Méthode de décomposition de domaine et conditions aux limites artificielles en mécanique des fluides: méthode Optimisée d'Orde 2.

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méthode Optimisée d’Orde 2.

Caroline Japhet

To cite this version:

Caroline Japhet. Méthode de décomposition de domaine et conditions aux limites artificielles en mécanique des fluides: méthode Optimisée d’Orde 2.. Mathématiques [math]. Université Paris-Nord - Paris XIII, 1998. Français. �tel-00558701�

UNIVERSIT( PARIS 13

N o

attribu' par la biblioth,que

j j j j j j j j j j j

THESE

pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L'UNIVERSIT( PARIS 13

Discipline

: Math7matiques appliqu7es

pr.sent.e et soutenue publiquement

Caroline JAPHET par le 3 juillet 1998

Titre

:

METHODE DE DECOMPOSITION DE DOMAINE ET CONDITIONS AUX LIMITES ARTIFICIELLES EN

MECANIQUE DES FLUIDES:

METHODE OPTIMISEE D'ORDRE 2.

M Y. Maday JURY ;Rapporteur=

M Y. Achdou ;Rapporteur=

Mme L. Halpern

M F. Nataf

M F. Rogier

M F.X. Roux

M M. Bredif

M J.C. Nedelec

M J.C. Guillot

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R!sum!

Ce travail a pour objet le d.veloppement et l'.tude d'une m.thode de d.com- position de domaine, la m.thode Optimis.e d'Ordre 2 9OO2:, pour la r.so- lution de l'.quation de convection-di<usion. Son atout principal est de per- mettre d'utiliser un d.coupage quelconque du domaine, sans savoir @ l'avance oA sont situ.s les ph.nomBnes physiques tels que les couches limites ou les zones de recirculation. La m.thode OO2 est une m.thode de d.composition de domaine sans recouvrement, it.rative, parall.lisable. Le domaine de calcul est divis. en sous-domaines, et on r.sout le problBme de d.part dans chaque sous-domaine, avec des conditions de raccord sp.ciFques sur les interfaces des sous-domaines. Ce sont des conditions di<.rentielles d'ordre 1 dans la direction normale et d'ordre 2 dans la direction tangente @ l'interface qui approchent, par une proc.dure d'optimisation, les Conditions aux Limites ArtiFcielles 9CLA:. L'utilisation des CLA en d.composition de domaine per- met de d.Fnir des algorithmes stables. Une reformulation de la m.thode de Schwarz conduit @ un problBme d'interface. Celui-ci est r.solu par une m.- thode it.rative de type Krylov 9BICG-STAB, GMRES, GCR:.

La m.thode est appliqu.e @ un sch.ma aux di<.rences Fnies d.centr., puis

@ un sch.ma volumes Fnis. Un pr.conditionneur Ubasses fr.quencesV est en- suite introduit et .tudi., dans le but d'avoir une convergence ind.pendante du nombre de sous-domaines. Ce pr.conditionneur est une extension aux pro- blBmes non-sym.triques d'un pr.conditionneur utilis. pour des problBmes sym.triques. EnFn, l'utilisation de conditions di<.rentielles d'ordre 2 le long de l'interface n.cessite d'ajouter des conditions de raccord aux points de croi- sement des sous-domaines. Une .tude est men.e a ce sujet, qui permet de montrer que les problBmes dans chaque sous-domaine sont bien pos.s.

Mots cl&s: D&composition de domaine, conditions aux limites arti4cielles, m&thode Optimis&e d'Ordre 2 9OO2:, probl<mes de convection-di?usion, m&- thode de volumes 4nis, pr&conditionneur, calcul parall<le, Calcul Haute Per- formance.

Laboratoires d'accueil:

W O.N.E.R.A., Service DTIMZCHP, 29 Avenue de la Division Leclerc, BP 72, 92322 CHATILLON Cedex.

W CMAP, Ecole Polytechnique, 91128 PALAISEAU Cedex.

method, the Optimized Order 2 8OO29 method, in order to solve convection- di=usion equation. Its main advantage is that it is a general domain decom- position technique, with no a priori knowledge of the boundary layers or the recirculation zones location. The OO2 Method is an iterative non overlapping domain decomposition method. The domain is divided into subdomains, and the physical problem is solved in each subdomain, with speciCc conditions at the interfaces. These conditions are di=erential equations of order 1 in the nor- mal direction and of order 2 in the tangential direction to the interface, which are optimized approximations of ArtiCcial Boundary Conditions 8ABC9. The use of ABC in domain decomposition produces stable algorithms. A refor- mulation of the Schwarz algorithm leads to an interface problem, solved by a Krylov type algorithm 8BICG-STAB, GMRES, GCR9. The OO2 Method is used with an upwind di=erence scheme, and a Cnite volume scheme. A Nlow wave numberO preconditioner is introduced and studied in order to make the convergence independent of the number of subdomains. This preconditioner is an extension to non-symmetric problems of a preconditioner used for sym- metric problems. Along with the use of di=erential conditions of order 2 along the interface, we need to add conditions at interface cross-points. A study of one type of cross-points conditions leads to well-posed problems in the subdomains.

