COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DE SOLUTIONS D'ÉQUATIONS DE RÉACTION-DIFFUSION

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COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DE

SOLUTIONS D’ÉQUATIONS DE

RÉACTION-DIFFUSION

Claude Bardos

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Claude Bardos. COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DE SOLUTIONS D’ÉQUATIONS

JOURNAL DU. PHYSIQUE Colloque C 5 , supplément au n° 8, tome 39, août 1978, page C5-61

COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE

DE SOLUTIONS D'ÉQUATIONS DE RÉACTION-DIFFUSION

C. B A R D O S

Université Paris-Nord, 93000 Saint-Denis, F r a n c e

Résumé. — On étudie l'influence d'un terme de diffusion sur le comportement asymptotique des solutions d'une équation différentielle ; les méthodes utilisées sont le principe du maximum (régions invariantes), des théorèmes de comparaison à des équations différentielles ordinaires et des inégalités d'énergie.

Abstract. — We study the influence of a diffusion term on the asymptotic behaviour of solutions of a differential equation ; the main tools are the maximum principle (invariant regions) comparison theorem, and energy inequalities.

On se propose d'étudier le comportement des solutions de systèmes de réaction-diffusion du type suivant

(^-=Dku + F(u),u(.,0) = uo(.) (1)

et

où u(i) = M(., /) est une fonction définie sur un ouvert Q de Um à valeurs dans W. D désignera une

matrice hermitienne positive (dépendant éventuel-lement de (x, /) et de u). F est une fonction locaéventuel-lement lipschitzienne de W à valeur dans R". On ajoutera une condition aux limites sur dQ de manière à ce que le problème parabolique (1) soit bien posé. Des équations du type (1) ont été proposées pour décrire des interactions non linéaires apparaissant en chimie, biologie et en écologie. Les résultats que nous décrirons sont pour la plupart dus à Smoller, Rauch, Conway, Larson etc. [3], [4], [5], [6], [10], [13]. Ils s'obtiennent en comparant l'équation (1) à l'équation différentielle ordinaire (2) du/dt = F(u). On essayera en particulier de prouver comment l'apparition du terme de viscosité peut perturber le comportement asymptotique des solutions. Mais les outils mathématiques mis en œuvre sont assez simples; on utilisera ici essentiellement une variante du principe du maximum et des relations du type énergie.

1. Existence globale de solutions et régions

inva-riantes. — Si u0 appartient à L2(0) l'équation (1)

admet une solution définie sur un intervalle de temps [0, T*[. En général T* dépend des données initiales et la solution de (1) ne peut être prolongée pour tout /, même si les données initiales sont très régulières. Un exemple simple est fourni par l'équa-tion (')

^ = Au + u2, ^ = 0 , «(.,0) = tt0(.)>0.

dt ôy dQ

(2)

(') Cf. Fujita [7] et Lions [15], p. 34.

D'après le principe du maximum la solution de (2) est toujours positive (d/dy désigne la dérivation selon la normale extérieure àQ). Une intégration donne :

-7- u(x, t) = Au(x, t) dx + u\x, t) dx . (3)

J fi J Q J fi

On suppose que Q est borné, on pose

Z(t) = H(X, 0 dx

J»

et on utilise les relations

Au(x, t) dx = y - (a, t) do-J « do-J en 7 et

( I u2(x, t) dx j ( l dx j > u(x, t) dx

pour obtenir la formule

Z\t)>( [ d x V ' z2( 0 . (4)

Par comparaison avec l'équation y' = cy2 on

déduit que Z(/) devient infini pour

t = T* = (mes Q) / M0(X) dx .

