Master
Reference
Décomposition de nombres et dénombrement : mise en place d'un milieu didactique concernant les structures additives dans les
compléments a 10, 100, et 1000 : quels outils pour les 4 p ?
VERNET, Marina
Abstract
La numération de position est le produit d'une longue histoire. Le nombre est une construction humaine collective qui a duré des milliers d'années. Dénombrer des quantités, et complémenter à 10, 100 et 1000, pose problème à passablement d'élèves. C'est un fait qui a souvent été constaté. Les moyens d'enseignement proposent des activités pour travailler la numération. La recherche présentée à travers ce mémoire de licence part des constats effectués lors d'une activité donnée dans une classe de 4P, « les zéros », livre du maître p.
143, où il s'agissait de faire des zéros, grâce à une addition ou à une soustraction, en combinant deux nombres. Il a été question de tester différentes activités afin de tenter de mettre en évidence les situations les plus favorables à un apprentissage des compléments à 10,100 et 1000. Ainsi, 18 tâches ont été testées et analysées. Ce mémoire met en évidence qu'une piste de travail pour l'enseignant serait de proposer à ses élèves des activités où les jetons de couleur seraient utilisés pour représenter le nombre d'une manière différente. [...]
VERNET, Marina. Décomposition de nombres et dénombrement : mise en place d'un milieu didactique concernant les structures additives dans les compléments a 10, 100, et 1000 : quels outils pour les 4 p ?. Master : Univ. Genève, 2009
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http://archive-ouverte.unige.ch/unige:3384
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Université de Genève
Faculté de Psychologie et des Sciences de l’Education
Didactique des Mathématiques
DECOMPOSITION DE NOMBRES ET DENOMBREMENT.
MISE EN PLACE D’UN MILIEU DIDACTIQUE CONCERNANT LES STRUCTURES ADDITIVES DANS LES COMPLEMENTS A 10, 100, ET 1000 :
QUELS OUTILS POUR LES 4 P ?
ANNEXES
Mémoire de licence
en sciences de l’éducation
Marina Vernet
JUIN 2009
Commission :
Christine Del Notaro, directrice.
François Conne Alain Muller
REPERTOIRE DES ANNEXES
ANNEXE 1
: Narration « dialoguée » des séancesANNEXE 2
: Première synthèse et mise en évidence de concepts et notionsANNEXE 3
: Synthèse connaissances produites, savoirs et constats1
I : LES ZÉROS
Cette activité est l’activité de départ. Celle qui m’avait interpellée au début et qui avait suscité mes interrogations.
Les élèves, par groupes de quatre, jouent.
Chacun leur tour, ils doivent tirer 4 dés à 10 faces.
Celui qui a jeté les dés doit former un nombre avec les chiffres sortis. Tous notent le nombre choisi.
Un nouveau tirage a lieu.
Cette fois, chacun choisit le nombre qu’il va former afin de pouvoir, par adition ou par soustraction, atteindre un nombre contenant un maximum de zéros.
Chaque zéro vaut un point celui qui a le plus de points a gagné.
Les élèves disposent d’une calculatrice. Celui qui a tiré les dés contrôle le résultat des opérations.
Je remarque que les élèves cachent leurs recherches.
Ils disent : « Eh ! Tu m’as copié, t’as la même chose que moi ! »
Le problème des zéros qui ne « comptent » pas, ceux qui sont avant…
Celui des chiffres sortis qui ne permettent pas de faire des zéros : 4180 et 4-1-7-4
A Ala qui a fait une erreur je demande: onze moins trois ça fait combien ? Avec les doigts elle compte, me dit 8 et corrige sa feuille.
Ils sont où mes autres jetons ? Moi j’ai 4 jetons !
La fin de l’activité se déroule avec beaucoup de bruit, car la cloche a sonné et le reste de la classe sort pour la récréation.
Evely contrôle le résultat de Maxime.
Alexandre qui regarde ce qu’Evely a écrit sur sa feuille : « Eh je suis désolé ton truc c’est impossible » en s’adressant à Evely.
« 6 + 6 ça fait 12… là tu dois mettre une retenue ! »
« Mais, c’est un moins ! » (6 – 6 = 0) Ala : « Mais là t’as un plus ! »
Alexandre : « Ben là, c’est tout faux ! »
« Ça fait quoi si t’as un moins ? » dis-je.
« Ben zéro… » Et il fait son opération.
Pendant ce temps je demande aux autres qui est-ce qui a le plus de jetons.
Evely s’applique et contrôle son résultat à la machine. Elle doit avoir mal posé les chiffres sur le clavier et le résultat ne doit pas afficher de zéros ou pas
suffisamment… on l’entend dire : « ça fait trois mille… » Mais ne continue pas sa ANNEXE 1
2
phrase. Sur sa feuille il est écrit 8010. C’est comme si elle avait soustrait à droite et ensuite elle a fini par additionner.
Cela doit être cela qui la perturbe, car le résultat affiché sur la machine est bien 3010.
Je la félicite. Elle se lève pour prendre les jetons qui lui reviennent.
Elle a eu le plus de jetons lors de cette partie et est félicitée par son enseignante et sa camarade.
Combien de nombres à 4 chiffres différents peut-on former avec 4 chiffres en utilisant chaque chiffre une seule fois ?
1 chiffre : 1 nombre 2 chiffres : 2 nombres
3 chiffres : 1 x 2 x 3 = 6 nombres
4 chiffres : 1 x 2 x 3 x 4 = 24 nombres différents
Maxime : Obtient 3 jetons 4300 5586
+8730 -2756 13030 2830
Remarque : en bleu 3 + 7 = 10 / 0 – 0 = 0 / 6 – 6 = 0 Ces 0 n’ont pas la même valeur…
Alexandre : obtient 6 jetons Que des additions.
5689 4300 4300 7181 +5487 +7380 +3780 +3439 0202 11680 8080 10620
Ala : un zéro obtenu, mais pas comptabilisé sur le moment, je n’ai pas vu…
Beaucoup de soustractions (sauf une). Parce que c’est plus facile de faire correspondre les chiffres ? Par exemple : 6- 6 = 0
5 + 5 = 10 donc 0 et je retiens 1… alors que 5 – 5 = 0 et c’est tout.
Des zéros avant : 0006
Effectue deux soustractions avec le nombre le plus grand en bas.
Evely : obtient 7 jetons (Erreurs intéressantes)
5689 4300 7181 5586 5586 elle soustrait
3
+5487 +3780 +3439 + 2576 +2576 elle additionne 0202 8080 10620 3010 8010
4180 4180
- 4174 - 4174→écrit 6 par-dessus elle sait que 6 + 4 = 10 0010 0010 ……4 aller à 10 = 6
INTERVENTION II
La séance commence par un retour sur l’activité des zéros effectuée la dernière fois pour Cassandra qui n’était pas dans le groupe.
(Cassandra ne reviendra pas la prochaine fois.)
EXERCICE 1
Lecture de l’énoncé en commun.
Il faut trouver un nombre qui, additionné au premier, va en donner un autre avec un maximum de zéros.
Alexandre / Evely : d’abord 4567 + 5543 … (4+5 / 5+5 / 6+4 / 7 + 3) Alexandre remarque l’erreur et corrige. Il a vu qu’il y avait la retenue.
Maxime : « Moi, j’ai réfléchi qu’il y avait une retenue, avant»
Cet exercice a été rapidement effectué. Ils ont regardé les chiffres à disposition et les ont fait correspondre de manière à obtenir le maximum de zéros. Le premier réflexe a été de mettre en lien les nombres qui permettaient d’obtenir 10 (5+5 / 4+6 / 7+3) et 4+3… après, ils ont réalisé qu’il y avait la retenue et ont modifié leurs couples en fonction de celle-ci. Ils devaient complémenter à 10 pour la colonne des unités et à 9 pour les suivantes.
Cet exercice n’a apparemment pas posé de problème. Mais comme ils travaillaient par deux, difficile de savoir à quelles difficultés Cassandra et Evely ont été confrontées…
EXERCICE 2
4
La même chose, mais avec une soustraction. Ici ils doivent choisir les chiffres à utiliser pour le deuxième tirage.
Lecture en commun.
Ici, il y a plusieurs possibilités.
Pour faire 0 avec la soustraction il faut faire 6-6 / 5-5 / 4-4 / etc. le 0 n’a pas la même « valeur » que dans l’addition. Le 0 apparaît comme « rien », ce n’est pas la même chose que quand je dis : « je pose 0 et je retiens 1 dans la colonne
suivante ». Cassandra et Maxime. Un nombre 0000… on veut obtenir un nombre qui a un maximum de 0, donc qui aura combien de zéros ? Maxime ? Trois.
Donc si tu veux obtenir 3 zéros, qu’est-ce que tu peux soustraire ?... silence…
On a soustrait : 2567, 3567, qu’est-ce qu’on peut soustraire encore ? … silence…
Cassandra a de la peine à répondre…
14775 me dit elle à l’oral… je lui répons que l’on ne peut pas soustraire un nombre plus grand.
Alexandre me dit que cet exercice est pour les 3P que c’est trop facile.
Evely : « en fait t’as qu’à faire moins ; 4-1, 4-2, 4-3… ça va juste changer le premier.
