . Pour chaque choix de contour,1'intégrale (5) est une solution. En p r i n c i p e , on pourrait utiliser un contour pour 4>(nô),qui v a r i e avec n, m a i s nous choisissons toutes les v a r i a b l e s

<|) (nô) r é e l l e s , ou toutes i m a g i n a i r e s , pour que les fonctions de S c h w i n g e r , S^ , soient r é e l l e s . A l o r s , comme dans la théorie $ * , on peut prendre

„Nor- , . , /i \ pAn,, ^x a F (h) + (1-a) F (h)

comme fonction g é n é r a t r i c e d'une famille de théories d é p e n d e n t du p a r a m è t r e réel a , et s a t i s f a i s a n t aux é q u a t i o n s du m o u v e m e n t ( 6 ) .

D'après la théorie générale des a p p r o x i m a t i o n s sur un r é s e a u , nous savons que la limite t h e r m o d y n a m i q u e A -> Z existe p o u r les fonctions de Schwinger et la fonction g é n é r a t r i c e . R e s t e la q u e s t i o n c r u c i a l e de la limite ô -> 0. Pour la solution normale l'existence de cette limite est également b i e n c o n n u e . Pour la solution a n o r m a l e , le p r o b l è m e n'est p a s r é s o l u . C'est le p r o b l è m e a n a l o g u e d e c e l u i p o s é par G a l l a v o t t i et R i v a s s e a u pour $ ^ . C e p e n d e n t , je signale q u e les c i r c o n s t a n c e s sont d i f f é r e n t e s . N o u s cherchons ici une solution d a n s une théorie à m é t r i q u e indéfinie p r o b a b l e m e n t une h y p e r - fonction par rapport aux v a r i a b l e s e s p a c e - t e m p s . G a l l a v o t t i et R i v a s s e a u p r o p o s e n t une solution d i s t r i b u t i o n tempérée dans un espace de H u b e r t . O n p e u t d o n n e r aux fonctions d e Schwinger a n o r m a l e s une forme n o r m a l e f e r r o m a g n é t i q u e :

cA n

b2 k ( f^{l f}. . . f^{2 k}; K ,A ) = ( - D^k

QN o r

b2 k ( f¹, . . . f^k, - K , X )

n^r. . n^2k j = l 2k

f (n.6)(-1) NJ _Nor

b2 k ( n¹ô , . . . n^{2 k}ô , K , À )

où K est égal à K avec les signes sur le d i a g o n a l m o d i f i é s . M a l h e u r e u s e m e n t , le p r o b l è m e de la limite singulière ô -> 0 reste o u v e r t .

§5 - C O N C L U S I O N

Je crois q u e ces résultats p r é l i m i n a i r e s justifient une i n v e s - t i g a t i o n p l u s c o m p l è t e de ces théories au delà de la t r a n s i t i o n de p h a s e u l t r a v i o l e t t e .

O n p e u t dire q u e l'interprétation p h y s i q u e de ces théories reste à f a i r e . Il reste la p o s s i b i l i t é q u e le formalisme de G u p t a et B l e u l e r d o n n e lieu à une théorie ne p r é s e n t a n t pas les d i f f i c u l t é s de p r o b a b i l i t é s n é g a t i v e , en d é p i t de la m é t r i q u e i n d é f i n i e . B i e n e n t e n d u , une telle p r o p o s i t i o n est un p e u " h é r é t i q u e " , m a i s elle v a u t la p e i n e d'être explorée à cause de 1 ' é c l a i r a g e n o u v e a u q u ' e l l e p o u r r a i t donner à la théorie g é n é r a l e du champs q u a n t i f i é s .

A r t h u r S. W i g h t m a n

D e p a r t m e n t s of P h y s i c s and M a t h . P r i n c e t o n U n i v e r s i t y

P r i n c e t o n , NJ 08544 U S A

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