Aussi pour assurer l'existence d'une solution de l'équation (1) pour tout temps, il est nécessaire de disposer d'une estimation a priori. Celle-ci sera fournie par la mise en évidence de régiqns invariantes bornées. Une région L <= IR" est invariante pour l'équation (2) si toute solution de (2) : u(t) (0 < / < T) vérifie u(t) e I dès que w(0) e I. Si on désigne par n la

normale extérieure à aZ on sait que pour que C soit une région invariante pour (2), il faut et il suffit que l'on ait

De même on dira qu'une région C c Rn est invariante pour (1) si la solution u(x, t) de (1) vérifie la relation U(X, t) E Z ; (VX E 52) dès que la donnée initiale

u(x, O) = uo(x) vérifie la relation u,(x) E C (VX E 52).

Exemple. - On considère l'équation

(81 O, E 2 2 O, u(., t) E L2(R)).

On suppose que

est un rectangle à côtés parallèles aux axes, conte- nant (O, O) tel que le champ F : (f,, f,) soit rentrant sur chacun des côtés de ce rectangle, alors C est une région invariante.

Démonstration. - On suppose que u(., O) c C

alors s'il existe t 2 O tel que u(x, t) $ C (Vx E R),

il existera un temps t* tel que l'on ait u(., t) c C, V t (O d t < t*) et u(., t*) n air; # 0 ; il existe donc un point x* tel que u(x*, t*) n BC # O. Ce point correspond à un extrema de u,(., t*) ou de u,(., t*),

supposons par exemple que ce soit un maximum de u,(., t*). Comme pour t

<

t* on a u,(x*, t*)

<

b,,

8%

il vient

-

(x*, t) 2 O, de plus comme x* est un

at

aZu,

maximum de u,(., t*), on a (x*, t*)

<

O. Enfin 0x2

le champ est rentrant et ainsi

ce qui fournit une contradiction (Fig. 1).

Bien entendu ce théorème s'étend à la dimension n d'inconnues, à la dimension m d'espace, à un ouvert 52 de Rm (à condition de choisir une condition aux limites (par exemple Neumann ou Dirichlet) compatible avec le principe du maximum), au cas ou les matrices D ne sont plus diagonales et dépendent de x, t et de u mais sont toujours hermitiennes, définies et positives. On a alors le théorème suivant (Conway, Hoff et Smoller [5]).

THÉOREME 1. - On suppose que la matrice D ne dépend que de u et est hermitienne définie positive. On suppose que Ç est une région de IW" définie par la relation

où les Gk désignent des fonctions définies sur Rn a valeur dans R, deux fok continûment dérivables. On a alors les énoncés suivants :

(i) On suppose que pour tout v E dC VG,(v) est vec- teur propre de la matrice D(u) et que si la valeur propre correspondante ,uk(v) n'est pas nulle, la matrice V2Gk(v) est définie positive. On suppose d'autre part que pour tout v E 1352 on a VGk(c) F(v) < O. Alors C est une région

invariante.

(ii) Inversement si C est une région in~lnriante, pour tout v E BC VGk(v) est vecteur propre de D(v),

la forme V2Gk(v) est positive dès que la valeur propre correspondante à VGk(v) n'est pas nulle et on a

Ce théorème est démontré dans [5]. On remarquera qu'il donne des conditions presque nécessaires et suffisantes (remplacer < par <) et qu'en particulier il indique que lorsque D est diagonale, les seules régions invariantes sont les rectangles.

Exemple. - Les équations de Fitzhugh-Nagumo.

I

Proposees comme modèle simplifié de la propagation de l'influx nerveux, ces équations s'écrivent :

(a > O, y > O, f (v) = v(1

-

o) (v

-

a)). On suppose

que les constantes sont telles que la droite ov

-

yu = O

ne coupe pas la courbe u = v(1

-

v) (v - a) (en dehors de zéro).

On représente sur la figure 2 deux rectangles inva- riants, un petit R, et un grand R I (les flèches indiquent bien sur la direction du champ (f (0) - u, au - yu).

COMPORTEMENT ASY MFCOTIQUE DE SOLUTIONS D'ÉQUATIONS DE RÉACTION-DIFFLJSION C5-63

familles et en utilisant toujours des variantes du principe du maximum on peut montrer les résultats suivants (Rauch et Smoller [13]) :

(1) Quelle que soit la donnée initiale

la solution sera, au bout d'un temps fini contenue dans R,

.

