Analyse Numérique

Analyse Numérique

Problèmes Pratiques

Dérivation

Intégration

Introduction

 f connue

 sur un certain nb de points

 ou analytiquement

 besoin de connaître f'

 sur ces points

 sans faire le calcul analytique.

 besoin de calculer l'intégrale

 sans calculer la primitive

 (quadrature)



 b t

a t

dt ) t ( f

Dérivation numérique ^1/5

 Méthode "naïve" :

 en théorie, la formule est vraie pour h  0

 en pratique, attention au choix de h !

h trop grand : calcul trop approximatif

 h trop petit : problèmes d'arrondis

     

h

x f h

x x f

f    

Dérivation numérique ^2/5

 Méthode des différences centrales :

 Taylor :



 On connaît f sur un ensemble de points {x_i,yi}

 h = xi+1 - xi

 f(x+h) 

 f(x-h) 

       

 

! 3 x h

! f 2 x h

f h x

f h

x f

3

2    

 







   

 

! 3 x h

! f 2 x h

f h y

y _i

3 i

2 i

i 1

i_        

   

 

! 3 x h

! f 2 x h

f h y

y _i

3 i

2 i

i 1

i_        

Dérivation numérique ^3/5

 Méthode des différences centrales (suite) :

 f(x+h) - f(x-h)

 en négligeant les termes en h³ :

 meilleure approximation que la méthode "naïve" (h³/h²)

 

 

! 3

h x 2

f h 2 y

y _i

3 i

1 i 1

i_  _     

 

y x y

f _i ^i1  ^i1

 

Dérivation numérique ^4/5

 Méthode des différences centrales (suite) :

 calcul des dérivées d'ordre supérieur :

f"(x_i) ?

   

 

! 3 x h

! f 2 x h

f h y

y _i

3 i

2 i

i 1

i_        

   

 

! 3 x h

! f 2 x h

f h y

y _i

3 i

2 i

i 1

i_        

Dérivation numérique ^5/5

 Méthode des différences centrales (fin) :

 calcul des dérivées d'ordre supérieur :

 en négligeant les termes en h⁴ :

 et pour les autres dérivées ?

 

! f 2

h y 2

2 y

y _i

2 i

1 i 1

i_  _    

 

h

y y

2 x y

f ^   ^

 

Intégration numérique ^1/

 Plusieurs méthodes :

 a et b finis

 On connaît f sur un ensemble de points {xi,yi}

 polynôme d'interpolation sur n+1 points Newton-Cotes

 On connaît f sur autant de points que l'on veut

 polynôme d'interpolation + choix de n+1 points Gauss-Legendre

 a ou b infini

 Gauss-Laguerre, ...





 ^{t b}

a t

dt ) t ( f I

Intégration numérique ^2/

 Méthodes polynomiales

 On connaît la fonction sur n+1 points

 2 solutions :

 calculer le polynôme d'interpolation de degré n : P_n(x) calculer l'intégrale du polynôme de degré n

 problème = les polynômes de degré élevé oscillent énormément

 regrouper les n+1 points en sous-intervalles de p+1 points (avec p+1 faible)

calculer les polynômes d'interpolation de degré p sommer les intégrales de chaque sous-intervalle



 



  





 2

y y 2

h y

I ^{n 1 n}

1 i

i 0

Intégration numérique ^3/

 Méthode des trapèzes : p+1=2 points

 polynôme d'interpolation=droite

 A =

 soit h = xi+1 - xi

A

   





2 a

b  

 



    

 ^{n 1}

0 i

1 i i

i 1

i y y

2 x I x

Intégration numérique ^4/

 Méthode de Simpson: p+1=3 points

 polynôme d'interpolation de degré 2

i va de 0 à n-2

avec un pas de 2

 



    

 ^{n 2}

0 i

2 i 1

i

i 4 y y

3 y I h

Intégration numérique ^5/

 Méthode générale Newton-Cotes: p+1 points

 polynôme d'interpolation de degré p: P_p(x)

 comment trouver les _i ?









p

0

x t

x t

p(t )dt P

A

A



 ^p

0 i

i i y

A 

Intégration numérique ^6/

 Méthode générale Newton-Cotes: p+1 points

 calcul des i = décomposition de l'intégrale dans la base {1, t, … t^p}































































p 1 0

p 1 0

p p p

1 p

0

p 1

0

v x

x x

x x

x

1 1

1

















Intégration numérique ^7/

 Exercice :

 Utiliser la méthode de Newton-Cotes pour :

retrouver la méthode des trapèzes

 retrouver la méthode de Simpson

 trouver la méthode de Simpson "3/8" (p+1=4)

Intégration numérique ^8/

 Quelle erreur comment-on avec Newton-Cotes ?

 Pour chaque sous-intervalle (et donc chaque A) :

erreur d'interpolation : [ (x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xp) ]

 erreur de quadrature :

     

   

! 1 p

x x f

e

) 1 p

(  

 ^ 

     

   

! 1 p

x dx f

x e E

n

0 p

0

x

x

) 1 p x (

x





 ^  

 

 

     

    



 ^{n   n}

) x 1 p x ( p 1) (

dx

! x 1 p

dx f

! x 1 p

x

E f    

Intégration numérique ^9/

 Erreur de quadrature pour :

 les trapèzes

 Simpson

 

E h

3 



 ⁴

 

5

90 f E  h

Intégration numérique ^10/

 Méthodes polynomiales récursives :

 ex pour la méthode des trapèzes

découpage récursif de la surface en trapèzes

Intégration numérique ^11/

 Bornes infinies ?

 Méthode de Gauss-Laguerre

Intégration numérique ^12/

 Intégrales multiples ?

 Ex avec la méthode de Simpson

 en dimension 2 : zij = f(xi, yj) ^

 

 

0 2

0

x

x y

y

dxdy y

, x f A

     

 



 ²

0

x

x

2 1

0 4 f x, y f x, y dx

y , x 3 f

A k

     









  

 ₃^k







A _{1 2}

x

x

0

2

0

 

 

hk

h = x_i+1 - x_i k = y_i+1 - y_i

Sujet de TD

Conclusion