Non rationalit´e stable d’hypersurfaces de Fano Jean-Louis Colliot-Th´el`ene (CNRS et Universit´e Paris-Saclay) Groupe de travail d’Orsay (en ligne) Mardi 2 f´evrier 2021

Non rationalit´ e stable d’hypersurfaces de Fano Jean-Louis Colliot-Th´ el` ene

(CNRS et Universit´ e Paris-Saclay) Groupe de travail d’Orsay

(en ligne)

Mardi 2 f´ evrier 2021

Artin-Mumford Proc London Math Soc 1972 Saltman Inv math 1984

CT-Ojanguren Inv math 1989 Koll´ ar JAMS 1995

Voisin 2013, Inv math 2015

CT-Pirutka 2014, Ann Sc ENS 2016 Totaro JAMS 2016

....

Chatzistamatiou-Levine ANT 2017 Degr´ e minimum d’unirationalit´ e Hassett-Pirutka-Tschinkel Acta Math. 2018

Schreieder1 DMJ 2019 Fibr´ es en quadriques sur P ⁿ

Schreieder2 ANT 2018 Fibr´ es en surfaces quadriques sur P ²

Schreieder3 JAMS 2019 Hypersurfaces de basse pente

Schreider4 ANT 2020 Degr´ e minimum d’unirationalit´ e

Springer UMILN 26

D´ ecider si certaines vari´ et´ es qui sont proches d’ˆ etre rationnelles (vari´ et´ es unirationnelles, vari´ et´ es rationnellement connexes) sont rationnelles, stablement rationnelles. On s’int´ eresse ici ` a la non-rationalit´ e stable.

Invariants birationnels qui sont triviaux sur les vari´ et´ es projectives et lisses X stablement rationnelles sur un corps k de car. z´ ero.

H ⁰ (X , Ω ^⊗r ) = 0 pour r > 0. Vrai aussi si X s´ ep. rationnellement connexe.

Sur k = C , H _Betti ³ (X , Z ) tors=0

Br(k) ' Br(X ) := H _et ² (X , G m )

H ⁱ (k, Z/n) ' H _nr ⁱ (k (X )/k, Z/n) (cohomologie galoisienne des corps)

et de mˆ eme avec d’autres coefficients, e.g. µ ^⊗j _n or Q / Z (j)

Artin-Mumford 1972

Plusieurs versions birationnelles (singuli` eres)

• Revˆ etement double de P ³ ramifi´ e le long d’une surface quartique avec 10 points singuliers ordinaires.

• Fibr´ es en coniques au-dessus de P ² dont le lieu de ramification est la r´ eunion de deux courbes cubiques lisses transverses, et il existe une conique lisse tritangente ` a chacune des cubiques.

Artin-Mumford, calcul de H _Betti ³ (X ( C ), Z ) _tors 6= 0 pour un mod` ele

projectif non singulier X / C explicite.

Pour X / C une vari´ et´ e projective, lisse, connexe, le groupe de

Brauer Br(X ) est une extension de H _Betti ³ (X ( C ), Z ) tors par le

groupe ( Q / Z ) ^b

^−ρ (Grothendieck), et b ₂ − ρ = 0 si et seulement si

H ² (X , O _X ) = 0, ce qui est le cas si X est rationnellement connexe.

Saltman (1984), Bogomolov (1987)

Comment calculer Br(X ) pour une vari´ et´ e projective et lisse X quand on n’a pas un mod` ele explicite de X ?

Utiliser les r´ esidus en les anneaux de valuation discr` ete du corps des fonctions.

• Br(X ) = Ker[Br( C (X ) → ⊕ _x∈X

H ¹ ( C (x), Q / Z )]

• ou encore (groupe de Brauer non ramifi´ e)

Br(X ) = Br nr ( C (X )) := Ker[Br( C (X ) → ⊕ _v H ¹ (κ(v ), Q / Z )] o` u v parcourt les valuations discr` etes de C (X ), corps r´ esiduel k (v)

• ou encore Br(X ) = Ker[Br( C (X ) → ⊕ _v H ¹ (κ(x), Q / Z )] o` u x

parcourt les points de codimension 1 de tout mod` ele normal de X .

Application : non rationalit´ e sur C de corps d’invariants ( C (V )) ^G

de groupes finis G agissant lin´ eairement sur un vectoriel V

(Saltman, Bogomolov).

Artin–Mumford revu (CT-Ojanguren 89)

X → S fibration en coniques au-dessus de S = P ² , sans section rationnelle, est donn´ ee essentiellement par la fibre g´ en´ erique C , une conique lisse sur le corps F = C (S ), qui correspond ` a une classe de quaternions A/F non nulle dans Br(F ).

Pour une conique lisse C sur un corps F , d’´ equation X ² − aY ² − bT ² = 0 (pour car(F ) 6= 2) on a

Ker[Br(F ) → Br(F (C )] = Z /2(a, b), engendr´ e par la classe de quaternions (a, b) (Witt, 1934).

[De plus l’image de Br(F ) est exactement Br(C ) ⊂ Br(F (C )].]

