Aufgabe 13.1. Bestimme die Algebra H ∗ (U (n); Z ) durch Induktion ¨ uber n mit Hilfe der Serre-Spektralsequenz der Faserung

(1)

Ch. Ausoni, F. Hebestreit WWU M¨ unster, Wintersemester 2011

UBUNGEN ZUR ALGEBRAISCHEN TOPOLOGIE II ¨

Blatt 13 ^∗ , 27.01.2012

Aufgabe 13.1. Bestimme die Algebra H ^∗ (U (n); Z ) durch Induktion ¨ uber n mit Hilfe der Serre-Spektralsequenz der Faserung

U (n − 1) → U (n) → S ²ⁿ⁻¹ . Bestimme ferner die Algebra H ^∗ (SO(n); F 2 ) mit Hilfe der Faserung

SO(n − 1) → SO(n) → S ⁿ⁻¹ .

Aufgabe 13.2. Sei p : E → B eine Serre-Faserung mit B wegzusammenh¨ angend und sei R ein Ring, so dass das System H ^∗ (F ; R) auf B trivial ist. Wir nehmen ferner an, dass f¨ ur die Fasern H ^∗ (F b ; R) ∼ = H ^∗ (S ⁿ ; R) mit n ≥ 1 gilt. Konstruiere eine lange exakte Folge

· · · − ^p →

^∗

H ^m (E; R) → H ^m−n (B; R) − → ^φ H ^m+1 (B; R) ^p

∗

− → H ^m+1 (E; R) → · · · .

Sei d _n das Differential von E _n , wobei (E _r , d _r ) _r die Serre-Spektralsequenz der Faserung f¨ ur H ^∗ (−; R) ist. Sei i _n ein Erzeuger von H ⁿ (S ⁿ ; R) als R-Modul, und setze

e = d n (i n ) ∈ H ⁿ⁺¹ (B; R) . Zeige, dass man φ als das Cup-Produkt mit e definieren kann.

Bemerkung : Die Klasse e heißt die Euler-Klasse und die Folge die Gysin-Folge der Faserung.

Aufgabe 13.3. Sei k ≥ 2. Begr¨ unde (zum Beispiel mit dem Hinweis auf der R¨ uckseite) die Existenz einer Faserung

S ^2k−1 → E → G ^C _∞,k

mit E und G ^C _∞,k−1 schwach homotopie¨ aquivalent. Bestimme die Algebra H ^∗ (G ^C _∞,k ; Z ) mit Hilfe dieser Faserung.

Aufgabe 13.4. Bestimme die Algebra H ^∗ (K( Z , n); Q ) mit Hilfe der Faserung K( Z , n − 1) → P K( Z , n) → K( Z , n) .

Aufgabe 13.5. Wettbewerb ^† : Berechne

n

M

i=0

H ⁱ (K( Z , 3); Z ) inklusive multiplikative Struktur f¨ ur m¨ oglichst großes n.

∗

Abgabe : Montag 06.02.2012.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie3-WS11-12.html

†

Der erste Preis besteht aus 500g schweizer Schokolade.

(2)

2

Hinweis zur Aufgabe 13.3.

Sei γ _n,k −→ G _n,k = G ^F _n,k das tautologische B¨ undel. Dies ist bekanntermaßen ein Unterb¨ undel von F ⁿ × G n,k

pr

2

−→ G n,k und wir notieren das (orthogonal-) komplement¨ are B¨ undel als ν n,k . Des- weiteren schreiben wir SV f¨ ur das Sph¨ arenb¨ undel eines metrischen Vektorb¨ undels. Im Klartext also etwa Sν _n,k =

(V, x) ∈ S ^dn−1 × G _n,k | x ⊥ V , wo d = dim _R F . Dann ist die folgende Abbildung:

Sν _n,k −→ G _n,k+1 , (V, x) 7−→ V + hxi

ein Faserb¨ undel mit Faser Sν _k+1,k . Die Faser ist durch Bilden orthogonaler Komplemente hom¨ oomorph zum Totalraum von Sγ _k+1,1 −→ F P ^k und dieser wiederum ist durch Projekti- on auf die zweite Koordinate hom¨ oomorph zu S ^dk−1 .

