Approches en psychopédagogie des mathématiques

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Approches en psychopédagogie des mathématiques

BRUN, Jean, CONNE, François

BRUN, Jean, CONNE, François. Approches en psychopédagogie des mathématiques . Genève : Université de Genève Faculté, de psychologie et des sciences de l'éducation, 1979, 84 p.

Available at:

http://archive-ouverte.unige.ch/unige:33055

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UNIVERSITÉ DE GENÈVE - FACULTÉ DE PSYCHOLOGIE ET DES SCIENCES DE L'ÉDUCATION

Cahiers de la Section des Sciences de !'Education

PRATIQUES ET THÉORIE

J. BRUN - F. CONNE

APPROCHES

EN PSYCHOPÉDAGOGIE DES MATHÉMATIQUES

UNIVERSITE DE GENEVE

FACULTE DE PSYCHOLOGIE ET DES SCIENCES DE L'EDUCATION

APPROCHES EN PSYCHOPEDAGOGIE DES MATHEMATIQUES

J. Brun et _F. Conne

Cahier No 12

Pour toute correspondance :

Section des Sciences de l'éducation

UNI Il

1211 -GENEVE 4 (Suisse)

PEDAGOGIE DES MATHEMATIQUES ET PSYCHOLOGIE:

Analyse de quelques rapports

Jean Brun

l. INTRODUCTION

La psychopédagogie des mathématiques pose la ques­

tion générale des rapports entre la psychologie et l'ensei­

gnement d'un contenu spécifique. Ces rapport ont parfois consisté à considérer séparément, d'une part les mathéma­

tiques, science à l'architecture parfaitement ordonnée et que la psychologie n'aurait pas à interroger pour el le­

même, d'autre part la pédagogie, ensemble de méthodes plus ou moins adaptées à l'acquisition de cette science.

Sur les méthodes de transmission seulement la psychologie aurait à intervenir, en vue de leur constante amélioration.

Pour cela, on ferait appel aux modèles généraux des pro­

cessus d'apprentissage ou du développement intellectuel de tel le ou tel le théorie psychologique, ces modèles étant censés s'appliquer indifféremment à l'acquisition des mathématiques ou à celle d'autres contenus scolaires.

Cette indifférence à la spécificité des contenus ensei­

gnés pose problème à divers titres :

- Elle repose tout d'abord sur l'idée que l'on peut utiliser, sans qu'il soit besoin de leur faire subir une transformation, les modèles généraux d'une théorie psychologique, en les coupant du domaine de réalité à partir duquel ils ont été construits, pour les transposer purement et simplement,

comme des entités autonomes, à un autre domaine de réalité.

Or cette coupure et cette forme de transposition entraînent un fonctionnement essentiellement idéologique, et non plus scientifique, de ces modèles.

Elle véhicule par là même une conception de l'applica­

tion de la psychologie à la pédagogie qui réduit cette der­

nière à une technologie : se laissant informer par les sciences fondamentales qui traitent de l'enfant, la pédagogie chargerait de trouver des méthodes générales, indépendam­

ment des contenus ouxquels elles s'appliquent.

- Elle marque surtout la négligence des questions épisté­

mologiques et historiques liées à la construction des ma­

thématiques, comme si enseigner une science constituée délivrait du souci de l'étude des conditions de sa produc tien.

La référence à la psychologie génétique semble devoir éviter en grande partie ces problèmes, au sens oD celle­

ci se situe d'emblée dans un projet épistémologique et met l'accent sur les contenus en expliquant le développe­

ment de la pensée 1 ogi co-mathémat i que. Cependant, là aussi, les transpositions à la pédagogie des mathématiques ne vont pas sans poser de nombreuses questions : en par­

ticulier comment éviter le réductionnisme qui identifie la problématique de l'acquisition de contenus spécifiques à celle du développement cognitif? Certaines transpositions ont en effet abouti à cette identification comme si s'ap­

proprier une connaissance mathématique était équivalent à construire son intelligence.

Nous nous proposons d'analyser certaines de ces transpositions, en nous limitant à la scolarité élémentaire afin d'essayer de préciser le champ de la psychopédago- gie des mathématiques. Plutôt que de le faire en termes tout à fait généraux, la trame de l'analyse sera fournie par un thème actuellement central en pédagogie : l 'éla­

boration des objectifs pédagogiques. Ce thème pose pré­

cisément le problème du choix et de l'organisation des contenus d'enseignement, et oblige à mener une réflexion sur la spécificité de ces contenus.

1

Les débats que l'élaboration des objectifs alimente sont typiques d'une forme de rapports entre psychologie et pédagogie. Ils tournent en effet souvent autour de la question de savoir à quelle référence théorique i 1 faut avoir recours en psychologie pour fonder une méthode du choix des objectifs d'enseignement et de leur program­

mation. Ce thème devrait donc nous permettre de préciser

aussi bien l'apport que les limites du recours à une théo­

rie psychologique confrontée aux problèmes de l'enseigne­

ment des mathématiques.

Précisons bien qu'il ne s'agit pas ici de discuter les théories psychologiques pour elles-mêmes, mais seulement d'étudier l'utilisation qui en est faite en pédagogie et d'analyser les transpositions qui ont pu en résulter dans l'enseignement des mathématiques.

2. LA DEFINITION DES OBJECTIFS PEDAGOGIQUES ET LES FINALITES DE L'ENSEIGNEMENT DES flM THEflM TIQUES

La définition des objectifs pédagogiques d'un ensei­

gnement de mathématiques est à considérer comme le reflet d'une série de problèmes relevant de l'analyse glo­

bale du système éducatif, par l'interrogation qu'elle nécessite sur 1 es fi na 1 ités, 1 es contenus et 1 es méthodes d'enseignement et d'évaluation. Or ces problèmes sont traversés par les références aux différentes sciences hu­

maines constituées que sont la psychologie, la sociologie, l'histoire ou l'économie. Enseigner les mathématiques constitue en effet un projet global dont les finalités sont dé.terminées socio-politiquement. Leur analyse est primor­

diale si l'on veut donner un sens à la démarche psycho­

pédagogique considérée comme l'étude de l'acquisition de connaissances spécifiques et des conditions de leur appropriation.

Dans les débats sur la définition des objectifs, la question des finalités se pose d'emblée, puisque celles-ci servent de cadre général à la démarche. Or précisément, à ce niveau des finalités, surgit déjà le problème des rapports entre psychologie et enseignement des mathéma­

tiques. Ainsi la psychologie génétique a-t-elle été invo­

qu6e pour fournir des arguments dans ce domaine : par

exemple, améliorer le développement opératoire a pu devenir une finalité de l'enseignement rénové des mathé­

matiques. Plusieurs travaux de recherche ont été menés à ce sujet (cf. Pelnard-Considere et Levasseur I 1973· I

Mazure, 1974; Brun, 1975; Brun et Guignard, 1976). Il ne s'agit pas ici, comme c'est le cas dans ces travaux I

de discuter la pertinence de l'hypothèse d'un effet de l'enseignement des mathématiques sur le développement opératoire, mais simplement de préciser le statut de la transposition qui fait passer le développement opératoire dans le domaine des finalités de l'éducation. Ce faisant, on lui donne un rôle de norme de l'enfant idéal. En fixant à l'éducation l'objectif d'accélérer ou de compen­

ser le rythme du développement opératoire on mène la réflexion sur les finalités à partir d'une déduction depuis la psychologie, dont on isole un élément (en l'occurence d'ail leurs le point important pour la théorie n'est pas la vitesse de succession des stades, mais la permanence de leur ordre de succession). On a là un exemple d'une conception de l'application de la psychologie à la péda­

gogie qui réduit la réalité de cette dernière à un systè­

me théorique autonome, la coupant ainsi de la réalité sociale, dont relèvent les finalités de l'éducation.