On prend A = (f , g 1 g 2 ) avec des fonctions f , g 1 , g 2 dans C (S) ^× . Ici f = 0 est l’´ equation affine de la conique et g ₁ et g ₂ les

´ equations affine des deux cubiques. En utilisant la configuration

particuli` ere des cubiques et de la conique, on v´ erifie que, pour

i = 1, 2, il existe une valuation discr` ete w <sub>i</sub> de C ( P <sup>2</sup> ) o` u (f , g _i ) a

r´ esidu nontrivial, et que pour toute valuation discr` ete w de C(P ² ),

l’un au moins des (f , g i ) a r´ esidu nul en w (les conditions de

tangence sont importantes). Ceci implique que l’image de (f , g ₁ )

par Br(C(S )) → Br(C(X )) est non ramifi´ ee, et, en utilisant Witt,

que cette image est non nulle. Ainsi Br(X ) = Br nr ( C (X )) 6= 0, et

donc X n’est pas stablement rationnelle.

C’est un exercice instructif de fabriquer des configurations de

courbes, par exemples de droites dans P ² , menant ` a d’autres fibr´ es

en coniques X → P ² _C dont l’espace total n’est pas stablement

rationnel.

La construction ci-dessus est “birationnelle”. Il convient, pour les arguments de d´ eformation, de consid´ erer les fibr´ es en quadriques sur P ⁿ donn´ es par un fibr´ e vectoriel E fix´ e sur P ⁿ , souvent de la forme E = ⊕ _i O _P

(a i ), un fibr´ e inversible O(m) sur P ⁿ , et une forme quadratique non nulle dans H ⁰ ( P ⁿ , S ² (E )(m)), dont le lieu d’annulation d´ efinit la fibration en quadriques. Dans le cas le plus simple, on consid` ere un bidegr´ e (2, d ) et une matrice sym´ etrique de polynˆ omes homog` enes tous de mˆ eme degr´ e d .

Mais ce n’est pas toujours le meilleur choix. Partant d’une forme

quadratique sur C(P ⁿ ), un travail consiste ` a bien choisir les a i pour

obtenir un fibr´ e en quadriques X ⊂ P P

(E) dont l’espace total est

plat sur P ⁿ , et aussi peu singulier que possible.

Invariants cohomologiques galoisiens non ramifı’es sup´ erieurs.

Soit M un module galoisien fini sur un corps k. Pour X /k projective lisse int` egre de corps des fonctions k(X ), et i ≥ 1, on d´ efinit ici

H _nr ⁱ (k (X ), M ) := Ker[H ⁱ (k(X ), M ) → ⊕ _v H ⁱ⁻¹ (κ(v ), M (−1))]

o` u v parcourt les valuations discr` etes de k (X ) triviales sur k , o` u κ(v ) est le corps r´ esiduel, et les applications ` a droite sont les applications r´ esidus sur la cohomologie galoisenne des corps valu´ es discrets.

Par d´ efinition, ces groupes sont des invariants k -birationnels. Ce sont en fait des invariants k -birationnels stables par passage de X

` a X × P ¹ .

La th´ eorie de Bloch-Ogus (conjecture de Gersten) montre que l’on peut se limiter aux valuations correspondant aux points de

codimension 1 de X , et ce groupe est fonctoriel contravariant par

morphisme quelconque de k -vari´ et´ es projectives et lisses.

On est en g´ en´ eral int´ eress´ e par M = µ ^⊗j _`

et la limite directe Q ` /Z ` (j) pour tous les n.

Par Voevodsky, pour j ≥ 1 et tout corps F de car. 6= `, H <sup>j</sup> (F , Q ` / Z ` (j − 1)) = [

n

H ^j (F , µ ^⊗j−1 _`

).

Le groupe H _nr ¹ (k(X ), Q ` / Z ` ) = H _et ¹ (X , Q ` / Z ` ) classifie les revˆ etements ´ etales cycliques `-primaires de X .

On a

H _nr ² (k (X ), Q ` / Z ` (1)) = Br(X ){`}.

CT-Ojanguren 89 utilise H _nr ³ pour faire un analogue d’Artin-Mumford avec H ³ .

On montre l’existence de vari´ et´ es unirationnelles X de dimension 6 fibr´ ees en quadriques de dimension 3 au-dessus de P ³ _C pour

lesquelles l’invariant d’Artin-Mumford ne donne rien, mais le

groupe H _nr ³ permet d’´ etablir la non-rationalit´ e stable.

Premier ingr´ edient : analogue du th´ eor` eme de Witt.

Soit F un corps, car(F ) 6= 2. Soient a ₁ , . . . , a _n ∈ F ^× , avec n ≥ 1 Soit Q/F la quadrique lisse d´ efinie par l’annulation de la forme quadratique (diagonale) de Pfister (de rang 2 ⁿ )

<< a 1 , . . . , a n >>:=< 1, −a ₁ > ⊗ · · · ⊗ < 1, −a _n > . Th´ eor` eme. Le noyau de l’application

H ⁿ (F , Z /2) → H ⁿ (F (Q), Z /2) est engendr´ e par l’´ el´ ement d’ordre 2 (a 1 ) ∪ . . . (a n ), o` u (a i ) est la classe de a i dans

F ^× /F ^×2 = H ¹ (F , Z /2).