Keywords: Domain decomposition methods, arti3cial boundary conditions,

Optimized Order 2 :OO2; method, convection-di>usion problems, 3nite vo-

lume methods, preconditioner, parallel computing, High Performance Com-

puting.

TABLEDES MATI)RES

1

Table des mati*res

Introduction 5

I D+,nition des conditions d'interface 15

1 Introduction 19

2 Outils g0n0raux: conditions d'interface provenant des condi- tions aux limites arti;cielles <CLA@ 21

2.1 Rappel sur les CLA exactes: cas de 2 sous-domaines . . . 22

2.2 Ecriture de l'algorithme de Schwarz . . . 26

2.3 Les CLA exactes en tant que conditions d'interface . . . 26

2.4 Des CLA approchEes en tant que conditions d'interface . . . . 27

2.5 Convergence de l'algorithme de Schwarz avec les CLA appro- chEes . . . 29

2.5.1 Cas de 2 sous-domaines . . . 29

2.5.2 Extension J K sous-domaines . . . 32

2.6 Remarque sur une autre approche . . . 33

3 Conditions d'interface optimis0es OO2: 0tude sur le pro- blCme continu 35 3.1 Motivation et dEMnition . . . 35

3.2 Cas de 2 sous-domaines et d'un opErateur J cNOcients constants: construction des conditions d'interface OO2 et Etude de la convergence . . . 37

3.2.1 Minimisation du taux de convergence . . . 38

3.2.2 Convergence de l'algorithme de Schwarz avec les condi- tions OO2 . . . 49

3.2.3 Estimations du taux de convergence . . . 49

3.2.4 R%sultats num%riques sur le taux de convergence . . . . 54

3.3 M%thodologie de calcul des conditions d'interface optimis%es OO2 . . . 68

4 Conditions d'interface optimis1es 2OO24

: 1tude sur le pro- bl:me discret 71 4.1 D%composition du domaine et notations . . . 72

4.2 Algorithme de Schwarz et conditions d'interface: cas discret, sans recouvrement . . . 75

4.3 D%Inition des CLA exactes discrLtes: cas de 2 sous-domaines . 77 4.4 Convergence optimale de l'algorithme de Schwarz avec les CLA exactes discrLtes . . . 80

4.4.1 Cas de 2 sous-domaines . . . 80

4.4.2 Cas d'un d%coupage du domaine en bandes . . . 81

4.5 Remarque: lien entre les CLA exactes discrLtes et la matrice du compl%ment de Schur . . . 89

4.5.1 Rappel: m%thode du compl%ment de Schur . . . 89

4.5.2 Lien avec les CLA exactes discrLtes . . . 90

4.6 Les conditions QOO2R

. . . 92

5 Compl1ments 97 5.1 Minimisation sur deux paramLtres du taux de convergence dans le cas de 2 sous-domaines . . . 97

II M"thode Optimis"e d'Ordre 2. Formulation alg"- brique et r"sultats num"riques. 113 1 Introduction 117 2 M1thode Optimis1e d'Ordre 2 119 2.1 Formulation alg%brique: %criture du problLme condens% . . . . 120

2.1.1 Matrices d'interface

et

. . . 120

2.1.2 Ecriture de l'algorithme de Schwarz sous forme d'un

problLme condens% sur l'interface . . . 121

2.2 R%solution du problLme condens% par un algorithme de Krylov 125

TABLEDES MATI)RES

3 3 Application de la m-thode / un sch-ma aux di3-rences 5nies

d-centr- 129

3.1 Position du probl/me . . . 129

3.2 R5sultats num5riques . . . 130

3.2.1 D5coupage du domaine en bandes: comparaison des conditions OO2 discr5tis5es et >OO2?

. . . 130

3.2.2 D5coupage du domaine en rectangles . . . 139

3.3 Conclusions . . . 140

4 Application de la m-thode / un sch-ma volumes 5nis 143 4.1 Discr5tisation en temps . . . 143

4.2 Discr5tisation du domaine de calcul . . . 146

4.3 Discr5tisation en espace: m5thode de volumes Enis . . . 146

4.3.1 Stabilit5 du sch5ma . . . 152

4.3.2 Discr5tisation d'une condition aux limites de type Neu- mann . . . 154

4.4 R5solution par la m5thode OO2 . . . 156

4.4.1 Discr5tisation des conditions d'interface . . . 158

4.4.2 Discr5tisation des conditions aux points de croisement des sous-domaines . . . 164

4.5 R5sultats num5riques . . . 169

4.5.1 Maillage cart5sien P pas constant . . . 170

4.5.2 Ecoulement autour d'un cylindre issu d'un calcul Navier- Stokes . . . 183

III M"thodes de pr"conditionnement 189 1 Introduction 193 2 Pr-conditionneur =basses fr-quencesA 195 2.1 Introduction . . . 195

