C. Etude de l’inversibilité de u et v

(1)

Problème 2 (Mines 2017 math 1)

Etude d’un endomorphisme d’un espace de fonctions numériques SoitIun intervalle de la forme [−a,a] oùaest un réel strictement positif. Dans tout le problème, on considère les ensembles suivants :

• EleC-espace vectoriel constitué des applications deIdansCde classeC^∞;

• Dla partie deE constituée de ses éléments développables en série entière sur un voisinage de 0 ;

• P la partie deE constituée de ses éléments polynomiaux.

Pour toutn∈N, on note

W_n= Z _π/2

0

(sin(t))ⁿd t

et sif ∈E, on noteu(f) etv(f) les applications deIdansCdéfinies par les formules

∀x∈I,u(f)(x)=2 π

Z _π/2 0

f(xsin(t))d t

∀x∈I,v(f)(x)=f(0)+x Z _π/2

0

f⁰(xsin(t))d t Les candidats devront justifier leurs affirmations.

A. Préliminaires

1. Justifier queP etDsont des sous-espaces vectoriels deE.

Par définition,DetP sont des parties deE. Non vides car contenante0. Une combinaison linéaire de fonctions polynomiales est une fonction polynomiale. Sif etgsont développables en série entière respectivement sur ]−r,r[

et sur ]−r⁰,r⁰[, oùr>0 etr⁰>0,αf +βg (α,β∈C) l’est. DoncDest aussi stable par combinaison linéaire. Finalement,

P etDsont des sous-espaces vectoriels deE

2. Montrer que sif ∈E,u(f) etv(f) sont bien définies et appartiennent àE, et que l’on définit ainsi des endomorphismesuetvdeE.

- Pour toutx∈I, t7→f(xsin(t)) est continue sur le segment [0,π/2] (car

|xsin(t)| ≤ |x| ≤aet doncxsin(t)∈Ipour tout (x,t)∈I×[0,π/2]) et donc intégrable sur ce segment.

- Pour toutt∈[0,π/2],x7→f(xsin(t)) est indéfiniment dérivable surI, de dérivéep-ièmex7→(sin(t))^pf^(p)(xsin(t)) par récurrence surp∈N.

- Pour toutp∈Netx∈I,t7→(sin(t))^pf^(p)(xsin(t)) est continue sur [0,π/2].

- Pour toutp∈Nett∈[0,π/2],x7→(sin(t))^pf^(p)(xsin(t)) est continue sur I.

- ∀p ∈N∀(x,t)∈I×[0,π/2], |(sin(t))^pf^(p)(xsin(t))| ≤ kf^(p)k∞. (f^(p)est continue sur le segment [0,π/2] donc bornée sur ce segment). Et toute fonction constante est intégrable sur le segment [0,π/2].

(2)

Le théorème de classeC^∞des fonctionsx7−→

Z

J

h(x,t)dts’applique donc et montre que

∀f ∈E,u(f)∈E Il dit aussi que

∀p∈N^∗,u(f)^(p) : x7→2 π

Z_π/2 0

(sin(t))^pf^(p)(xsin(t))d t La linéarité deuest conséquence directe de la linéarité de l’intégrale :

u∈L(E)

Sif ∈E,f⁰∈Eet commev(f)=f(0)+^π₂Id×u(f⁰),v(f)∈E (carE est stable par produit et par combinaison linéaire). La linéarité devdécoule de celle de uet de la linéarité de la dérivation.

v(E)⊂Eetv∈L(E)

3. Montrer queP est stable paruetv.

uetvétant linéaires, il suffit de montrer queu(en) etv(en) sont dansP pour tout entiern∈Noùen : x7→xⁿ.

Un calcul élémentaire donne

∀n∈N,u(e_n)=2W_n π e_n

∀n∈N^∗,v(e_n)=nW_n−1e_n et v(e₀)=1=e₀ On a donc montré que

u(P)⊂P etv(P)⊂P

4. Etablir pourn∈Nune relation simple entreWn+2etWn. En déduire que pour toutn∈N,

W_nW_n+1= π 2(n+1)

Une intégration par parties donne (on primitive sin(x) et on dérive sinⁿ⁻¹(x), toutes les fonctions utilisées sont de classeC¹sur [0,π/2])

∀n≥2,W_n=£

−cos(x) sinⁿ⁻¹(x)¤π/2

0 +(n−1) Z_π/2

0

cos²(x) sinⁿ⁻²(x)d x

Avec cos²x=1−sin²x, on obtientW_n=n−1

n W_n−2. Ainsi

∀n∈N,W_n+2=n+1 n+2W_n

(3)

On en déduit que

∀n∈N, (n+2)W_n+2W_n+1=(n+1)W_nW_n+1

c’est à dire que la suite de terme général (n+1)W_nW_n+1est constante. Or, W₀=π

2 etW₁=1 et on a donc

∀n∈N,WnWn+1= π 2(n+1)

5. Montrer que la suite (Wn)n∈Nest strictement décroissante. Déterminer sa limite et donner un équivalent de cette suite.