(n = 2, Witt 1934 ; n = 3, Arason 1975 ; n = 4 Jacob-Rost 1989 ; tout n, Orlov-Vishik-Voevodsky 2007)

Ceci vaut encore pour la forme quadratique Q ⁰ , de rang 2 ⁿ⁻¹ + 1.

(“voisine de Pfister”)

[< 1, −a ₁ > ⊗ · · · ⊗ < 1, −a _n−1 >] ⊥< −a _n>

Deuxi` eme ingr´ edient. Une configuration bien choisie (c’est d´ elicat) de 18 plans dans P ³ , qui permet de d´ efinir, par divers quotients de leurs ´ equations, des fonctions rationnelles f , g , h ₁ , h ₂ ∈ C ( P ³ ) ^× avec de bonnes propri´ et´ es pour leurs r´ esidus aux valuations de C ( P ³ ).

On prend pour X / C une vari´ et´ e fibr´ ee en quadrique sur P ³ , de fibre g´ en´ erique donn´ ee par la quadrique de P ⁴ _C(P

) associ´ ee ` a la forme Q ⁰ correspondant au triple (f , g , h 1 h 2 ).

Les bonnes propri´ et´ es et le th´ eor` eme d’Arason assurent : (a) L’image du cup-produit (f , g , h ₁ ) ∈ H ³ ( C ( P ³ ), Z /2) dans H ³ (C(X ), Z/2)) est non ramif´ ee.

(b) Cette image est non nulle.

On a alors H _nr ³ ( C (X ), Z /2) 6= 0, et X n’est pas stablement

rationnelle.

Koll´ ar 1995, M´ ethode de sp´ ecialisation

Point de d´ epart : th´ eor` eme de sp´ ecialisation de Matsusaka (1968)

Soit A un anneau de valuation discr` ete, de corps des fractions K ,

de corps r´ esiduel k. Soit X → Spec (A) un morphisme projectif et

plat ` a fibres g´ eom´ etriquement int` egres. Supposons X normal

int` egre. Si la fibre g´ en´ erique g´ eom´ etrique est r´ egl´ ee (birationnelle ` a

un produit avec P ¹ ), alors la fibre sp´ eciale g´ eom´ etrique est r´ egl´ ee.

Pour d et n ≥ d entiers convenables, Koll´ ar fait d´ eg´ en´ erer des hypersurfaces lisses de degr´ e d dans P ⁿ sur des vari´ et´ es projectives et tr` es l´ eg` erement singuli` eres en car. positive (revˆ etements

cycliques ins´ eparables de vari´ et´ es), dont on peut montrer, en utilisant des formes diff´ erentielles sur une d´ esingularisation, qu’elles sont non r´ egl´ ees.

Il obtient ainsi le fait que les hypersurfaces de Fano complexes tr` es

g´ en´ erales de degr´ e d dans P ⁿ⁺¹ avec grosso modo 2/3 ≤ d /n ≤ 1,

plus pr´ ecis´ ement d ≥ 2 d(n + 3)/3e, ne sont pas r´ egl´ ees.

Voisin 2014, Inventiones 2015 Nouvel argument de sp´ ecialisation.

Utilise la sp´ ecialisation des groupes de Chow ` a la Fulton.

Soit C une courbe lisse sur C. Soit X → C une famille projective de vari´ et´ es complexes de dimension relative au moins 2, lisse hors d’un point 0 ∈ C . Si la fibre sp´ eciale X ₀ n’a comme singularit´ es que des points doubles ordinaires et admet une r´ esolution des singularit´ es ˜ X 0 → X 0 avec H _Betti ³ ( ˜ X 0 , Z ) tors 6= 0, alors une fibre tr` es g´ en´ erale X _t n’est pas stablement rationnelle.

Application : un revˆ etement double de P ³ ramifi´ e le long d’une quartique tr` es g´ en´ erale n’est pas stablement rationnel.

Par r´ eduction ` a l’exemple d’Artin-Mumford, revˆ etement double de

P ³ ramifi´ e le long d’une quartique avec comme singularit´ es 10

points doubles ordinaires.

M´ ethode g´ en´ eralis´ ee par CT-Pirutka 2014. Utilisation syst´ ematique du groupe de Chow des z´ ero-cycles pour une vari´ et´ e sur un corps quelconque plutˆ ot que de la d´ ecomposition ` a la Bloch-Srinivas de la diagonale (mais les deux points de vue sont tr` es proches).

D´ efinition. Soit k un corps. Un morphisme propre de k-vari´ et´ es f : X → Y est dit universellement CH ₀ -trivial si pour tout corps F contenant k l’application f ∗ : CH ₀ (X _F ) → CH ₀ (Y _F ) est un

isomorphisme.

Si Y = Spec (k), la k -vari´ et´ e X est appel´ ee CH ₀ -triviale. Pour tout corps F contenant k , le degr´ e deg _F : CH ₀ (X _F ) → Z est un

isomorphisme.

