MISE EN ŒUVRE NUMERIQUE

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MISE EN ŒUVRE NUMERIQUE

4-1- INTRODUCTION

La théorie présentée dans le chapitre précèdent a été programmée et mise en œuvre.

Deux exemples de validation seront traités par le modèle MMT. Les résultats obtenus seront comparés avec ceux de la MEF (SAP 2000). Une fois le programme est validé, une étude de cas sera réalisée sur un bâtiment comportant des éléments de contreventement en portiques et voiles avec et sans ouvertures.

4-2- PROGRAMMATION

La méthode présentée dans le chapitre 3 a été programmée en langage Fortran sous Visual Fortran. Nous donnons ci-après l’organigramme du programme. Il présente le calcul des matrices masse et rigidité globaux d’une structure ainsi que les fréquences et modes propres. Il sera suivi par un calcul des coefficients de masses modales qui servent à une sélection des modes participants dans le calcul des déplacements et sollicitations modaux (le critère de sélection retenue est celui préconisé par les RPA 99 version 2003).

Une fois les réponses modales maximales obtenues, une combinaison entre les réponses sera réalisée. Le choix de type de combinaison (CQC, SRSS) en fonction de dépendance entre les périodes comme définie dans la règlementation algérienne.

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Schéma1 : Organigramme du programme

4-3- EXEMPLES DE VALIDATION

) 10

/(

10

_i _j

r

c

   

Localisation Permutation

Frיquences propres et modes propres

Amortissement Matrice masse base centrale

centrale

Matrice rigiditי base centrale Lecture des donnיes

Débu t

Masse modale de chacun des modes suivant les directions (x, y, z) et autour des axes (ox, oy, oz)

Spectre d’accיlיration (A

n) selon RPA 99 Rיponses modales maximales (Dיplacements, Sollicitations) correspondant א chaque mode (n)

I=1, netage

L’effort tranchant et Moments modaux א la base suivant les directions (x, y, z) et autour des axes (ox, oy, oz)

La combinaison des rיponses modales SRSS suivant les directions (x, y, z) et autour des axes (ox, oy, oz)

Fin

Impression des rיsultats

Sיlection des modes retenues pour le calcul des masses modales ≥ 90 %

Non

Oui La combinaison des rיponses

modales CQC suivant les directions (x, y, z) et autour des axes (ox, oy, oz)

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Afin de valider le programme élaboré, deux exemples ont été traités. Le premier exemple présente un bâtiment avec un système de contreventement en portiques autostables en béton armé. Le deuxième est un bâtiment avec une géométrie en plan irrégulière (forme L) avec un système structurel mixte assuré par des voiles et des portiques.

L’action sismique sur les structures, est représentée par le spectre de calcul préconisé par les règles parasismiques algériennes RPA 99 version 2003.

4-3-1- EXEMPLE 1 : Bâtiment avec un contreventement en portiques

Cet exemple présente un bâtiment de forme rectangulaire constitué de trois planchers identiques et d’un système de contreventement par portiques. L’épaisseur des planchers est ep=0,40m, la hauteur entre deux planchers est h=3,0 m. La section de type P1 des poteaux (voir figure 4.1) est 40x40 cm² et la section de type P2 est 50x50 cm². La masse volumique du béton ρ= 2,5 t/m³, le module d’Young E=32000000,00 kN/m² , coefficient de poisson =0,2.

Les coefficients caractérisant la zone, le site et la structure nécessaires pour la définition du spectre de réponse de calcul sont comme suit :

- Zone sismique II, Groupe d’usage du Bâtiment 2 - Pourcentage d’amortissement critique

- Coefficient de comportement de la structure R=3,50.

- Facteur de qualité Q=1,15.

- Site ferme (T1=0,15sec ; T2=0,40sec)

75 U-D-2011 | PG-GC



%

7



2,50 m

X Y

P2

P1

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4-3-2- EXEMPLE 2 : Bâtiment forme « L » contreventement en (portiques - voiles)

Cet exemple présente un bâtiment avec une géométrie en plan irrégulière forme L (12m x 08m) constitué de deux planchers identiques et d’un système de contreventement mixte assuré par des voiles et des portiques. L’épaisseur des planchers est ep=0,40m, la hauteur entre deux planchers successifs est h=4,00 m. Les voiles ont une épaisseur de 0,20m et la section des poteaux carrée est (0,40m x 0,40m) (voir figure 4.4). La masse

Figure 4.1. Vue en plan du premier étage

Z

X

3,00 m

Figure 4.2. Bâtiment avec un contreventement en portiques autostables

P1 P1 P2

P1 P1

P1

P2

P1

P2

P1

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volumique du béton est ρ= 2,5 t/m³, le module d’Young E=32160000,00 kN/m² et le coefficient de poisson =0,2.

Les coefficients caractérisant la zone, le site et la structure mixte nécessaires pour la définition du spectre de réponse de calcul sont comme suit :

- Zone sismique III, Groupe d’usage du Bâtiment 3 - Pourcentage d’amortissement critique

- Site meuble (T1=0,15sec ; T2=0,50sec)

Figure 4.3. Bâtiment forme ’L’ contreventement en portiques-voiles

Figure 4.4. Vue en plan du deuxièmeétage Z

X

4,00 m



%

5



4,00 m 4,00 m

4,00 m

4,00 m 4,00 m

Y

X

1, m

2,m 1, m 2, m 1,m

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Il s’agit d’un bâtiment mixte comportant des éléments de contreventement en portiques et voiles avec et sans ouvertures.