C’est plus facile avec la soustraction ? Oui : Alexandre et Evely ; non : Maxime mais ne me dit pas pourquoi ou plutôt je ne le lui demande pas !
Cassandra m’explique qu’elle a un truc pour les soustractions. Par exemple : 17 - 5 Elle fait : 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 avec les doigts de ses mains et elle aura un nombre qui va lui donner le résultat.
Je lui demande si elle fait la même chose quand elle a des nombres plus grands.
Elle me dit que oui. « C’est pas trop difficile quand t’as des nombres plus
grands ? » « 10000 – 2000 » dit Maxime. Elle dit qu’elle fait des traits sur ses feuilles.
SOUSTRACTIONS À FAIRE : A faire en colonne :
1000 – 467 =
Il faut faire les emprunts (Maxime)
Alexandre, Maxime et Evely : 533 ; Cassandra : 534 Maxime : « Faut pas compter sur tes doigts »
Je dis : « Si ça peut l’aider… »
J’avais mal compté. Tu avais mal compté ? Non. Comment ça non ?
Et les autres qui rigolent… à revoir ces images, je me sens mal pour Cassandra … je ne suis pas intervenue…
Je demande si cette soustraction est facile ou difficile.
5
Facile pour les deux garçons, ça va pour Evely, difficile pour Cassandra à cause des emprunts.
« Parce qu’il faut barrer, faut mettre 10, c’est dur » Je vous donne une autre soustraction :
4038 (je dis attention, mais je me reprends ; Maxime relève « pourquoi attention ? » …
Non ça, ça fait 40038 Cassandra peine à écrire le nombre…
4038 + 944 =
C’est trop facile (Maxime)
La même opération, mais en faisant moins : 4038 – 944 = Cassandra compte sur ses doigts. Evely aussi.
Cassandra trouve : 4914 au lieu de 3094.
Je lui dis de réfléchir (comme si elle ne l’avait pas fait !…) qu’elle ne peut pas avoir comme résultat un nombre plus grand que le nombre de départ.
Je demande aux autres qu’elle erreur elle peut avoir fait.
Une addition, une multiplication…
« Montre-nous comment tu as fait Cassandra »
« Ça moins ça : 18 – 4 = 14 »
Maxime : « elle a fait un emprunt pour rien parce que 8 – 4, ça joue. »
Ensuite 2 - 4 -1 « Non, t’avais 38, réécris-le ton nombre parce que tu avais fait l’emprunt donc tu as 2, mais comme tu n’as pas besoin de faire d’emprunt tu as 3
»
Elle refait l’opération et dit :
8 – 4 = 4 ; 3 – 4 on ne peut pas alors je vais emprunter 10 il reste 9 et là il reste 3… 13 – 4 = 9 ; 9- 9 = 0 / 3 – 0 = 3 (3094)
Elle lit trois cent 94… au lieu de trois mille 94.
Je lui demande dans quelle colonne est le 0.
La question des colonnes n’est pas très claire pour cette élève, car quand je lui demande ce que cela veut dire le 0 dans la colonne des centaines elle ne peut pas me répondre…
Evely : « Si t’as 10000, tu mets une virgule…
Maxime : ça veut dire qu’il y a zéro centaine. Quand on lit, on l’entend : 3094…
trois mille nonante-quatre.
Je leur dis 6028.
Ils doivent l’écrire.
Cassandra a écrit 628.
Cassandra n’est pas d’accord, elle a écrit six mille vingt-huit. (41 :00) Je lui demande d’écrire 628. Elle écrit 6028.
J’écris 2042 elle lit 242. J’écris 242 elle lit 20mille 42… il y a un problème.
6
Je pose les colonnes sur les chiffres et lui demande « ça, c’est la colonne des… »
« unités » « et après ? » elle me dit : « centaines… », je compte :
« 1,2,3,4,5,6,7,8,9,et après on passe aux ? » .... « Centaines » me dit-elle.
Je lui dis « dizaines. Et après les dizaines ? » Elle me dit « milliers »… « non après les dizaines ? » « Les vingtaines » « je lui dis après 10 on peut faire 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100 avec 100 on arrive aux ?...centaines et après les centaines il y a ? » « Les deux centaines » « 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, et après ? » « Dix cent » dit-elle. Je dis « 10x100, ça fait ? » elle ne sait pas (42 :22)
Maxime : « Tiens, je te fais le truc »
« 1000 » dit un des autres élèves.
Je dis à Cassandra : « on a les unités, les dizaines, les centaines et les milliers.
Donc quand tu écris ton 6 ici, ce n’est pas 6028, mais 628 parce que le six il est dans la colonne des centaines »
« T’as pigé ? » lui demande Maxime
« Ça va » dit-elle sans grande conviction.
« Alors maintenant, si je te dis d’écrire 4024, essaye de penser que 4 mille, c’est dans la colonne des milliers »
Elle écrit 10424… Maxime : « Non, t’as mis 10 mille »
« Pourquoi t’as mis le 4 là après les unités? »
« 4 mille il faut d’abord écrire 1000 et après 400 »
« Mais quand on dit 4 mille tu vas mettre… tu vas mettre un 4 dans la colonne, ça veut dire que tu as 4 x mille, donc tu vas mettre un 4 dans la colonne des ? »
« Mille » « des milliers donc tu va mettre un 4 ici. 4 mille 24, quand tu dis 24, ça veut dire qu’il y a 24, 4 unités et 2 dizaines, ça veut dire qu’il n’y a pas de…
centaine »
J’écris 4024 elle fait « ah… » Mais vraiment sans grande conviction.
Je lui dis que c’est difficile de comprendre ça et que je la comprends. « Ça va » dit-elle.
Je lui demande si ça pose problème ça elle me dit que ça va mais je pense qu’ici il y a un gros obstacle…
La prochaine fois on fera des exercices différents.
« Les emprunts c’est aussi facile parce que si t’as un zéro, tu ne peux pas faire d’emprunt parce qu’il y a rien, il n’y a pas de centaine, d’unités enfin tout ça, (maxime dit : « non ») donc tu dois passer dans, si, imagine là il y a un 0 et que là il y a un 4 ici tu peux pas prendre puisqu’il n’y a pas d’unité, imagine, donc tu dois aller à coté, s’il y a un nombre plus grand, ben c’est facile, parce qu’après si ya 10 et qu’ici il t’en faut donc tu coupes donc ça fait 9, moins 1 ça fait 9 et si ya 10… » Evely.
« Parce qu’en fait si je vous dis 4324, écrivez 4324…
Il y a combien de millier ? »
7
« Il y a 3 centaines, 2 dizaines et 4 unités », « on va essayer de demander…
donc toi, Evely, tu m’as dit celui-ci donc tu m’as dit 4324 : combien de millier ?, 4, de centaines ?, 3, de dizaines ?, 2, et d’unités ?, 4.
« Maintenant je vais demander à Alexandre : 10268 »
« Vous l’écrivez, mais c’est Alexandre qui va nous dire. » 10'268 Alexandre, Evely et Maxime. Cassandra : 1000268.
Combien ya de millier ? 0
« 10… ben, parce que ça c’est après le millier c’est une centaine de millier » rajoute Evely.
« Une dizaine de millier » dis-je
« Heu, oui une dizaine de millier » Evely
« Donc il y a 0 millier mais il y a une dizaine de millier »
« On avait déjà travaillé ça en classe. » Evely
« Combien de centaines ? »,
« 2 »
« de dizaines ? » « 6 »
« et d’unités ? »
« 8. »
« Maintenant Cassandra si je te dis 2318. »
Elle écrit 2000318. Un des élèves dit qu’elle a écrit d’eux cent mille. Elle corrige et écrit 20318.
J’écris 2318.
Je lui demande combien de millier, de centaine, de dizaine et d’unité elle répond juste.
Je lui donne alors un autre nombre : 1424 Elle écrit 4424.
En lui demandant 1424 c’est combien de milliers, centaine, dizaine et unités, je lui montre 1424 avec les doigts. Millier ? (1 doigt) centaines ? (4 doigts)
dizaines ? (2 doigts) unités ? (4 doigts)… Mille : 1 doigt, 400 : 4 doigts, 20 : 2 doigts et 4 : 4 doigts.
Comme suite à l’entretien avec Christine Del Notaro et François Conne, j’ai décidé de laisser tomber la soustraction pour la suite des interventions.
8
INTERVENTION III
Ils ont commencé par faire les fiches distribuées : Ex 3
J’ai donné les cartes avec les chiffres et tous les zéros, mais ils ne les utiliseront pas je leur dis attendez avent de les prendre.
« Je suis 007… » (Maxime).
« Vous allez vous amuser avec ces opérations.
Sur la 1ère page, plusieurs additions dont le résultat est 10.
Sur la 2ème, plusieurs additions dont le résultat est 100.
Sur la 3ème, plusieurs additions dont le résultat est 1000.
Pour le moment, vous ne vous occupez pas des cartes plastifiées ».