Pour ´ etablir la propri´ et´ e que le morphisme f est universellement CH ₀ -trivial il suffit de v´ erifier que pour tout point sch´ ematique M ∈ Y , la fibre Y M /κ(M ) sur le corps r´ esiduel est une

κ(M )-vari´ et´ e CH 0 -triviale.

Exemples de vari´ et´ e propre W /k qui est CH ₀ -triviale.

Pour n ≥ 1, et F (x ₁ , . . . , x _n ) homog` ene de degr´ e quelconque, le cˆ one F d (x 1 , . . . , x n ) = 0 dans P ⁿ _k .

Pour n ≥ 2, une quadrique lisse Q ⊂ P ⁿ _k avec Q(k) 6= ∅.

Une k-vari´ et´ e projective, lisse, g´ eom´ etriquement connexe qui est

k-birationnelle ` a un espace projectif P ⁿ _k .

Th´ eor` eme (CT-Pirutka)

Soit A un anneau de valuation discr` ete de corps des fractions K et de corps r´ esiduel k alg´ ebriquement clos. Soit X un A-sch´ ema fid` element plat et propre sur A ` a fibres g´ eom´ etriquement int` egres.

Supposons que la fibre sp´ eciale Y = X × _A k poss` ede une d´ esingularisation f : Z → Y telle que le morphisme f est universellement CH 0 -trivial.

Soit K une clˆ oture alg´ ebrique de K . Supposons que la fibre g´ en´ erique g´ eom´ etrique X := X × _A K admet une d´ esingularisation X ˜ → X .

/...

Chacun des ´ enonc´ es (i), (ii), (iii) ci-dessous implique le suivant : (i) La K -vari´ et´ e X est stablement rationnelle.

(ii) La K -vari´ et´ e ˜ X est universellement CH 0 -triviale.

(iii) La k-vari´ et´ e Z est universellement CH 0 -triviale.

Cette derni` ere propri´ et´ e implique :

(a) Pour tout i ≥ 0 et tout n > 0 premier ` a la car. de k, pour tout corps L contenant k, H ⁱ (L, Z /n) → H _nr ⁱ (L(Z )/L, Z /n) est un isomorphisme.

(b) Pour tout corps L contenant k, la fl` eche naturelle Br(L) → Br(Z _L ) est un isomorphisme.

(c) Br(Z ) = 0.

Utilise sp´ ecialisation du groupe de Chow (Fulton).

M´ ethode alternative pour (i) implique (iii) : sp´ ecialisation de la

R-´ equivalence.

Application aux hypersurfaces quartiques lisses dans P ⁴ _C .

On part d’une hypersurface quartique Y ⊂ P ⁴ birationnelle ` a un solide d’Artin-Mumford, obtenue simplement en “homog´ en´ eisant”

stupidement l’´ equation affine w ² − f ₄ (x, y, z) = 0 du revˆ etement

double de P ³ ramifi´ e le long d’une surface quartique avec 10 points

singuliers. L’hypersurface Y a 9 singularit´ es ordinaires et une droite

double de points singuliers. On d´ esingularise f : Z → Y et on

v´ erifie que f est un morphisme CH ₀ -trivial. Par ailleurs Br(Z ) 6= 0

par Artin-Mumford.

Conclusion : une hypersurface quartique lisse tr` es g´ en´ erale dans P ⁴ _C n’est pas stablement rationnelle.

Il y a au moins deux versions de ce genre d’´ enonc´ e : celle pour les vari´ et´ es d’un type donn´ e sur un anneau de valuation discr` ete (ci-dessus) et celle plus “g´ eom´ etrique” pour les vari´ et´ es“tr` es g´ en´ erales” dans une famille X → S de vari´ et´ es d’un type donn´ e sur une vari´ et´ e S complexe connexe.

La m´ ethode avec anneau de valuation marche en in´ egale

caract´ eristique et donne ici : Il existe des hypersurfaces quartiques

lisses sur C , d´ efinies sur un corps de nombres, qui ne sont pas

stablement rationnelles.

Th´ eor` eme (Totaro 2015). Soit n ≥ 3. Une hypersurface X ⊂ P <sup>n+1</sup> <sub>C</sub> tr` es g´ en´ erale de degr´ e d . If d ≥ 2 d(n + 2)/3e n’est pas

universellement CH 0 -trivial, donc pas stablement rationnelle.

Un peu mieux que Koll´ ar pour la non rationalit´ e (mais Koll´ ar d´ emontre non r´ egl´ e).

M´ ethode. Sp´ ecialisation en in´ egale caract´ eristique. L’invariant H ⁰ (Y , Ω ^j ), j > 0, sur une vari´ et´ e projective et lisse Y ´ etablit que la vari´ et´ e n’est pas CH 0 -triviale.

En degr´ e pair d = 2a on d´ eg´ en` ere sur un revˆ etement double en

caract´ eristique 2, un peu singulier, on ´ etablit la CH ₀ -trivialit´ e du

morphisme r´ esolution des singularit´ es, et on utilise le mˆ eme

invariant que Koll´ ar. En degr´ e impair d = 2a + 1, Totaro fait une

double sp´ ecialisation. Il commence par une d´ eg´ en´ erescence sur la

r´ eunion d’un hyperplan et d’une hypersurface de degr´ e 2a, utilise

une variante avec fibre sp´ eciale r´ eductible de l’argument de

CT-Pirutka, puis applique la sp´ ecialisation pr´ ec´ edente.

