Sonde magnétique inductive de haute sensibilité et conditionneur adapté très faible impédance. Perspectives de détection mixte Électrique – Magnétique, sans contact, à haute sensibilité, pour impédance-métrie résolue en volume.

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Sonde magnétique inductive de haute sensibilité et conditionneur adapté très faible impédance.

Perspectives de détection mixte Électrique – Magnétique, sans contact, à haute sensibilité, pour

impédance-métrie résolue en volume.

Maria Timofeeva

To cite this version:

Maria Timofeeva. Sonde magnétique inductive de haute sensibilité et conditionneur adapté très faible impédance. Perspectives de détection mixte Électrique – Magnétique, sans contact, à haute sensibilité, pour impédance-métrie résolue en volume.. Electronique. université de caen, 2012. Français. �tel- 01076922�

UNIVERSITÉ de CAEN BASSE-NORMANDIE U.F.R. : Sciences

ECOLE DOCTORALE S.I.M.E.M

T H E S E

Présentée par

Melle Maria TIMOFEEVA Et soutenue

Le 31 août 2012 En vue de l’obtention du

DOCTORAT de l’UNIVERSITE de CAEN

Spécialité : Électronique, Microélectronique et Nanoélectronique Arrêté du 07 août 2006

Sonde magnétique inductive de haute sensibilité et conditionneur adapté très faible impédance.

Perspectives de détection mixte Electrique – Magnétique, sans contact, à haute sensibilité, pour impédance-métrie résolue en volume

MEMBRES du JURY Mr. Hamid KOKABI Professeur,

UPMC de Paris Rapporteur

Mr. Pierre-Yves JOUBERT Professeur,

ENS de Cachan Rapporteur

Mr. Christophe COILLOT Ingénieur de recherche HDR

Ecole Polytechnique, Palaiseau Examinateur Mr. Gilles ALLEGRE Maître de conférences,

Université de Caen Examinateur Mr. Didier ROBBES Professeur,

Université de Caen Examinateur Mr. Stéphane FLAMENT Professeur,

ENSICAEN Directeur de Thèse

A la mémoire de ma Mère, à mon Père et à mon Frère, à Rahim

Remerciements

Le travail présenté ici a été réalisé dans le cadre d’une bourse CIFRE en collaboration entre l’entreprise Inphynix et le laboratoire GREYC. Je tiens à remercier de nombreuses personnes sans qui cette thèse ne serait pas.

J’ai eu la chance d’être encadrée par des scientifiques et enseignants talentueux et également des personnes très gentilles, que je tiens à remercier en tout premier lieu. Je les remercie grandement pour leur patience, leur confiance en moi et pour tout ce qu’ils m’ont appris. Ce sont Monsieur Didier ROBBES que je remercie également d’avoir rendu possible mon arrivée en France et pour son accueil chaleureux, Monsieur Stéphane FLAMENT à qui je suis reconnaissante également pour son aide dans mes démarches administratives et Monsieur Gilles ALLEGRE sans qui cette thèse n’aurait pu être terminée et que je remercie infiniment pour tout le temps qu’il m’a consacré et pour tout ces conseils de bon sens.

Je remercie Monsieur Hamid KOKABI et Monsieur Pierre-Yves JOUBERT, d’avoir accepté de juger mon travail et de s’être déplacés. Je tiens à remercier également Monsieur Christophe COILLOT pour l’intérêt qu’il a porté à mon travail ainsi que pour ces remarques importantes.

Je remercie également Monsieur Thierry SALLEY, directeur général d’Inphynix, de m’avoir acceptée au sein de son entreprise et Monsieur Fréderic DIJOUX, mon collègue d’Inphynix, pour sa bonne humeur et sa gentillesse.

Je tiens à remercier Monsieur Christophe DOLABDJIAN de m’avoir accueilli dans l’équipe électronique du GREYC.

J’adresse mes vifs remerciements à l’ensemble de l’équipe, pour l’ambiance chaleureuse que j’y ai trouvé pendant tout mon séjour à laboratoire : Rachida, Julien, Kamel; Ammar, Hakim, Rimond, Basile, Wey, Olivier, Sheng, Valentine, Xin, Shuang, Alice, Bruno, Laurence, Marc, Mattieu, Sébastien, Chantal, Jean-Marc, Sylvain, Héloïse, Pierre, Christophe, Corentin, Fiény, Geeta, Laurette, Philippe, Cédric, Régis, Agnès, Bogdan, Abdou, ainsi que tous ceux que j’ai rencontrés au sein du laboratoire.