« C’est comme ça qu’il faut faire, mais c’est facile… » Javier semble regarder sur la feuille de Maxime…
« Essayez de faire un peu plus compliqué… » (Voir productions des élèves)
« Ça va comme ça ? »
« C’est à toi que ça doit aller. »
« Pour la dernière j’aimerais que vous essayiez, je ne veux pas voir de 0 dans les chiffres qui composent les deux nombres que vous utilisez pour faire l’opération.
Ne pas mettre de 0, que des chiffres de 1 à 9. Ça complique un peu plus ».
« Non »
« T’as fait le même que moi, c’est toi qui m’a copié ! »
A Javier : « Tu essayes de faire 100 mais sans utiliser de 0. Tu utilises par exemple 14 + combien pour faire 100. C’est difficile pour toi ? » Il fait non de la tête et je lui dis que ça pourrait l’être…
Evely : « Moi je n’ai pas de 0 » Elle a fait 999 + 1 = 1000 / 998 +2 = 1000 / 997 +3 = 1000…
Je lui dis que j’aimerais bien qu’il y ait plus de chiffres dans le nombre du dessous.
« Parce que c’est facile d’additionner avec + 2, + 4, + 1… » Elle râle…
« J’aimerais 2 nombres avec 3 chiffres, additionner 2 nombres de 3 chiffres »
« Si vous voulez, vous pouvez utiliser les cartons de couleur ».
« Ya pas besoin »
Alexandre avait écrit 976 + 34 mais a corrigé le 3 par un 2 : il a vu la retenue.
(12 : 30)
Evely doit faire avec les chiffres plastifiés: Un grand nombre vert clair + un grand nombre bleu qui te donne un grand nombre (vert foncé) avec un maximum de zéros. « Essaie de t’amuser et de combiner deux nombres. »
9
9 + = ça fait combien ? Il répond 9. Je lui repose la question et là il me répond 10.
« 9+0 ça fait 10 ? » (Les autres rigolent…) Alexandre lui dit que c’était juste ce qu’il avait dit au début. Javier répète 9. « 9 + 0 ça fait 9 et là en bas t’as quoi ?»
« Un zéro » « Alors est-ce que tu penses que ce résultat est juste ? Si t’as 9 + 0 ici, est-ce que là, tu peux avoir un 0 ? » (2ème grille de la 1ère ligne de l’exercice 3) Il fait non de la tête. « Alors est-ce que tu penses qu’ici tu dois mettre ça ? » je lui dis de modifier ces deux chiffres »
Alexandre a dit à Maxime qu’il avait fait faux, je lui dis qu’il ne doit pas le lui dire.
Après peu de temps et sans avoir rien corrigé sur sa feuille, Maxime dit qu’il a fini. Il a toujours la même erreur sur sa copie. Il n’a pas pris en compte la retenue.
Je dis à Javier que ce n’est pas grave s’il n’a pas terminé.
A Javier : « Est-ce que tu trouves difficile ça ? J’ai besoin de le savoir pour mon travail. » Maxime dit qu’il n’a pas compris. Je ne relève pas trop car j’avais
davantage remarqué les problèmes de Javier. Alexandre et Evely disent que c’est facile.
« T’as pas compris quoi ? » en m’adressant à Javier. « La colonne où il y a le 9 et le 0 pour faire 0, … que le résultat qu’on fait, par rapport à ça » en montrant les grilles du bas. « T’as de la peine à voir écrit le résultat alors que tu n’as pas les deux nombres écrits ? C’est ça ou bien ? C’est difficile pour toi d’imaginer l’opération ? Ça serait plus facile pour toi si je te mettais » et j’écris 482 sur la dernière grille et je lui demande d’essayer de le faire.
Maxime est en train d’effacer sur sa feuille pour corriger. Je lui dis qu’il ne doit pas le faire. Alexandre dit qu’il a vu tout plein de fautes sur la feuille de Maxime. Ce dernier a corrigé uniquement la colonne des centaines en tenant compte de la retenue. Sur sa feuille il a deux opérations qui sont justes : 998 + 2 et 901 + 99.
Pour Javier c’est aussi difficile de trouver le nombre qui manque pour aller à 1000.
Il note 20 sur la feuille.
Je lui demande combien font 2 + 0 il me dit 2.
Je lui montre le 1000, et pointe du doigt la colonne des unités en lui demandant ce qu’il y a d’écrit.
« Est-ce que tu penses que si tu écris 482 + 20 tu vas avoir un Zéro là en bas ? » il me dit que non.
« Tu dois mettre quoi pour avoir un zéro là en bas ? »
10 Ce zéro, il veut dire quoi ?
1000 Les unités
Les dizaines Les centaines
« Alors pourquoi on met des zéros ? » « Pour faire plus de numéros. » (Javier)
« Est-ce que ce 0 si on l’enlève ça change quelque chose ? ça fait quoi ?»
« Ça fait 100 » « Si on enlève ça, ça fait quoi ? » « Et bien il est enlevé »
« On a plus le même nombre »
« Pourquoi il est là ce 0 ? Qu’est-ce qui s’est passé dans cette colonne pour qu’il y ait un 0 ? Pas de réponse de Javier. C’est difficile. (Réfléchir pour la prochaine fois à ce que je pourrais faire pour montrer ce qui s’est passé dans la colonne)
LE NOMBRE D’EVELY AVEC LES CARTES PLASTIFIÉES :
« Je ne sais pas le dire »
« 0000000 1 » en partant de la droite.
Donc, elle a additionné.
2 + 8 = 10 je mets un 0 et là la retenue.
4 et 7 ça fait 10.
Elle avait mis un 3 au lieu du 2 et du coup avec la retenue elle avait un 4.
Alexandre avait tout de suite vu.
« Ah ! Je n’ai pas compté les retenues, crotte ! »
Je mets un 1 (je mets une dizaine alors qu’elle est au million)
Alexandre demande : « Ils te servent à quoi tous ces 0 là ? » « C’est le résultat »
« Mais là t’as
Je m’adresse à Javier et lui demande s’il comprend ce qu’Evely vient de faire, je lui dis : « T’as vu, ici, pour faire le 0 on a mis 8 + 2. Qu’est-ce qu’on peut mettre d’autre pour faire un zéro ? »
« 5 + 5, 6 + 4, 9 + 1, 7 + 3… »
« Donc quand il y un zéro dans cette colonne ça veut dire quoi ? »
11 Javier : « que le résultat doit finir par un 0 »
« Le résultat va finir par 0 mais est-ce que ce résultat peut être 20 ?
« Oui »
« Ça peut être 20 ? »
« Euh, non »
« Ce zéro c’est quel résultat, on obtient quel nombre ? »
« Quand on fait 8 + 2, 7 + 3.., »
« 10 »
« Le zéro du 10 en bas de la colonne et le 1 du 10 on le met où ? »
« Dans l’autre colonne »
Ils ont beaucoup aimé faire les grands nombres avec les fiches / cartes, il en faudrait plus que ce que j’avais fabriqué.
« Un grand nombre que tu trouves rigolo avec des zéros »
« Mais c’est ce que j’ai fais »
« Mais il n’y aura pas que des zéros »
« Tu ne comprends rien toi, 7 + 2 ça fait pas 10 ! »
« Mais il y a une retenue ! »
« Mais qu’est ce que tu viens de lui dire ? » dis-je.
LE NOMBRE DE MAXIME ET ALEXANDRE AVEC LES CARTES PLASTIFIÉES :
« Parce que si on a un 2, ça fait 9 (2+7) et y aura pas de retenue » Alexandre (ils sont tout à gauche du grand nombre)
« Si » Maxime
« Ben non » Alexandre
« Ben si » Maxime
« Parce que 5 et 4 ça fait 10 » Evely
« Parce que ça fait pas 10 » Alexandre
12
Maxime : « Là ça fait 9, ça fait 10, (en prenant son nombre par la droite) 9 ça fait 10 ya une retenue… »
« Ah ! Mais c’est celui-là le premier ! » Alexandre
« Oui ! » Maxime
« Parce qu’en principe, on regarde depuis où ? » dis-je.
« Depuis là ! » Alexandre (en montrant le début du nombre, à gauche)
Je continue en disant : « Quand on commence à faire une addition on commence par où ? » Il sourit et se déplace à droite du nombre.
« Alors loi tu commençais par la gauche ?et ta retenue tu la mettais où alors ? Tu ne la mettais plus ? » Dis-je
« Il faisait à l’envers en fait » Maxime
« Alors, quand on commence par la droite » 5 + 5 ça fait 10 et là il y a une retenue.
« Et là il ya une retenue, et là une retenue, et là une retenue… » en montrant jusqu’au bout du nombre.
« Il a des retenues partout » Maxime
Evely a cherché un grand nombre qu’elle trouvait rigolo avec des zéros.
Je demande à Evely si elle n’a que celui-là de nombre rigolo. Elle a écrit 10'990.
Maxime relève que lui ne le trouve pas rigolo, qu’il ne le fait pas rire.
Je demande à Evely de trouver une addition qui lui permette de trouver son grand nombre rigolo.
Maxime et Alexandre veulent faire le plus grand nombre possible avec les chiffres à disposition. Je leur demande si on pourrait s’arrêter. Ils répondent que non. « On peut aller jusqu’où ? » « Au billard, milliard, partout. »
« Oui, mais il faut beaucoup plus de chiffres » Dit Alexandre.