S´ erie d’autres travaux pour diverses classes de vari´ et´ es rationnellement connexes naturelles.

Familles de coniques sur P ⁿ . Revˆ etements cycliques de P ⁿ .

Certaines intersections compl` etes, aussi dans des espaces projectifs

` a poids.

Familles d’hypersurfaces dans P ^r × P ^s de divers bidegr´ es.

La plupart via la r´ eduction en car. p et les diff´ erentielles.

Si X / C est projective et lisse, et rationnellement connexe, il existe un entier N tel que pour tout surcorps F , on ait N.A 0 (X F ) = 0. La question est de minorer (au sens division) cet entier. Cela donne non seulement la non rationalit´ e stable mais aussi un minorant pour le degr´ e d’unirationalit´ e, si jamais X est unirationnelle.

Chatzistamatiou-Levine ANT 2017.

Minoration de la torsion pour les hypersurfaces, estimations ` a peu

pr` es dans les mˆ emes degr´ es que Koll´ ar et Totaro. Via diff´ erentielles

en car. p.

Hassett-Pirutka-Tschinkel Acta Math. 2018

Fibrations en quadriques de type (2,2) dans P ³ × P ² .

Commence par un exemple sp´ ecifique de dimension 2 sur P ² _C . Configuration : une conique lisse et trois tangentes ` a la conique.

F (x, y, z ) = x ² + y ² + z ² − 2(xy + yz + zx) et les trois axes de coordonn´ ees ; x = 0, y = 0, z = 0. La forme F induit un carr´ e sur chacun des axes de coordonn´ ees, et F = 0 ne passe pas par les points du type (1, 0, 0).

On consid` ere la vari´ et´ e W d´ efinie dans P ² × P ³ par yzX ² + zxY ² + xyZ ² + F (x, y , z)T ² = 0.

C’est une famille W → P ² de quadriques de dimension deux.

R´ esolution pr´ ecise des singularit´ es ˜ W → W .

On montre que cette r´ esolution est un morphisme universellement CH ₀ -trivial. On utilise le symbole quaternionien

(x/z , y/z ) ∈ Br( C ( P ² )). Pour quadrique Q lisse de dimension 2 sur F avec discriminant non carr´ e Br(F ) → Br(F (Q)) est injectif.

On montre que l’image de (x/z , y/z ) dans Br( C (W )) est non nulle

et non ramfii´ ee. Argument comme pour Artin-Mumford ci-dessus.

Application (HPT). Il existe des familles projectives et lisses X → S avec S/ C connexe, les fibres tr` es g´ en´ erales non stablement rationnelles, et certaines fibres rationnelles. Les fibres X _s , s ∈ S sont des vari´ et´ es de dimension 4 fibr´ ees en surfaces quadriques au-dessus de P ² _C . Utilisation du bidegr´ e (2, 2) dans P ² × P ³ , et de Bertini pour obtenir de telles familles.

On peut trouver des fibres sp´ eciales X s / C de la famille lisse X → S consid´ er´ ee qui sont rationnelles, via existence d’une section

rationnelle pour la fibration en quadriques sp´ ecialis´ ee X _s → P ² , en sp´ ecialisant une matrice sym´ etrique (4, 4) de coefficients des polynˆ omes homog` enes a _{i ,j} , 0 ≤ i , j ≤ 3, de degr´ e 2 en (x ₀ , x ₁ , x ₂ ), de fa¸ con que pour la fibre sp´ eciale on ait a _0,0 = 0. La fibration en quadriques X s → P ² a alors une section, et donc l’espace total X s

est birationnel ` a P ⁴ .

Schreieder 1 DMJ 2019

Fibr´ es en quadriques “quelconques” sur P ⁿ _C de dimension relative r ≤ 2 ⁿ − 2.

Note : pour r > 2 ⁿ − 2, il y a une section (Lang) donc l’espace total est rationnel.

Le cas de dimension maximale :

Th´ eor` eme. Soit r = 2 <sup>n</sup> − 2. Une hypersurface tr` es g´ en´ erale dans

P ^r+1 × P ⁿ de bidegr´ e (d , 2) avec d ≥ n + 2r + 1 n’est pas

stablement rationnelle.

Id´ ee de la d´ emonstration du th´ eor` eme.

D´ efinition de quadrique “sp´ eciale” Z sur S = P ⁿ en toute dimension. La fibre g´ en´ erique sur C (S ) est une voisine de quadrique de Pfister, et on exhibe une classe α dans

H ⁿ (C(S ), Z/2) dont l’image ξ dans H ⁿ (C(Z ), Z/2) est non nulle et est dans H _nr ⁿ ( C (Z )/ C , Z /2).

Utilisation de Orlov-Vishik-Voevodsky (OVV) pour contrˆ oler le noyau de H ⁿ (C(P ⁿ ), Z/2) → H ⁿ (C(Z ), Z/2) (au plus ´ egal ` a Z/2), et voir ξ 6= 0.