Aprés intégration des inégalités (sin(x))ⁿ⁺¹≤(sin(x))ⁿpourx∈[0,π/2] (consé- quence de sin(x)∈[0, 1] pourx∈[0,π/2]) on obtientWn+1≤Wn, ce qui prouve la décroissance de la suite (W_n). Si, par l’absurde,W_n−W_n₊₁=0 alors l’inté- grale de (sin(x))ⁿ−(sin(x))ⁿ⁺¹est nulle sur [0,π/2]. Ceci est impossible car la fonction est continue, positive et non nulle. On a donc montré que

(W_n)_n∈Nest strictement décroissante

Comme (W_n) est décroissante et minorée par 0, elle admet une limite positive

`. En passant à la limite dans la relation de la question 4, on obtient que`²=0 et ainsi

nlim→+∞Wn=0

On sait queW_n+1≤W_n≤W_n−1et donc (on multiplie parW_n≥0)W_n+1W_n≤ W_n²≤W_n−1W_n. Avec la relation de la question précédente,

π

2(n+1)≤W_n²≤ π 2(n−1) Majorant et minorant étant équivalents à π

2n, il en est de même deW_n². Comme Wn>0, on conclut que

W_n∼ rπ

2n

B. Propriétés topologiques de u et v

On considère la normeMde la convergence uniforme surE définie pour tout f ∈Epar la formule

M(f)=max

x∈I |f(x)|

6. Vérifier queMest bien définie et montrer qu’il existe un réelαtel que

∀f ∈E M¡ u(f)¢

≤αM(f)

(4)

Une fonction de classeC^∞surIest continue sur le segmentI. Elle est donc bornée et atteint ses bornes sur ce segment. Donc Mest bien définie .

∀f ∈E,∀x∈I,|u(f)(x)| ≤2 π

Z_π/2 0

M(f)d t=M(f)

Le majorant étant indépendant dex, on a ∀f ∈E M(u(f))≤M(f) . 7. On définit l’applicationN : E→RparN(f)=M(f)+M(f⁰) ; montrer qu’il

existe un réelβtel que

∀f ∈E M¡ v(f)¢

≤βN(f)

∀f ∈E,∀x∈I,|v(f)(x)| ≤ |f(0)| +a Z _π/2

0

M(f⁰)d t

≤M(f)+aM(f⁰)

≤(a+1)N(f) Le majorant étant indépendant dex, on conclut que

∀f ∈E M(f)≤(a+1)N(f)

8. Si f ∈E etε>0, montrer qu’il existep∈P tel que f(0)=p(0) et|f⁰(x)− p⁰(x)| ≤εpour toutx∈I. En déduire que, pour toutf ∈E, il existe une suite (pn) d’éléments deP telle que

N(p_n−f)−−−−−→_n

→+∞ 0

Iest un segment etf⁰est continue surI, donc, par théorème de Weierstrass, il existeq∈P telle que

∀x∈I |f⁰(x)−q(x)| ≤² On définitppar

∀x∈I p(x)=f(0)+ Zx

0

q(t)dt Alorsp⁰=qetp(0)=f(0), donc pconvient .

Mais aussi

∀x∈I |f(x)−p(x)| =

¯

¯ Z x

0

¡f⁰(t)−p⁰(t)¢ dt

¯

¯≤a² Soitp_nassocié par ce qui précède à²=1/n. Alors

N(pn−f)=M(pn−f)+M(p_n⁰ −f⁰)≤a n+1

n On a donc bien trouvé

une suite (p_n) d’éléments deP telle queN(p_n−f)−−−−−→_n→+∞ 0

(5)

C. Etude de l’inversibilité de u et v

9. Déterminer les restrictions deu◦vetv◦uàP. Soite_ndéfinie surIpar

∀t>0 e_n(t)=tⁿ, pourn∈N.