« Alors Javier que fais-tu ? 0 + 0 = 0, alors après ici tu vas faire quoi ? Tu voulais mettre un 9 ? » Il enlève le chiffre. Je lui demande pourquoi.
« 0+0 ça fait 0. Pourquoi, n’étais-tu pas content ? »
« Mais t’as le droit ».
« Mais je me suis trompé. »
« Tu t’es trompé, t’as eu un doute tout d’un coup ? »
« Tu croyais que ce n’était pas possible ? Pourquoi ? »
« Je ne sais pas. »
« Par ce que tu pensais qu’il fallait qu’il y ait d’autres chiffres là que le 0 par rapport à ce que j’avais dit avant ».
« Oui. »
« J’aimerais bien que tu mettes d’autres chiffres que des 0 »
13
Je demande à Evely de trouver un nombre rigolo encore plus grand. « Plus que 10000 beaucoup plus. »
Javier n’a plus de chiffres pour faire son opération car Maxime et Alexandre ont presque tout utilisé.
« Pourquoi tu mets une virgule ici ? » (Elle a mis une ‘ après le 10 du début).
« Parce qu’il y a des milliards de milliards de milliards de milliers. » Alexandre. « C’est à 3 la retenue »
« Moi je ne sais pas de toute façon ou ya 3 »
« Pourquoi t’en mets qu’une ici ? » (Au début)
« Pourquoi c’est faux ? » en m’adressant à Alexandre qui avait fait la remarque.
« Il faut faire 3, 3, 3, 3, 3… »
Il montre où il faut mettre les apostrophes.
Evely les met en partant de la gauche. Elle se retrouve avec un 0 tout seul alors elle en rajoute 2.
« Et voilà ! » fait elle toute fière.
« Pourquoi on met une virgule après chaque 3 zéros ? » Parce que ça fait à chaque fois 100.
« Et justement là, c’est faux » dit Alexandre en montrant le 10 du début du nombre
Pourquoi c’est faux ? Il faut en mettre 3 Mais je veux la laisser Evely ne sait pas
Maxime : « Il faut séparer dizaines, centaines… » Evely : « Dizaines de milliers…
Maxime : « ouais »
Evely : « …centaine de milliers etc. » Maxime : « Et après on change »
Evely : « D’unités et dizaine, centaines…»
« Mais pourquoi je ne pourrais pas mettre à 4 ? » Dis-je.
Maxime : « Parce qu’on change de nombre, on fait des…après les milliards il y a les billards »
« Mais même pas après des billards. Quand j’écris 1000 »
« Après je ne sais pas moi »
Si j’écris 1'000 ou 100'000 ai-je le droit de mettre la virgule comme ça ? Oui
Et comme ça 10’00 ? Non
14 Pourquoi ?
Parce qu’ya pas trois zéros.
Pourquoi il faut mettre après les 3 zéros ? Ce n’est pas un nombre ça (10’00)
Ce n’est pas un nombre ?
Je sais pourquoi, mais je n’arrive pas à expliquer.
Pourquoi on met une virgule en haut après 3 zéros ?
On voit toujours ça ya une raison, mais on nous a jamais dit C’est l’inventeur de la langue française qui a voulu
Ici ça fait 10 et après on continue avec les zéros, Pourquoi 3 et pas 4 ou 5 ou 2 ?
Parce que 100 c’est le premier nombre avec 3 zéros, non avec 3 chiffres.
Le premier nombre avec 3 zéros c’est 1000
100 avec 2 zéros plutôt, mais ya trois chiffres Mille ya combien de 0 ?
3 mais le 100 il en a 2 et ça, ça fait que…
Mais qu’est-ce qui se passe après quand on arrive à 1000 ? Quand on rajoute un zéro après, c’est quel nombre ?
« Mille » Evely
« Après 1000 si on rajoute un 0 ? Dix mille
Voilà et après on rajoute un 0 ? Cent mille
Et après on rajoute un 0
Ah ! Je sais parce à chaque fois dans mille, dix milles on entend tout le temps mille ! Et mille c’est le premier nombre avec 3 zéros.
On met 3 zéros parce que c’est le premier nombre avec 3 zéros Et après je ne sais pas
Ce zéro il représente quoi ? Dans 1'000'000 (un million)
Les unités Les dizaines Les centaines Les milliers
Les dizaines de milliers Les centaines de milliers
Les millions (millier de milliers j’ai dit !!!) je me rends compte que mes compétences en numérations ne vont pas beaucoup plus loin que le million…
15
Un élève dit qu’il n’a pas compris et moi je continue !
« Je peux voir votre grand nombre ? » (38 :00)
Oui.
« Ici, si on voulait mettre des virgules. Une virgule, une virgule, une virgule…mais c’est des virgules en haut, on est d’accord… » Dis-je…
« C’est des apostrophes ». (Maxime)
Je lis : « 9/1, 4/5, 6/3, 5/4, 7/2, … donc ça vous avez bien compris qu’il fallait faire quoi ? »
« Un nombre avec plus de zéros » (Evely)
« Un nombre en moins, quand il y a une retenue » (Maxime)
« Quand il y a une retenue, il faut un nombre en moins. Pourquoi ? Parce qu’en fait il faut que le résultat fasse… ? »
« Dix »
« Parce qu’il y a une retenue »
« Dix avec la retenue, mais sans la retenue il faut que le résultat dans la colonne soit… ? »
« 9 » (Maxime)
« C’est ce que j’ai dit » (Maxime)
« Avec la retenue dix » (Alexandre)
« Sans la retenue » Maxime
Photo du nombre de Maxime et Alexandre
Evely doit faire quelque chose avec son nombre rigolo. Elle compte combien il y a de zéros. Elle dit : « 17 nombres »
Je redonne les dossiers.
Maxime et Alexandre doivent trouver un grand nombre qu’ils trouvent rigolo avec des zéros. Je souligne le fait que c’est un grand nombre qu’ils doivent écrire.
« Mais pourquoi rigolo ? » Maxime
Je donne un exemple de nombre qui est pour moi rigolo. Je donne l’exemple du nombre d’Evely. Maxime dit qu’elle a écrit 1 milliard.
Elle montre ce qu’elle a fait avec son nombre : elle a mis son grand nombre en forme de sourire. « Elle a fait un serpent » Alexandre.
Maxime et Alexandre rigolent.
« Ben quoi, elle a dit qu’il fallait faire quelque chose de rigolo avec… » Je regarde ce qu’a fait Javier avec les cartes plastifiées :
« Alors, ici : on contrôle Javier. »
« 0 + 0 ça fait 0. 9 + 1 ça fait 10 alors on met une retenue. 1 + 9... Evely
intervient, je lui demande de le laisser réfléchir. 1 + 8 ça fait 9. Il change le 2 contre un 1, je lui demande s’il a compris pourquoi ?
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Ben parce que ça fait 9 et si j’ai un 2 ça fait 11. Alors 1, ça fait 10. Il marque avec son doigt la retenue. « Je retiens 1 » dis-je.
« 1 + 6, ça fait 7, + 4 ça fait… je dois mettre un 3 et il change sa carte. Ça fait, ça fait… 10 »
« Oui »
« Une retenue, 1 + 1 ça fait 2 » Il change la carte du bas.
+ 8 ça fait…
Il cherche une carte
Je lui demande s’il cherche un 8 1… 1... 2
2 + 8 ça fait 10 Il te manque un 0
Ici tu as un résultat qui est de 1
« En fait il te manque un 0, regarde… parce que 10 ça fait comme ça et comme 4a fait 10 tu dois mettre…» Evely.
« Bien d’accord. Mais s’il avait voulu mettre un 1 ici, qu’est-ce qu’il doit mettre ici pour avoir un 1 là ? » (En bas et faire 10000)
« Au début, tu avais mis comme ça ».
« La seule chose qu’il faut que tu regardes, c’est qu’ici, 6 + 3 ça fait ? »
« Ça fait …10. »
« 6 + 3… »
« Euh, ça fait 9 »
« Mais ya la retenue donc ça fait 10. D’accord ? »
« Donc ici t’as une retenue (en pointant avec le doigt cette retenue qu’il faut imaginer) »
« Donc si tu mets ta retenue, + 1 ça fait ? »
« ça fait 2 » dit Evely.
« Donc ici tu dois mettre quoi ? »
« Un 2 » dit Javier.
« Voilà. Tu comprends ? » Javier fait oui avec la tête.
Alexandre intervient et dit : « Alors il aurait pu faire comme avant et mettre un 0 ici ». (À la place du 1 : 0 + 0 + la retenue = 1, pour faire 10000)
« Oui, mais il ne voulait peut-être pas forcément faire plus que les 5 chiffres de 10000. Il pouvait faire 20000 en ayant fait cette opération-là ». (La marque du passage au rang suivant).
17 On range les cartes
Les grands nombres rigolos J’ai fait un V
On peut faire des opérations avec ça ?
Non, ah si, on peut faire comme ça, comme ça, et elle croise les nombres.
« Mais cela ne serait pas pratique » dis-je.
« Alors les autres nombres rigolos ».
Maxime lit son nombre :
Huit, zéro, zéro, zéro, zéro, ….