Partie d´ elicate : produire des configurations d’hyperplans et d’hyperquadriques dans P ⁿ , avec des conditions de “tangence” qui joueront pour les Z le rˆ ole des configurations de plans dans P ² et P ³ dans CTOj89 et donneront les propri´ et´ es ci-dessus de α et ξ.

Dans cet article, solution assez compliqu´ ee, coefficients d’assez

grands degr´ es. Solution plus simple dans l’article Schreieder 3.

Th´ eor` eme. Soit S = P <sup>n</sup> avec n ≥ 2. Soit X une vari´ et´ e projective qui se sp´ ecialise en une vari´ et´ e Y projective avec un morphisme Y → S . Si la fibre g´ en´ erique de Y → S est birationnelle ` a une quadrique “sp´ eciale” Z sur S , alors X n’est pas g´ eom´ etriquement stablement rationnelle.

Pour le montrer, une nouvelle m´ ethode, qui ´ evite les r´ esolutions CH 0 -triviales de singularit´ es.

Soit f : ˜ Z → Z une r´ esolution des singularit´ es telle que

f ⁻¹ (U ) → U est un isomorphisme sur un ouvert U contenant la fibre g´ en´ erique de Z → S et que les composantes Y i de

Z ˜ \ f ⁻¹ (U) soient lisses, de codimension 1 dans ˜ Z .

(i) La restriction de ξ ` a chacune de ces composantes Y i est nulle.

Ceci utilise le fait que l’on a une fibration en quadriques. Ici on se r´ eduit ` a consid´ erer ce qui se passe au-dessus des points de

codimension 1 sur un mod` ele normal quelconque de S , et on utilise la valeur exacte de α ∈ H ⁿ ( C (S ), Z /2), et un argument de dimension cohomologique de corps. Argument qui vaut pour toute fibration en quadriques (Schreieder 3).

(ii) Si la fibre g´ en´ erique g´ eom´ etrique de Z → S est g´ eom´ etriquement stablement rationnelle, et si

ξ ∈ H _nr ⁿ (C(Z)/C, Z/2) s’annule sur les composantes Y i , alors ξ = 0 ∈ H ⁿ ( C (Z ), Z /2). Argument g´ en´ eral. Utilise l’accouplement de CH ₀ avec la cohomologie non ramifi´ ee et la suite de localisation pour CH 0 .

CONCLUSION : X n’est pas g´ eom´ etriquement stablement

rationnelle.

Pour terminer, d´ eformation des familles de fibr´ es quadratiques

sp´ eciaux (d’espace total a priori tr` es singulier) sur des familles tr` es

g´ en´ erales de quadriques au-dessus de P ⁿ , plates, et d’espace total

lisse.

Schreieder 2 ANT 2018 Fibr´ es en surfaces quadriques X → P ² Simplification de Hassett Pirutka Tschinkel par les m´ ethodes (i) et (ii) de Schr1. Pas besoin de r´ esolution CH ₀ -triviale des singularit´ es.

Injectivit´ e ` a la Witt ici tr` es classique, Ker[Br(k) → Br(k (Q)] = 0 pour Q quadrique de dimension 2 sur corps k avec discriminant non carr´ e. Comme dans HPT, classe convenable dans Br( C ( P ² )) d’image non nulle et non ramifi´ ee dans Br( C (X )).

• G´ en´ eralisation syst´ ematique de HPT. En particulier : Une

hypersurface tr` es g´ en´ erale de bidegr´ e (d , 2) dans P <sup>2</sup> × P <sup>3</sup> n’est pas stablement rationnelle d` es que d ≥ 2.

• Donne l’inspiration pour Schreiderer 3, tant pour la m´ ethode que

pour le choix des familles de quadriques (Pfister modifi´ e).

Schreieder 3 JAMS 2019 Hypersurfaces de basse pente

Th´ eor` eme. Une hypersurface lisse X ⊂ P <sup>N+1</sup> <sub>C</sub> tr` es g´ en´ erale de dimension N ≥ 3 et de degr´ e d ≥ log ₂ N + 2 n’est pas stablement rationnelle.

Rappel : Koll´ ar, Totaro avaient obtenu : d ≥ 2N/3 (grosso modo).

Soit N ≥ 3/ Alors N = n + r avec n ≥ 2 et r ≥ 1 avec

2 ⁿ⁻¹ − 2 ≤ r ≤ 2 ⁿ − 2 (´ ecriture unique). L’entier n est de l’ordre de log ₂ (N). Enonc´ e plus pr´ ecis :

Th´ eor` eme. Une hypersurface tr` es g´ en´ erale X ⊂ P ^N+1 _C de degr´ e d ≥ n + 2 n’est pas stablement rationnelle.

Le rˆ ole des puissances de 2 : vient de l’utilisation des formes

quadratiques de Pfister, qui sont de dimension 2 ^m .

M´ ethode : Utiliser des familles de quadriques sp´ eciales au-dessus de P ⁿ avec un coefficient modifi´ e, comme dans HPT et Schr2 sur P ² .