2.2 Le probl/me d'interface projet5 . . . 196

2.2.1 D5Enition de la contrainte . . . 196

2.2.2 Le probl/me d'interface projet5 . . . 199

2.3 R5solution par l'algorithme GCR projet5 . . . 209

3 R#sultats num#riques: l'#quation de convection-di6usion 215

3.1 In%uence de la condition de raccord aux points de croisement

des sous-domaines . . . 217

3.2 Vitesse de convection nulle: op:rateur sym:trique . . . 218

3.3 Solution constante dans le domaine global . . . 220

3.4 Vitesse de convection de cisaillement . . . 221

3.5 Vitesse de convection tournante . . . 225

3.6 Conclusion . . . 227

IV Etude de conditions de raccord aux points de croi- sement des sous-domaines 229 1 Introduction 233 2 Probl=mes locaux biens pos#s 235 2.1 Notations . . . 236

2.2 D:Hnition du problIme local et :tude de l'existence et de l'uni- cit: d'une solution . . . 238

Conclusion 245

Introduction

Les calculateurs ) architecture parall-le sont devenus un outil majeur pour le calcul scienti4que, car ils o7rent une grande puissance, que ce soit en terme de place m9moire ou de rapidit9 des calculs. Cette puissance est at- teinte par la multiplication des performances d'un processeur par le nombre de processeurs. Cette perc9e informatique soul-ve de nouvelles questions: la recherche de m9thodes num9riques qui soient eAcaces et parall9lisables.

Les m9thodes de d9composition de domaine permettent de d94nir des al- gorithmes performants et adapt9s aux machines parall-les. Elles consistent ) partager le domaine de r9solution d'une 9quation aux d9riv9es partielles en sous-domaines. On peut ainsi traiter des probl-mes de grande taille pour les- quels aucun ordinateur n'aurait ) lui seul une place m9moire suAsante. Par une reformulation du probl-me, celui-ci peut Ftre transform9 en un probl-me 9quivalent dont les inconnues sont des fonctions d94nies sur les interfaces des sous-domaines Gm9thodes dites de sous-structuration ou de type SchurJ.

La r9solution du probl-me d'interface par une m9thode it9rative Gde type gradient conjugu9J s'e7ectue par des r9solutions successives de probl-mes lo- caux Gpar sous-domaineJ ind9pendants, ce qui permet d'utiliser eAcacement les calculateurs parall-les: chaque sous-domaine est attribu9 ) un proces- seur qui r9sout son probl-me ) l'aide des donn9es contenues dans la m9moire locale. Lors de la r9solution du probl-me d'interface, les interactions entre sous-domaines sont trait9es par les phases de communication entre proces- seurs. Pour que la vitesse de convergence soit proche de l'optimum, il est n9cessaire de choisir de KbonnesL conditions de raccord sur les interfaces des sous-domaines, ainsi que des pr9conditionneurs sp9ci4ques.

On distingue deux grands types de m9thodes de d9composition de do- maine:

- d'abord celles avec recouvrement des sous-domaines telles la m9thode de

Schwarz O44Q GH.A. Schwarz, 1870J dont la convergence a 9t9 9tudi9e par

H.A. Schwarz, puis P.L. Lions O26Q GP.L. Lions, 1988J. Les m9thodes avec re-

couvrement ont l'inconv9nient de compliquer 9norm9ment la mise en [uvre

num9rique, surtout dans le cas de probl-mes 3D. De plus, pour des g9om9-

tries tr-s complexes, il est diAcile voire impossible de d94nir des zones de

recouvrement. Un autre type de m9thode a ainsi 9t9 d9velopp9:

- celles sans recouvrement des sous-domaines. Dans ce cas, il est imp3ratif d'avoir des conditions d'interface sp3ci6ques pour que la m3thode converge.

Par exemple, une extension de la m3thode de Schwarz au cas sans recou- vrement a 3t3 introduite dans ?27B CP.L. Lions, 1989H, puis ?10B CB. DesprKs, 1991H, ?7B CP. Charton, F. Nataf et F. Rogier, 1991H, ?5B CC. Carlenzoli et A.

Quarteroni, 1995H. L'algorithme de Schwarz est un cas particulier des m3- thodes de sous-structuration ?25B CP. Le Tallec, 1994H.

Dans ce travail, on d3veloppe des m"thodes de d"composition de do- maine sans recouvrement, it"ratives, parall"lisables, pour les "qua- tions de la m"canique des 6uides compressibles ^.

Dans ce cadre C3quations non lin3aires de Navier-StokesH, l'3tat station- naire est calcul3 par lin3arisation et l'utilisation d'un sch3ma implicite en temps. Cela permet de limiter le nombre d'it3rations n3cessaire. L'3quation de base dans ce processus est alors l'3quation de convection-diWusion:

u

t

+a"x;y#

@u

@x

+b"x;y#

@u

@y

( u=f

qu'il faut r3soudre par d3composition de domaine. Le caractKre non sym3- trique de l'op3rateur en cause ici pose des problKmes sp3ci6ques. En eWet, lorsque le terme de diWusion est dominant, on peut utiliser de fa[on e\cace les algorithmes con[us pour les systKmes lin3aires sym3triques, avec quelques modi6cations. Par exemple, on peut utiliser les m3thodes de type Schur dual

?38B CF.X. Roux, 1995H en rempla[ant l'algorithme du gradient conjugu3 par un algorithme GMRES ?43B CY. Saad et H. Schultz, 1986H ou BICG-STAB

?46B CH.A. Van der Vorst, 1992H pour r3soudre le problKme condens3. Cepen- dant, lorsque la convection est grande, ces m3thodes sont moins performantes et les r3sultats th3oriques sont moins nombreux.