L’action sismique sur la structure est représentée par le spectre de calcul préconisé par les règles parasismiques algériennes RPA 99 version 2003.

Ce bâtiment est composé de trois niveaux avec des planchers carrés (12m x 12m) d’épaisseur ep= 0,45m. Les voiles ont une épaisseur de 0,20m et les poteaux ont une section carrée (0,40m x 0,40m). Des ouvertures ont été considérées dans les voiles, alignées sur toute la hauteur (voir fig. 4.5 et 4.6). La hauteur entre deux planchers est h=3,0m. Les caractéristiques du béton sont les mêmes que celles dans les exemples précédents.

Les coefficients caractérisant la zone, le site et la structure nécessaires pour la définition du spectre de réponse de calcul sont comme suit :

- Zone sismique III, Groupe d’usage du Bâtiment 2 - Pourcentage d’amortissement critique

- Site ferme (T1=0,15sec ; T2=0,40sec)

%

5



Figure 4.5 : Structure mixte en portiques et voiles avec file d’ouvertures alignées Z

Y

3,00 m 3,00 m

3,00 m 1,5 m

1, m 0,5m

Y

4,00 m

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4-5- RESULTATS

Dans ce qui suit, nous allons donner les résultats obtenus par le modèle MMT et par la méthode des éléments finis (SAP2000), cela pour chacun des exemples de validation et l’exemple d’application présentés auparavant.

4-5-1- Exemples de validation

4-5-1-1- EXEMPLE 1 : Bâtiment avec un contreventement en portiques

Il s’agit du premier exemple de validation de notre étude les résultats obtenus se résument comme suit :

a)-Fréquences propres

Les résultats obtenus en termes de fréquences propres par les modèle MMT et MEF (SAP2000) ainsi que les pourcentages de l’écart sur leurs valeurs sont résumés dans le tableau ci-dessous :

Fréquences (Hz)

Numéro du mode Modèle MMT MEF(SAP2000) Ecart%

1 5,39 5,42 0,60

2 5,64 5,68 0,75

Figure 4.6 : Vue en plan du deuxièmeétage

X 4,00 m

4,00 m

4,00 m 4,00 m

4,00 m

1, m 1, m 1, m

(8)

3 8,67 8,47 2,30

4 15,09 15,13 0,30

5 15,78 15,86 0,55

6 21,96 21,93 0,20

b)-Modes propres

Nous présentons ci-après, les six déformations de chaque étage dans les directions x, y et z et autour des axes ox, oy et oz et ceci pour les trois premiers modes.

U Z R X R Y

R Z U Y

- 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1

D é f o r m a t i o n 0

1 2 3

Etage

U X

U Z R X R Y

R Z U Y

- 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1

1 2 3

Etage

U X

Tableau.4.1. Fréquences obtenus par les modèle MMT et MEF pour le bâtiment avec un contreventement en portiques

Figure.4.7. 1^er mode f=5,39 Hz Figure.4.8. 2^éme mode f=5,64 Hz

Figure.4.9. 3^éme mode f=8,67 Hz

U Z R X R Y

R Z U Y

- 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1

1 2 3

Etage

U X

(9)

c)-Masses modales

Après avoir calculé les fréquences et les modes propres, un calcul des masses modales est réalisé par les modèles MMT et MEF, et qui se résume dans le tableau suivant :

Masses modales (%)

Numéro du mode / Modèle MMT MEF(SAP2000) Ecart%

1

M^’x 0,00 0,00 0,00

M^’y 85,08 84,04 1,25

M^’rz 4,85 5,20 7,20

M^’rx 85,53 85,31 0,25

M^’ry 0,00 0,00 0,00

M^’z 0,00 0,00 0,00

2

M^’x 90,36 90,59 0,25

M^’y 0,00 0,00 0,00

M^’rz 0,00 0,00 0,00

M^’rx 0,00 0,00 0,00

M^’ry 91,07 91,61 0,60

M^’z 0,0028 0,0025 9,00

3

M^’x 0,00 0,00 0,00

M^’y 5,93 6,52 9,90

M^’rz 87,83 86,64 1,35

M^’rx 6,35 6,85 7,87

M^’ry 0,00 0,00 0,00

M^’z 0,00 0,00 0,00

d)-Déplacements

Un calcul des déplacements par la méthode dynamique modale spectrale est effectué.

Le choix de la méthode de combinaison des modes se base sur le critère de dépendance et indépendance des modes comme défini dans le paragraphe (3.4). Dans cet exemple les modes ne sont pas indépendantes, par ailleurs la méthode retenue est celles de la combinaison quadratique complète (CQC).

Les valeurs de déplacements maximales du centre de masse de chaque plancher, dans les directions x, y et z et autour des axe ox, oy et oz calculées par les modèles MMT et MEF (SAP 2000) sont résumées dans le tableau 4.3. Les déplacements maximaux dans les directions y et les rotations autour des axes ox et oz dans chaque niveau de la structure sont présentés sur les figures de 4.10 à 4.12.