(2) Si la donnée initiale est petite

la solution décroît exponentiellement vers zéro lorsque

t + W . Ces deux résultats font apparaître un seuil

pour les données initiales, d'autant plus que l'on sait (Hasting [Il], Carpenter [2]) que les équations de Fitzugh-Nagumo admettent une solution onde soli- taire, c'est-à-dire une solution de la forme

(u(x, t), U(X, t)) = ( q x

-

ct), Ü(x - ct))

.

Bien entendu la courbe

5

-+ (;(O, Ü(8) est alors contenue dans R, mais pas dans Ro - un problème

non résolu important est la stabilité de la solution onde solitaire. Le résultat (1) de [13] peut s'interpréter comme un premier résultat dans cette direction. On prouve en effet que quelle que soit la donnée initiale, la solution sera, après un temps fini dans un voisinage (le rectangle R I ) de l'onde solitaire.

2. ~ h é o i è m e s de comparaison. - On se propose de donner des critères de comparaison permettant de déduire le comportement asymptotique des solutions d'un système de réaction diffusion de celui des solu- tions d'équations différentielles ordinaires.

On considère le système suivant :

u et v sont des fonctions définies sur un ouvert 9 de Rn,

cl et E~ sont positifs (ou nuls), B/ay désigne la dérivation

selon la normale extérieure à a 9 (si l'un des coeffi- cients z 1 OU c2 est nul, la condition aux limites sur la fonction correspondante disparaît).

On supposera qu'il existe une région invariante

Z = ]a, A[ x ] b, B[ (d'après le théorème 1 il est néces- saire que cette région soit un rectangle) contenant les données initiales. La solution correspondante de (5)

vérifie donc la relation

U(x, t) E C (Vx E 9 )

.

On définit les champs de vecteurs F+ et F- par les relations suivantes :

et on remarque que si f et g sont localement lipschit- ziennes, il en est de même des champs F + et F -

(cf. [5]). La solution de (5) est alors encadrée grâce au théorème suivant :

THÉORÈME 2. - On suppose que les fonctions u* = (u', v*) vérifient les relations

u-(x, O)

<

u(x, O)

<

u+(x, O),

v-(x, O) ,( v(x, O)

<

v-(x, O) Vx E 9 ( 6 )

alors la solution U = (u, v)

du

problème (5) vérzjie les estimations suivantes

u-(x, t)

<

U(X, 2 )

<

u+(x, t ) ,

v - (x, t)

<

v(x, t)

<

u + (x, t)

(8)

CS-64 C BAKDOS

Remarques. - Le théorème est énoncé en deux

dimensions pour la fonction inconnue U = (u, v), bien entendu il se généralise sans peine dans le cas ou U est une fonction à valeurs dans Rn. D'autre part lorsque ui(x, O) sont des constantes (indépendantes de x), les équations (7) se réduisent à l'équation différentielle ordinaire

Ainsi le théorème 2 permet de comparer la solution de l'équation de réaction diffusion (5) à celle d'une équation différentielle ordinaire; ce sera son utili- sation essentielle.

Démonstration du théorème 2. - On va montrer les relations u(x, r) 6 u+(x, r) et ~ ( x , r)

<

v+(x, t ) ;

les minorations s'obtiennent de manière analogue. On introduit la fonction (w', w2) = W = ( U - U + )

West solution de l'équation d'évolution

aw

-

= D A W

+

3 ( W )

ar

où 9( W) est définie par la relation :

On va montrer que la région w1 6 O, w2

<

O est invariante pour l'équation (10) ce qui prouvera la majoration. Compte tenu du théorème 1 il suffit de prouver que sur la frontière de cette région le champ (f - f + , g

-

g + ) est rentrant ; par exemple pour

w1 = O, ,v2

<

O (l'autre partie de la frontière se traite de manière identique) on a :

car

w1 = O,

d'autre part comme w2 6 O il vient v - w2 2 v, et en utilisant la définition de f + on obtient enfin :