Cette courte analyse n'est pas une simple précaution de principe que prendrait le psychologue quand il traite un prqblème social comme l'éducation, mais constitue le point de départ de l'ana 1 yse psychopédagogique.

Si, bien sûr,·la connaissance que fournit la psycho­

logie génétique des étapes du développement de l'enfant est à prendre en considération quand on veut fixer les contenus de l'enseignement des mathématiques et faire des hypothèses sur les possibilités de leur acquisition par les élèves, le choix de ces contenus et les exigences sur les seuils d'acquisition sont de l'ordre des finalités

du système éducatif. Ce problème des finalités "renvoie immédiatement à la considération des besoins de l'indi­

vidu dans la société, et aux besoins de la société elle­

même. C'est dire qu'il est par essence un problème po­

litique. La définition des finalités est donc un acte po­

litique qui dépend du type de société dans lequel se développe l'éducation, du niveau de développement de cette société, du mode des rapports de production, de l'ensemble des rapports sociaux à un moment donné de l'histoire de cette société." (M. Lumbroso, 1977, p.6.)

De plus il resterait à envisager le rôle véritable d'une finalité telle qu'accélérer ou compenser le dévelop­

pement opératoire des élèves qu moyen de l'enseigne­

ment des mathématiques, en le confrontant à d'autres finalités, peut-être moins explicites, du système éducatif.

On verrait alors quelle coupure de la réalité sociale opère cette transformation d'un concept théorique en but éducatif.

Si l'on analyse maintenant la logique de la démarche qui a conduit à faire jouer à la psychologie ce rôle nor­

matif, on est confronté à une autre série de transpositions à la pédagogie des mathématiques : celles relatives à la définition des contenus d'enseignement mêmes.

3. LA DEFINIT ION DES OBJECTIFS ET LES CONTENUS DE L'ENSEIGNEMENT DES MATHEMATIQUES

Pour définir les objectifs de cootenu on a pu s'ap­

puyer sur les travaux qui ont mis en évidence la construc­

tion progressive chez l'enfant des structures logico-mathé­

matiques, en exploitant le rapport de cette construction psychologique avec l'évolution historique des mathémati­

ques, rapport à propos duquel Piaget a écrit : "Par un processus en apparence paradoxal, mais psychologiquement naturel et fort explicable, les structures plus abstraites et

plus générales des mathématiques contemporaines re101- gnent bien davantage les structures opératoires naturelles de l'intelligence et de la pensée que ne le faisaient les structures particulières qui constituaient l'armature des mathématiques classiques et de l'enseignement." (J. Piaget,

1969, p.70 .) Alors que, par ce texte, Piaget cherche à établir la continuité du développement intellectuel jusque dans ses formes mathématiques les plus avancées, des inter­

prétations ont pu être faites dans le sens du fondement de la validité des structures mathématiques en question sur celle des structures opératoires, et ainsi d'une justification de certains contenus. Comme l'indique G.Cellérier :

"En montrant qu'à l'état terminal les structures implicites à la pensée logi co-mathématique spontanée de l'enfant et de l'adolescent rejoignent les 'structures-mères' sur les­

quelles repose la reconstruction bourbakiste de la totalité des mathématiques, Piaget ne fait que rétablir la continui­

té entre les réorganisations inconscientes des étapes ini­

tiales de l'intelligence et les constructions explicites et réfléchies de la pensée adulte. Il ne cherche en rien à démontrer la validité des 'structures-mères' en les fondant sur ces structures opératoires qui sont d'ailleurs plus fai­

bles. Cela serait en effet confondre deux problèmes qui sont distincts : l'explication de la genèse et le fondement de la validité. Oue, depuis Gœdel, les modes de solution de ces deux problèmes semblent converger puisque le fon­

dement des structures mathématiques actuel les ne peut plus être cherché que dans la construction des structures suivantes, cela atteste leur parenté profonde au-delà des antithèses du normatif et du constat if, mais ne justifie toutefois pas le passage déductif direct du fait à la norme sans recours à la construction de synthèses ou to­

talités intermédiaires." (Cellerier G., 1973, pp.27-28,) La confusion entre le problème des fondements et celui de !'.explication de la genèse aboutit à un réduc-

tionnisme psychologique qui, au plan de la définition des objectifs de contenus, a pu· conduire à une identification entre le domaine des contenus mathématiques et le domai­

ne opérotoi re. Comme pour Piaget en effet, du point de vue épistémologique, les connaissances mathématiques ont leur origine dans les coordinations d'actions, puis les opé­

rations du sujet, qu'elles prolongent sans en être dissociées, on pourrait croire qu'un enseignement systématique de ces opérations, prises isolément (classification, sériation par exemple), fournirait des contenus d'enseignement garantissant l'acquisition par l'enfant des connaissances spécifiques qui forment la discipline mathématique. Cette interprétation est beaucoup trop limitative, les opérations étant insuffisantes par elles-mêmes pour assurer l'acquisi­

tion de ces connaissances. On pourrait dire qu'elles y participent à titre d'ingrédients, mais n'en constituent pas les éléments.

Piaget exprime d'une autre manière cette continuité entre structures opératoires et mathématiques lorsqu' i 1 se place du point de vue didactique : "les structures opéra­

toires de l'intelligence, tout en étant de nature logico­

mathématiques, ne sont pas conscientes en tant que struc­

tures dans 1 'esprit des enfants : ce sont des structures d'actions ou d'opérations, qui dirigent certes le raisonne­

ment du sujet, mois ne constituent pas un objet de ré­

flexion de sa part... L'enseignement des mathématiques convie au contraire les sujets à une réflexion sur les structures." (J. Piaget,

1969,

^p.

69.)

Cette "réflexion sur" a souvent été transposée comme une simple menta- 1 isation qui traduirait ces structures inconscientes en struc­

tures réfléchies. Nous la comprenons comme un véritable dépassement, qui produit des objets de connaissance nou­

veaux, les "objets" mathématiques, à construire sous tous leurs aspects en particulier symboliques. Il est d'ailleurs bien précisé, dans ce même texte, qu'il y a loin de la

position épistémologique à la pratique pédagogique :

"le problème pédagogique subsiste donc entièrement, malgré le progrès de principe réalité par le retour aux racines naturelles des structures opératoires, de trouver les méthodes les plus adéquotres pour passer de ces struc­

tures naturel les mais non réfléchies à la réflexion sur de telles structures et à leur mise en théorie" (idem, p.

72).

De cette identification entre le domaine opératoire et les contenus d'enseignement découle sans doute la mise en place d'objectifs visant le développement opératoire.

On peut certes faire l'hypothèse que l'enseignement des mathématique ait un effet sur le dynamisme du développe­

ment, mais ce n'est pas en substituant l'apprentissage d'o­

pérations isolées que l'on provoque cet effet (cf. Brun,

1975).