Alexandre aussi de la même manière. Chiffre par chiffre.
Ils doivent faire une addition qui va leur permettre d’obtenir leur grand nombre rigolo.
Evely ne comprend pas de faire un truc rigolo avec son nombre en forme de V Je lui dis de prendre l’autre nombre rigolo qu’elle a fait.
Alexandre : Elle a pris un petit, mais c’est un facile Maxime veut faire son nombre + 0 = son nombre.
« Et si maintenant je te dis que tu n’as pas le droit d’additionner 0… tu es obligé de trouver 2 opérations différentes qui te donnent ce nombre-là.»
« Ben j’arrive pas. »
« Mais oui, t’arrives »
En regardant le travail d’Alexandre, je confonds l’apostrophe avec une retenue…
« Pourquoi le trouves-tu rigolo ton nombre ? »
« Je ne sais pas…
Javier a mis des apostrophes. Je lui dis qu’il ne doit pas les mettre s’il n’a pas compris où il devait les mettre pour que ça ne l’induise pas en erreur. Je lui dis qu’on les met de 3 en 3.
Alexandre doit m’expliquer :
« Pour toi, c’est quoi le 0 ? »
« C’est rien »
« Le 0 c’est rien ? »
« Sauf si on le met avec un autre chiffre »
« Il sert à quoi, en fait ? »
« Il sert à faire des…je ne sais pas.
18 Il sert à faire quoi ?
A faire des … je ne sais pas moi : Evely
« Des nombres, moi c’est ce que pense. Le zéro il est rien sauf si on peut faire des nombres avec» Alexandre.
« Mais quand on met un 0 dans un nombre, ça veut dire quoi ? »
« Ya le 10, si on met un 1 avec un 0 ça fait dix. »
« 0 centaine, 0 dizaine ou 0 unité, ou 0 millier, ou… »
Pour Maxime aussi le 0 c’est rien sauf si… comme Alexandre. »
« Mais dans un nombre, le 0 il sert à quoi ? »
« A savoir où on est »
Javier : « Par ex, dans les pairs ou impairs, si par ex on a un grand nombre, pis on ne sait pas, c’est un pair parce qu’il ya un 0… »
Evely veut mettre ses 0 en face. Elle ne les a pas mis en colonnes.
Tu vas faire quoi après avec le devant ? Ce qu’Evely dit à la fin de la séance.
Je lui demande si elle avait besoin de mettre tous ces zéros.
« Non, je mets 10 + 10 + 10 … »
« Comment ça 10 + 10 … »
« Parce que je fais 10 par ex 9 et 1, je mets une retenue après je mets… tatata etc… »
« D'accord, mais là, t’as mis ton nombre, je ne sais pas combien ça fait 100millions je ne sais pas… dessous c’est une addition, c’est + ; t’s fais + 000000000000000… est-ce que tu as besoin de mettre 00000000000 pour additionner 0?
« Non »
« Ces 0 est-ce qu’ils sont utiles ? »
« Non »
« Ta aurais très bien pu mettre ton nombre + 0… » - « Ah mais oui, je suis bête !
Mais il y a quelque chose que je ne comprends pas. Ça fait 0 mais après pourquoi à la fin on peut changer, pourquoi dans les nombres on peut mettre, par ex, zéro-zéro-zéro- et après mettre 1 ; ça je ne comprends pas. »
- « Tu ne comprends pas qu’il y ait tous les 0 derrière et que tout d’un coup devant ça change ? C’est comme quand on a 1000 »
- « Oui et on peut mettre un 1 devant »
- « On peut mettre autre chose qu’un un devant »
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- « Oui, par ex un autre chiffre, mais pourquoi ? » - « Parce qu’on compte, on additionne »
- « Oui, mais pourquoi quand on additionne, on peut directement changer de nombre ?... Parce que 0 ça fait 0, mais pourquoi je mets un 0 et après je mets directement 1.
Je peux mettre 1 + 0 »
- « Mais au départ, tu voulais obtenir ce grand nombre-là. Il y a le 1 devant cela veut dire que c’est ce grand nombre-là (en entourant) si tu enlèves 1 à ce grand nombre tu auras 9‘999’999’999’999 parce que si tu fais + 1, tu auras 10'000'000'000'000, c’est comme quand tu as 999'999 si tu
ajoutes + 1 tu auras 1'000'000 . Si tu as tous ces 0 c’est pour montrer que le 1 il est à une certaine position. C’est pour ça que je vous demandais pour vous qu’est ce que c’est que le 0, à quoi il sert ? Il sert à quoi pour toi ?»
- « pour moi, le 0 il sert à former des chiffres, des nombres »
- « et ces nombres tu peux les former et le 0 tu le mets quand le 0 ? » - Ben, par exemple 100 quand il y a… je ne sais pas expliquer. »
20 DEBUT DE REFLEXION
Discussion autour des « apostrophes » qui marquent les nombres tous les 3 chiffres. Ex : 1'000'000’000
Ils ont appris à mettre chaque fois 3 et ils ne savent pas pourquoi.
« 10’00, c’est pas un nombre » Ne pas mettre l’apostrophe au bon endroit, ça voulait dire que ce n’était pas un nombre… « Je ne sais pas pourquoi, c’est bizarre à expliquer. On voit toujours ça, ya une raison, mais on nous a jamais dit »
« C’est l’inventeur de langue française qui a voulu ! »
On arrive mieux à lire les nombres avec ça. Une signification pour montrer « le mille en mille »
Evely : « C’est 100 le premier nombre avec les trois zéros, non avec trois chiffres… le premier nombre avec trois zéros, c’est 1000 ». Elle est restée longtemps sur les 2 zéros et les trois chiffres de 100. (Retranscription)
« On met 3 zéros parce que c’est le premier nombre avec 3 zéros » Ce 0 il représente quoi ?
Dans 1'000'000 (un million)
Les unités Les dizaines Les centaines Les milliers
Les dizaines de millier Les centaines de milliers Les milliers de milliers Les élèves savaient jusqu’à centaines de milliers.
Un élève n’a pas compris et moi je continue, je veux voir leurs grands nombres…
Revoir le film
Cet élève sur son grand nombre, il a mis la virgule un peu n’importe où.
Evely a un peu senti cette idée de 3. Pour elle le 100 a 3 chiffres.
Elle commencerait à voir cela : 1 zéro : 2 chiffres ; 2 zéros : 3 chiffres ; 3 zéros : 4 chiffres… Elle est restée longtemps bloquée sur le nombre 100 qui avait trois chiffres mais qui avait 2 zéros.
L’apostrophe on la met aussi quand il n’y a pas de zéro, quand il y a des chiffres : Par ex : 345'678'234 (3 chiffres et pas de zéro) L’apostrophe on la met devant la centaine. L’apostrophe est là pour marquer le millier.
21
C’est plus facile de visualiser les grands nombres, de les lire, quand il y a l’apostrophe.
LEURS 4 NOMBRES RIGOLOS
Reprendre ces nombres rigolos et leur faire décomposer
(par ex : 10’000’000’000’000'000 + 20'000'000'000'000 + 90'000'000'000 + 10'000'000 + 1'000 + 100 = 10’020’090’010’001'100)
Javier
: 10’020’090’010’001’100
Evely
: 10'990
Maxime
: 800’000’000’000’008
Alexandre
: 90'000'080'040’900
Faire qqch avec ces nombres.
(Evely elle a fait un 1ooooooooo en forme de sourire, il est rigolo, mais on ne peut pas faire d’opération avec).
J’ai demandé d’essayer de retrouver ce nombre rigolo en faisant une addition.
Javier
: 10’020’090’010’001’100
Son addition : 1000 + 1100 + 900 + 200 + 100 = 3300 J’aimerai reprendre cela…
Maxime
: 800’000’000’000’008
Qu’a-t-il fait ? 3 x 6 = 18 ou 2x8 = 16 7 + 3 = 8 ??? Alors qu’avec la retenue ça fait 11… toutes les additions intermédiaires sont justes :
7 + 2 / 1 + 8 / 9 + 0 / 6 + 3 sont toutes égales à 9 et avec la retenue ça fait 10.
Complémenter à 10 et ensuite à 9 ne semble plus trop poser de problèmes pour eux. Sauf pour un des enfants qui semble être plus en difficulté.
Dans le premier exercice, avec l’addition où il fallait faire 10, ça a bien joué chez tous les élèves. L’addition pour trouver 100 a posé plus de problèmes dans le sens qu’ils ont fait quelque chose de très basique, de très simple :
50 + 50 / 70 + 30 / 100 + 0 / 90 + 10 / 98 + 2 …
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Au bout d'un certain temps, je leur ai dit qu’ils n’avaient plus le droit de mettre les 0 dans les nombres qu’ils utilisaient et je voulais qu’ils utilisent le maximum de cases pas qu’ils fassent des opérations avec 1 chiffre en bas par ex…
Il semble que le complément à 10 à 100 et à 1000 soit assez bien compris avec ces élèves là. Il faudrait pouvoir les déstabiliser. Sauf pour un des élèves, toujours le même.