Les travaux pr3sent3s ici 3tendent la m3thode de Schwarz additive clas- sique, au moyen de la technique de conditions aux limites arti6cielles CCLAH.

Nous allons d3crire succintement pour un problKme g3n3ral le principe de la

m3thode de Schwarz additive classique, puis les id3es d3velopp3es dans ce

travail.

M!thode de d!composition de domaine sans recouvrement:

Supposons que l'on cherche - r.soudre le probl1me:

L u! = f

dans

517

C u! = g

sur

527

o9

est un ouvert born. de

,

un op.rateur di>.rentiel de bord 5par exemple

pour une condition de Dirichlet7,

un op.rateur di>.ren- tiel, et

et

des fonctions donn.es. On d.coupe le domaine de calcul global

#

en sous-domaines de la faFon suivante:

, avec

. On note

l'interface entre les sous-domaines

et

5voir Ggure 17. On note

la normale ext.rieure - un sous-domaine

, et

le vecteur tangent unitaire.

Γ2 3

Ω Ω

Ω Ω

1

2 3

4

Fig.

1: D!composition du domaine

Soit

l'approximation de la solution

de 517-527 - l'it.ration

dans chaque sous-domaine

. L'algorithme de Schwarz s'.crit dans

:

L u p+1

i

! = f;

dans

B

i u

p+1

i

! = B

i u

p

j

!;

sur chaque

537

C u p+1

i

! = g;

sur

o9

est un op.rateur d'interface. L'algorithme original de Schwarz additif L26N 5P.L. Lions, 19887, avec des conditions d'interface de Dirichlet 5

7, ne converge que lorsque les sous-domaines se recouvrent. Dans L27N 5P.L.

Lions, 19897, les conditions d'interface sont des conditions plus g.n.rales de

type Fourier ou Robin ,

i

, o.

est une constante2, ce qui permet d'obtenir un algorithme convergent pour un d;coupage du domaine sans re- couvrement.

La question des conditions de raccord aux interfaces des sous-domaines est fondamentale. Diverses techniques ont ;t; propos;es ,voir par exemple B19E ,T. Hagstrom, R.P. Tewarson et A. Jazcilevich, 19882, B9E ,B. DesprOs, 19902, B7E ,P. Charton, F. Nataf et F. Rogier, 19912, B5E ,C. Carlenzoli et A. Quarteroni, 19952, B45E ,K.H. Tan et M.J.A. Borsboom, 199422. Il faut des conditions robustes, permettant de r;soudre eZcacement des ;quations [ caractOre parabolique, en particulier permettant de traiter des d;coupages quelconques sans savoir [ l'avance o. sont situ;s les ph;nomOnes physiques tels que les couches limites ou les zones de recirculation. La notion de Condi- tions aux Limites Arti2cielles 5CLA6 ,l'approche d;velopp;e dans B11E ,B. Engquist et A. Majda, 19772, puis B21E ,L. Halpern, 198622 permet de comprendre les m;canismes math;matiques en jeu aux interfaces, et ainsi de proposer des algorithmes stables et performants.

Technique (Conditions aux Limites Arti4cielles 6CLA78 :

En premier lieu, il a ;t; d;montr; dans B32E ,F. Nataf, F. Rogier et E. de Sturler, 19952 que l'utilisation des CLA exactes en tant que conditions d'in- terface conduit, pour un d;coupage du domaine en bbandesc, [ un r;sultat de convergence optimal. Cela justide pleinement l'activit; d;velopp;e autour de l'utilisation de ces notions.

Les op;rateurs intervenant dans les CLA exactes ne sont pas des op;rateurs aux d;riv;es partielles, et sont donc d'un emploi coeteux et diZcile num;ri- quement. C'est pourquoi, adn de rester proche de la convergence optimale, on recherche des op;rateurs d'interface sous la forme d'op;rateurs aux d;riv;es partielles qui approchent ceux intervenant dans les CLA exactes. Ainsi, dans B7E ,P. Charton, F. Nataf et F. Rogier, 19912, B31E ,F. Nataf et F. Rogier, 19952, les conditions d'interface sont des approximations bbasses fr;quencesc d'ordre 0, 1 ou 2 des CLA exactes ,remarquons que les conditions d'interface de B9E ,B. DesprOs, 19902 et B5E ,C. Carlenzoli et A. Quarteroni, 19952 peuvent ftre interpr;t;es comme des approximations bbasses fr;quencesc d'ordre 0 des CLA exactes2.

Les approximations bbasses fr;quencesc d'ordre 2 des conditions aux limites

11

arti$cielles exactes conduisent, dans la plupart des cas, 0 des gains tr2s im- portants en vitesse de convergence par rapport aux conditions d'interface d'ordre 0 ou celles de Dirichlet, dans le cadre de la d;composition avec re- couvrement <voir =31@ <F. Nataf et F. Rogier, 1995GG. N;anmoins, dans le cas d'une vitesse de convection tangente aux interfaces, la convergence est tr2s lente, voir impossible.