Je remercie particulièrement Nicole pour son écoute attentive, sa gentillesse et de bonnes recettes. Merci également à Madame Sandrine SORO.

Je remercie très chaleureusement Monsieur Igor KHREBTOV et Monsieur Yuriy BELOUSOV pour leur participation et leur aide.

Un grand merci à mes amis pour leur soutien moral et pour tous les moments de joie qu’on a partagés : Lena, Nastya, Nariné, Clémence, Dalal, Liaqat, Rolf, Samuel, Elena, Natasha, Natalia, Ka-Lun. Je remercie également l’Orchestre Universitaire de Caen Basse-Normandie et l’équipe du Club d’Aviron avec qui j’ai passé des moments très agréables.

Je remercie de tout mon cœur mes Parents et mon Frère qui me soutiennent toujours et à qui je dois tout.

Enfin je remercie tout particulièrement Rahim de m’avoir soutenue dans les moments difficiles et de m’apporter beaucoup de bonheur.

Merci à tous !

Table des matières

Introduction générale ... 1

Chapitre 1. La mesure des champs électromagnétiques basses fréquences ... 3

Introduction ... 3

1.1. Intérêt et enjeux de la détection mixte Champ Electrique Champ Magnétique ... 3

1.1.1. Géophysique ... 3

1.1.2. Contrôle non destructif ... 4

1.1.3. Compatibilité électromagnétique ... 4

1.1.4. Electrophysiologie ... 5

1.2. Introduction aux Champs Electrique et Magnétique et à leur mesure ... 5

1.3. Magnétisme et milieu matériel ... 11

1.3.1. Grandeurs magnétiques dans les milieux magnétiques ... 11

1.3.2. Conditions aux limites ... 13

1.3.3. Susceptibilité magnétique ... 13

1.3.4. Effet de forme du matériau magnétique et coefficients démagnétisants ... 16

1.3.5. Perméabilité apparente - Inductance ... 17

1.4. Capteurs magnétiques et magnétomètres ... 21

1.4.1. Caractères généraux ... 21

1.4.2. Capteurs absolus ... 22

1.4.3. Dispositifs sensibles au champ sur un axe spécifié ... 23

1.4.4. Dispositifs sensibles au flux du champ ... 29

1.4.5. Synthèse comparative ... 32

1.4.6. Contraintes et ordres de grandeurs pour des applications ‘Champ faible’ ... 33

1.5. Eléments de l’état de l’art de la détection magnétique à l’aide de bobine de capture. ... 34

1.5.1. Principaux types de conditionnement du signal ... 34

1.5.2. Aperçu de l’état de l’art des bobines de capture ... 35

1.6. Cahier des charges du magnétomètre ... 37

1.7. Conclusion... 38

Chapitre 2. Etude de capteurs à base de bobines de capture compactes ... 39

Introduction ... 39

2.1. Modèle de la mini bobine ... 39

2.1.1. Modèle physique ... 39

2.1.2. Approche numérique par éléments finis ... 51

2.1.3. Modèle électrique dipolaire ... 65

2.2. Problématique d’un couplage magnétique à d’autres circuits ... 70

2.2.1. Recensement des situations ... 70

2.2.2. Modèle physique ... 72

2.2.3. Approche numérique ... 78

2.2.4. Schéma et modèle ... 83

2.3. Qualification des bobines de captures ; réalisation et validation du modèle théorique ... 85

2.3.1. Dispositifs expérimentaux ... 86

2.3.2. Résultats et analyse ... 86

Conclusion ... 91

Chapitre 3. Conception et réalisation de magnétomètres ... 93

Introduction ... 93

3.1. Les conditionneurs ... 93

3.1.1. à entrée en courant classique à Amplificateur Linéaire Intégré (ALI) contre réactionnés . 94 3.1.2. à entrée en courant à transistor idéaux OPA861 ... 101

3.1.3. à entrée en courant utilisant un amplificateur d’instrumentation ... 109

3.1.4. à entrée en courant à court-circuit vrai : étage d’entrée à capteur de courant à GMR ... 112

3.1.5. à entrée en tension à amplificateur d’instrumentation avec intégration ... 116