Notons x _i = X _i /X ₀ . Soit F = C ( P ⁿ ) = C (x ₁ , . . . , x _n ). On utilise une forme homog` ene G (X 0 , . . . , X n ) de degr´ e pair qui induit un carr´ e sur chacun des axes de coordonn´ ees X _i = 0 et ne passe pas par les sommets comme (1, 0, . . . , 0). Soit g = G (1, x ₁ , . . . , x _n ).

On prend une forme quadratique

q =< g , c 1 , . . . , c r +1 >,

sur F , o` u r ≤ 2 ⁿ − 2 et les c _i ∈ F ^× , i = 1, . . . , r+ sont des produits

de x j pour j = 1, . . . , n. La forme q d´ efinit une quadrique lisse Q

sur C ( P ⁿ ). Un peu d´ eform´ ee par rapport ` a < 1, c 1 , . . . , c r +1 >, qui

elle est une sous-forme de la forme de Pfister << x ₁ , . . . , x _n >>.

On s’int´ eresse ` a la famille de quadriques sur P <sup>n</sup> d´ efinie par q et ` a la classe de cohomologie α = (x 1 ) ∪ · · · ∪ (x n ) ∈ H ⁿ ( C ( P ⁿ ), Z /2) (ici (x _i ) ∈ F ^× /F ^×2 = H ¹ (F , Z /2)).

Techniques (i) et (ii) de Schreieder 1.

On montre

(a) l’image ξ de α dans H ⁿ ( C ( P ⁿ )(Q), Z /2) est non ramifi´ ee sur C , (b) La classe ξ s’annule sur les composantes lisses d’une

d´ esingularisation non situ´ ees au-dessus du point g´ en´ erique de P ⁿ

(calcul direct, ou ´ enonc´ e g´ en´ eral que (a) implique (b) pour les

fibrations en quadriques au-dessus d’un anneau de valuation

discr` ete).

On montre ξ 6= 0.

Nouvelle astuce, tr` es simple dans son principe, ´ evitant les arguments type Witt, Arason, ..., Voevodsky. On met une variable t dans les coefficients de g , et on sp´ ecialise en une quadrique Q <sub>t=0</sub> qui admet un point rationnel, d’o` u injection ` a ce niveau.

On a alors tous les ´ el´ ements pour conclure que si une vari´ et´ e propre int` egre X se sp´ ecialise sur une vari´ et´ e birationnelle ` a une famille de quadriques de ce type, alors X n’est pas

g´ eom´ etriquement stablement rationnelle.

La diff´ erence avec l’article Schr1, ` a ce niveau, est dans le choix des

coefficients de la quadrique, qui est une d´ eformation d’une voisine

de Pfister, comme dans Schr2.

Comment attraper les hypersurfaces g´ en´ erales de basse pente dans P ^N+1 ?

M´ ethode de Schr1, adapt´ ee aux formes voisines de Pfister modifi´ ees :

Une hypersurface lisse g´ en´ erale se sp´ ecialise en une hypersurface de degr´ e d avec un espace lin´ eaire (d − 2)-multiple convenable qui est birationnelle ` a une famille de quadriques “sp´ eciales“ modifi´ ees.

Voici quelques d´ etails.

N = n + r avec n ≥ 2 et r ≥ 1 avec 2 ⁿ⁻¹ − 2 ≤ r ≤ 2 ⁿ − 2. Le cas n impair. Comment trouver des hypersurfaces de degr´ e pair

d ≥ n + 2 dans P ^N+1 .

Coordonn´ ees homog` enes (X 0 , . . . , X n , Y 1 , . . . , Y r +1 ) pour P ^N+1 . Soit t une variable et H = P n

i =0 X _i ^(n+1)/2 et G = t ² H ² − Q n i=0 X _i . On note g = G/X ₀ ⁿ⁺¹ ∈ F ^× .

Pour ε : {1, . . . , n} → {0, 1} on note C _ε = Q n

i=1 X _i ^ε(i) . On note c ε (x 1 , . . . , x n ) = C ε (1, x 1 , . . . , x n ).

On renum´ erote C ₀ , . . . , C ₂

−1 les C _ε . On consid` ere la forme

quadratique < g , c ₁ , . . . , c _{r +1} > et la forme voisine de Pfister

ψ =< 1, c 1 , . . . , c r > (rappel r ≥ 2 ⁿ⁻¹ − 2).

On d´ efinit E 0 (X 0 , . . . , X n ) = (X 0 + X 1 ) ^d−(n+1) G (X 0 , . . . , X n ), forme de degr´ e d .

Pour i = 1, . . . , r + 1 on d´ efinit E i (X 0 , . . . , X n ) = X ₀ ^d−2−d

C i , o` u d _i = deg(C _i ). Ce sont des formes de degr´ e d − 2.

On d´ efinit la forme de degr´ e d en N + 2 variables :

F (X ₀ , . . . , X _n , Y ₁ , . . . , Y _r+1 ) = E ₀ (X ₀ , . . . , X _n )+

r+1

X

i=1

E _i (X ₀ , . . . , X _n ).Y _i ² .

L’hypersurface F = 0 de degr´ e d contient l’espace lin´ eaire L ⊂ P ^N+1 d´ efini par X ₀ = · · · = X _n = 0 et cet espace est (d − 2)-multiple.

