Master Ingénierie mathématique, Univ. Nantes Option Mathématiques et applications, ECN
Statistique Inférentielle.
Anne Philippe Université de Nantes, LMJL
Fiche 6.
Tests paramétriquesExercice 1.
On considèrenvariables aléatoires, (X1, . . . , Xn)indépendantes et identiquement distri- buées suivant la loi qui admet pour densité
fθ(x) = 1
θexp{−x
θ }I[0,∞[(x)
Soit (θ0, θ1) deux valeurs de θ telles que 0< θ0 < θ1.
On souhaite maintenant tester l’hypothèse H0 : θ =θ0 contre l’alternative H1 : θ =θ1. 1) Donner la forme du test de Neyman-Pearson.
2) Rappeler les propriétés de ce test.
3) Exprimer la région critique de ce test au niveau α.
4) Proposer une approximation de la région critique quand n→ ∞.
Exercice 2.
Soitn variables aléatoires,(X1, . . . , Xn)indépendantes et identiquement distribuées sui- vant la loi de Bernoulli de paramètrep. On veut tester p= 1/2 contre p=p1 6= 1/2.
1) Quelle est la forme du test de Neyman Pearson.
2) Pour quel niveau α peut on trouver un test UPP(α) ?
3) Trouver une fonction de test qui soit asymptotiquement de niveau α.
1
2 Anne PHILIPPE, Université de Nantes
Exercice 3.
L’écart type de la teneur d’un composant dans un médicament est de 8 milligrammes.
Un nouveau procédé de fabrication vise à diminuer cet écart type. Pour 10 mesures de teneur sur des unités fabriquées par le nouveau procédé on obtient (en mg) :
725 722 727 718 723 731 719 724 726 726
On suppose que les mesures sont des v.a gaussiennes, identiquement distribuées et indé- pendantes.
1) On veut tester σ = 10 contre σ =σ1 <10.
Donner la forme du test de Neyman Pearson sur l’écart type lorsque l’on suppose que la moyenne est connue.
2) En vous inspirant de la forme du test de NP, proposer un test de niveau α lorsque la moyenne est inconnue.
3) Montrer que la puissance du test obtenu converge vers 1 quand la taille de l’échantillon tend vers l’infini pour tout σ1 <10.
4) Quel test proposez vous pour vérifier si le procédé réduit la variance ?
5) Au vu des observations, tester au niveau 5% si le but recherché du laboratoire pharma- ceutique est atteint.