Tableau.4.2. Masses modales obtenus par les modèle MMT et MEF pour le bâtiment avec un contreventement en portiques

(10)

Combinaison CQC Déplacements max ( x 10^-5)

Nombre des étages / Modèle MMT MEF(SAP2000) Ecart%

1^ére étage

Déplacements (Mètre)

Ux 5,740 5,700 0,69

Uy 5,990 5,900 1,50

Uz 0,052 0,049 5,76

Rotations (Radian)

Rx 0,110 0,103 6,30

Ry 0,107 0,100 6,50

Rz 0,650 0,700 7,10

2^éme étage

Déplacements (mètre)

Ux 10,560 10,500 0,56

Uy 10,980 10,800 1,63

Uz 0,076 0,069 9,00

Rotations (Radian)

Rx 0,150 0,140 6,66

Ry 0,159 0,145 8,80

Rz 1,200 1,300 7,70

3^éme étage

Déplacements (mètre)

Ux 13,460 13,200 1,93

Uy 13,950 13,600 2,50

Uz 0,082 0,075 8,50

Rotations (Radian)

Rx 0,157 0,143 8,90

Ry 0,170 0,156 8,00

Rz 1,430 1,500 4,60

M E F

0 1 2 3

E t a g e 0 . 0 0 E + 0 0 0

4 . 5 0 E - 0 0 5 9 . 0 0 E - 0 0 5 1 . 3 5 E - 0 0 4

Déplacement Uy max (m)

M O D E L E M M T

Tableau.4.3. Déplacements maximaux obtenus par les modèle MMT et MEF pour le bâtiment avec un contreventement en portiques

Figure 4.10 : Les déplacements Uy max selon l’axe Oy

(11)

M E F

0 1 2 3

E t a g e 0 . 0 0 E + 0 0 0

4 . 0 0 E - 0 0 7 8 . 0 0 E - 0 0 7 1 . 2 0 E - 0 0 6 1 . 6 0 E - 0 0 6 2 . 0 0 E - 0 0 6 2 . 4 0 E - 0 0 6

Rotation Rx max (rad)

M O D E L E M M T

M E F

0 1 2 3

E t a g e 0 . 0 0 E + 0 0 0

4 . 0 0 E - 0 0 6 8 . 0 0 E - 0 0 6 1 . 2 0 E - 0 0 5 1 . 6 0 E - 0 0 5 2 . 0 0 E - 0 0 5 2 . 4 0 E - 0 0 5

Rotation Rz max (rad)

M O D E L E M M T

e)-Sollicitations

Le tableau 4.4 montre les résultats obtenues de calcul des efforts dans les directions x, y et z et moments autour des axes ox, oy et oz par la méthode dynamique modale spectrale en utilisant la combinaison modales CQC.

Figure 4.11 : Les rotations Rx max autour l’axe Ox

Figure 4.12 : Les torsions Rz max autour l’axe Oz

(12)

Une représentation graphique des efforts dans les directions x et moments autour des axes oy et oz est faite sur les figures de 4.13 à 4.15.

Combinaison CQC Sollicitations max

1^ére étage

Forces (KN)

Fx 14,05 14,08 0,21

Fy 13,40 13,11 2,16

Fz 0,16 0,148 7,50

Moments (KN.m)

Mx 90,76 87,22 3,90

My 98,33 93,91 4,40

Mz 12,98 13,63 4,70

2^éme étage

Forces (KN)

Fx 11,16 11,62 3,95

Fy 10,63 10,93 2,74

Fz 0,12 0,117 8,50

Moments (KN.m)

Mx 50,29 48,56 3,44

My 54,70 52,36 4,27

Mz 10,03 10,68 6,08

3^éme étage

Forces (KN)

Fx 6,60 6,96 5,17

Fy 5,96 6,43 7,31

Fz 0,06 0,06 0,00

Moments (KN.m)

Mx 17,97 17,48 2,72

My 19,60 18,91 3,52

Mz 5,83 6,18 5,66

(13)

M E F

0 1 2 3

E t a g e 0 . 0 0 E + 0 0 0

3 . 0 0 E + 0 0 0 6 . 0 0 E + 0 0 0 9 . 0 0 E + 0 0 0 1 . 2 0 E + 0 0 1 1 . 5 0 E + 0 0 1 1 . 8 0 E + 0 0 1

Force Fx max (kn)

M O D E L E M M T

M E F

0 1 2 3

E t a g e 0 . 0 0 E + 0 0 0

2 . 0 0 E + 0 0 1 4 . 0 0 E + 0 0 1 6 . 0 0 E + 0 0 1 8 . 0 0 E + 0 0 1 1 . 0 0 E + 0 0 2

Moment My max (kn.m)

M O D E L E M M T

Tableau.4.4. Sollicitations maximum obtenus par les modèle MMT et MEF pour le bâtiment avec un contreventement en portiques

Figure 4.13 : Les forces Fx max au niveau de chaque plancher de la structure

(14)

M E F

0 1 2 3

E t a g e 0 . 0 0 E + 0 0 0

3 . 0 0 E + 0 0 0 6 . 0 0 E + 0 0 0 9 . 0 0 E + 0 0 0 1 . 2 0 E + 0 0 1 1 . 5 0 E + 0 0 1

Moment Mz max (kn.m)