D'autre part, il est évident que le problème de l'ac­

quisition des mathématiques ne se résume pas à celui de la genèse des instruments intellectuels, mais concerne principalement l'actualisation de ces instruments intellec­

tuels en des connaissances spécifiques. Ce qui intéresse surtout le didacticien "c'est le statut de la connaissance en tant que produit non nécessaire du développement opé­

ratoire. Les connaissances y sont spécifiées par leur ob

j

^{et ,}

ainsi que par leur propriété ultime d'être identifiables par le sujet lui-même à titre de produit plus ou moins manipulable." (Desjardins M., Hetu J.CI.,

1974,

^pp.4-5.)

Elles seront reconnues comme telles parce qu'elles per­

mettent de résoudre certains problèmes et de maîtriser certaines classes de situations.

La psychopédagogie des mathématiques est alors con­

cernée par ! 'étude de la construction et de 1 'appropria­

tion de ces connaissances proprement dites; elle se centre sur l'identification de leurs états successifs chez l'élève, des modèles provisoires qui fonctionnent et de leurs pro­

cessus de transformation. Cette étude se fait au moyen

de l'analyse des procédures qu'utilise l'élève, en rapport avec les situations-problèmes que lui propose l'enseigne­

ment des mathématiques (cf. Vergnaud,

1977).

C' est à ce sujet que le cadre de référence constructiviste est à mettre en rapport avec la psychopédagogie des mathéma­

tiques, grâce au champ d'hypothèses qu'il pennet, et non par substitution des domaines traités.

4.

LA DEFINITION DES OBJECTIFS ET L'ORGANISATION DES CONTENUS

Outre l'identification des notions à enseigner, la dé­

finition des objectifs amène à préciser quel ordre on va mettre entre les notions pour planifier la progression de

l'enseignement.

Dans sa première conception, la méthodologie .de la programmation des objectifs se consacrait à une analyse détaillée de l'enchaînement des concepts à enseigner.

Il s'agissait d'une analyse régressive à partir des compor­

tements finaux attendus, eux-mêmes décomposés en com­

portements partiels constituant autant de passages obligés pour l'acquisition des concepts. Cette interprétation li­

néaire de la genèse amène, comme l'indique J.Leplat,

"à confondre les conditions de la conduite finale avec

celles .de sa construction ... A se centrer trop exclusive­

ment sur la conduite finale, on risque de caractériser la genèse par un modèle qui n'a rien à voir avec celui du processus effectivement mis en jeu par le sujet." (J. Lep lat,

1974,

p.5.)

Cette démarche a parfois été transposée en pédagogie des mathématiques en référence à la construction de la pensée logico-mathématique : on cherchait alors, par une analyse régressive, à repérer dans les études génétiques les étapes de la construction d'une notion. Cette analyse est intéressante si elle consiste à ajuster le programme

aux possibilités de la pensée de l'enfant, mais el le com­

porte le risque de confondre les étapes avec le dynamis­

me de la genèse. C'est sans doute à ce genre de confu­

sion que participent certaines interprétations pédagogiques de la construction du nombre. Retenant que le nombre est une coordination de la sériation et de l'inclusion des classes, on fait de celles-ci des sous-objectifs, que l'on exerce isolément avant de parler du nombre, comme si l'enfant n'avait aucune expérience de celui-ci et si aucun modèle du nombre ne fonctionnait chez lui. Ainsi, du nombre, il ne serait question en classe qu'après des activités préparatoires censées le donner tout construit : on plaque alors sur une collection d'objets, dont on doit oublier les aspects qualitatifs, un symbole numérique, té­

moin de la coordination des sériations et classifications antérieures. On a ainsi figé la description psychogéné­

tique.

Cette question de l'organisation des contenus s'avère très difficile. Elle pose le problème de savoir sur quelle

"logique" on va fonder la structuration des acquisitions.

Le débat se circonscrit souvent entre l'option "mathéma­

tique" selon laquelle une analyse logique sérieuse de la matière, surtout aussi structurée que les mathématiques, suffit à se donner les étapes d'une progression, et l'op­

tion "psychologique", qui s'appuie sur la structuration progressive de la pensée logico-mathématique. Nous po­

serons plutôt le problème de l'organisation du contenu comme spécifiquement psychopédagogique, en tennes de situations et de séquences des problèmes à proposer aux élèves. Il manque, à l'heure actuelle, pour pouvoir ré­

pondre un peu mieux à cette question, des données pré­

cises �ur l'analyse de l'activité de l'élève en situation de résolution de problèmes mathématiques. On verra que les travaux de recherche actuels s'orientent dans cette voie, afin de mieux connaître l'évolution de la construc-

tion des modèles que les élèves mettent en œuvre à pro­

pos de ces connaissances spécifiques. l'analyse de cette activité est une exigence pour comprendre le processus d'acquisition de l'élève, en identifiant les états d'organi­

sation des notions et les niveaux de représentations cons­

truits et à partir desquels tout nouveau problème prend un sens. Organiser le contenu en référence à la seule conduite finale attendue fait aussi courir le risque de ba­

naliser les contenus intennédioires, alors que prendre en considération l'état d'organisation d'une notion chez l'élève c'est plutôt recon�oître comment, dons son activité de solution de problème, il remet en question Je modèle qui fonctionnait jusque-là. Alors l'objectif de contenu devient le problème même.

l'analyse psychopédagogique se centre ainsi sur l'étude des procédures, c'est-à-dire les conduites, en ter­

mes d'actions, et des formulations que produit l'élève, et qui manifestent l'interprétation et le traitement qu'il fait d'un problème. Cette étude des procédures devient Io question centrale si l'on veut comprendre Io démarche d'acquisition des notions, en relation avec une théorie de Io formation des connaissances". Nous nous situons là dons Io problématique développée actuellement par G. Vergnoud

(197 7)

_: dons une recherche sur 1 es structu­

res additives ('krgnoud et Durand,

1976),

ont été mis en évidence les différents types de "calculs relationnels"

traités par les élèves dons la solution de problèmes de complexité variée, ainsi que leurs procédures de résolu­

tion. Cette recherche a été prolongée par F. Conne (cf. article qui suit). Ces travaux fournissent une grille de lecture des réussites et des échecs dons l'activité de solution de problème. Pour donner un exemple simple, relatif à cette recherche, prenons le problème suivant :

"Claude a

5

billes. Il joue une partie de billes. Après la partie il a

9

billes. Que s'est�il passé ou cours de

Io partie ?" li s'agit de trouver la tronsfonnation qui fait passer d'un état initial à un état final, tous deux connus. les réponses fournies ont un statut différent selon que Io procédure utilisée est l'inversion

(9-5=X),

la complémentotion

(5+ X= 9)

ou une simple hypothèse faite sur l'inconnue ("j'essaie avec 3, puis

4).

_Reconnaî­

tre 1 es représentations qui fonctionnent derrière les pro­

cédures pennet de reconstruire l'évolution des notions chez l'élève.

Cette analyse se distingue d'une approche stricte­

ment psychologique : dans celle-ci ce sont les instru­

ments intellectuels qui sont objets d'étude, alors qu'une psychopédagogie des mathématiques est confrontée au problème de leur exploitation en des connaissances ex­

plicites. C'est de ces dernières et de leur fonctionnement que port cette analyse psychopédagogique. Elle est ce­

pendant insuffisante par elle-même car se pose ensuite le problème de l'intervention pédagogique censée foire évoluer les représentations des élèves.