Il nous a paru int;ressant de chercher des conditions d'interface d'ordre 2 en la variable tangentielle de mani3re 4 5tre de bonnes approximations des CLA exactes, pour un intervalle de fr=quence donn=, tout en restant stables . Ces derni2res seront alors moins sen- sibles aux diK;rents param2tres intervenant dans l'algorithme <param2tres physiques, angle de la vitesse de convection par rapport aux interfaces, pa- ram2tres de discr;tisationG. Pour Otre un peu plus pr;cis, les op;rateurs d'in- terface

sont cherch;s sous la forme

B

i

=

@

@n

i

!c i

1 +c

i

2

@

@

i

!c i

3

@ 2

@ 2

i

oP les cQRcients

et

sont calcul;s de mani2re 0 optimiser le taux de convergence de l'algorithme de Schwarz. Pour deux sous-domaines adjacents

"

i

et

, une relation entre

et

assure la stabilit; et la convergence.

Nous d;signons ces conditions par ?Optimis=es d'Ordre 2A BOO2C . L'id;e d'optimisation du taux de convergence a ;t; utilis;e dans =1@ <Y. Achdou et F. Nataf, 1995G pour la r;solution d'un probl2me elliptique de type Stokes avec des maillages non co[ncidents aux interfaces. Cette technique servait 0 minimiser le conditionnement d'une matrice de pr;conditionnement dans le cas de m;thodes non conformes.

Algorithme:

Du point de vue de l'algorithme, la m;thode de Schwarz peut Otre in- terpr;e comme un algorithme de Jacobi appliqu; 0 un probl2me condens;

sur les interfaces. Pour acc;l;rer la convergence, ce probl2me d'interface peut

alors Otre r;solu <suivant =32@ <F. Nataf, F. Rogier et E. de Sturler, 1995GG

par un algorithme de type Krylov <GMRES ou BICG-STAB, =42@ <Y. Saad,

1996GG, au lieu d'un algorithme de Jacobi.

Nous utiliserons ainsi la m,thode suivante:

La m%thode Optimis%e d'Ordre 2 1OO22 s'inscrit dans le cadre des m,thodes de d,composition de domaine sans recouvrement, it,ratives.

Cette m,thode est d,7nie de la fa9on suivante: le probl;me d'interface pro- venant de la reformulation de la m,thode de Schwarz est r,solu par un algo- rithme de type Krylov CBICG-STAB, GMRES ou GCRL. Les conditions de raccord sur les interfaces des sous-domaines sont les conditions OO2 intro- duites ci-dessus.

Dans le cas de la m,thode de Jacobi, la convergence se d,grade lorsque le nombre de sous-domaines augmente. En eSet, lors du calcul du produit de la matrice interface par un vecteur, l',change d'information s'eSectue loca- lement, T travers les interfaces des sous-domaines. Or la pr,sence du terme

dans l'op,rateur de convection-diSusion fait que la solution dans un sous-domaine d,pend de la valeur du second-membre

en chaque point du domaine global. Ainsi, il est n,cessaire de transmettre une information glo- bale entre les sous-domaines, a7n d'avoir une convergence ind,pendante du nombre de sous-domaines. DiS,rentes techniques de pr,conditionnement ont ainsi ,t, d,velopp,es Cvoir par exemple V6X CT. Chan et T.P. Mathew, 1994LL.

Celles-ci sont bas,s sur l'utilisation d'une grille grossi;re Cm,thodes multi- grillesL. N,anmoins si la convection est grande, cette grille grossi;re doit ]tre de plus en plus 7ne et donc de plus en plus co^teuse num,riquement. Une autre approche a ,t, d,velopp,e dans V13X CC. Farhat, J. Mandel et F.X.

Roux, 1994L, V14X CC. Farhat et J. Mandel, 1998L, V15X CC. Farhat, P.S. Chen, J. Mandel et F.X. Roux, 1998L pour les probl;mes sym,triques et dans le cadre de la m,thode de Schur dual. Elle consiste T d,7nir un eespace grossierf et, T chaque it,ration de l'algorithme, T projeter les solutions dans l'ortho- gonal de cet espace grossier. Nous g,n,ralisons cette technique de projection dans l'orthogonal d'un eespace grossierf aux probl;mes non-sym,triques. Cet espace grossier est ici choisi de sorte qu'T chaque it,ration on capture la partie ebasses fr,quencesf de la solution, ceci a7n d'avoir une convergence ind,pendante du nombre de sous-domaines.

Une ,tude est ,galement men,e, dans le cas de d,coupages g,n,raux, sur

les conditions de raccord aux points de croisement des sous-domaines qu'il

faut ajouter pour que le probl,me local de type 133 dans un sous-domaine soit bien pos8. En e;et, l'utilisation de conditions d'interface d'ordre deux dans la direction tangentielle n8cessite l'ajout de telles conditions, a@n d'avoir des probl,mes locaux bien pos8s. Pour cette 8tude, nous utilisons les r8sultats de C35E 1F. Nataf, 19983.