3.2. Les magnétomètres : réalisations et performances ... 121

3.2.2. Description du banc de mesure large bande ... 123

3.2.3. Résultats ... 127

Conclusion ... 141

Chapitre 4. De la détection mixte ... 143

Introduction ... 143

4.1. Intérêts et enjeux de la détection mixte ... 143

4.1.1. Rappel des intérêts de la détection mixte ... 143

4.1.2. Hybridation fondamentale des captures électriques et magnétiques ... 144

4.2. Analyse de l'approche Inphynix ... 146

4.2.1. Analyse de l'électromètre ... 146

4.2.2. Le conditionneur "E-M", ou l'amorce de la problématique de la détection mixte ... 150

4.3. Résultats essentiels d'un retour aux fondamentaux ... 151

4.3.1. Cas du conducteur isolé de forme quelconque dans un champ électrique Eext. ... 152

4.3.2. Cas du conducteur de forme sphérique dans un champ électrique Eext. ... 153

4.3.3. Cas de deux demi-sphères conductrices disjointes mais très proches ... 154

4.3.4. Cas de deux demi-sphères conductrices disjointes mais très proches et reliées par un conducteur ... 155

4.3.5. Diélectrode de capture réelle et schéma équivalent simplifié ... 156

4.3.6. Diélectrode de capture réelle, résolution intrinsèque ... 157

4.3.7. Conditionneurs élémentaires de la diélectrode ... 159

4.4. Détection mixte ... 161

4.4.1. Le FEM-C élémentaire ... 161

4.4.2. Conditionneur fondamental du FEM-C élémentaire ... 165

4.4.3. Autres possibilités de conditionnement et de réalisation du FEM-C ... 168

Conclusion ... 168

Conclusion générale ... 170

Table de matières ... 171

Bibliographie ... 175

Liste des figures ... 182

Liste de tableaux ... 187

Annexes ... 188

A. Cas académique de la spire unique dans l’air ... 188

B. Schéma fonctionnel d’un magnétomètre ... 190

C. Expression du champ démagnétisant d’un ellipsoïde en tout point de l’espace ... 192

D. Calcul de la reluctance d’un noyau en forme de pot avec entrefer ... 195

E. Calculs des paramètres de la bobine à noyau ... 197

F. Etude d’une solution de conditionneur basse impédance à transistor ... 202

G. Expression générique du signal de sortie d’un étage amplificateur à ALI avec sources de bruit .. ... 205

H. Expression générique du signal de sortie d’un étage amplificateur de courant à ALI avec sources de bruit ... 206

I. Expression générique du signal de sortie d’un étage soustracteur à ALI avec sources de bruit .... ... 207

J. Expression complète du signal de sortie pour le conditionneur en courant à base de LT1028208 K. Expression complète du signal de sortie pour un conditionneur en courant à base d’un amplificateur d’instrumentation ... 212

L. Expression complète du signal de sortie pour un conditionneur en tension à base d’un amplificateur d’instrumentation ... 215

M. Expressions complètes du signal de sortie quand les sources sont des bobines de capture couplées. ... 218

N. Estimation théorique des bruits des amplificateurs internes de l’amplificateur d’instrumentation ina163 ... 221

O. Détermination des sources équivalentes de bruit en entrée d’un conditionneur “ idéal ” à partir de l’expression analytique en sortie ... 223

Introduction générale

Ce travail rend compte d’une activité de recherche initiée dans le cadre d’un contrat CIFFRE.

Un partenariat a été établi entre le laboratoire d’accueil GREYC-ENSICaen UMR6072 et la société Inphynix jeune entreprise fabricant principalement des capteurs électriques et magnétiques. Son principal débouché concernait le matériel pédagogique ainsi des versions déclinées pour l’industrie ont étés étudiées.

C’est donc dans un environnement d’ingénierie pédagogique que j’ai travaillé sur le sujet

« Conditionneur différentiel à très faible impédance d'entrée, optimisé pour sonde magnétique haute sensibilité. Perspectives de détection simultanée Electrique – Magnétique sans contact °»

afin de mettre au catalogue un magnétomètre qui soit le dual dans son principe d’un électromètre capacitif déjà commercialisé. La sonde magnétique était destinée à des mesures de champ faible, c’est-a-dire de champ inférieur au millitesla, dans la bande 100mHz-1MHz. Les contraintes à prendre en compte étaient les suivantes : prévoir une extension en 3 axes ; prévoir une compatibilité avec une mesure mixte E-H c’est-à-dire une mesure électromagnétique ; utiliser dans la mesure du possible des outils logiciels utilisables par les clients de l’éducation nationale c’est-à-dire des produits gratuits (FEMM, SwitcherCAD, WIRIS). La contribution d’Inphynix se situait au niveau des capteurs et le laboratoire apportait son expertise en électronique sur le conditionnement.