5.

_LA DEFINITION DES OBJECTIFS ET LES METHODES D'ENSEIGNEMENT

li fout tout d'abord bien préciser le statut du type d'analyse qui vient d'être développé. Avec l'étude des procédures nous en sommes à essayer de comprendre 1 'or­

ganisation des notions mathématiques proposées par l'éco­

le aux élèves, mais i 1 ne s'agit pas de transformer ces procédures en moyens d'enseignement. Par exemple pour vérifier l'équivalence de deux collections, l'enfant peut bien tracer des flèches entre les objets qui les compo­

sent, comme on lui apprend à le faire, mais il peut aus­

si se contenter d'une correspondance optique si les objets ne sont pas trop nombreux, ou biffer chaque élément des collections terme à terme, etc ... li procède différemment

selon les particularités de la situation proposée. Relever ses procédures pour les enseigner directement serait les figer et leur faire perdre leur caractère heuristique pour l'enfant. Ce serait, d'une autre manière, répéter le type de transposition des contenus opératoires, en isolant ces procédures, comme ce fut le cas pour ces derniers, de leur fonctionnement. C'est l'activité qui prime, et il n'y a pas d'activités sans problèmes.

Les travaux qui viennent d'être évoqués constituent donc un moyen pour faire progresser l'analyse des faits psychopédagogiques, et pour fournir aux maîtres des outils permettant de décoder les conduites des élèves, mais ils n'ont pas un statut didactique à proprement parler, au sens où ils ne fournissent pas de situations-problèmes à l'enseignement. Cependant leur fonction pédagogique est loin d'être négligeable, du fait du changement de perspective qu'ils exigent, en particulier envers la signi­

fication de l'erreur qui n'est plus considérée d'un point de vue seulement négatif, ainsi que de la réussite, qui devient également relative. Autrement dit ces travaux sont la condition d'une interprétation pertinente de la construction des notions mathématiques, mais il reste à étudier en quoi une situation, une séquence de problè­

mes sont appropriés pour faire évoluer les représentations des élèves. Se pose alors la question des méthodes péda­

gogiques, ou des activités à proposer en classe, et de leur rôle dans Pélaboration des notions mathématiques.

Cette interrogation sur les modalités par lesquelles l'élève s'approprie ces connaissances a permis de dépas­

ser la conception où les objectifs de contenus sont à assimiler par addition progressive, selon des performances aux statuts identiques. On en vient maintenant à la né­

cessité de définir des objectifs "formatifs". On opère un changement d'accent, les contenus n'étant conçus que relativement à l'activité de l'élève. L'analyse de cette

activité, en rapport avec les conditions dans lesquelles elle est produite, devient la question théorique importan­

te si l'on veut répondre à ce problème des objectifs for­

matifs en d'autres termes que généraux, comme on y est souvent contraint actuellement; par exemple : favoriser l'activité, la manipulation d'objets, la recherche sponta­

née, la coopération, etc ^•.• C'est déjà une évolution im­

portante dans la conception des méthodes, mais on est maintenant confronté au problème de l'analyse de l'acti­

vité en situation scolaire pour pouvoir préciser ce qui est "formatif".

On interroge alors le champ de la psychologie rela­

tif au dynamisme du développement et aux mécanismes de la cognition. Tout d'abord le caractère interaction- niste de l'épistémologie génétique est à prendre en compte:

le sujet fait évoluer ses connaissances par les adaptations progressives que nécessitent ses actions confrontées à la réalité. Dans cette optique épistémologique cependant, le rôle spécifique du réel et des résistances particulières sur lesquelles l 'enfont bute n'est guère développé pour lui-même, et les aspects différentiateurs du milieu ne sont guère pris en considération. Or, l'organisation du milieu est précisément un des problèmes majeurs du didac­

ticien : dans un système éducatif donné, il cherche à provoquer des adaptations progressives en mettant les élèves face à des problèmes mathématiques. Quels pro­

blèmes précisément? Quels types d'activité l'école, ou tout système de formation, est à même de proposer?

"En effet, i 1 convient de rappeler que les mathématiques ne sont acquises et maîtrisées que par la voie d'un ensei­

gnement, même si l'on peut considérer que les activit6s mathématiques en tant que telles prolongent un .certain nombre d'opérations intellectuel les qui trouvent leun sources dans les expériences de l'enfant. L'enselgn9ment des mathématiques exige donc l'appropriation d'un certain

nombre d'objets, de modalités opératoires, qui sont codi­

fiées et réglées." (J.Beauvais, 1976, p.41.) Ceux-ci sont marqués historiquement et socialement, et poser le problè­

me de leur appropriation en termes d'interaction ne renvoie pas seulement à une confrontation avec un réel indifféren - dé. La réalité scolaire est le lieu où se jouent l'acquisi­

tion des connaissances, ainsi que les échecs, et où des modes d'appropriation préférentiels sont à l'œuvre, ren­

voyant à des choix sur les situations d'apprentissage.

De plus ces choix sont à mettr� en relation avec les fi­

nalités de l'enseignement.

Les travaux de la psychologie fournissent des hypo­

thèses à une problématique des situations didactiques.

Ainsi, en psychologie génétique, les travaux sur ! 'appren­

tissage de B.lnhelder, H.Sinclair et M.Bovet (1974) per­

mettent d'entrevoir une convergence avec les questions didactiques. Les mécanismes de l'apprentissage qui y sont mis en évidence ont pu être plus ou moins réinterprétés dans un contexte pédagogique : on fait alors référence principalement au rôle du conflit et de la contradi et ion.

La didactique des mathématiques a beaucoup à retenir de ces mécanismes, à condition, nous semble-t-i 1, de ne pas oublier que ceux-ci ont été étudiés dans la perspective bien précise du développement cognitif, et d'éviter de tomber dans les transpositions pures et simples, par exem­

ple celles des types de situations utilisées. Celles-ci reposent sur un découpage de Io réalité nécessaire pour l'objet traité expérimentalement, qui ne correspond pas à la réalité complexe à laquelle est confronté l'élève qui cherche à s'approprier des mathématiques. L'analyse psychopédagogique de cette appropriation nécessite que soit précisée l'étude des interactions en termes non seule­

ment des propriétés formelles de la situation, mais aussi des variables spécifiques de cette situation que les élè­

ves tentent de résoudre.