=

f

(u, v) - sup f (u, <)

<

O o < < < v - w 2

Exemple (cf. Conway-Smoller [4]). - On considère

un système de deux équations à deux inconnues, modéle en écologie mathématique de comportement de deux espèces (cf. [4], [12]) vivant en symbiose. Les variables u et v décrivent les densités de population dans un ouvert Q. La condition aux limites

signifie qu'il n'y a pas de migration a travers la fron- tière. Les équations s'écrivent sous la forme

la figure 4 décrit l'allure des fonctions M et N dans Ic plan des phases. Le champ (uM, UN) a deux zéros (0, O) et (P, Q) : (P, Q) est un zéro attractant. Z repré- sente un rectangle invariant. Enfin dans le plan des phases les champs ((uM(u, fi))+, (oN(u, v))+) et ((uN(u, O))-, (vN(u, LI))-) présentent le même aspect; en particulier pour ces deux champs (P, Q) est un zéro attractant et (O, O) un zéro instable. Le théorème de comparaison conduit à introduire des fonctions ui(r), vi(t) solutions des équations différentielles ordinaires

.

.

M r o

avec les conditions initiales

On en déduit que dès que les données initiales u(x, O)

et V(X, O) vérifient la relation u(x, O) 2 a > O et v(x, O) 2 /l > O (Vx E

a),

on peut encadrer u(x, r) et

V(X, 1) par les fonctions u+(t) et v+(r). Comme on a lim (u+(t), v+(r)) = (P, Q)

1-w

ceci permet de conclure que l'on a

COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DE SOLUTIONS LI'ÉQUATIONS DE KÉACTION-DIFFUSION (25-65

lorsque le domaine est assez grand (pour que les proies puissent s'échapper !) on voit apparaître des solutions périodiques. Il y a peu de résultats dans ces directions : ceux qui seront décrits ci-dessous sont démontrés par des méthodes d'énergie.

3. Méthodes d'énergie. - THÉORÈME 3. - 017 . s / I / J - pose que l'ouvert 8 est borné et on désigne par U une solution de l'équation de réaction dzflusion, avec conditions aux limites du type Neumann

On supposera que u prend ses valeurs dans une région invariante Z. D désignera une matrice hermitienne (indépendante de x), &$nie positive ; on notera ci la plus petite valeur propre de D, A, la plus petite valeur propre non nulle de l'opérateur

-

A avec condition de Neumann sur 8 8 . On pose enJNl

et on suppose que l'on a :

Alors on a les conclusions suivantes. Il existe deux constantes positives Cl et C2 telles que les majorations suivan tes soient valables

De plus

est solution du type suivant

Dans (17), g(t) désigne une perturbation vérifiant la majoration :

Démonstration. - En utilisant la décomposition spectrale de l'opérateur

-

A avec conditions de Neumann on prouve facilement les relations suivantes, valables pour toute fonction u E H' (Q)

Ensuite en notant Di la dérivation par rapport à la variable d'espace xi, on obtient :

On multiplie cette équation par Di u, puis en som- mant par rapport a ion obtient :

On a alors les relations suivantes

-

f;

1

( D ADi Di u) d-X = ( D Au,

f;

D: u )

dr

-

l-Q

Zyi(D Au, Di u ) da =

i = 1

R i= 1

En utilisant les équations (22) et (23) il vient enfin Soit avec (19) la relation la relation suivante 1 d I d '

-

2

-

dt/*

I

V u

I2

+

(2 5 )

(15) est alors une conséquence du lemme de Gron-

+ d/R

I Au

l2

dx - MJR

I

vu

I2

dx

C5-66 C. BAKDOS

Sobolev ; pour prouver (1 7) on intègre I'équation (13) sur 52, d'après la condition aux limites de Neumann on obtient

et la démonstration se termine en évaluant l'expression

Pour les détails nous renvoyons à [5].