M O D E L E M M T

f)-Effort tranchant et moment à la base

La résultante des forces sismiques à la base, trois efforts dans les directions x, y et z et trois moments autour des axes ox, oy et oz sont calculée par les modèles MMT et MEF par la méthode dynamique modale spectrale et sont données dans le tableau suivant :

Combinaison CQC Modèle MMT MEF(SAP2000) Ecart%

L’effort tranchant max à la base en (KN)

ΣF

x 14,04 14,08 0,28

ΣF

y 13,35 13,10 1,87

ΣF

z 0,155 0,148 4,75

Moment max à la base en (KN.m)

ΣM

x 90,56 87,22 3,70

ΣM

y 98,39 93,91 4,55

ΣM

z 13,25 13,63 2,78

Tableau.4.5. L’effort tranchant et moment max à la base obtenus par les modèle MMT et MEF pour le bâtiment avec un contreventement en portiques

Figure 4.15 : Les moments Mz max au niveau de chaque plancher de la structure Figure 4.14 : Les moments My max au niveau de chaque plancher de la structure

(15)

0 0 . 5 1 0 . 0 0 E + 0 0 0

5 . 0 0 E + 0 0 0 1 . 0 0 E + 0 0 1 1 . 5 0 E + 0 0 1

2 . 0 0 E + 0 0 1 M O D E L E M M T

M E F

g)- Conclusions

Nous remarquons que les fréquences identifiées par le modèle proposé sont proches de celles obtenus par le modèle MEF (Sap2000). Le pourcentage d’écart est inférieur à 2,3% (voir tab.4.1). Pour les coefficients de masse modale, l’écart des résultats trouvés par les deux modèles (MMT, MEF) ne dépasse pas 9,9%. Ce qui montre une convergence satisfaisante entre les modèles.

Le taux d’écart entre les modèles MMT et MEF dans le calcul des déplacements et sollicitations est inférieur à 8,8% (voir tab.4.3) pour les premier et 7,25% pour le deuxième ce qui est admissible. Finalement, concernant le calcul de l’effort tranchant et le moment à la base de la structure par le modèle MMT, l’écart est inferieur à 4,75%

comparativement à la méthode MEF ce qui montre une précision acceptable du modèle proposé.

4-5-1-2- EXEMPLE 2 : Bâtiment forme « L » contreventement en (portiques - voiles)

C’est le deuxième exemple de validation de notre étude. Les résultats obtenus seront présentés selon le même schéma que pour le bâtiment avec un contreventement en portiques.

Figure 4.16 : L’effort tranchant à la base du bâtiment ∑Fx

Figure 4.17 : Moment de torsion à la base du bâtiment ∑Mz

Base de la structure

Force Fx max a la base (KN)

0 0 . 5 1

0 . 0 0 E + 0 0 0 5 . 0 0 E + 0 0 0 1 . 0 0 E + 0 0 1 1 . 5 0 E + 0 0 1

2 . 0 0 E + 0 0 1 M O D E L E M M T

M E F

Moment Mz max a la base (KN.m)

(16)

Le tableau ci-après illustre les résultats en termes de fréquences propres : Fréquences (Hz)

1 10,40 11,25 8,17

2 12,62 13,35 5,78

3 22,10 24,16 9,30

4 26,70 28,05 5,05

5 32,05 34,38 7,26

6 53,60 55,84 4,17

Nous présentons pour le 1^er et 3 ^éme modes, les six déformations de chaque étage dans les directions x, y et z et autour des axes ox, oy et oz :

U Z R X R Y

R Z U Y

- 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1

1 2

Etage

U X

Il y a lieu de voir le tableau.4.7 résument les résultats obtenus par le modèle MMT et MEF (SAP2000) avec pourcentage d’écart pour les trois premiers modes.

1 M^’x 0,38 0,35 8,50

Tableau.4.6. Fréquences obtenus par les modèle MMT et MEF pour le bâtiment forme ‘L’ contreventement en portiques-voiles

Figure.4.18. 1^er mode f=10,40 Hz Figure.4.19. 3^éme mode f=22,10 Hz

U Z R X R Y

R Z U Y

- 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1

1 2

Etage

U X

(17)

M^’y 93,38 92,89 0,53

M^’rz 0,305 0,278 9,70

M^’rx 95 88,06 7,88

M^’ry 0,41 0,38 7,89

M^’z 0,0028 0,00258 8,52

2

M^’x 93,98 93,83 0,15

M^’y 0,58 0,53 9,43

M^’rz 0,21 0,195 7,70

M^’rx 0,69 0,645 6,97

M^’ry 88,54 81,32 8,87

M^’z 0 0 0,00

3

M^’x 0,06 0,066 9,00

M^’y 0,18 0,2 9,65

M^’rz 95,3 94,65 0,68

M^’rx 0,11 0,119 7,56

M^’ry 0,072 0,08 9,70

M^’z 0 0 0,00

Un calcul des déplacements par la méthode dynamique modale spectrale est effectué. Le choix de la méthode de combinaison des modes se base sur le critère de dépendance et indépendance des modes. Dans ce cas d’exemple les modes sont indépendantes, par ailleurs la méthode retenue est celles de combinaison quadratique SRSS (la racine carrée de la somme des carrés).

