Chauffage par induction d'une sphère métallique creuse

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Chauffage par induction d’une sphère métallique creuse

Antoine Colombani

To cite this version:

26

CHAUFFAGE PAR INDUCTION D’UNE

SPHÈRE

_MÉTALLIQUE

CREUSE Par M. ANTOINE COLOMBANI.

Sommaire. 2014 J. J. Thomson

a montré le _{premier qu’un} tube métallique soumis à un _champ magné-tique périodique axial _présente un maximum de _{puissance dissipée par} courants de Foucault pour

une valeur _optima de son _épaisseur. G. Ribaud retrouva et vérifia expérimentalement ce résultat.

Il _signala également un _{phénomène analogue} dans le cas du _{disque métallique} mince de dimensions finies _{perpendiculaire} au _champ.

J’ai pu, dans le cas d’une _sphère creuse _{d’épaisseur faible,} mettre en évidence un _optima semblable

aux _précédents et _{susceptible d’applications} intéressantes dès l’instant où l’on se _propose de faire absorber par une couche métallique sphérique un maximum _{d’énergie.}

Les calculs en coordonnées sphériques font intervenir normalement les fonctions de Bessel et de _Legendre. Ils deviennent _rapidement très compliqués du fait des « conditions aux limites ».

Cependant, en utilisant la notion de potentiel magnétique, j’ai pu éviter l’introduction des fonctions

sphériques et aboutir très rapidement à un résultat _qui n’avait pas encore été mis en évidence.

JOURNAL DE PHYSIQUE RADIUM. TOME

_d2,

JANVIER 1951,

Considérons une

_sphère

_métallique

creuse

_placée

dans un

_champ

_{magnétique périodique}

et uni-forme H =

Ho cos wt) t (fig. i).

Par

induction,

des

cou-Fig. 1.

rants de Foucault se

_développent

dans le métal. Pour écrire les relations de Maxwell

_qui

relient les

champs

entre eux à l’intérieur comme à l’extérieur du

métal,

nous _supposerons le

régime quasi

station-naire.

_Jusqu’à

des

_fréquences

élevées,

nous savons

que cette

_{approximation}

est bien

_justifiée

_[1,

_2].

Nous nous

_placerons

d’autre

_part

dans le cas où

1

l’épaisseur

de

_{pénétration ê == (2 7!(J) y) - 2}

_(w),

pul-sation; y,

conductibilité)

est

_grande

vis-à-vis de

l’épaisseur

du métal. Pour des

_fréquences

assez

élevées,

cette

_épaisseur

sera donc celle d’une couche mince

_métallique.

Ceci

_posé,

_{remarquons que les}

_trajectoires

circu-laires des courants de Foucault dans le métal sont situées dans des

_plans

_{perpendiculaires}

au

_champ

inducteur H.

En coordonnées

_sphériques

les

_composantes

hl, et

ha

du

_champ

_électrique

h sont donc nulles ainsi que la

composante

H ~

du

_champ

_magnétique

Les

_{équations générales}

se réduisent alors aux suivantes :

27 En

_négligeant

les termes de second ordre

_(qui

sont

continus) l’intégration

de

_{l’égalité}

₍₃₎

sur

l’épais-seur e très

_petite

de la couche conduit à la relation

a étant le rayon extérieur de la

_sphère.

Les notations i et 2

désignent

les milieux

exté-rieurs au métal de la couche. Le chiffre i se

rap-porte

à

_l’espace

_extérieur,

et le chiffre a à la cavité

interne.

L’égalité

(5)

permet

d’écrire

Or,

d’après (1) :

De

_plus,

_{d’après (4) :}

Par

_conséquent,

on déduit que

Ces relations se refèrent au

_champ

_H,.

à la limite de la

couche,

mais à l’intérieur de celle-ci. Par

continuité,

on

_peut

écrire en fonction des

poten-tiels

_03C81

et

_03C82

en

₍₁₎

et

_{(2) :}

avec

Détermination des

_potentiels.