Ce théorème permet de comparer encore une fois le comportement asymptotique de la solution de I'équation de réaction diffusion avec celle de I'équation différentielle ordinaire. Il permet en particulier d'expli- citer dans certains cas comment le terme de diffusion peut modifier la solution. Considérons les solutions du système

où le champ (MM, UN) est décrit sur la figure 5 (on a modifié un peu la figure 4) :

appartient au bassin II, la solution de I'équation (27) convergera vers le point (P, Q).

Remarque. -- Cette méthode permet aussi de prouver que dès que Âor - M > O il n'y a pas d'état stationnaire non constant contenu dans la région invariante Ç, solution de l'équation (13). En effet si u

est un état stationnaire on a la relation

On dérive (28) par rapport à toute direction xi, puis on multiplie par D i u et on somme par rapport à i. On obtient ainsi la relation

ce qui implique que Vu

=

0.

Les méthodes d'énergie permettent aussi d'obtenir assez facilement certains résultats d'instabilité pour des solutions stationnaires du problème de Neumann. THÉORÈME 4. - On désigne par u(x, t) et U(x, t) deux fonctions l'une scalaire, l'autre vectorielle (à

valeurs dans Rn), définies sur ]O, 1[ x R+ et solutions du problème de réaction dijiusion, avec conditions aux limites du type Neumann suivant :

au

au

-

_ax

(O, t) =

-

_ax

(1, t) = 0

au

-

+

g(u, U) = O

.

at

On suppose que les fonctions f et g sont réguJères et que dglôu est une matrice non négative. Alors le problème (30) n'admet pas d'état stationnaire (u, U) non constant stable.

Démonstration. - On va montrer que le problème

Frc. 5 . linéarisé autour de (u, U) :

afi a 2 ü + ? f U + e f , = , Dans cette figure le champ possède deux zéros a t

ax2

au

au

attractants (P, Q) et (O, O). Choisissons comme donnée _{Bü du"}

initiale une fonction (uo(x), vo(x)) contenue dans le

_ax

-(O, t) = -(l,

_ax

t ) = O

bassin 1. Alors si el = 8, = O, la solution convergera

vers zéro, par contre si .cl et e2 sont assez grands - + - ü + - U = O

a 0

ag

a g -

(pour compenser le terme g(t) apparaissant dans (18)) at

au

au

et si le barycentre de I'hypersurface (uo(x), uo(x)) :

admet au moins une solution non identiquement nulle de la forme :

COMPORTEMENT ASYMPI'OTIQUE DE SOLUTIONS D'ÉQUATIONS DE R É A C T I O N - D I F F ~ S I O N C5-67

Ceci revient à prouver qu'il existe a > O et (cp, @) non identiquement nuls solutions du problème :

ou ce qui revient au même car dg/dU est définie positive, à prouver qu'il existe a

>

O et cp non iden- tiquement nulle telle que l'on ait :

On désignera par HN(a) et H,(a) les opérateurs différentiels

avec conditions aux limites de Neumann ou de Dirichlet, et par p(a) la plus petite valeur propre de HN(a). Il suffit de prouver qu'il existe a > O tel que p(a) =

-

a. La fonction a + p(a) est continue et bornée inférieurement. D'autre part si (u, U ) est l'état stationnaire non constant, on a H,(du/dx) = 0 ; ainsi O appartient au spectre de Ho(0). D'après le principe du minimax, p(0) est alors strictement négatif et ainsi il existe un point o tel que p(a) = - a. Remarque. - Cette démonstration s'inspire d'une méthode due à Schwinger [14] pour compter les états liés d'un Hamiltonien. On peut également considérer le cas où Q = R en rapport avec le problème de stabilité des solitons de petite vitesse (cf. [l] et [IO]). Cette propriété d'instabilité pour les états station- naires est bien entendu fausse pour le problème de Dirichlet (cf. entre autres Keller [8]), elle est également fausse lorsqu'apparaît un terme de diffusion de deux équations à deux inconnues peut bifurquer vers un état stationnaire structuré (non constant).

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