On ´ eclate L dans P ^N+1 et on consid` ere le transform´ e propre de F = 0. Cela donne une fibration en quadriques sur Y → P ⁿ dont la fibre g´ en´ erique est donn´ ee par la forme quadratique

< g , c ₁ , . . . , c _{r +1} >.

On montre que la classe α = (x ₁ ) ∪ · · · ∪ (x _n ) ∈ H ⁿ ( C (P ⁿ ), Z /2) a pour image une classe ξ ∈ H ⁿ (C(Y ), Z/2) qui satisfait

(a) ξ 6= 0 : pour ´ etablir cela, il suffit d’un argument de

sp´ ecialisation de la variable t en t = 0 pour obtenir une fibration Y s → P ⁿ qui admet une section. ´ Evite OVV, qu’on ne peut utiliser ici en g´ en´ eral.

(b) ξ ∈ H _nr ⁿ ( C (Y )/ C ) : l` a bien sˆ ur la forme sp´ eciale de G = t ² H ² − Q n

i=0 X i joue un rˆ ole essentiel ainsi que le fait qu’une classe (x ₁ ) ∪ · · · ∪ (x _n ) s’annule dans le corps des fonctions d’une voisine de Pfister de ψ =<< x ₁ , . . . , x _n >>.

(c) Si φ : Z → Y est une r´ esolution des singularit´ es induisant un isomorphisme φ ⁻¹ (U ) ' U et Z \ φ ⁻¹ (U ) est une union de

composantes lisses de codimension 1 , alors ξ s’annule sur chacune

de ces composantes. On montre que c’est une cons´ equence de (b)

car φ est une fibration en quadriques.

On conclut alors comme dans Schr1 :

Soit X une vari´ et´ e projective qui se sp´ ecialise en Y → S = P ⁿ . Alors X n’est pas g´ eom´ etriquement stablement rationnelle.

Il reste ` a d´ eformer l’hypersurface F = 0 en une hypersurface lisse de degr´ e d , ce qui est facile.

Noter l` a encore qu’on n’a pas besoin de r´ esolution CH ₀ -triviale

pour l’hypersurface F = 0 sur laquelle on sp´ ecialise.

L’article permet en fait de traiter la situation sur tout corps alg´ ebriquement clos de caract´ eristique diff´ erente de 2

En caract´ eristique positive, en utilisant l’existence de r´ esolutions des singularit´ es par alt´ erations, de Jong et Gabber.

Dans CTOj89, on avait donn´ e des exemples de vari´ et´ es complexes X unirationnelles (fibr´ es en quadriques) avec H _nr ³ ( C (X ), Z /2) 6= 0 pour dim(X ) ≥ 6. Le pr´ esent article permet de construire de tels exemples avec dim(X ) ≥ 4.

Via CT-Voisin 2012, ceci donne des contre-exemples ` a la

conjecture de Hodge enti` ere pour les cycles de codimension 2 pour les vari´ et´ es rationnellement connexes X pour dim(X ) ≥ 4.

Voisin 2006 : La conjecture vaut pour les vari´ et´ es rationnellement

connexes de dimension 3 (et donc H _nr ³ (C(X ), Z/n) = 0).

Schreieder 4 ANT 2020 Torsion order of hypersurfaces

Introduction d’analogues en degr´ e quelconque des quadriques de Pfister.

Exemple, analogue de x ² + ay ² + bz ² + abt ² est

x ⁿ + ay ⁿ + bz ⁿ + abt ⁿ . Formes de Fermat-Pfister, d´ ej` a consid´ er´ ees par Krashen-Matzri dans un autre but. Non rationalit´ e stable de familles d’hypersurfaces n-Pfister par utilisation de H _nr ^r (•, Z /n).

(accessoirement, arrive ` a faire marcher en car. 2).

Fait d´ eg´ en´ erer les hypersurfaces lisses quelconques sur des

hypersurfaces contenant un espace lin´ eaire tr` es multiple, qui donne quelque chose birationnel ` a une fibration en familles

d’hypersurfaces n-Pfister au-dessus de espace projectif.

Obtient des ´ enonc´ es de non annulation de H _nr ⁱ (C(X ), Z/n) pour

tout entier n.

Bornes inf´ erieures fortes pour le degr´ e d’unirationalit´ e des hypersurfaces rationnellement connexes. Si X / C est une vari´ et´ e projective et lisse rationnellement connexe il existe un entier M > 0 tel que pour tout corps F contenant C (par exemple le corps F = C (X ), l’entier M annule le groupe de Chow A ₀ (X _F ) des z´ ero-cycles de degr´ e z´ ero sur X _F (il y a une traduction en termes de multiples de la diagonale de X × X ).

Th´ eor` eme (Schr4). L’ordre de torsion d’une hypersurface de Fano tr` es g´ en´ erale X _d ⊂ P ^N+1 de degr´ e d ≥ 4 est divisible par tout entier m ≤ d − log 2 N.

Exemple X ₁₀₀ ⊂ P ¹⁰⁰ . L’ordre de torsion est divisible par 2 ⁵ .3 ³ .5 ² .7. Y

p≤89

p.

(> 7x10 ³⁸ ).