- Prenons

comme

_potentiel

inducteur :

La

_présence

des courants induits

_perturbe

ce

_potentiel

et conduit à écrire

Ces formes satisfont aux conditions

générales

de

régularité

et le

_champ

extérieur se réduit bien au

champ

inducteur à

_grande

distance.

Elles satisfont d’autre

_part

aux conditions aux limites des

_égalités

₍₆₎

si

D’où

Soit

en

_posant

D’où

En

_prenant

les

_parties

réelles et en

_{posant tg x}

= _oc

on en déduit les valeurs

_{de rfl}

et

_rf2

_{correspondantes}

au

_{potentiel inducteur 03C8 0 :}

Les termes additionnels

_{représentant}

les

pertur-bations de

_potentiel

dues aux courants induits.

Nous voyons

déjà qu’à

l’intérieur de la

_sphère,

la

_présence

des courants de Foucault

_produit

un

champ

de sens

_opposé

au

_champ

inducteur

_{H o,}

d’amplitude

égale

à

_{H 0 cos X}

et

_déphasé

d’un

_angle

Calcul des

_{champs. -}

En

_supposant

_les per-méabilités

_égales

à

_l’unité,

la valeur des

_champs

dans les milieux 1 et 2 s’obtient directement à

partir

de 03C81

et

_{tf2 :}

On a .

A la limite pour r = _{a, on a}

h ~,1= h~2 =

H° w a sin O [ si n ce> t - cos z sin «,> t + z)] .

(i8)

C’est le

_{champ électrique}

dans la couche

métallique

28

Remarques.

-- I °

_Toujours

dans la condition E > e si la

_fréquence

est _{suffisamment élevée pour}

3 03B52

que

tgy

=03B1= 2 ao

soit très

_petit,

on constate

2 ae

facilement

_qu’à

l’extérieur de la

_sphère

_(région

₁₎

les formules donnant les

_champs

deviennent

La densité

_{superficielle}

de

courant is

est donnée à

partir

de

_H03B81,

_pour r = _a

par la relation

D’où

On retrouve des formules

_déjà

établies dans le cas de la

_sphère

conductrice

_pleine

_{pour des}

_fréquences

élevées

_[2,

4,

6].

2° A l’intérieur de la cavité

_sphérique,

le

_champ

résultant

_magnétique

vaut,

tous calculs faits :

et le

_champ

_électrique

_(h,

==

hy) :

Si oc est

grand (basse

fréquence),

on

_peut

écrire

D’où

Le

_{champ H o}

est _peu

_perturbé.

Si « est très

petit,

en

_remplaçant

_{sin Z}

_{par (x,}

(1) La valeur moyenne du vecteur de Poynting

4I03C0

H02Â ht

est nulle. Il n’y a _{pas d’énergie dissipée} dans la cavité

sphé-rique.

on obtient

Le

_{champ magnétique}

résultant est

_{négligeable.}

Enfin,

un cas

_{particulièrement}

intéressant est celui où a =

1,

comme nous le verrons

_plus

loin. On trouve alors dans la cavité

Si la condition est

_réalisée,

l’am-plitude

du

_champ

_magnétique

intérieur vaut

H02013

et

2

est

_déphasée

de

_{- 03C0}

sur le

_champ

inducteur.

Calcul de la

puissance

dissipée

dans le métal.

-

L’expression

de la

_{puissance dissipée}

_{par les} courants de Foucault dans le métal est

avec

et

On en déduit

après intégration

Cette dernière

expression

passe par un maximum pour une valeur

optima

de

l’épaisseur

Pour cette valeur de e la

_puissance

_dissipée

vaut

Elle est

_{proportionnelle}

au cube du rayon et

indé-pendante

de la conductibilité. La

_{représentation}

de W en fonction de e a donc

_l’aspect

de la

_figure

2.