On rejoint alors, sous couvert d'objectifs formatifs, la question de la pertinence de l'activité : quand on parle de problème significatif, ou non, pour l'élève, à quoi renvoie-t-on ? Beaucoup d'aspects interviennent sans doute, actuellement peu éclaircis : non seulement le niveau structural de la notion que le problème veut met­

tre en évidence, mais aussi le contenu matériel du pro­

blème {ou, en termes psychologiques, "l'habillage" de la tâche), ses composantes symboliques, les aspects rela­

tionnels en jeu dans l'approche pédagogique proposée, etc ^..•

Par exemple, l'enseignement des mathématiques à l'école primaire insiste beaucoup, avec à-propos, pour redonner une place importante aux manipulations sur des objets, pour que l'élève construise les notions à partir de l'activité exercée. On vise ainsi à favoriser la com­

préhension mathématique conçu� ccrnme prise de conscien­

ce des coordinations d'actions.CMais par souci, sans doute, de distinguer l'activité mathématique de l'activité physi­

que, on a parfois l'impression que, dans ces situations, l'objet est mis entre parenthèses et considéré comme quelconque, comme s'il ne jouait ancun rôle, autre que de support, pour l'enfant qui manipule. C'est une varia­

ble de la situation dont on ne peut faire l'éconcrnie, car si l'activité mathématique peut bien se définir comme une réflexion sur les actions mêmes et non sur les objets, cela ne revient pas à dire que, dans la démarche d'acqui­

sition, l'objet ne compte plus; il est une des modalités par lesquelles

p

asse cette acquisition. On voit là l'exem­

ple même du biais que fait subir la transposition pure et simple des énoncés de la psychologie à la pédagogie : puisqu'on se donne telle définition de l'activité mathéma­

tique,. les modalités de sa mise en place et de son dérou­

lement vont s'y réduire.

Ainsi en est-il de certains "jeux" mathématiques construits avec la seule préoccupation de la forme de l'activité qu'ils suscitent. Or la distinction forme - con­

tenu n'existe pas aussi clairement pour l'enfant au niveau de son activité spontanée. Haroche et Pêcheux (1972) soulèvent ce problème lorsqu'ils signalent l1ambiguné du terme 11tâche11 en psychologie : "dans la mesure où les structures cognitives apparaissent comme ce qui reste invariant à travers la multiplicité des situations, on con­

çoit dès lors que ce qu'on appelle 1 la tâche' dans les expériences portant sur la résolution de problèmes soit précisément et exclusivement définie par la nature de l'invariant formel qu'elle met en jeu. Les 'contenus' de la tâche apparaissent du même coup nécessairement comme extérieurs à l'invariant formel qui constitue la définition de celle-ci; en d'autres termes, ils intervien­

nent à titre de modalités situationnelles inessentielles, comme résidus du filtrage cognitif de l'objet, sa pure apparence, son habillage, ce qu'on traduit en parlant de présentation, ou d'habil loge de la tâche. Il est à remarquer qu'on ne sait pas formaliser les particularités de l'habillage, qu'on ne sait pas définir des classes d'habillage, ·et qu'on ne peut donc pas déterminer pour­

quoi et comment ces éléments (présentation, habillage) jouent un rôle. Ayant été théoriquement éliminés, les 'contenus' réapparaissent sous forme empiriste de freins cognitifs, de décalages horizontaux, de l'effet de stéréo­

types, etc ^.•• 11 (pp.76-77). Dans le cas des situations didactiques on ne peut se satisfaire de ce rôle annexe attribué aux "contenus", sous peine de se priver sans doute d'éléments importants dans l'analyse des mécanis­

mes en jeu dans l 1appropriation des connaissances en contexte scolaire.

On est alors renvoyé à la question de l'activité pour l'élève. Certains apprentissages mathématiques

réalisés seulement pour 11 révéler11 une structure risquent souvent d'offrir un concret qui ne peut guère avoir de signification pour l'élève, tellement il doit en avoir pour la structure ! Ce n'est pas là une question de motivation, au sens courant du terme en pédagogie, mais de pertinence du réel pédagogisé et du décolla­

ge sémantique qu' i 1 peut provoquer.

6. PERSPECTIVES

Nous avons essayé d•approcher le cadre général d'une psychopédagogie des mathématiques en faisant un retour en arrière sur certains rapports établis entre psycho­

logie et enseignement des mathématiques. Il nous reste à préciser rapidement quelques perspectives.

Les questions posées actuellement à la psychopédagogie des mathématiques nécessitent une ligne de recherche qui tente d'articuler une problématique des situations didacti­

ques en relation aveè celle des procédures d'acquisition des connaissances mathématiques. On pourrait dire qu'il s'agit d'une psychologie du travail scolaire centrée en premier lieu sur l'étude de ces procédures d'acquisition des notions. Nous nous situons là dans la direction de recherche développée par G. Vergnaud (1977) : "Toute étude psychologique suppose d'abord l'étude des procé ­ dures ou règles d'action du sujet. A côté des procédures canoniques et algorythmiques existent de nombreuses procédures non canoniques, localement efficaces, tenant compte d'une partie des propriétés des données. Il faut respecter ces procédures, les relever, les comprendre.

C'est là qu'est la clef de l'obstacle rencontré par l'en­

fant et aussi le chemin par lequel on peut lui faire com­

prendre certaines difficultés.

L1 erreur est aussi intéressante, du point de vue du métier du maître, que la bonne réponse. Mais l'interpré-

tation des erreurs et des procédures des élèves suppose que des recherches systématiques soient faites qui placent en perspective les procédures les unes par rapport aux autres et qui les relient aux différentes classes et sous­

classes de situations

(

_*).

L'étude psychologique ne se bome pas à l'étude des procédures; elle étudie également les représentations, soit en les inférant des procédures observées, soit en considé­

rant les différents systèmes de signifiants utilisés par l'é­

lève (le langage courant, les schémas, les écritures mathé­

matiques ^.•• "

(p

^.

62) (

_**). Cette étude des procédures et des représentations revêt toute sa signification en psycho­

pédagogie des mathématiques lorsqu'elle prend en compte les caractéristiques de la situation didactique (au sens restreint de situation-problème, et au sens large de con­

texte éducatif) afin de préciser les conditions de produc­

tion et d'évolution de ces procédures et de ces représen­

tations. L'intention n'est pas de s'orienter vers la recher che de matériels pédagogiques idéaux mais d'analyser par quelles modalités objectives passe l'actualisation des con­

naissances mathématiques et leur appropriation.

Cette recherche systématique sur l'activité mathéma­

tique en situation est développée par

G.

_Brousseou

(1977)

pour qui "Io didactique théorique est l'étude des activités relatives à un projet social de faire approprier à un sujet un savoir constitué ou en voie de constitution. Ces acti­

vités consistent essentiellement en un contrôle des rela­

tions de l'élève avec son milieu. Elles ne sauraient être conçues sons qu'on fasse intervenir la spécificité du sa­

voir et sans sortir de ce savoir."

(G.

Brousseau,

1978,

_p.3.)

(

_*) Souligné par nous.

(

_**

)

L'article suivant de F. Conne rend compte d'une telle analyse.

La didactique ainsi définie vise une connaissance du pro­

cessus d'appropriation d'un savoir particulier, en emprun­

tant à Io fois à Io psychologie cognitive et sociale, à l'épistémologie, aux mathématiques, sans se réduire à au­

cune d'elles, comme c'est souvent le cos des "applica­

tions".

G.

Brousseou pose Io question des situations didacti­

ques en relation avec Io construction du sens d'une con­

naissance mathématique : "Nous admettrons que Io consti­

tution des sens, tel que nous l'entendons, implique une interaction constante de l'élève avec des situations pro­

blématiques, interaction dialectique (cor le sujet anticipe, finalise ses actions) où il engage des connaissances anté­

rieures, les soumet à révision, les modifie, les complète, ou les rejette pour former des conceptions nouvelles.

L'objet principal de Io didactique est justement d'étudier les conditions que rempliront les situations ou les problè­

mes proposés à l'élève pour favoriser l'apparition, le fonctionnement et le rejet de ces conceptions."

