Ag 1 : exercices
Exercice 1. Montrer qu’il n’y pas d’isomorphisme entre(Z,+)et(Q,+).
Intérêt : on sait queZ etQsont tous les deux dénombrables, i.e. en bijection avecN.
Il y a donc des bijections entreZetQ, mais il n’y en a pas qui « conserve l’addition »
Exercice 2 (Commutant). Soitg un élément d’un groupe(G,∗). Montrer que l’en- semble des éléments deGqui commutent avecg est un sous-groupe de(G,∗).
Exercice 3 (Nombres décimaux). Montrer que l’ensemble des nombres décimaux est un anneau (on rappelle qu’un nombre décimal est un nombre dont le développement décimal « se termine », il peut être utile donc de remarquer que le réelxest décimal si et seulement si il existem∈N tel que10mx∈N).
Exercice 4(Sous-groupes de groupes finis : problèmes de cardinaux).
1. Soit(G, ?)un groupe fini. SoitH un sous-groupe deG. Si(a, b)∈G2, montrer que les ensemblesa ? H ={a ? h; h∈H}et b ? H sont égaux ou disjoints. En déduire que le cardinal deH divise celui deG(Oral Centrale).
Ce résultat est lethéorème de Lagrange. Il n’est pas au programme, mais tout le monde le connaît. Heureusement, lorsqu’on en a besoin dans un problème, il est en général explicitement admis.
2. (Ecriture un peu plus culturelle de la même démonstration) Soit(G, ?)un groupe fini. SoitH un sous-groupe deG. On définit surGla relation R:
gRg0 ⇔ g−1∗g0∈H
(a) Démontrer que Rest une relation d’équivalence.
(b) Démontrer que chaque classe d’équivalence a le même nombre d’éléments queH.
(c) En déduire que le cardinal de H divise celui deG.
3. SoitGun groupe abélien fini d’ordren,g0un élément deG, d’ordrem. Vérifier que l’applicationg7→g∗g0 est une bijection deGsur lui-même. En déduire :
Y
g∈G
g=gn0 Y
g∈G
g
puis conclure quemdivisen.
On dit que l’ordre d’un élément divise l’ordre du groupe. C’est une méthode simple pour démontrer le théorème d’Euler ou le petit théorème de Fermat (probablement la plus rapide, dans le cadre du programme). Mais si G n’est pas abélien, (G fini), cette démonstration ne marche pas. Le résultat subsiste cependant : si g est un élément de G d’ordem, g engendre un sous- groupe H de cardinal m, donc m divise l’ordre de G d’après le théorème de Lagrange.
4. Résumé : Dans un groupe fini, l’ordre de tout sous-groupe divise l’ordre du groupe (hors-programme). L’ordre de tout élément divise l’ordre du groupe (au programme).
Exercice 5. Oral Centrale, MinesOn admet le théorème de Lagrange (voir ci-dessus).
SoitGun groupe fini de cardinal supérieur à 2. On définit le centre deG: Z ={x∈G; ∀y∈G xy=yx}
Pourx∈G, on définit
Cx={y∈G; xy=yx}
1. Montrer queZ etCx sont des sous-groupes deG.
2. On suppose que Card(G)/Card(Z)est un nombre premier. Montrer que Gest commutatif. On pourra supposer l’existence dex∈G\Z et considérer le sous- groupe engendré parxet Z.
Exercice 6 (Sous-groupes de groupes finis : problèmes de cardinaux (suite)). Soit (G,∗)un groupe. On suppose que le cardinal deGs’écritpq, avecqpremier etp < q.
Montrer queGcontient au plus un sous-groupe de cardinal q. (Oral Centrale)
Les deux exercices difficiles suivants illustrent l’importance d’un automorphisme de groupe particulier : la conjugaison. Si(G, ?)est un groupe, l’application
h7−→ghg−1 est un automorphisme de(G, ?), appelé conjugaison.
Exercice 7. [Oral PLSR]
Soit(G, .)un groupe, Aut(G)l’ensemble de ses automorphismes.
1. Montrer que(Aut(G),◦)est un groupe.
2. Déterminer les groupes finis tels que Aut(G)soit réduit à un élément.
Comme souvent, la deuxième question n’est pas facile à trouver. Elle est faite pour susciter un échange (indications/réactions aux indications) entre l’examinateur et le candidat. Des indications raisonnablement posables par l’examinateur sont à la fin de cette feuille d’exercices.
Exercice 8. [Oral X]
SoitG un groupe. Pour (a, b)∈G2, on note[a, b] = aba−1b−1. On note DG le sous- groupe deGengendré par les éléments de la forme[a, b], i.e. le plus petit sous-groupe deGcontenant les éléments de la forme [a, b].
1. Montrer que∀g∈G gDGg−1=DG. 2. Montrer que∀g∈G g DG=DG g.
3. On poseQG ={xDG ; x∈G}.
(a) Montrer queQG est une partition deG.
(b) Montrer que la fonction(xDG, yDG)7−→(xy)DGest convenablement définie et munitQG d’une structure de groupe, puis montrer quex7−→xDG est un morphisme deGdansQG.
(c) Montrer queQG est abélien.
Questions intermédiaires pour l’exercice 7
Q1.
Quedire del’application
7− → x
− gxg
pour 1
∈ g
G
?En déduire qu’un
groupe finiqui n’aqu’un automorphismee
stcomm utatif.
Q2.
Quedire del’application
7− → x
x−1 si G estcomm utatif?
Endéduire
qu’ungroup efini
qu in’a qu’unautomorphisme
estgroup ecomm
utatifdans
lequeltout élément
vérifie
2 g
= e, e élément neutre.
Q3.
Soit (G,.
) ungroup efini commutatif.
Onsupp
∀g ose
∈ G
2 g
= e.Mon-
trerqu’il existeune
famille (g ,. 1
..
,g ) m
d’éléments de G telleque G soitiso-
morpheau grou pe produit C
g
× 1
C
g
×· 2
··
× C
g
m
où C estle g
sous-groupe {
} e,g
de (G,.
).