3 E2

Après

un maximum _{pour Copt}

- 2 a

la

puissance

29

dépensée

en haute

_fréquence

dans une

_sphère

_pleine

de _rayon b + e

_(e

étant _{la variable et b le rayon}

Fig. a.

intérieur de la

_sphère

creuse considérée

_{jusqu’ici).}

Cette

_puissance

est

La

courbe

_W1

doit donc se raccorder avec W. G. Ribaud

_[3],

dans son étude sur le

_{disque plan}

Il est

certain,

par

analogie

avec le

_problème

du

disque plan,

que l’existence de

l’optima

de

puis-sance dans le cas de la

_sphère

creuse,

peut

présenter

un

_grand

intérêt _{pour le}

chauffage

de certains corps, ou dans les études de bolométrie. Dans ce dernier

cas,

_{l’épaisseur optima}

très faible

peut

être obtenue

par

dépôt métallique

sur un

_support

_sphérique

ou un tube

_cylindrique

isolants.

_{J’espère pouvoir}

revenir ultérieurement sur cette

_question.

Signalons

enfin

que le

rapport

de la

_puissance

dissipée

dans la couche

₍₂₂₎

à celle

_qui

serait

_dissipée

dans les mêmes conditions dans une

_sphère

_pleine

de même rayon, tend vers la limite

quand

le rayon a de la

sphère

croît indéfiniment. Le même raisonnement,

appliqué

au tube indéfini de J. J.

Thomson,

conduit au même

résultat,

ce

_qui

est bien normal.

de faible

_{épaisseur perpendiculaire}

au

_champ

induc-teur,

trouve _{pour la}

_puissance

_{dissipée optima}

une valeur

_égale

à

₍₂₄₎

_pour une

_épaisseur

(a,

rayon du

disque, k,

coefficient voisin de

_2).

Je

_rappelle

_{que J. J. Thomson} a

_également

obtenu une valeur

_optima

_pour

_{l’épaisseur}

d’un tube indéfini soumis à un

_{champ magnétique}

axial.

Si nous calculons le

_rapport

de la

_puissance

_optima

donnée par

l’expression (24)

à la

_{puissance dissipée}

dans une

_{sphère pleine}

de même nature et de même

diamètre,

nous trouvons dans les mêmes conditions

d’induction

Ce

_{rapport peut}

être très élevé. Je donne ci-dessous

quelques exemples

portant

sur des couches

sphé-riques

de nature différente avec a == 10 mm, et pour deux

fréquences

5. I07 et 5.105.

Remarque.

- On

peut

également

calculer la

puis-sance

_dissipée

_par l’intermédiaire du vecteur de

Poynting.

La valeur moyenne du flux de ce vecteur sur la surface extérieure de la couche est en effet

avec

_(pour

r =

a) :

On trouve

expression identique

au résultat

déjà

obtenu

_(22).

Enfin,

la valeur moyenne du flux dans la cavité est

avec

On vérifie

_qu’elle

est

_nulle,

ce

_qui

est évident

puis-qu’il n’y

a _{pas de}

puissance

_dissipée

dans cet endroit.

Manuscril ( reçu le 21 I avril _1950.

BIBLIOGRAPHIE.

[1] THOMSON J. J. 2014 Recent Researches.

[2] COLOMBANI A. - Étude

sur les courants de Foucault. J. Phys., I948, 9, 273-286. Détermination de la

perméa-bilité apparente et du facteur de qualité en haute

fréquence d’une poudre magnétique. J. Phys., I950, 11, 20I

[3] RIBAUD G. 2014

Chauffage par induction d’un disque

circu-laire mince normal aux _lignes de _champ. J. _Phys.,

I946, 7, ooo.

[4] JOUGUET M.2014 Courants de Foucault et fours à induction

(Gauthier-Villars).

[5] POYNTING.2014 On the transfer of _Energy in the

Electro-magnetic Field. Phil. Trans., I884, Part. _{II, 343.}

[6] CLERK MAXWELL. - Traité d’Électricité et de