(

_*

)

(p.

109)

Et plus loin : "Dons ces conditions, l'intérêt d'un problème va dépendre essentiellement de ce que l'élève y engagera, de ce qu'il y mettra à l'épreuve, de ce qu'il y investira, de l'importance pour lui des rejets qu'il sera conduit à faire, et des conséquences prévisibles de ces rejets, de Io fréquence avec laquelle il risquerait de commettre ces erreurs rejetées et de leur importance.

Ainsi les problèmes les plus intéressants seront ceux qui permettront de franchir un obstacle." (pp.

104-105)

_La

pédagogie intervient à propos du franchissement d'un obstacle qui "implique très souvent à la fois une restruc­

turation des modèles d'action, du langage et du système de preuves. Mais le didacticien peut en précipiter les

(

_*

)

Souligné par nous.

ruptures en favorisant la multiplication et l'alternance des dialectiques particulières." (idem, p. 111.) Brousseau pose alors le problème pédagogique de la façon suivante:

"Il s'agira, non pas de communiquer les infonnations qu'on veut enseigner, mais de trouver une situation dans laquelle elles sont les seules à être satisfaisantes ·ou optimales - parmi celles auxquelles elles s'opposent - pour obtenir un résultat dans lequel l'élève s'est investi" (p. 109); ou encore, il s'agit "d'identifier en même temps qu'une étape d'un concept, une situation qui pose à l'élève une ques­

tion (de l'élève) à laquelle cette étape soit une réponse 'constructible' dans le système de l'élève" (p.109).

Avec cette brève présentation des lignes directrices caractéristiques de l'orientation actuelle de la psychopé­

dagogie des mathématiques, il faut indiquer les perspecti­

ves qui s'offrent à la pratique de l'enseignement. Dans celle-ci en effet des travaux sont développés pour donner leur place aux situations-problèmes (cf. les travaux de G. Charrière). Cette problématique se retrouve égale­

ment pour la fonnation des maîtres, où l'analyse de la résolution de situations diverses, retenues comme champs d'hypothèses, se substitue à l'apport de connaissances ma­

thématiques et psychologiques entièrement dissociées.

REFE R E N C E S

BEAUVAIS J., Problèmes posés par l'enseignement des mathématiques. Rééduca­

tion orthophonigue, 1976, �, pp.41-57.

BROUSSEAU G., Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathémati­

ques. ln : La problématique et l'enseignement de Io mathématique.

Comptes rendus de Io XXVllle rencontre organisée par Io Commission Internationale pour l'Etude et !'Amélioration de !'Enseignement des Mathématiques. Louvain-Io-Neuve, 1976, pp.101-117.

BROU SS EAU G., L'étude des processus d'opprentissoge en situations scolaires.

ln : Enseignement Elementoire des Mathématiques, IREM de Bordeaux, 1978, .!!!1 pp.2-6.

BRUN J., Education mathématique et développement intellectuel. Thàse de 3e cycle. Université de Lyon Il, 1975.

BRUN J., GUIGNARD N., Mathématique et raisonnement. Service de Io Recherche Pédogogi<f>e, Genàve, 1976, 10.

CELLERIER G., �· Paris, P.U.F., 1973.

DESJARDINS M., HETU J.CL., L'activité mathématique dons l'enseignement des fractions. Montréal , Les Presses de !'Université du QIHlbec, 1974.

HAROCHE CL., PECHEUX M., Facteurs socio-économiques et résolution de problèmes. Bulletin du C.E.R.P., 1972, XXI, No 2-3, pp.67-83.

INHELDER B., SINCLAIR H., BOVET M., Apprentiuage et st11Jctures de Io connaissance. Paris, P.U.F., 1974.

LEPLAT J., Analyse du travail et genàse des conduites. Revue Internationale de Psychologie Appliquée, 1976, 25, No l, pp. 2-14.

LUMBROSO M., A propos de Io définition des objectifs pédagogiques. ln : Pédagogie par objectifs ou objectifs en pédagogie, Actes du Colloque d'Orléans, IREM d'Orléans, 1977, No 7, pp. 4-10.

MAZURE J., L'apprentissage de Io mathématique moderne, Paris, P.U.F., 1974.

PELNARD-CONSIDERE J., LEVASSEUR J., Pédagogie nouvelle en mathématiques et développement intellectuel, Revue Françoise de Pédagogie, 1973, 23.

PIAGET J., Psychologie et Pédagogie, Paris, Denol!I, 1969.

VERGNAUD G., Activité et connaissance opératoire. Bulletin de l'APMEP, 19n, No 307, pp. 52-65.

VERGNAUD G., DURAND C., St11Jctures additives et complexité psychogénéti­

que. Revue Françoise de Pédagogie, 1976, No 36, pp.28-43.

********fr

PIERRE BERTRAND CLAUDE PAUL LAURENT MICHEL ET LEURS BILLES

Contribution à l'analyse d'activités mathématiques en situation

François Conne

A VA NT-PROPOS

1. FILTRE

J'annonce la couleur pour qu'on ne se trompe pas trop sur la marchandise.

1. Ce texte, c'est un peu comme un soufflé raté. Trop lourd, chargé et compliqué.

2. Mon propos aura été celui-ci : A partir des réponses d'élèves à des problèmes d'arithmétique, j'ai eu l'intui­

tion de saisir pas mal de choses quant aux procédures déployées. Cette intuition aura été un assez bon navire pour partir à l'aventure d'une analyse fouillée. Naviga­

tion hasardeuse et assez labyrinthique. Je n'en parlerai donc pas très précisément.

Alors, j'ai essayé de rendre compte de cette intui­

tion tout en présentant l'analyse des procédures des élèves. Quel était l'enjeu de tout cela?

-·-·--- ·--

A. Si les psychologues reconnaissent l'étude des procé- dures des élèves, les mathématiciens, eux, évoquent la grande diversité et l'irrationnalité de ces procédures pour justifier leur désintérêt. Seul compte en définitive le résultat et sa réécriture en en termes rationnels. Une procédure excentrique n'est prise en considération que si elle amène à un résultat jugé acceptable. Cette prise en considération sera alors soit agacement soit amusement intense, tout dépendra de la compréhension qu'on en a (et évidemment de l'auteur de la procédure : Tartenpion ou Archimède

!) .

J'ai alors voulu montrer qu'on pourrait s'intéresser aux procédures en tant que tel les tout en gardant un point de vue mathématique. Ainsi dans le texte qui va

suivre le cadre d'analyse n'est pas psychologique mais mathématique. L'entonnoir précisera ce cadre.

B. Mes intuitions premières n'ont rien d'extraordinaire, vous le verrez, mais bien peu de gens ont essayé de les pousser jusqu'au bout. "A quoi bon se torturer ainsi les méninges?" m'a-t-on déjà souvent dit. .. Le texte mon­

trera en fin de compte la richesse de telles intuitions et que chacun devrait y faire plus attention. Et iCi, je m'adresse tout spécialement aux enseignants, non pour les inviter à l'analyse, mais pour leur dire que la pensée de leurs élèves n'est pas insondable, loin de là. Et que ce compréhensible n'est pas n'importe quoi :

Malheureusement pour moi, plus je fais lire ce texte et plus je me rends compte de sa difficulté. Je me sens alors obligé de rajouter quelques avertissements/conseils.