Les valeurs de déplacements maximales pour chaque niveau sont trouvées par le modèle MMT et par MEF (Sap 2000) (voir tableau 4.8) avec pourcentage d’écart. Aussi, les déplacements maximaux dans les directions y et les rotations autour des axes ox et oz dans chaque niveau de la structure sont présentés sur les figures de 4.20 à 4.22.

Combinaison SRSS Déplacements max ( x 10^-5)

Nombre de l’étage / Modèle MMT MEF(SAP2000) Ecart%

1^ére étage

Ux 1,75 1,59 9,00

Uy 2,40 2,185 8,90

Uz 0,019 0,0172 9,47

Rotations Rx 0,056 0,052 7,14

Tableau.4.7. Masses modales obtenus par les modèle MMT et MEF pour le bâtiment forme ‘L’ contreventement en portiques-voiles

(18)

(Radian) Ry 0,025 0,024 4,00

Rz 0,0509 0,046 9,50

2^éme étage

Ux 2,80 2,60 7,10

Uy 4,30 3,95 8,13

Uz 0,025 0,0226 9,50

Rotations (Radian)

Rx 0,07 0,066 5,71

Ry 0,032 0,031 3,12

Rz 0,08 0,077 3,75

M E F

0 1 2

E t a g e 0 . 0 0 E + 0 0 0

1 . 0 0 E - 0 0 5 2 . 0 0 E - 0 0 5 3 . 0 0 E - 0 0 5 4 . 0 0 E - 0 0 5 5 . 0 0 E - 0 0 5

Déplacement Uy max (m)

M O D E L E M M T

M E F

0 1 2

E t a g e 0 . 0 0 E + 0 0 0

2 . 0 0 E - 0 0 7 4 . 0 0 E - 0 0 7 6 . 0 0 E - 0 0 7 8 . 0 0 E - 0 0 7

Rotation Rx max (rad)

M O D E L E M M T

Tableau.4.8. Déplacements max obtenus par les modèle MMT et MEF pour le bâtiment forme ‘L’ contreventement en portiques-voiles

Figure.4.20. Les déplacements Uymax selon l'axe Oy

(19)

M E F

0 1 2

E t a g e 0 . 0 0 E + 0 0 0

2 . 0 0 E - 0 0 7 4 . 0 0 E - 0 0 7 6 . 0 0 E - 0 0 7 8 . 0 0 E - 0 0 7

M O D E L E M M T

Le tableau 4.9 montre les résultats obtenus de calcul des efforts dans les directions x, y et z et moments autour des axes ox, oy et oz par la méthode dynamique modale spectrale en utilisant la combinaison modales SRSS.

Les calculs des efforts en translation Fx max aux centres de masse des planchers et les moments My max et Mz max autour des axes oy et oz respectivement dans chaque niveau de la structure est effectué. Les figures 4.23 à 4.25 résument les résultats obtenus par le modèle MMT et MEF (SAP2000) :

Combinaison SRSS Sollicitations max

1^ére étage

Forces (KN)

Fx 27,00 28,58 5,52

Fy 28,25 27,39 3,31

Fz 0,26 0,24 8,33

Moments (KN.m)

Mx 166,00 155,21 6,95

My 179,50 164,49 9,12

Mz 19,75 21,07 6,26

2^éme étage

Forces (KN)

Fx 15,50 16,53 6,23

Fy 16,47 16,01 2,87

Fz 0,19 0,176 7,95

Moments Mx 63,00 57,90 8,8

Figure.4.21. Les rotations Rxmax autour l'axe Ox

Figure.4.22. Les torsions Rz max autour l'axe Oz

(20)

(KN.m) My 65,20 59,68 9,24

Mz 9,45 10,45 9,56

M E F

0 1 2

E t a g e 0 . 0 0 E + 0 0 0

5 . 0 0 E + 0 0 0 1 . 0 0 E + 0 0 1 1 . 5 0 E + 0 0 1 2 . 0 0 E + 0 0 1 2 . 5 0 E + 0 0 1 3 . 0 0 E + 0 0 1

Force Fx max (kn)

M O D E L E M M T

M E F

0 1 2

E t a g e 0 . 0 0 E + 0 0 0

4 . 0 0 E + 0 0 1 8 . 0 0 E + 0 0 1 1 . 2 0 E + 0 0 2 1 . 6 0 E + 0 0 2 2 . 0 0 E + 0 0 2

Moment My max (kn.m)

M O D E L E M M T

Tableau.4.9. Sollicitations max obtenus par les modèle MMT et MEF pour le bâtiment forme ‘L’ contreventement en portiques-voiles

Figure.4.23. Les Forces Fx max au niveau de chaque plancher de la structure

(21)

M E F

0 1 2

E t a g e 0 . 0 0 E + 0 0 0

5 . 0 0 E + 0 0 0 1 . 0 0 E + 0 0 1 1 . 5 0 E + 0 0 1 2 . 0 0 E + 0 0 1 2 . 5 0 E + 0 0 1 3 . 0 0 E + 0 0 1

M O D E L E M M T

f)-L’effort tranchant et moment à la base

La résultante des forces sismiques à la base, trois efforts dans les directions x, y et z et trois moments autour des axes ox, oy et oz. Calculé par les modèles MMT et MEF par la méthode dynamique modale spectrale est montré dans le tableau suivant :