On a, pour toutx∈I,

u(e_n)(x)=2 π

Z _π/2 0

xⁿsinⁿtdt

=2 πWnxⁿ Doncu(e_n)=2

πW_ne_n.

De plus, pourx∈I,v(e₀)(x)=1, d’oùv(e₀)=e₀, et sin≥1, v(e_n)(x)=x

Z _π/2 0

nxⁿ⁻¹sinⁿ⁻¹tdt

=nxⁿW_n₋₁ et doncv(e_n)=nW_n₋₁e_n. Donc, sin≥1, (u◦v)(en)=nWn−1u(en)=nWn−1

2

πWnen=en

(en utilisant4.). Et (u◦v)(e₀)=u(e₀)=2

πW₀e₀=e₀. Maisu◦vest linéaire, et (e_n)_n∈Nest une base deP. Donc

(u◦v)_P =Id_P Sin≥1,

(v◦u)(e_n)=2

πW_nv(e_n)=2

πW_n×nW_n−1e_n=e_n.

Et (v◦u)(e₀)=u(e₀)=e₀. Finalement, comme ci-dessus, (v◦u)_P =Id_P

10. Déterminer (u◦v)(f) pour toutf ∈E. Le réel 0 est-il valeur propre de l’endo- morphismev?

Remarquons, en enchaînant les inégalités6.et7.que, pour toutf ∈E, M¡

(u◦v)(f)¢

≤αM¡ v(f)¢

≤αβN(f) Soitf ∈E, et soit (pn) une suite d’éléments deEtelle que

N(pn−f)−−−−−→_n

→+∞ 0 L’inégalité ci-dessous montre que

M¡

(u◦v)(p_n−f)¢

−−−−−→_n→+∞ 0 ou encore

M¡

p_n−(u◦v)f¢

−−−−−→_n→+∞ 0

d’après9.Mais commeM≤N, la suite (p_n) converge uniformément versf. Or elle converge aussi uniformément vers (u◦v)(f). Donc

(6)

∀f ∈E (u◦v)(f)=f Et doncu◦v=Id_E. Doncvest injective, donc

0 n’est pas valeur propre dev

11. Déterminer également (v◦u)(f) pour toutf ∈E. [On pourra déterminer une constanteγtelle que, pour toutf ∈E,M¡

u(f)⁰¢

≤γM(f⁰)]. Conclure.

Commençons par ce préliminaire. On a vu en2.que, sif ∈E, on a

∀x∈I u(f)⁰(x)= 2 π

Z _π/2 0

sint f⁰(xsint) dt Et donc, pour toutx∈I,

|u(f)⁰(x)| ≤ 2 π

Z _π/2

0 |sint| |f⁰(xsint)|dt

≤2 π

Z _π/2

0

1×M(f⁰)dt

=M(f⁰) Donc γ=1 convient.

On reprend, sif ∈E, une suite (p_n) une suite d’éléments deEtelle que N(p_n−f)−−−−−→_n→+∞ 0

On a alors, pour toutn≥0, M¡

(v◦u)(p_n−f)¢

=M¡

p_n−(v◦u)(f)¢

≤βN¡

u(p_n−f)¢ (inégalité de7.). Mais d’autre part,

N¡

u(p_n−f)¢

=M¡

u(p_n−f)¢ +M¡

u(p_n−f)⁰¢

≤αM¡ pn−f¢

+γM¡

(pn−f)⁰¢

≤(α+γ)N(p_n−f)

On conclut alors exactement comme dans la question précédente que

∀f ∈E (v◦u)(f)=f Et donc uetvsont des automorphismes deE,v=u⁻¹

Application

12. Montrer quef ∈Eest paire (resp. impaire) si et seulement siu(f) l’est. Qu’en est-il pourv?

L’expression deu(f) montre clairement que sif est paire (respectivement impaire),u(f) l’est.

Sif ∈E, on peut écrire de manière unique f =g+h

(7)

avecg paire ethimpaire.démonstration à rappeler sur la copie même si c’est très classique.

Alorsu(f)=u(g)+u(h), oùu(g) etu(h) sont respectivement paire et impaire. Donc, toujours par unicité de la décomposition ci-dessus, siu(f) est paire,u(h)=0, donc h=0 (caruest injective). Et siu(f) est impaire,g=0 de même. Donc on a montré

f ∈Eest paire (resp. impaire) si et seulement siu(f) l’est

Sif est paire, f⁰est impaire donc la formule de définition dev(f) montre quev(f) est paire.

Sif est impaire,f(0)=0 etf⁰est paire donc la formule de définition dev(f) montre quev(f) est impaire.