1. Vous n'y tr�uverez pas de résultats tangibles concer­

n·ant l'enseignement de la soustraction, ni des problèmes d'arithmétique. Vous n'y trouverez pas non plus de liste exhaustive de tout ce que vous pourriez attendre comme

"réponses d'élèves". Vous y trouverez autre chose : une clef qui vous montre comment on peut rattacher les pro­

cédures d'acquisition par les élèves à un objet mathémati­

que bien constitué, 7L . Si vous faites repasser ces problèmes à des élèves, vous ne retrouverez peut-être pas exactement les mêmes procédures que cel 1 es qui sont décrites; mais je puis assurer que la clef fonctionnera.

2. Si vous cherchez une conviction, une démonstration, vous aurez l'impression de les trouver par-ci, par-là.

Mais vous serez rapidement déroutés, car ces moments de conviction seront vite enfouis sous de nouvelles considé­

rations problématiques. En fait ce texte ne vise pas une conviction sur les thèses évoquées. Les parties démonstra­

tives ne jouent qu'un rôle de catalyseur ^.•.

3. Je n'ai pas encore mis sur pied d'expériences vérifi­

catrices. Il s'agirait de trouver de bonnes expériences qui permettent de confirmer cette analyse mais qui soient de portée plus générale que ces stupides problèmes de billes. D'autre part je ne sais encore rien sur la métho­

de à utiliser pour cette vérification. Car ce n'est pas à _{coup de} x2 qu'on s'en tirera ...

4. Conseil : Faites les problèmes oralement, à toute allu­

re et notez le résultat. Ensuite réfléchissez à votre pro­

pre procédure, à ce qui se passe dans votre tête. Faites faire ces problèmes à votre conjoint, ... vache, cochon, couvée ...

5. Conseil: Dites-vous bien qu'il y a deux plans à _dis­

tinguer, celui du raisonnement/représentation et celui du calcul. Ces deux plans sont en interaction puisque c'est le raisonnement qui dictera le calcul et lui donnera son sens, mais comme en retour le problème doit être calcu­

lable, le calcul dirige le raisonnement.

6. Utilisez la feuille volante et n'hésitez pas à _relire le texte.

Il. ENTONNOIR

A. Ici, on considère 2 objets mathématiques pour les nombres :

(/!V, +,

-

, �)

_{et (}

ll

_,

+, �)

1. _Soit //'( ₌

{

0, 1,2,3,. _..

}

l'ensemble des nombres entiers naturels. Sur cet ensemble on considère la rela­

tion d'ordre � _{, et} 2 opérations : addition et soustrac­

tion.

Les nombres sont des entités ordonnées, et c'est cet ordre qui définit les opérations d'addition et de soustrac­

tion (vision Peaniste). Cet ordre est le plus contraignante qui soit, puisque tout élément est comparable à _{tout au­}

tre (ordre total) et qu'il y a toujours un plus petit élé­

ment (bien ordonné).

L'addition est une opération toujours effectuable (partout définie) qui, en outre, jouit de propriétés impor­

tantes telle que l'associativité, la commutativité ^{. .•}

La soustraction n'est . pas une opération toujours effec­

tuable, elle est conditionnée par l'ordre des nombres à soustraire : a-b n'est défini que si a �b. Cette opération n'est ni associative, ni commutative.

Addition et soustraction sont des opérations inverses l'une de l'autre.

2. 7L est l'ensemble des nombres entiers naturels auxquels on a associé un opposé : -a est associé à _a, -0=0.

Le fait de se donner un opposé permet de considérer que addition et soustraction sont les deux volets d'une seule opération, notée abusivement + parce qu'elle jouit toujours des bonnes propriétés d'associativité et de com­

mutativité :

L'addition garde sa définition

La soustration s'exprime en termes d'addition par le passage à l'opposé : a-b ⁼ a+(-b). Elle devient alors toujours possible (a-b ⁼ -(b-a)).

On considère alors sur 7L un ordre qui "prolonge"

celui de IN. Deux points importants à _noter à ce propos:

a) l'ordre est redéfini de Io façon suivante.

Si a �b {ds/N) alors -b �-a (dans

7L ).

b) l'ordre de7l diffère de l'ordre de/Npar le fait que

7l n'a pas de premier élément

( ll

n'est pas bien ordonné).

B. _Calcul

1. _Dans

/N,

le calcul de l'addition et de la soustraction se fait sur l'ordre d�s nombres. Ainsi le (a+b)ème nombre c'est le bème nombre après a. Il en est de même pour la sous­

traction. Notons cependant que la soustraction renvoie à une situation de tout à _partie.

2. _Dans

7L

_i 1 faut distinguer calcul numérique et calcul sur les signes (ou algébrique). Pour ce qui est du calcul numérique, aucun changement. Le calcul algébrique permet en outre de ramener .tout calcul de 7L à une opération numérique de IN. Le calcul algébrique est un calcul d'oppositions (amis des amis= ami, etc . ... ). La distorsion de l'ordre provoque des difficultés bien connues.

C. Modèles de représentation :

Quantités, transformation, modèles intermédiaires.

1.

(IN,

�, +, -) est bien évidemment le modèle des quan­

tités (états). Les deux opérations renvoient aux actions d'ajouter on enlever des éléments. Ajouter et enlever sont des opérations inverses, etc. , etc ...

2.

(7l,�,

+) est un bon modèle pour les transformations.

Dès qu'on raisonne uniquement sur les actions ou les trans­

formations (ajouter, enlever, gagner, perdre, ... ) il devient clair qu'il n'y a plus qu'une opération : la composition des actions. (Une suite d'actions se combine en une résul­

tante et ceci d'une seule façon. ) Il n'y a pas de trans­

formation de transformations.

Donc une seule opération.

A chaque action ou transformation correspond une

action ou transformation inverse.

Le modèle

(7L ,

';;!::, +) s'applique donc parfaitement.

L'opération + n'a plus comme rapport les transformations elles-mêmes, mais bien l'effectuation d'un bilan. Ainsi par exemple : le bilan des 2 transformations : perdre 7 billes puis perdre 5 bi lies se fait par une addition bien qu'on ait affaire à des pertes !

Pour ce qui est de l'ordre, on peut ordonner les transformations en fonction des quantités auxquelles elles se rapportent. Cependant, la distorsion se fait lorsque perdre 7 _bil 1 es c'est perdre pl us �e bi 11 es) que perdre 5 billes (pertes ordonnées selon les quantités) alors que le modèle

7l

voudrait que perdre 7 billes soit moins

(bien) que perdre 5 billes. ^--

3. Modèles intermédiaires (cf. p.56 problème

TXT)

11 se peut cependant que, dans certaines conditions, le modèle

(IN,

�, +, -) s'applique aux transformations.

C'est ce que j 'appel 1 e des procédures de registre. Dans le registre des pertes, par exemple, les pertes sont con­

sidérées comme des quantités à part entière, ordonnées de ia façon naturelle. Faire une perte puis une perte devient alors ajouter à la perte; faire une perte puis un gain devient enlever à la perte {ou diminuer la perte).