Ce travail se d8coupe ainsi de la mani,re suivante: la partie I est consa- cr8e N l'8tude des conditions d'interface, la partie II N la pr8sentation de l'algorithme et son application N di;8rents sch8mas, la partie III N l'8tude de pr8conditionneurs, et la partie IV N l'8tude de conditions de raccord aux points de croisement des sous-domaines.

L'8tude th8orique des conditions d'interface 1partie I3 est compos8e de la faRon suivante:

Dans le chapitre I.2, nous faisons un rappel bibliographique des conditions d'interface utilis8es en d8composition de domaine pour r8soudre un probl,me de convection-di;usion. Ces conditions ont motiv8 le choix des conditions d'interface optimis8es. La d8termination des conditions d'interfaces optimi- s8es fait l'objet des chapitres I.3, sur le probl,me continu en espace 1condi- tions OO23, et I.4, sur le probl,me discret en espace 1conditions 1OO23

3. Les conditions 1OO23

proviennent de conditions d'interface arti@cielles exactes discr,tes et sont distinctes de la discr8tisation des conditions OO2.

La deuxi,me partie traite de la description de l'algorithme OO2, de sa mise en Wuvre, et de son application N di;8rents sch8mas de discr8tisation:

Le chapitre II.2 a pour objet la pr8sentation de l'algorithme OO2, en par-

ticulier l'8criture du probl,me condens8 N l'interface et sa r8solution par un

algorithme de type Krylov. Nous exposons ensuite, aux chapitres II.3 et II.4,

des r8sultats num8riques sur l'8quation de convection-di;usion en 2D. Au

chapitre II.3, la m8thode est test8e sur un code de calcul existant 1avec une

maille de recouvrement3, dans le cas d'une discr8tisation en temps par un

sch8ma d'Euler implicite, et en espace par un sch8ma aux di;8rences @nies

d8centr8. Au chapitre II.4, dans le cadre d'une collaboration avec Marc Br8-

dif 1MATRA BAe DYNAMICS France, d8partement d'a8rodynamique3, nous

appliquons la m8thode N un sch8ma utilis8 dans le code de calcul AEROLOG

sch:ma de Lax-WendroC, et la discr:tisation en espace est de type volumes Enis.

Pour ces deux applications, les r:sultats de convergence obtenus avec les conditions OO2 et #OO25

sont compar:s J ceux donn:s par les diC:rentes conditions d'interface introduites au chapitre I.2. #Mbasses fr:quencesO d'ordre 0 ou 25. Nous mettons en :vidence la r:duction du nombre d'it:rations de l'algorithme #BICG-STAB, GMRES, GCR5 avec la m:thode OO2, et donc la r:duction du temps de calcul global. En eCet, le temps de calcul dans une it:- ration est le mXme quelle que soit la condition d'interface utilis:e #Dirichlet, ordre 0, ordre 25, puisque l'utilisation de conditions d'ordre 2 n'augmente pas la largeur de bande des matrices locales.

La troisiZme partie a pour objet l'extension du pr:conditionneur d:velopp:

dans 13" #C. Farhat, J. Mandel, F.X. Roux, 19945 aux problZmes non- sym:triques. Au chapitre III.2, nous d:Enissons un espace MgrossierO et la projection dans l'orthogonal de cet espace. Les solutions sont alors projet:es J chaque it:ration de l'algorithme, ce qui permet de Eltrer les ph:nomZnes basses fr:quences, c'est-J-dire ceux qui se propagent J l'ensemble des sous- domaines. Au chapitre III.3 nous pr:sentons des r:sultats num:riques dans le cas de l':quation de convection-diCusion, discr:tis:e par le sch:ma volumes- Enis du chapitre II.4.

La quatriZme partie concerne l':tude de conditions de raccord aux points de

croisement des sous-domaines aEn de montrer l'existence et l'unicit: d'une

solution du problZme local dans un sous-domaine.

Premi%re partie

D*+nition des conditions

d'interface

TABLEDES MATI)RES

17

Table des mati*res

1 Introduction 19

2 Outils g1n1raux: conditions d'interface provenant des condi- tions aux limites arti<cielles =CLAA 21

2.1 Rappel sur les CLA exactes: cas de 2 sous-domaines . . . 22 2.2 Ecriture de l'algorithme de Schwarz . . . 26 2.3 Les CLA exactes en tant que conditions d'interface . . . 26 2.4 Des CLA approchEes en tant que conditions d'interface . . . . 27 2.5 Convergence de l'algorithme de Schwarz avec les CLA appro-

chEes . . . 29 2.5.1 Cas de 2 sous-domaines . . . 29 2.5.2 Extension J K sous-domaines . . . 32 2.6 Remarque sur une autre approche . . . 33