La conjoncture économique ayant contraint la société Inphynix à cesser ses activités, j’ai dû réintégrer le laboratoire le 01 juillet 2010 pour poursuivre ma thèse dans un cadre plus

‘académique’. Mon sujet a alors été réorienté vers le sujet suivant : « Sonde magnétique inductive de haute sensibilité et conditionneur adapté très faible impédance - Perspectives de détection mixte Electrique – Magnétique, sans contact, à haute sensibilité, pour impédance-métrie résolue en volume ».

La structure de ce mémoire est la suivante.

Un premier chapitre à caractère bibliographique reprend et résume les notions théoriques utiles à la compréhension de ce travail. Il continue par une revue des instruments de mesure d’induction magnétique qui permet de justifier le choix d’un capteur de type bobine de capture comme base du magnétomètre. Un paragraphe détaille ensuite la littérature principale sur ce type de magnétomètre.

Un deuxième chapitre étudie les bobines de captures miniatures comme capteurs. Dans un domaine déjà couru, la géométrie choisie pour ses avantages pratiques n’a cependant pas été étudiée à ce jour à notre connaissance. Un modèle dédié a donc été établi, qui présente le mérite

d’être simple et d’être suffisamment général pour inclure une grande partie des bobines de capture existantes. L’utilisation de ce capteur en mode flux est principalement le sujet d’étude mais son utilisation en mode Lenz-Faraday a aussi été étudiée dans un souci d’exhaustivité.

L’utilisation en mode flux d’une structure différentielle compacte a même amené l’introduction d’une structure de capteur originale. Une réflexion est menée pour trouver une représentation simplifiée de ce double dipôle pour une utilisation pédagogique avec les outils classiques d’électrocinétique (Thévenin et Norton).

Un troisième chapitre concerne la partie électronique. Elle intègre la partie instrument en considérant les interactions capteur-conditionneur en tant que système qui fait suite à une première partie qui traite des différents conditionneurs de courant puis de tension étudiés et/ou réalisés. Ces conditionneurs large bande (minimum 100mHz-1MHz) doivent avoir une entrée différentielle (double). Il est montré, par complémentarité avec l’étude sur le capteur que cette structure hexa polaire à la base, ou pour le moins penta polaire, peut se réduire sous certaines conditions à un quadripôle. Le modèle équivalent avec bruit ramené en entré est dans ce cas proposé. Les utilisations comme magnétomètres et les résultats en termes de bruit équivalent en champ sont alors présentés et comparés entre les différentes configurations de capteurs/conditionneurs. A cette occasion une présentation du banc de mesure et de ses performances est réalisée.

Un dernier chapitre présente les perspectives de ce travail pour la réalisation de capteurs mixte E-H et conditionneurs associés. Il prend la forme d’une discussion sur les tenants physique et les aboutissants matériels dans une recherche de dualité parfaite entre les domaines.

Chapitre 1. La mesure des champs électromagnétiques basses fréquences

Introduction

Si, dans le vide, en haute fréquence et à grande distance de la source du champ en comparaison de la longueur d’onde, les champs E et B sont orthogonaux et proportionnels en module, ce n’est pas le cas en basse fréquence. La connaissance du champ électromagnétique (EM) requiert la mesure séparée des champs électriques E et magnétique B . Nous présentons en premier lieu dans ce chapitre l’intérêt que peut présenter la mesure de ces deux champs dans différents domaines d’application. Ensuite, la traduction des champs E et B en grandeurs électriques, courant ou différence de potentiel, est abordée. Certains aspects de la dualité entre les champs E et B qui seront développés au Chapitre 4 sont évoqués à cette occasion. Dans la suite du chapitre, l’accent est porté sur la mesure du champ B qui est au cœur de ce travail de thèse.

1.1. Intérêt et enjeux de la détection mixte Champ Electrique Champ Magnétique

1.1.1. Géophysique

Ce domaine admet au moins une application pour laquelle la mesure simultanée des deux champs est nécessaire à l'élaboration de l'information pertinente pour l'utilisateur : il s'agit de la tomographie d'impédance du sol à partir de mesures en surface. Dans ce domaine de la géophysique, les sources de signal sont les courants "magnétotelluriques" sous-terrains induits par l'activité électrique et magnétique très basse et basse fréquence d'origine naturelle (Activité solaire, orages, résonances de Schumann) ou d'origine anthropique (activités urbaines, injection/induction de courants dans le sol, ...). A ces courants magnétotelluriques sont associés les deux champs. La mesure simultanée de leurs composantes en surface, et les traitements numériques adéquats permettent de remonter à des profils d'impédance du terrain en fonction de la profondeur. Dans ce domaine, si la détection magnétique peut être rendue très compacte et portable, la mesure électrique nécessite le déploiement de réseaux filaires et de sondes dites

"impolarisables" de très médiocre portabilité. A cet égard, un système de mesure directionnelle de champ électrique couplé à son homologue magnétique, mais également portable, serait d'un grand intérêt.