Javier a fait :
199 + rien = 1000 et ensuite
179 + 20 = 1000 / 169 + 30 = 1000 159 + 40 = 1000 / 149 + 50 = 1000 139 + 60 = 1000
Toutes ces opérations sont égales à 199 ! C’est comme s’il avait posé le premier et après il avait cherché à faire 199
Il a fait quelque chose de très intéressant, mais qu’a-t-il cherché à faire ? À chaque colonne il s’arrête à 9… il s’arrête toujours à 9.
Il me dit c’est dur, qu’il ne comprend pas.
Il a 9 et 0 pour faire 0. L’exemple de François Conne 796 à 700 et l’élève qui lui dit « je dois faire un zéro avec le 6… » Voir la vidéo ? Il me semble que c’est le même problème.
Je lui demande si c’est plus facile quand je mets 482 par ex dans la ligne du haut.
Il n’y arrive pas mieux.
« Tu dois mettre quoi ici pour avoir un zéro là en bas ? » Il ne sait pas.
Il me dit que 9 + 0 ça fait 9 donc ce n’est pas une question de force du zéro, mais plutôt je pense de complémenter à 9 quand il y a une retenue… Il lui manque le 1 (de la retenue ?) il sait que 9 + 0 = 9 mais il doit faire 0 et il ne sait pas comment faire.
Il sait que le zéro tout à droite c’est les unités, à sa gauche les dizaines et après les centaines. Ça c’est bon.
Quand je lui demande pourquoi on met des 0 il dit que c’est pour faire plus de numéros.
Je lui demande si ce 0 (des unités) je l’enlève ça fait quoi ? Il me dit : il est enlevé. Ce que je voulais c’est qu’il me dise que ce n’était pas le même nombre…
Il ne sait pas comment faire pour qu’il y ait un zéro…
Je lui dis que je vais réfléchir pour la prochaine fois à comment faire pour montrer ce qui s’est passé.
Si je lui demandais de relire sa feuille? Comment t’as fait ? Je pense qu’il veut que ça fasse 9, à cause de la retenue.
23
C’est une erreur intelligente, chaque fois la même. Et toujours ce résultat de 199 du départ.
Pourquoi il va à 199 ?
Il met le 10 dans la colonne des unités.
Considère-t-il les 1000 comme des 200 ? Si on lui demandait combien ça fait 169 + 30 ?
Le fait que s’il avait la retenue il arriverait à 200 et pas à 1000.
C’est comme si après 100 il y avait 1000. Par colonne, c’est bien comme ça que ça se passe : 10, 100, 1000, 10000… le 200 il n’existe pas. Il ne le voit nulle part. Il ne sait pas comment le faire ? Ca ne se voit pas dans les exercices précédents, qui sont presque trop simples, qu’il arrive à faire de tête ?
Javier sonder ce qu’il a fait. Dans l’addition, il semble faire le saut de 100 à 1000.
Comment faire ? Il y a qqchose qui le perturbe.
Il y a une histoire de retenue. Aller à 200 au lieu d’aller à 1000.
199 + 1 ça fait 200.
Ils ont manipulé les cartes avec les chiffres.
Maxime et Alexandre Javier Evely
Javier a fait son opération, il avait fait juste au début mais sur la fin il n’arrivait pas à faire le 2.
Il sait quels chiffres il faut pour faire 10.
Tous raisonnent colonne par colonne, mais pas sur la globalité du nombre.
Pour Javier il semble qu’il ait une connaissance du complément à 10 et aussi que quand il y a une retenue il faut complémenter à 9 mais du coup il complémente à 9 partout…
Dans le 10 il ne le voit pas forcément que le 1 c’est la retenue de la colonne d’à coté…
24
Dans le 10, le 100, le 1000… le zéro n’a une valeur que parce qu’il est avec le 1.
Il doit être en conflit avec le 0 qui ne vaut rien et le zéro qui est rattaché à la dizaine et qui vaut 10, 100, 1000 en fonction du nb de zéros.
9 + 0 = 9 ici le 0 il ne vaut rien et quand on fait 9 + 1 = 10 du coup le 0 est la marque de la dizaine !!! Les 2 zéros n’ont pas le même statut.
Le 0 qui est un chiffre et qu’on prend seul et le 0 qui forme un nombre !!!!
Il y a un conflit avec le 0 qui ne vaut rien et le zéro qui est rattaché à la dizaine et qui vaut 10, 100, 1000 en fonction du nb de zéros.
Une connaissance par rapport au complément à 10 ; une connaissance par rapport à cette retenue qu’on n’arrive pas à voir comme une dizaine ou l’inverse c'est-à- dire la dizaine qu’on ne voit pas comme une retenue.
? Si on regarde en ligne et qu’on additionne des lignes, on arrive à des 9, donc il y a de nouveau l’idée qu’il y a une retenue et qu’il bloque quelque part. Le 1 de
retenue ? (1 59 + 40 = 1000)
Lui demander : J’ai remarqué que chaque fois, tu avais fait enlevé 10 en haut et tu as additionné 10 en bas. Pourquoi il a fait ça qu’est-ce qu’il cherchait à faire ? Elle semble faire le lien avec le fait que ça change le nombre.
L’importance du 0 s’il est avant ou après et le fait que si on peut l’enlever et que cela ne change rien c’est un 0 qui ne compte pas. Cela a bien été travaillé par l’enseignante.
Tous les 0 qu’elle avait mis alors qu’un seul aurait suffi.
Et tout à coup le fait de mettre un 1 devant c’est possible.
Il y a un conflit entre les 0 qu’on enlève et qui ne valent rien et des 0 qui valent
« beaucoup » tout à coup. C’est probablement plus impressionnant avec les grands nombres.
INTERVENTION (IV)
LEURS 4 NOMBRES RIGOLOS
Evely ne se souvient pas de la question qu’elle m’avait posée la dernière fois.
Sur la fiche que je leur donne, il y a les grands nombres rigolos de la dernière séance…
« Il est où mon grand nombre ? » Evely
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« Le plus joli nombre, c’est le mien. » Maxime
« Je vais travailler un moment avec Javier. Vous allez faire cette fiche. Ce n’est pas une épreuve, c’est pour moi. Vous allez décomposer ces grands nombres. Il y en a un par page. »
« Hein, c’est facile ! » Alexandre
« Décomposer, vous savez ce que c’est ? »
« Euh, oui. »
« Vous devez trouver d’autres nombres que vous pourrez additionner ensemble pour refaire de grand nombre… on avait déjà fait un peu, mais j’aimerais que cela soit plus précis.»
« C’est ça, par exemple ? » Evely « 11111 ; unités, dizaines, centaines, milliers, dizaines de milliers… c’est faire ça décomposer ?»
« C'est-à-dire que vous allez faire d’autres nombres avec ce nombre. Vous faites d’abord deux nombres, vous pouvez faire deux nombres avec ce nombre ; qu’est- ce qu’on peut faire comme nombres avec 10990 ? »
« Ben, 99001 » Evely
« 99010 » Maxime
« 99100 » Alexandre
« Essaye voir d’écrire 99010 » Dis-je
« Est-ce que tu crois que tu peux additionner ce nombre pour arriver à faire celui-ci ? »
« Non, mais je n’avais pas compris. »
« Voilà. Alors il faut que vous trouviez 2 nombres, vous mettez sur la page, je vous en ai mis un par page. Décomposer, c’est par rapport à ce que tu disais, les unités, dizaines, centaines… si vous arrivez à voir combien ya d’unités, de
dizaines, de centaines et après vous pouvez additionner ce que vous avez trouvé.
Si je vous donne un autre exemple, si je prends 634 : c’est 600 + 34, ou 600 + 30 + 4 ; dans le premier cas, j’ai utilisé 2 nombres et dans le deuxième 3.
« 1 + 1 + 1 + 1 + 1… » Maxime.
« Si on fait encore, 300 + 300 + 30 + 4, ici j’ai quoi ? »
« 634 »
« Mais j’ai utilisé … »
« 4 nombres »
« 4nombres, donc décomposer les grands nombres pour pouvoir les additionner.
D'abord, 2 nombres, après 3, et ensuite 4, 5 nombres. Vous comprenez ce que je veux dire ? »
« Ah, faut faire ça ? » Evely
Oui avec les grands nombres que vous aviez fait ! Evely n’a pas compris ce qu’il faut faire.
« Tu fais une opération, tu cherches deux nombres, tu décomposes de manière à obtenir 2 nombres que tu puisses additionner et qui te donnent ce résultat. »
26
« D’accord ? Je vous laisse travailler. Vous chercher d’abord 2 nombres, après 3, 4, et 5 nombres
« Eh tricheuse ! » Alexandre
« C’est complètement stupide ! » Maxime, mais est entré dans l’activité.
….
« Eh tu m’as copié » dit Alexandre quand il voit la feuille d’Evely. (Elle trouve ça très drôle…)
EVELY
5550 +5440 10’990
10000 900 + 90 10’990
4000 3400 2390 + 1200 10’990
10440 220 220 1 10 + 000 10’990
400’000’000’000’004 +400’000’000’000’004 800'000'000'000’008
400'000'000'000’008 200'000'000'000’000 + 200'000'000'000’000 800'000'000'000’008
10'020'090'010'001'100 : 10'020'090'010'001’100
00 000 000 000 000 000 elle a effacé cette opération et différents autres calculs… elle semble avoir voulu prendre le nombre par la droite pour le
décomposer. Ex : 500 sur 510 et une grande barre d’opération sous laquelle elle a écrit 100
Elle n’a pas effectué la dernière page.