Une tel le procédure repose sur

( IN,

�, +, -) et sur un système d'opposition (perte/gain) ainsi que des règles qui permettent de choisir le registre approprié voire même de changer de registre �n cours de route

(en remettant le compteur à zéro). Les règles de choix d'un registre sont dictées par des considérations sur les ordres ·de grandeur des transformation ainsi que l'ordre temporel des transformations.

D. Indices du calcul

Trouver une réponse à un problème, c'est le rendre calculable (qu'importe le juste ou faux). Or on l'a vu, le calcul repose avant tout sur des considérations rela­

tives aux ordres de grandeurs. Il s'agit donc, pour le sujet qui résout le problème, de repérer des indices au calcul.

La recherche de Durand et Vergnaud (cf. plus loin) montre que les enfants ne traitent pas comme indices de simples considérations sur l'ordre des quantités mises en jeu. Cela veut dire que ces indices au calcul doivent avoir un sens relativement au problème posé !

Il n'en reste pas moins que les problèmes sont cal - culables même si la représentation que s'en fait l'élève est boiteuse.

******

Exemple de la soustraction

Remarquons que la soustraction/calcul peut renvoyer à trois situations distinctes :

a) elle renvoie à une transformation négative : enlever, perdre, gagner puis perdre ...

b) el le renvoie à l'inverse d'une transformation positive : on veut savoir ce qu'il y avait avant que la transformation ait eu lieu (opposition des transformations).

c) elle renvoie à une situation de tout à partie : A est une partie de B et on veut savoir ce qu'il y a entre deux. Exemple : il y a 12 enfants dont 5 garçons . . . combien de filles? ou, il y avait 5 billes après la par­

tie, il y en a 8, que s'est-il passé?

Or tant qu'on raisonne dans

IN,

cette dernière signi­

fication est exclusive à la soustraction. La soustraction

est l'opération appropriée à une situation de tout à partie.

Mais quand on travaille avec des transformations (ou plutôt avec des nombres relatifs), cette situation peut amener une addition ! Exemple : Le problème Olivier.

Olivier joue 2 parties de billes. A la première il a gagné 2 billes; en tout il a perdu 7 billes. Que s'est-il passé

à la seconde partie?

Il y a là un sérieux obstacle que tout le monde con­

naît bien en qui très certainement force le passage des modèles IN _à 7L .

Autre exemple : Soit le problème Michel. Michel joue 2 parties de billes. A la première il gagne 4 �il les, à la seconde, il perd 6 billes. Que s'est-il passé en tout?

Eh bien Michel et Olivier sont certainement des pro­

blèmes de difficulté comparable. Cependant Michel est plus facile à expliquer que Olivier, car le calcul dans Michel est "naturel".

Décembre 1978

PIERRE BERTRAND CLAUDE PAUL LAURENT MICHEL e t l e s a u t r e s

Analyse des réponses données

à 12

problèmes de billes

1. INTRODUCTION

1. D é b a l log e

La présente étude continue une recherche faite par MM. Durand et Vergnaud: Structures additives et complexité psychogénétique. (Revue Française de Pédagogie No

36,

juillet-septembre

1976.)

Dans cette recherche, l'auteur a présenté

12

problèmes de billes

à

des élèves de

6 à 12

ans. Comme i 1 sera beaucoup question de ces pro­

blèmes, je les cite :

J. PIERRE a

6

_billes.

Il joue une partie et perd 4 billes.

Combien de billes a-t-il après la partie?

2.

BERTRAND joue une partie de billes, il perd

7

billes. Après la partie, il a 3 billes.

Combien de billes avait-il avant la partie?

3. CLAUDE a 5 billes.

Il joue une partie de billes. Après la partie, il a

9

billes. Que s'est-il passé au cours de la partie?

4. PAUL joue deux parties de billes.

A la première partie, il gagne

6

billes. A la seconde partie, il perd 4 billes. Gue s'est-il passé en tout ?

5. LAURENT joue deux parties de billes.

A la première partie, il perd

2

billes. A la

seconde, il perd 5 billes. Gue s'est-il passé en tout?

6.

MICHEL joue deux parties de bi lies.

A la première partie, il gagne 4 billes. A la seconde partie, il perd

6

billes. Gue s'est-il passé en tout ?

7.

CHRISTIAN joue deux parties de billes.

A la première partie, il gagne 5 billes. Il j?ue une deuxième partie. Après ces deux parties, il a gagné en tout

9

billes. Gue s'est-il passé

à

la deuxième partie?

8. JACQUES joue deux parties de billes.

A la première partie, il perd 5 billes. Il

_ï

^oue

une deuxième partie. Après ces deux parties, il a perdu en tout 8 billes. Que s'est-il passé à la deuxième partie?

9.

DIDIER joue deux parties de billes.

A la première partie, il perd

7

_{billes. 11} . _1oue une deuxième partie. Après ces deux parties, il a perdu en tout 4 billes. Que s'est-il passé

à

la deuxième partie ?

10. OLIVIER joue deux parties de bi lies.

A la première partie, il gagne

2

_{billes. I}

�

^jou.e

une deuxième partie. Après ces deux parties, il a perdu en tout

7

billes. Que s'est-il passé

à

la deuxième partie ?

11.

VINCENT joue deux parties de billes.

A la première partie, il gagne 8 billes. ^·

I!

^jou.1e1

une deuxième partie. Après ces deux parties, a perdu en tout

2

bi Il es. Que s'est-i 1 passé à la deuxième partie?

12.

BRUNO joue deux parties de billes.

Il joue une première partie puis une deuxième.

SCHEMAS DES PROBLEMES SCHEMAS DES PROBLEMES

P 1 ERRE

�

^-

P 1 ERRE

�

BER TRAND

�

BERTRAND

�

ETE

ETE

CLAUDE

�

CLAUDE

�

-

PAUL

@ EY

PAUL

@ g

Q ^{] Q Q ^{] Q

LAURENT

0

^LAURENT

0

@ G> @ @ç

Q Q ^Q

^TTX

^Q G5

^TIX

MICHEL

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...

CHRIS TIAN

Q G _G QQ

CHRIS TIAN

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Q ^Q

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^&RUNO

0 ^{] 6)

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e @

A la deuxième partie, il perd 7 billes. Après ces deux parties, il a gagné en tout 3 billes.

Que s'est-il passé à la première partie?

***

Dans la suite, ces problèmes seront désignés par

"leur prénom" et en majuscules : PIERRE BERTRAND CLAUDE PAUL LAURENT, etc., etc ...

Remarques :

1. A chacun de ces problèmes, on peut associer la même relation numérique : a-b = c.

2. Pour bien comprendre ce qui différencie ces problè­

mes, il faut reprendre la terminologie de Vergnaud. Les différentes données numériques ont différents statuts;

ainsi dans "PIERRE perd 4 billes", 4 billes mesure une transformation, tandis que dans "PIERRE a 6 billes",

6 billes mesure un avoir, un état. Les 12 problèmes se distribuent alors en deux catégories :

E-T-E (état initial - transformation - état final}. Le sujet a des billes, il joue une partie et son avoir s'en trouve transformé. Cette catégorie regroupe les problèmes PIERRE BERTRAND et CLAUDE;

T-T-T (transformation - transformation - transformation composée). Le sujet joue deux parties de billes qui se composent entre elles. On en s'occupe pas des états (ex. avoir initial}.

On remarquera alors trois couples de problèmes identiques du point de vue numérique mais distribués dans les deux catégories.