Beweisen sie zun¨ achst, dass die B¨ undelprojektion Sν _∞,k −→ G _∞,k einen Isomorphismus in Ho-

mologie induziert (sie ist sogar eine Homotopie¨ quivalenz). Wir erhalten also einen Faserb¨ undel

S ^2k−2 → E → G ^C _∞,k mit E ' G ^C _∞,k−1 .

Aufgabe 13.1. Bestimme die Algebra H ∗ (U (n); Z ) durch Induktion ¨ uber n mit Hilfe der Serre-Spektralsequenz der Faserung

Ch. Ausoni, F. Hebestreit WWU M¨ unster, Wintersemester 2011

UBUNGEN ZUR ALGEBRAISCHEN TOPOLOGIE II ¨

Blatt 13 ∗ , 27.01.2012

Aufgabe 13.1. Bestimme die Algebra H ∗ (U (n); Z ) durch Induktion ¨ uber n mit Hilfe der Serre-Spektralsequenz der Faserung

U (n − 1) → U (n) → S 2n−1 . Bestimme ferner die Algebra H ∗ (SO(n); F 2 ) mit Hilfe der Faserung

SO(n − 1) → SO(n) → S n−1 .

Aufgabe 13.2. Sei p : E → B eine Serre-Faserung mit B wegzusammenh¨ angend und sei R ein Ring, so dass das System H ∗ (F ; R) auf B trivial ist. Wir nehmen ferner an, dass f¨ ur die Fasern H ∗ (F b ; R) ∼ = H ∗ (S n ; R) mit n ≥ 1 gilt. Konstruiere eine lange exakte Folge

· · · − p →

H m (E; R) → H m−n (B; R) − → φ H m+1 (B; R) p

− → H m+1 (E; R) → · · · .

Sei d n das Differential von E n , wobei (E r , d r ) r die Serre-Spektralsequenz der Faserung f¨ ur H ∗ (−; R) ist. Sei i n ein Erzeuger von H n (S n ; R) als R-Modul, und setze

e = d n (i n ) ∈ H n+1 (B; R) . Zeige, dass man φ als das Cup-Produkt mit e definieren kann.

Bemerkung : Die Klasse e heißt die Euler-Klasse und die Folge die Gysin-Folge der Faserung.

Aufgabe 13.3. Sei k ≥ 2. Begr¨ unde (zum Beispiel mit dem Hinweis auf der R¨ uckseite) die Existenz einer Faserung

S 2k−1 → E → G C ∞,k

mit E und G C ∞,k−1 schwach homotopie¨ aquivalent. Bestimme die Algebra H ∗ (G C ∞,k ; Z ) mit Hilfe dieser Faserung.

Aufgabe 13.4. Bestimme die Algebra H ∗ (K( Z , n); Q ) mit Hilfe der Faserung K( Z , n − 1) → P K( Z , n) → K( Z , n) .

Aufgabe 13.5. Wettbewerb † : Berechne

n

M

i=0

H i (K( Z , 3); Z ) inklusive multiplikative Struktur f¨ ur m¨ oglichst großes n.

Abgabe : Montag 06.02.2012.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie3-WS11-12.html

Der erste Preis besteht aus 500g schweizer Schokolade.

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Hinweis zur Aufgabe 13.3.

Sei γ n,k −→ G n,k = G F n,k das tautologische B¨ undel. Dies ist bekanntermaßen ein Unterb¨ undel von F n × G n,k

pr

−→ G n,k und wir notieren das (orthogonal-) komplement¨ are B¨ undel als ν n,k . Des- weiteren schreiben wir SV f¨ ur das Sph¨ arenb¨ undel eines metrischen Vektorb¨ undels. Im Klartext also etwa Sν n,k =

(V, x) ∈ S dn−1 × G n,k | x ⊥ V , wo d = dim R F . Dann ist die folgende Abbildung:

Sν n,k −→ G n,k+1 , (V, x) 7−→ V + hxi

ein Faserb¨ undel mit Faser Sν k+1,k . Die Faser ist durch Bilden orthogonaler Komplemente hom¨ oomorph zum Totalraum von Sγ k+1,1 −→ F P k und dieser wiederum ist durch Projekti- on auf die zweite Koordinate hom¨ oomorph zu S dk−1 .