Combinaison SRSS Modèle MMT MEF(SAP2000) Ecart%

L’effort tranchant max à la base en (KN)

ΣF

x 27,00 28,58 5,52

ΣF

y 28,5 27,4 3,85

ΣF

z 0,26 0,24 7,69

Moments max à la base en (KN.m)

ΣM

x 173,14 175,54 1,38

ΣM

y 180,7 182,8 1,16

ΣM

z 11,35 11,59 2,07

93 U-D-2011 | PG-GC

Figure.4.24. Les Moments My max au niveau de chaque plancher de la structure

Tableau.4.10. L’effort tranchant et moment max à la base obtenus par les modèle MMT et MEF pour le bâtiment forme ‘L’ contreventement en portiques-voiles

Figure.4.25. Les Moments Mz max autour l'axe Oz au niveau de chaque plancher

My max a la base (KN.m)

(22)

0 0 . 5 1 0 . 0 0 E + 0 0 0

8 . 0 0 E + 0 0 0 1 . 6 0 E + 0 0 1 2 . 4 0 E + 0 0 1 3 . 2 0 E + 0 0 1

M O D E L E M M T M E F

g)- Conclusions

L’analyse faite par le modèle proposé et le MEF (SAP2000) prend les six DDL en considération. Concernant le terme de fréquences, on constate que pour le modèle MMT, le MEF, sont proches. Le pourcentage d’écart est inférieur à 9,3% (voir tab.4.6). Pour les coefficients de masse modale dans les directions x, y et z et autour des axes ox, oy et oz, l’écart des résultats trouvés par les deux modèles (MMT, MEF) ne dépasse pas 8,78%

(tab.4.7).

Le pourcentage d’écart entre les modèles MMT et MEF dans le calcul des déplacements et sollicitations est inférieur à 9,48% (voir tab.4.8) pour le premier et 9,25% (voir tab.4.9) pour le deuxième ce qui est assez proches. Concernant le calcul de l’effort tranchant et le moment à la base de la structure par le modèle MMT, le taux d’écart est inferieur à 7,70% comparativement à la méthode MEF ce qui montre la précision du modèle proposé.

4-5-2- Exemple d’application

Il s’agit d’une structure mixte avec des éléments de contreventements en portiques et voiles avec et sans ouvertures.

Figure.4.26. L’effort tranchant à la base Σ Fy Figure.4.27. Moment à la base Σ My

0 0 . 5 1

0 . 0 0 E + 0 0 0 5 . 0 0 E + 0 0 0 1 . 0 0 E + 0 0 1 1 . 5 0 E + 0 0 1 2 . 0 0 E + 0 0 1 2 . 5 0 E + 0 0 1

Force Fy max a la base (KN)

(23)

Nous avons calculés par le modèle MMT les fréquences propres et les modes propres, Il sera suivi par un calcul des coefficients des masses modales qui servent à une sélection des modes contribuant dans le calcul des déplacements et sollicitations modaux. Les résultats obtenus se résument comme suit :

Les résultats obtenus en terme de fréquences propres par les modèle MMT et MEF (SAP2000) ainsi que les pourcentages d’écart sur leurs valeurs sont résumés dans le tableau ci- dessous :

Fréquences (Hz)

1 7,19 6,90 4,20

2 10,60 9,91 6,90

3 19,22 18,98 1,26

4 20,32 20,20 0,59

5 28,78 27.26 5,57

6 29,16 27,46 6,16

7 37,71 36.27 3,97

8 44,22 40,63 8.80

9 47,89 48,40 1,05

10 51,58 50,80 1,53

Nous avons représenté sur les courbes suivantes des six déformations de chaque étage obtenues par notre calcul pour les trois premiers modes.

Tableau.4.11. Fréquences obtenus par les modèle MMT et MEF pour le structure mixte en portiques et voiles avec et sans ouvertures

(24)

U Z R X R Y

R Z U Y

- 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1

1 2 3

Etage

U X

U Z R X R Y

R Z U Y

- 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1

D é f o r m a t i o n

0 1 2 3

Etage

U X

Après avoir calculé les modes propres, un calcul des masses modales est réalisé par les modèles MMT et MEF, ainsi que les pourcentages d’écart sur leurs valeurs, ce qui est résumé dans le tableau suivant :

Figure.4.28. 1^er mode f=7.19 Hz Figure.4.29. 2^éme mode f=10.6 Hz

Figure.4.30. 3^éme mode f=19.22 Hz

U Z R X R Y

R Z U Y

- 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1

1 2 3

Etage

U X

(25)

1

M^’x 69,75 64,11 8,08

M^’y 0,00 0,00 0,00

M^’rz 21,44 23,55 9,80

M^’rx 0,00 0,00 8,02

M^’ry 74,67 68,68 8,88

M^’z 0,00 0,00 0,00

2

M^’x 0,00 0,00 0,00

M^’y 89,09 89,94 0,95

M^’rz 0,00 0,00 0,00

M^’rx 66,15 73,35 9,90

M^’ry 0,00 0,00 0,00

M^’z 0,00 0,0000 0,00

3

M^’x 6,380 5,680 9,90

M^’y 0,00 0,00 0,00

M^’rz 65,10 58,80 9,66

M^’rx 0,00 0,00 0,00

M^’ry 17,42 18,11 3,90

M^’z 0,00 0,00 0,00

4

M^’x 19,95 21,77 9,12

M^’y 0,00 0,00 0,00

M^’rz 15,32 14,98 2,21

M^’rx 0,00 0,00 0,00

M^’ry 24,07 21,91 8,97

M^’z 0,00 0,00 0,00

Un calcul des déplacements par la méthode dynamique modale spectrale est effectué. Dans ce cas d’exemple les modes ne sont pas indépendantes, par ailleurs la méthode retenue est celles de combinaison quadratique (CQC).