On conclut alors, exactement de même que pouru, que

f ∈Eest paire (resp. impaire) si et seulement siv(f) l’est

D. Etude des valeurs propres de u et v

13. Montrer queλest une valeur propre devsi et seulement si 1/λest une valeur propre deu. Qu’en est-il des vecteurs propres correspondants ?

Rappelons queλ6=0 par10.Supposonsf ∈E\ {0} telle que v(f)=λf

Alors, en appliquantuet11., on obtientf =λu(f), etu(f)6=0, donc 1/λest valeur propre deu, etf est vecteur propre deuassocié à cette valeur propre.

Maisuetvjouent des rôles symétriques dans ce raisonnement. Donc

λest une valeur propre devsi et seulement si_λ¹est une valeur propre deu. Et les vecteurs propres sont les mêmes.

14. Montrer queDest stable paru. L’est-il parv?

Soitf ∈D. Il existe une suite (a_n)n∈Nde nombres complexes etr∈]0,a] tels que

∀u∈]−r,r[, f(u)= X∞ k=0

a_ku^k On en déduit que

∀x∈]−r,r[,u(f)(x)=2 π

Z _π/2

0

X∞ k=0

a_ksin(t)^kx^kd t (en effet, pour toutt∈[0,π/2], si|x| <r,|xsint| ≤x<r).

Fixonsx∈]−r,r[ et posonsg_k : t7→a_ksin(t)^kx^k. On akg_kk∞,[0,π/2]≤ |a_kx^k|

(8)

qui est le terme général d’une série convergente.Pg_kconverge donc norma- lement, a fortiori uniformément, sur le segment [0,π/2], on peut donc

∀|x| <min(a,R),u(f)(x)=2 π

X∞ k=0

a_kW_kx^k u(f) est donc développable en série entière sur ]−r,r[ et

Dest stable paru Commev(f)=f(0)+π

2u(f⁰) et commeDest stable par dérivation, par combinaison linéaire et par produit (et contient les constantes), on a aussi

Dest stable parv

On considère une valeur propreλdeu, de vecteur propre associéf ∈E.

15. Vérifier que sin∈N, le nombremn=maxt∈I|f⁽ⁿ⁾(t)|est bien défini, et établir que pour toutx∈I,

|λ| · |f⁽ⁿ⁾(x)| ≤2mnWn

π En déduire quef ∈P.

Commef ∈E, les dérivées successives def sont toutes continues. Et comme Iest un segment :

Pour tpout∀n∈N,mn=maxt∈I|f⁽ⁿ⁾(t)|est bien défini

Commeu(f)=λf, on au(f)⁽ⁿ⁾=λf⁽ⁿ⁾et avec l’expression des dérivées ob- tenue en2.,

∀x∈I,|λ|·|f⁽ⁿ⁾(x)| =2 π

¯

¯ Z _π/2

0

(sin(t))ⁿf⁽ⁿ⁾(xsin(t))d t

¯

¯≤2mn

π Z _π

0 |sin(t)|ⁿd t Comme sin est positive sur [0,π/2], on a donc

∀x∈I,|λ| · |f⁽ⁿ⁾(x)| ≤^2mⁿ_π^Wⁿ Le majorant étant indépendant dex, on a en particulier,

|λ| ·m_n≤2m_nW_n π

S’il existen tel quem_n =0 alors f⁽ⁿ⁾est nulle surI et f est polynomiale.

Sinon, on peut diviser parm_n et faire tendrenvers+∞pour obtenirλ=0.

Exclu par11.Donc

f ∈P

16. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres deuetv.

Sif ∈P, alors il existedtel que

f ∈Vect(e₀, . . . ,e_d)

(9)

Or la matrice deudans la base (e₀, . . . ,e_d) est diagonale, de valeurs propres les 2

πWn, 0≤n≤d, qui sont deux à deux distincts. Donc si f est vecteur propre deu,f ∈Vect(e_k) pour un certaink. Finalement

Les valeurs propres deusont les 2

πW_n,n∈N. Les vecteurs propres associés à 2 πW_n sont lesαen,α∈C\ {0}

Les vecteurs propres devsont les mêmes que ceux deu. La valeur propre de vassociée àe_nest π

2W_n, qui s’écrit aussinW_n−1sin≥1.

17. L’espace vectorielEadmet-il une base de vecteurs propres deu? Dev? Certes non : une famille de vecteurs propres deu(ou dev) ne peut engen- drer plus queP.