3 Conditions d'interface optimis1es OO2: 1tude sur le pro-

blDme continu 35

3.1 Motivation et dEMnition . . . 35 3.2 Cas de 2 sous-domaines et d'un opErateur J cNOcients constants:

construction des conditions d'interface OO2 et Etude de la convergence . . . 37 3.2.1 Minimisation du taux de convergence . . . 38 3.2.2 Convergence de l'algorithme de Schwarz avec les condi-

tions OO2 . . . 49 3.2.3 Estimations du taux de convergence . . . 49 3.2.4 REsultats numEriques sur le taux de convergence . . . . 54 3.3 MEthodologie de calcul des conditions d'interface optimisEes

OO2 . . . 68

4 Conditions d'interface optimis2es 3OO26

: 2tude sur le pro-

bl<me discret 71

4.1 D$composition du domaine et notations . . . 72 4.2 Algorithme de Schwarz et conditions d'interface: cas discret,

sans recouvrement . . . 75 4.3 D$Bnition des CLA exactes discrFtes: cas de 2 sous-domaines . 77 4.4 Convergence optimale de l'algorithme de Schwarz avec les

CLA exactes discrFtes . . . 80 4.4.1 Cas de 2 sous-domaines . . . 80 4.4.2 Cas d'un d$coupage du domaine en bandes . . . 81 4.5 Remarque: lien entre les CLA exactes discrFtes et la matrice

du compl$ment de Schur . . . 89 4.5.1 Rappel: m$thode du compl$ment de Schur . . . 89 4.5.2 Lien avec les CLA exactes discrFtes . . . 90 4.6 Les conditions OOO2Q

. . . 92

5 Compl2ments 97

5.1 Minimisation sur deux paramFtres du taux de convergence

dans le cas de 2 sous-domaines . . . 97

Chapitre 1

Introduction

En d#composition de domaine, le choix des conditions de raccord aux interfaces des sous-domaines est fondamental pour obtenir des algorithmes stables et performants.

Aussi, cette partie a pour objet l'#tude et la d#termination de conditions d'in- terface permettant de r#soudre e;cacement les probl<mes de type convection- di?usion. L'#quation de convection-di?usion que nous consid#rons dans cette partie s'#crit:

L u!=cu+a x;y!

@u

@x

+b x;y!

@u

@y

!($u=f

CI.1.1F oG

est le champ de vitesses de convection,

la viscosit#,

une fonction donn#e, et

avec

le pas de temps d'un sch#ma d'Euler implicite Cen particulier

correspond H l'#tat stationnaireF. L'utilisation d'un sch#ma implicite permet de prendre de plus grands pas de temps, et donc de limiter le nombre d'it#rations en temps n#cessaire.

Pour cette #tude, nous faisons d'abord un rappel bibliographique des condi-

tions d'interface utilis#es en d#composition de domaine pour r#soudre l'#qua-

tion de convection-di?usion Cchapitre I.2F. Ces conditions ont motiv# le choix

des conditions d'interface dites LOptimis#es d'Ordre 2N COO2F. La d#termina-

tion de ces conditions d'interface fait l'objet des chapitres I.3 et I.4: l'#tude

est r#alis#e d'abord sur le probl<me continu en espace Cchapitre I.3F. Une pre-

mi<re raison est que les sch#mas de discr#tisation sont souvent compliqu#s

alors que l'#criture au niveau continu est simple. De plus, les algorithmes

t/ristiques essentielles du probl2me physique 6sch/mas aux di8/rences 9nies d/centr/s, m/thodes de volumes 9nis ou m/thodes d'/l/ments 9nis de type streamline di8usion<. Nous donnons une m/thode de construction des condi- tions d'interface OO2, et /tudions la convergence de l'algorithme de Schwarz avec celles-ci. Cependant, il peut Gtre int/ressant de tenir compte du sch/ma dans certaines situations. C'est pourquoi l'/tude de l'optimisation des condi- tions d'interface a /t/ ensuite /tendue, au chapitre I.4, au probl2me discret.

Nous d/9nissons des conditions d'interface arti9cielles exactes discr2tes, qui

conduisent J une convergence optimale de l'algorithme de Schwarz. Ces condi-

tions permettent de d/9nir des conditions d'interface KOO2 discr2tesL que

nous notons 6OO2<

.

Chapitre 2

Outils g.n.raux: conditions d'interface provenant des

conditions aux limites arti9cielles :CLA=

Dans ce chapitre, nous exposons la notion de conditions aux limites ar- ti3cielles et son utilisation pour l'5criture des conditions d'interface, comme dans 730:, 731: <F. Nataf et F. Rogier 1994, 1995E. La caract5ristique fonda- mentale de cette d5marche est qu'elle permet une convergence optimale <voir 732: <F. Nataf, F. Rogier et E. de Sturler, 1995EE.

Dans tout ce qui suit, la normale ext5rieure L un sous-domaine

de

est not5e

, et

est le vecteur tangent unitaire d53ni comme sur la 3gure 2.1.

Ω Ω

ij

i ^j

ni

τi

Γ

Fig.