Beweisen sie zun¨ achst, dass die B¨ undelprojektion Sν ∞,k −→ G ∞,k einen Isomorphismus in Ho-

mologie induziert (sie ist sogar eine Homotopie¨ quivalenz). Wir erhalten also einen Faserb¨ undel

S 2k−2 → E → G C ∞,k mit E ' G C ∞,k−1 .

Blatt 13 ^∗ , 27.01.2012

Aufgabe 13.1. Bestimme die Algebra H ^∗ (U (n); Z ) durch Induktion ¨ uber n mit Hilfe der Serre-Spektralsequenz der Faserung

U (n − 1) → U (n) → S ²ⁿ⁻¹ . Bestimme ferner die Algebra H ^∗ (SO(n); F 2 ) mit Hilfe der Faserung

SO(n − 1) → SO(n) → S ⁿ⁻¹ .

Aufgabe 13.2. Sei p : E → B eine Serre-Faserung mit B wegzusammenh¨ angend und sei R ein Ring, so dass das System H ^∗ (F ; R) auf B trivial ist. Wir nehmen ferner an, dass f¨ ur die Fasern H ^∗ (F b ; R) ∼ = H ^∗ (S ⁿ ; R) mit n ≥ 1 gilt. Konstruiere eine lange exakte Folge

· · · − ^p →

H ^m (E; R) → H ^m−n (B; R) − → ^φ H ^m+1 (B; R) ^p

− → H ^m+1 (E; R) → · · · .

Sei d _n das Differential von E _n , wobei (E _r , d _r ) _r die Serre-Spektralsequenz der Faserung f¨ ur H ^∗ (−; R) ist. Sei i _n ein Erzeuger von H ⁿ (S ⁿ ; R) als R-Modul, und setze

e = d n (i n ) ∈ H ⁿ⁺¹ (B; R) . Zeige, dass man φ als das Cup-Produkt mit e definieren kann.

S ^2k−1 → E → G ^C _∞,k

mit E und G ^C _∞,k−1 schwach homotopie¨ aquivalent. Bestimme die Algebra H ^∗ (G ^C _∞,k ; Z ) mit Hilfe dieser Faserung.

Aufgabe 13.4. Bestimme die Algebra H ^∗ (K( Z , n); Q ) mit Hilfe der Faserung K( Z , n − 1) → P K( Z , n) → K( Z , n) .

Aufgabe 13.5. Wettbewerb ^† : Berechne

H ⁱ (K( Z , 3); Z ) inklusive multiplikative Struktur f¨ ur m¨ oglichst großes n.

Sei γ _n,k −→ G _n,k = G ^F _n,k das tautologische B¨ undel. Dies ist bekanntermaßen ein Unterb¨ undel von F ⁿ × G n,k

−→ G n,k und wir notieren das (orthogonal-) komplement¨ are B¨ undel als ν n,k . Des- weiteren schreiben wir SV f¨ ur das Sph¨ arenb¨ undel eines metrischen Vektorb¨ undels. Im Klartext also etwa Sν _n,k =

(V, x) ∈ S ^dn−1 × G _n,k | x ⊥ V , wo d = dim _R F . Dann ist die folgende Abbildung:

Sν _n,k −→ G _n,k+1 , (V, x) 7−→ V + hxi

ein Faserb¨ undel mit Faser Sν _k+1,k . Die Faser ist durch Bilden orthogonaler Komplemente hom¨ oomorph zum Totalraum von Sγ _k+1,1 −→ F P ^k und dieser wiederum ist durch Projekti- on auf die zweite Koordinate hom¨ oomorph zu S ^dk−1 .

Beweisen sie zun¨ achst, dass die B¨ undelprojektion Sν _∞,k −→ G _∞,k einen Isomorphismus in Ho-

S ^2k−2 → E → G ^C _∞,k mit E ' G ^C _∞,k−1 .