Les valeurs de déplacements maximales du centre de masse de chaque plancher, dans les directions x, y et z et autour des axe ox, oy et oz calcules par les modèles MMT et MEF (SAP 2000) sont résumées dans le tableau 4.13 .Aussi, les déplacements maximaux dans les directions x et les rotations autour des axes oy et oz dans chaque niveau de la structure Tableau.4.12. Masses modales obtenus par les modèle MMT et MEF pour le structure mixte en portiques et voiles avec et sans ouvertures

(26)

Combinaison CQC Déplacements max ( x 10^-5)

1^ére étage

Ux 2,540 2,500 1,57

Uy 1,950 2,050 5,12

Uz 0,070 0,066 5,71

Rotations (Radian)

Rx 0,051 0,047 7,84

Ry 0,026 0.025 5,76

Rz 0,301 0,315 4,65

2^éme étage

Ux 4,530 4,500 0,66

Uy 3,780 4,050 7,14

Uz 0,098 0,095 3,06

Rotations (Radian)

Rx 0,085 0.079 7,05

Ry 0,039 0.036 7.69

Rz 0,539 0.570 5,75

3^éme étage

Ux 5,660 5,500 2,82

Uy 4,630 4,710 1.72

Uz 0,120 0,125 4,17

Rotations (Radian)

Rx 0,081 0,078 3,7

Ry 0,043 0,040 6,98

Rz 0,672 0,710 5,66

M E F

0 1 2 3

E t a g e 0 . 0 0 E + 0 0 0

1 . 0 0 E - 0 0 5 2 . 0 0 E - 0 0 5 3 . 0 0 E - 0 0 5 4 . 0 0 E - 0 0 5 5 . 0 0 E - 0 0 5 6 . 0 0 E - 0 0 5 7 . 0 0 E - 0 0 5

Déplacement Ux max (m)

M O D E L E M M T

Tableau.4.13. Déplacements maximaux obtenus par les modèle MMT et MEF pour le structure mixte en portiques et voiles avec et sans ouvertures

Figure.4.31. Les déplacements Ux max selon l'axe Ox

(27)

M E F

0 1 2 3

E t a g e 0 . 0 0 E + 0 0 0

1 . 0 0 E - 0 0 7 2 . 0 0 E - 0 0 7 3 . 0 0 E - 0 0 7 4 . 0 0 E - 0 0 7 5 . 0 0 E - 0 0 7 6 . 0 0 E - 0 0 7

Rotation Ry max (rad)

M O D E L E M M T

M E F

0 1 2 3

E t a g e 0 . 0 0 E + 0 0 0

2 . 0 0 E - 0 0 6 4 . 0 0 E - 0 0 6 6 . 0 0 E - 0 0 6 8 . 0 0 E - 0 0 6

M O D E L E M M T

Le tableau 4.14 montre les résultats obtenus de calcul des efforts pour le premier et troisième étages dans les directions x, y et z et moments autour des axes ox, oy et oz par la méthode dynamique modale spectrale en utilisant la combinaison modales CQC.

Une représentation graphique des efforts dans les directions x et moments autour des axes ox et oy est faite sur les figures de 4.34 à 4.36

Figure .4.32. Les rotations Ry max autour l’axe Oy

Figure .4.33. La torsion Rz max autour l’axe Oz

(28)

Combinaison CQC Sollicitations max

1^ére étage

Forces (KN)

Fx 53,39 54,17 1,43

Fy 79,74 76,54 4,18

Fz 5,08 4,93 3,04

Moments (KN.m)

Mx 481,73 439,72 9,55

My 302,25 278,74 8,43

Mz 245,77 264,49 7,07

3^éme étage

Forces (KN)

Fx 20,72 19,13 8,31

Fy 35,56 33,44 6,33

Fz 3,20 2,95 8,47

Moments (KN.m)

Mx 79,61 73,77 7,91

My 52,87 48,95 8,00

Mz 128,60 139,29 7,67

M E F

0 1 2 3

E t a g e 0 . 0 0 E + 0 0 0

1 . 0 0 E + 0 0 1 2 . 0 0 E + 0 0 1 3 . 0 0 E + 0 0 1 4 . 0 0 E + 0 0 1 5 . 0 0 E + 0 0 1 6 . 0 0 E + 0 0 1 7 . 0 0 E + 0 0 1

Force Fx max (kn)

M O D E L E M M T

Figure 4.34 : Forces Fx max au niveau de chaque plancher de la structure Tableau.4.14. Sollicitations maximum obtenus par les modèle MMT et MEF pour le structure mixte en portiques et voiles avec et sans ouvertures

(29)

M E F

0 1 2 3

E t a g e 0 . 0 0 E + 0 0 0

1 . 0 0 E + 0 0 2 2 . 0 0 E + 0 0 2 3 . 0 0 E + 0 0 2 4 . 0 0 E + 0 0 2 5 . 0 0 E + 0 0 2

Moment Mx max (kn.m)