2.1: Interface entre 2 sous-domaines

2.1 Rappel sur les CLA exactes: cas de 2 sous- domaines

Les conditions aux limites arti/cielles 0CLA3 sont utilis4es en calcul scien- ti/que pour r4soudre des probl9mes physiques pos4s dans des domaines non born4s ou si grands, qu'on ne souhaite pas les mod4liser en entier 0par exemple l'4coulement d'air autour d'un avion3. Si l'on consid9re une dis- cr4tisation de type volumes /nis, diB4rences /nies ou 4l4ments /nis, il n'est pas possible de prendre en compte un domaine in/ni ou un domaine si grand qu'il saturerait la m4moire de l'ordinateur. Il est n4cessaire de tronquer le do- maine de calcul par une fronti9re arti/cielle sur laquelle il faut se donner un condition aux limites dite arti/cielle. De mani9re id4ale, cette condition doit Ftre telle que la solution obtenue dans le domaine tronqu4 soit la restriction de la solution que l'on aurait calcul4e dans le domaine non tronqu4. On dira qu'une telle condition aux limites est une condition aux limites arti/cielle exacte. En g4n4ral, cette condition est int4grale en temps et en espace et serait d'un emploi tr9s coIteux num4riquement. Ceci a motiv4 la recherche de CLA qui approchent 0en temps et en espace3 les CLA exactes. Ceci a fait l'objet de nombreux travaux 0voir K23N 0S.I. Hariharan, 198533. Ici, nous rappelons bri9vement l'approche d4velopp4e dans K11N, K12N 0B. Engquist et A. Majda, 1977, 19793 pour l'4quation des ondes et 4tendue dans K21N 0L.

Halpern, 19863, K22N 0L. Halpern et M. chatzman, 19893 en m4canique des Yuides. Nous reprenons les notations de K33N 0F. Nataf, 19953.

Supposons que l'on veut r4soudre l'4quation:

L u!=f

dans

avec le support de

contenu dans le demi-plan gauche

.

Ω

Ω1 2

12

x

y

Γ

Fig.

2.2: D1composition du domaine

2.1. Rappel sur les CLA exactes: cas de 2 sous-domaines

On borne le domaine dans la direction des

positifs en introduisant comme fronti1re arti2cielle la droite

. On note

et

, avec

l'axe

8voir 2gure 2.2;. On introduit l'op<rateur de Steklov- Poincar< du demi-plan droit

:

$ :u

0

!!

@w

@x

&0;y'

oB

8I.2.1;

w&0;y'=u

0

&y'

en

8I.2.2;

w

born< E l'in2ni 8I.2.3;

On cherche E mettre une condition aux limites en

qui soit exacte c'est- E-dire que l'on cherche un op<rateur

tel que la solution

du probl1me

L&v'=f; x+0

B&v'=0; x=0

soit la restriction de u E

.

Comme

v<ri2e

sur

, d'apr1s la d<2nition de

et par unicit< de 8I.2.1;-8I.2.3; nous avons:

&@

x

!$ '&u'=0

en

8I.2.4;

si bien que la condition 8I.2.4; est une condition aux limites arti2cielle exacte.

De faLon similaire, en introduisant l'op<rateur de Steklov-Poincar< du demi- plan gauche

:

$ +

:u

0

!!

@w

@x

&0;y'

oB

8I.2.5;

w&0;y'=u

0

&y'

en

8I.2.6;

w

born< E l'in2ni 8I.2.7;

par unicit< de 8I.2.5;-8I.2.7;, la condition

&@

x

!$ +

'&u'=0

en

8I.2.8;

est une condition aux limites arti2cielles exacte, si le support de

est inclus dans le demi-plan droit

.

Lorsque

est E cRScients constants, le symbole

8resp.

; de

8resp.

On d(signe par

la transform(e de Fourier partielle par rapport 7 y de

, et

la variable de Fourier:

^

w"x;k#= Z

I R

e iky

w"x;y#dy

et

d(signe la transform(e de Fourier inverse.

Prenons la transform(e de Fourier partielle par rapport 7 y de >I.2.1 :

cw^+a

@w^

@x

+ibkw^!

@ 2

^ w

@x 2

+ k

2

^

w =0; x&0; k2IR

I.2.9%

Les solutions sont cherch2es sous la forme

, o7 les

an- nulent le polyn;me caract2ristique de

:

c+a++ibk" + 2

+ k

2

Ainsi, nous avons deux possibilit2s pour

:

+ $k;a;b%= a"

p

a 2

+4c +4i bk+4k 2 2

2

I.2.10%

+ +

$k;a;b%= a+

p

a 2

+4c +4i bk+4k 2 2

2

I.2.11%

Lorsque

, alors

et

. La solution

de I.2.9%

2tant born2e E l'inGni, le terme en facteur de

doit Htre nul. Nous avons ainsi

d'aprJs I.2.2%%, et

( $u

0

%=F 1

k

$+ $k%u^

0

$k%%

De mHme, si nous prenons la transform2e de Fourier partielle par rapport E y de I.2.5%, l'2quation qui en r2sulte a pour solution

et

( +

$u

0

%=F 1

k

$+

+

$k%u^

0

$k%%

Remarque 2.1 *Factorisation de

3. Dans le cas o(

est * c+,cients constants, en prenant une transform4e de Fourier partielle de

par rapport

*

, on peut le factoriser sous la forme

L=" $@

x

"( +

%$@

x

"( %