ALEXANDRE 5550
+5440 10’990
10000 900 + 90 10’990
4000 4000 1990 + 1000 10’990
4000 3000 1000 1000 +1990
27
10’990
400’000’000’000’006 +400’000’000’000’002 800'000'000'000’008
800'000'000'000’000 4 + 4 800'000'000'000’008
200'000'000'000’002 200 000 000 000 002 200 000 000 000 002 +200 000 000 000 002 800'000'000'000'008
10'020'090'010'001’100 10'010'050'010’100
+ 10 ‘040'001’000 10'020'090'011’100
10'020'090'000’000 1’000 + 100 10'020'090'001’100
Il n’a pas effectué la dernière page.
MAXIME
10’000 + 990 10’990
10000 900 + 90 10’990
5000 5000 900 + 90 10’990
4000 4000 2000 900 + 90 10’990
8 + 80’ 000'000 0'000’000
80 ’000’0 000'000 ’008
8 400000000000000 + 400000000000000 800000000000008
200000000000000 200000000000000 200000000000000 200000000000000 + 8 800000000000008
28
Il n’a pas effectué la décomposition du nombre : 90'000'080'040’900
20’090'010'001’100 10 000 000 000 000000
10'020'090'010'001’100 10'020'090'010'001’000 + 100
10'020'090'010'001’100
10'000'000'000'000’000 20'000'000'000’000 90'000'000’000 10'000’000 1’000
+ 100 10'020’090'010’ 001’ 100
Ils ont fait cette fiche quand j’étais occupée avec Javier.
je viens voir ce qu’ils ont fait. Maxime a commencé son opération avec le 8 comme premier nombre.
Je dis qu’en principe on commence toujours avec le plus grand nombre… sur quelle base je dis cela ??? Quelle drôle d’idée…
« Il n’est pas rigolo ce nombre… »
« Il sera plus intéressant à décomposer le suivant » dis-je
Ils disent que non, ils soupirent, « c’est big long… » Ils sont très excités !
« Mais je ne trouve pas… »
On est toujours obligé d’écrire le résultat ?
Il est trop long… on n’aurait pas dû écrire des nombres aussi rigolos…
Evely n’est pas très motivée…
Alexandre : « on peut faire autre chose que des nombres rigolos » Maxime est actif et fait sa fiche.
« Je n’arrive pas à trouver » Evely
« C’est trop long c’est des grands numéros… » C’est quoi qui est long à faire ?
« Ecrire »
« Vous essayez de faire quoi ? »
« Ben des trucs »
« Mais quoi ? »
« 0000 0000 »
« Dis-moi qu’est ce que tu pourrais prendre pour décomposer ce nombre ? »
« On pourrait changer qu’un numéro et après ça ferait… hein je sais ! J’ai trouvé.»
29
« Mais on est tout le temps obligés de marquer ce nombre ? (En entourant le grand nombre avec son crayon)
« Ça dépend de ce que tu veux faire » Elle écrit sur sa feuille
« Mais ta fais 4 zéros… » Maxime
Je demande à voir ce qu’elle a fait au tout début.
« Je me rappelle plus ce que je voulais faire » Alexandre
Décomposer ce grand nombre de la même manière qu’Evely quand elle à fait à la page 2 : 10000 + 900 + 90 pour obtenir en additionnant 10990.
Ils sont découragés par la grandeur des nombres…
Tous les nombres entiers qui composent ce nombre.
Pourquoi t’as mis une retenue alors que c’est 10 ? Evely à Alexandre Alexandre attend que je vienne regarder sa feuille.
Evely : « Je sais pas quoi faire, j’ai rien pigé enfin si, mais je… »
A Maxime : « le premier grand nombre que tu peux faire en prenant le 1 »
« Mais ça va prendre toute la place »
Je lui montre où il doit commencer et où il doit écrire les autres nombres.
« J’ai trouvé de quoi c’est fait… mais non il y a un truc qui joue pas. » et elle efface encore…
Je leur demande s’ils trouvent difficile.
« Trop ! »
« Trop dur parce que c’est long ! »
« Ce nombre il est déjà dur à prononcer, donc après c’est dur à décomposer. »
$
Et si maintenant je le fais avec vous.
« 10'020'090'010'001’100 »
30 10'000'000'000'000’000
20'000'000'000’000 90'000'000’000 10'000’000 001’000 + 100
Moi j’ai mis en trois nombres. Quand on additionne tout ça, on obtient ce grand nombre-là.
Sérieux !
Evely a vu une erreur de recopie que j’avais faite »et cela la gênait.
ACTIVITE AVEC LES COMPTEURS Maxime : « un petit nombre rigolo…»
Mettre les conteurs à 0.
Ils n’avaient pas vu les compteurs. Sauf à Las Vegas (Maxime)
« Oui, mais ce n’est pas le même compteur. » Dis-je
On ne peut pas compter, additionner avec les compteurs de Las Vegas.
Je leur demande quels sont les compteurs qu’ils connaissent.
Evely : « les bouboules… »
Les bouliers, ce n’est pas ça que voulais.
Maxime propose la calculatrice.
Je leur dis qu’il y a des endroits dans la vie où il y a des chiffres qui défilent…
Je les mets sur la voie : dans la voiture…
« Ah, oui dans le taxi » dit Maxime.
« Non, dans le bus ! » Alexandre
« Vous n’avez jamais observé, derrière le volant de la voiture…
« Ah, oui ! Le compteur kilométrique » Alexandre.
« Le compteur kilométrique. Il compte quoi ? » Il compte combien de kilomètres on a fait.
On va utiliser les compteurs et vous avez votre feuille. (Vous n’avez pas besoin de vos crayons, pour Evely qui l’a perdu…). En utilisant les compteurs, vous allez faire, donc vous êtes à 0, vous mettez 6 dans la colonne des unités…
Elle est où la colonne des unités ? Je demande à Javier. Il avait envie de mettre le 6 dans la colonne des dizaines. Il m’a d’abord montré la colonne des dizaines avant de se reprendre et de me montrer celle des dizaines.
31
Je lui demande pourquoi il voulait le mettre là et il me montre sa feuille. Il y est écrit : 6 + 4 =
« Donc, vous mettez 6 et vous additionnez 4. »
« Ça fait 10 » Alexandre
« Oui, mais avec le compteur comment vous faites ? »
« Je ne sais pas » Evely
« 7,8,9,10… » Alexandre
Le nombre 6 est affiché, et je fais : « 6 plus 1 » et je marque 7, « Plus 1 » et je marque 8, « plus 1 » et je marque 9, « plus 1 »…
« Ya pas 10 ! »
« Alors, vous faites quoi ? »
« On passe à l’autre, on met une dizaine ici » Dit Alexandre en montrant la colonne suivante.
« Et ça fait quoi ? »
« Ça fait 10, là on met le 0 dans la colonne de droite et ça fait 10. »
« Mais si toi tu fais comme ça, tu fais 6 + 4, regardez bien » je remontre les différents passages, de 6 à 9 avec l’arrivée sur le 0. Et je dis : « on ne peut pas donc je vais aller chercher, le suivant, vous êtes d’accord que c’est le 0… »
« Dans les dizaines… » Alexandre
« Mais est-ce que l’on peut avoir 0 alors qu’au départ on avait 6 ? Ben non
« Alors automatiquement ici… » Je bouge la bande des dizaines.
« Et ça fait 10 » Maxime.
« C’est trop facile » Alexandre
« Alors 17 »
« Moi je sais on met le 7 ici » Alexandre
« Vous mettez 17 et vous faites 17 + 3 »
« Ça fait 20 donc ici faut mettre un 2 » Evely
« J’aimerais que vous fassiez, 17 plus 1 : 18, plus 1 : 19, plus 1 : on ne peut pas, donc, est-ce que quand vous avez 17 au départ vous pouvez avoir 10 ? »
« Non » Evely
« Donc »
« 20. Alors, faut aller mettre un deux »
« Et après c’est 85, 8…» Evely
Je demande à Javier s’il comprend, il fait oui de la tête. Et leur demande de faire le suivant : 85 + 5 =. Alexandre demande s’il doit mettre les résultats sur la fiche.
« Ça fait 90 ! » Evely « Mais c’est facile ! » Alexandre.
« oui, mais je ne vous demande pas de calculer de tête, mais avec le compteur.
Donc mettre 85. »
32
« C’est ce que j’ai fait ! J’ai mis 85 plus 5 ça fait 10 tu mets 0 et après tu mets 9. »
« Oups, tu ne peux pas quand t’arrives à 0… on met le 9 » Dis-je en même temps qu’elle explique ce qu’elle a fait…
« C’est ce que j’ai mis » dit-elle.
« C’est big facile »
Je demande à Javier s’il comprend. Il ne répond pas. Il regarde son compteur, sa fiche, ce que les autres font.