M O D E L E M M T

M E F

0 1 2 3

E t a g e 0 . 0 0 E + 0 0 0

5 . 0 0 E + 0 0 1 1 . 0 0 E + 0 0 2 1 . 5 0 E + 0 0 2 2 . 0 0 E + 0 0 2 2 . 5 0 E + 0 0 2 3 . 0 0 E + 0 0 2

M O D E L E M M T

f)-L’effort tranchant et moment à la base

La résultante des forces sismiques à la base, trois efforts dans les directions x, y et z et trois moments autour des axes ox, oy et oz est calculée par les modèles MMT et MEF selon la méthode dynamique modale spectrale. Les efforts sont donnés dans le tableau suivant :

Figure 4.35 : Moments Mx max au niveau de chaque plancher de la structure

Figure 4.36 : Moments Mz max au niveau de chaque plancher de la structure

(30)

Combinaison CQC Modèle MMT MEF(SAP2000) Ecart%

L'effort tranchant max à la base en (KN)

ΣF

x 54,46 54,17 0,53

ΣF

y 79,55 76,54 3,78

ΣF

z 5,08 4,93 2,95

Moment max à la base en (KN.m)

ΣM

x 473,70 522,07 9,26

ΣM

y 355,60 341,15 4,23

ΣM

z 195,28 205,94 5.45

0 0 . 5 1

0 . 0 0 E + 0 0 0 2 . 0 0 E + 0 0 1 4 . 0 0 E + 0 0 1 6 . 0 0 E + 0 0 1

g)- Conclusions

Nous constatons que les fréquences par le modèle proposé sont plus proches de celles obtenus par le modèle MEF (Sap2000). Le pourcentage d’écart est inférieur à 8,8%

(voir tab.4.11). Pour les coefficients de masse modale, l’écart des résultats trouvés par les deux modèles (MMT, MEF) est de l’ordre de 9,90%.

Le taux d’écart entre les modèles MMT et MEF dans le calcul des déplacements et sollicitations est inférieur à 7,84% (voir tab.4.13) pour les premier et 9,5% pour le deuxième ce qui est admissible. Finalement, concernant le calcul de l’effort tranchant et le moment à la base de la structure par le modèle MMT, l’écart est inferieur à 9,2%

comparativement à la méthode MEF.

Tableau.4.15. Effort tranchant et moment max à la base obtenus par les modèle MMT et MEF pour la structure mixte en portiques et voiles avec et sans ouvertures

Figure 4.37 : L’effort tranchant à la base de la structure ∑Fx

Figure 4.38 : Moment de rotation à la base de la structure ∑Mx

0 0 . 5 1

0 . 0 0 E + 0 0 0 2 . 0 0 E + 0 0 2 4 . 0 0 E + 0 0 2

Force Fx max a la base (KN) MomentMx max a la base (KN.m)

(31)

4-6- CONCLUSION

Dans ce chapitre nous avons traité deux exemples de validation et une étude de cas. Ces exemples de validation sont des bâtiments avec des éléments de contreventement en portiques autostables et des éléments de contreventement en portiques-voiles. Le calcul était effectué par les modèle MMT, élaboré dans cette étude, et le modèle éléments finis SAP2000. Une comparaison entre les résultats obtenus est réalisée. Cette comparaison a touché plusieurs paramètres caractérisant le comportement dynamique d’une structure, tel que les fréquences et modes propres, ainsi que des facteurs de participation modale, masses modales hexadimesionnelles, déplacements et sollicitations dans les trois directions x, y, z et autour des axes ox, oy, oz issues d’une analyse dynamique modale spectrale.

Les réponses de tous les modes de vibration contribuant de manière significative à la réponse globale doivent être prises en compte.

Les taux d’écart entre les résultats trouvés par les deux modèles sont admissibles inférieur à 10%. Nous pouvons donc dire que le modèle MMT est un outil prometteur dans le calcul des structures.

L’analyse des modes de vibration permet de détecter les imprécisions dues à la conception du modèle. En pratique, seule une partie de ces modes va apporter une contribution significative à la réponse de la structure. Dans le cas général, le simple examen des déformées propres ne constitue pas une méthode suffisamment fiable pour faire la sélection nécessaire et on a besoin de critère quantitatifs pour apprécier l’importance de chacun. Parce que, on peut utiliser la masse modale comme un indicateur du nombre de modes à considérer dans l’analyse.

Le nombre de modes à employer doit être suffisant pour représenter au moins 90 % de la masse totale de la structure.

La méthode des éléments finis 3-D peut être fastidieuse à mettre en ouvre, les temps de calcul peuvant être longs. Par exemple, dans le cas des résultats en terme des déplacements et des sollicitations en prenant en compte le temps de calcul près de sept secondes dans la méthode des éléments finis 3-D, alors que le temps a pris environ trois secondes dans l’approche hexadimensionnelle.

(32)

Nous avons ainsi montré que notre programme donne des résultats satisfaisants. Il présente un compromis entre la simplicité des modèles simples et la complexité des modèles plus élaborés. Il permet une introduction des données simple, une lecture des résultats aisée, une rapidité des calculs et une précision des résultats.