Alexandre, Evely et Maxime s’activent avec leurs compteurs. Mais ils connaissent le résultat de l’opération avant de l’afficher. Je leur demande de faire la
démarche, de faire défiler les chiffres.
Ils comptent ensemble : « 1,2,3,4,5,6,7 »
« Alors faut mettre un 5 et là un 0 » Alexandre
« Après 78 + 2 » dis-je.
« 1,2, oups je ne peux pas » Maxime. (Il fait exactement ce que j’ai montré…) Alexandre aussi. Evely dit : « on ne peut pas, on met 8, ça fait 80 »
Javier a besoin de plus de temps. Il affiche 78. Je lui demande : « +2 »
Il veut mettre le 2 dans les dizaines. Je lui prends le compteur pour lui montrer.
78 , 79, 70… là je lui demande si c’est possible en sachant que l’on est parti de 78.
Il répond que non. Il veut faire + 2 dans la colonne des dizaines. Je lui demande combien on a alors dans cette colonne. Il ne sait pas.
Je recommence : On a fait 78, + 1 : 79, + 1 : 70… il regarde sa feuille, le compteur, ne peut pas répondre. Je lui dis qu’on reprendra ça la semaine prochaine.
Je leur demande de poser les compteurs et me dire ce qu’ils ont remarqué en travaillant avec ces compteurs.
« J’ai rien remarqué » Maxime
Qu’est-ce que vous remarquez en utilisant ces compteurs ?
« Rien » Evely
« Rien ? »
« Que ça compte. Que ça part.
Dès qu’il y a 10, ça va dans les trucs supérieurs …» Alexandre
« Oui, mais c’est nous qui devions faire, mais c’est tout… ça nous aide à compter, c’est tout. »Evely
« Ça vous aide à compter. Mais est-ce que ça vous aide à comprendre quelque chose ? »
« Non » Evely et Maxime
« Oui. Dès qu’il y a 10 ça passe au truc supérieur…» Alexandre
« C’est quoi le truc supérieur ? »
33 Maxime : Aux dizaines
« C’est par exemple : Unité après ya dizaine. +10 ya dizaine. Alexandre
« D’accord et après les dizaines ya quoi ?
« Ben ya centaines » Alexandre
« Mais quand tu passes des dizaines aux centaines ? » Voir réflexion en dessous
« Ya 90 » Alexandre
« Comment ya 90 ? »
« 10 + 90 ça fait 100 » Alexandre
« 10 + 90 ça fait 100 » Qu’a-t-il voulu dire par là ?
Je leur dis que l’on reprendra l’activité des compteurs la semaine prochaine.
Javier reste un petit moment avec moi.
Je lui demande s’il trouve difficile le compteur.
« Un peu »
« Pourquoi ? »
« Parce que je ne comprends pas très bien quand on change »
« Quand on change ? »
« Ben par exemple là ya plus, (en me montrant la colonne des unités en haut) On fait…
Et je dis : « aller chercher en bas… »
« Par ce que c’est vrai que si t’as… quand on a fait au début, quand on a fait 6 + 4.
Donc, t’es d’accord que 6 plus 4 ça fait 6 donc 1 (et j’augmente de 1 sur la bande), 2 (et j’augmente de 1 sur la bande), 3 (et j’augmente de 1 sur la bande), ya plus donc on va en bas (chercher le 0), 6 + 4 mais là du coup qu’est-ce que tu lis ? »
« 000 »
« Alors, est-ce que en faisant 6 + 4 tu peux avoir 000 ? » Il secoue la tête pour dire non.
« Qu’est-ce qu’il faut faire maintenant qu’il y a le 0 ici ? »
« Ben, ici on a 6. »
« Mais pourquoi tu veux mettre 6 ? » Il ne répond rien.
Je reprends : « On avait 6. Donc 6 + 4. 6 ; 1,2,3,4 » Il fait oui de la tête.
« Mais qu’est-ce qui s’est passé ? »
« Ya un 0 qui est venu ici »
« Mais qu’est-ce qui s’est passé ? »
34
« Le zéro qui était avant il est resté »
« Mais est-ce qui doit rester ? »
« Non »
« Il doit devenir comment ? »
« 6 »
« Pourquoi 6 ? »
« Heu, » il regarde sa feuille.
« Si on a fait 6 + 4 ? » Il ne dit rien.
« 6, (Avec les doigts) 7, 8, 9… »
« Dix »
« Dix »
« 4, ici 4 et ici 6…» en me montrant deux colonnes différentes…
« Mais si je mets 4 ici et 6 ici… »
« Ah non, ça fait 46 »
« Ça va pas, alors, si j’ai… »
« Le 4 ici… »
« Si j’ai 6. 6 + 4. Donc 1, 2, 3, 4 qui font que l’on a un 10, donc on a un 0. Après tu me disais qu’il y avait quelque chose. Tu te rappelles quand on a fait les exercices avant ? »
Il ne dit rien.
« 6 + 4 ça fait… »
« 10, ça fait 10 »
« Voilà, la on a un 0 »
« La retenue »
« Alors la retenue en fait »
« Je fais le 1 »
« Le 1, mais du coup, la retenue »
« Elle est dans les dizaines. »
« On va la montrer ici. On va la mettre. Regarde : pouf, elle est là. » En mettant le 1 du 10 dans la colonne des dizaines.
« Ah ! Ça fait 10 ! »
« Tu comprends ? »
« Oui »
« Par exemple, si je fais 18 »
« Ahhh ! »
« Regarde, si je fais 18 »
« J’ai compris ! Ici c’est le résultat ! »
« 18 + 2 »
« Moi, je croyais que c’était qu’il fallait faire le truc (en pointant sa feuille) »
« Qu’il fallait faire l’opération ? »
35
« Oui »
« Ah, d’accord ! Alors, si je fais 18 + 2. 18 »
« 9 »
« 1, 2 on peut pas »
« 0 »
« Voilà. » dis-je.
« Donc ça fait 10 (il marque la retenue avec son doigt) et avec la retenue ça fait 10. »
« Mais, ça fait 10 ? »
« Heu, non ça fait »
« 18. On avait 18 au départ, est-ce que l’on peut avoir 10 ?
« Non »
« Alors, 18 + 2 ? »
« Ça fait 20 »
« Mais,
« On rajoute 2 retenues »
« Pourquoi 2 retenues, Javier? »
« Parce que 18 + 2, ça fait 20. »
« Oui. Mais justement, 18, on va retravailler la semaine prochaine, + 2. 1, 2, on peut pas, donc on va mettre, ici, mais vu qu’ici on a un 0, on a une retenue qui est passée, 1 + la retenue, ça fait ? »
« Ça fait 20 »
….
« Est-ce que tu comprends un peu ? »
Il répond oui avec la tête, mais pas avec vigueur…
Je lui dis que l’on recommencera la semaine prochaine.
36
JAVIER (à part)
IV Enregistrement audio A)
Je lui ai demandé s’il se souvenait pourquoi il avait enlevé 10 en haut et ajouté 10 en bas.
Euh… Euh… Euh…Il réfléchit, mais ne dit rien.
« Pourquoi au départ 199 ? » Il dit qu’il n’a pas terminé. Il voulait mettre 1 en bas pour faire 1000. « Parce que + 1 ça fait 1000 »
Je lui dis : « 199 + 1 ça fait mille ? » Il réfléchit.
« Ah, non. C’est 999 + 1 qui fait 1000 »
« Alors qu’est ce qu’il faudrait que tu mettes ici pour arriver à 1000 ? » Il réfléchit.
« Ici t’as mis 9 + 0. 9 + 0 ça fait combien ? »
« Ça fait 9 »
« Alors si tu mets 9 + 0 ça fait 9 et toi tu aimerais obtenir un 0 en bas, qu’est-ce qui faut faire pour qu’il y ait un 0 ? » (Je dois m’occuper des 3 autres)
« Si tu veux faire ce 0 là ? » Il réfléchit.
« C’est quoi ce zéro ? »
« C’est les unités »
« S’il ya un 0 ici ça veut dire quoi ? »
« Euh…Ça fait grandir le nombre »
« Mais pourquoi ça fait grandir le nombre ? »
« Parce que… il réfléchit... Quand ya 100 si je rajoute un 0 ça fait mille ».
« Mais quand tu as 100 pour rajouter un 0, si tu as 100, combien dois-tu rajouter à 100 pour faire 1000 ? Tu dois rajouter combien à 100 pour pouvoir faire 1000 ? » (J’écris 100 +… = 1000)
Il réfléchit…
« On rajoute un 0… »
« Mais si tu veux faire une opération il faudra ajouter combien pour faire 1000 ? Si t’as 100 pommes ou 100 ballons, si tu veux avoir 1000
ballons… ? »… il réfléchit.
« Si tu as 1 ballon combien devras-tu en rajouter pour en avoir 10 ? »
« Heu… ssss Heu… »
Je lui mets par écrit 9 +… = 10. Il dit 1.
« Parce que 9 + 1, ça fait 10 » Je lui demande de l’écrire.
« D’accord, 9 + 1 ça fait 10 et ici tu as 100 ballons, mais tu en aimerais 1000 » (je lui montre l’opération) comment tu fais ?
Il fait colonne par colonne : « 0 pour avoir 0 il faut 0 ».