1.1.2. Contrôle non destructif

En milieu industriel, les exigences continues de contrôle qualité, de suivi de production, de maintenance opérationnelle des systèmes, etc., ont mené à la mise en œuvre de techniques de détection variées, dont celles fondées sur les détections électriques et magnétiques. Un exemple largement développé est le contrôle non destructif par courant de Foucault dans les matériaux conducteurs. Cette méthode est cependant inadaptée aux matériaux peu ou non conducteurs, alors que de très nombreux besoins existent pour les matériaux composites, par exemple. Pour ces derniers, des caractérisations par tomographie capacitive (EIT pour "Electrically Induced Tomography") existent, mais elles sont limitées essentiellement à des dispositifs de symétrie axisymétrique, axe autour duquel un réseau d'électrodes, adressables mais fixes et définies sur la paroi cylindrique externe, permet de restituer une image 3D du matériau isolant ou très peu conducteur passant au travers du cylindre du tomographe. En revanche, un système qui serait dual de celui développé pour les courants induits de Foucault, mais qui procèderait par induction électrique et par lecture du champ électrique total résultant, n'est pas à notre connaissance développé, en tout cas jusqu'au niveau industriel. Dans ce domaine, l'approche par voie magnétique est dominante, mais ce domaine pourrait également bénéficier d'un rééquilibrage.

1.1.3. Compatibilité électromagnétique

Le domaine de la compatibilité électromagnétique ou C.E.M. utilise des mesures électriques et magnétiques à partir de quelques 10 Hz, jusqu'à des fréquences voisines de quelques GHz. Les progrès récents en matière de traitement de signal ont permis la mise sur le marché d'outils d'analyse spectrale large bande, sans contact, pour évaluer l'activité électrique et magnétique ambiante [3]. Dans les instruments proposés, si la mesure du champ magnétique est directionnelle, bien restituée sur trois axes principaux, la mesure électrique ne l'est pas. Pourtant l'obtention d'un système triaxial complet, à la fois pour le champ électrique et pour le champ magnétique semble d'actualité, au vu des investigations et des brevets demandés, par exemple, ces dernières années par la société californienne Quasar Fédéral Systems. Ainsi, l'un de ces brevets décrit une instrumentation dédiée à la mesure directionnelle du flux du vecteur de Poynting [4]. Le système met en œuvre des paires de transducteus magnétiques (type bobines de capture) et des paires séparées d'électrodes de capture de variations de potentiel, arrangées suivant trois axes orthogonaux ou suivant 4 directions principales émanant du centre d'un tétraèdre. Notre proposition vise une version intégrée d'une instrumentation fonctionnellement assez semblable à celle visiblement en cours de développement par la société Quasar Fédéral

Systems, mais le nombre de capteurs y serait divisé par 2, alors que le champ des fonctionnalités y serait agrandi.

1.1.4. Electrophysiologie

Lorsqu’on s'intéresse à la propagation de l'information nerveuse, deux descriptions complémentaires coexistent : la propagation de potentiels électriques d'action le long des axones, d'une part, et le transport/échange de charges électriques au niveau synaptique, d'autre part. Au final, une seule entité, "l'information nerveuse" se propage via deux supports physiques complémentaires mettant en œuvre des distributions de charges, sources de champ électrique, et des transports de charges, sources de champ magnétique. Par principe, l'utilisation (ou la mesure) simultanées des deux types de signaux serait au moins plus riche que l'utilisation d'une seule source, ne serait ce que par la redondance qu'elles apporteraient.

Au niveau de l’évaluation de l'activité du myocarde, la mesure est complètement dominée par l'électrocardiographie, alors que la magnétocardiographie est opérationnelle depuis plus d'une trentaine d'années. Il en est de même au niveau de l'évaluation de l'activité électrique et magnétique du cerveau, dominée par la mesure électrique, avec contacts de surface, alors que la mesure magnétique, sans contact, reste cantonnée aux travaux de recherche.

1.2. Introduction aux Champs Electrique et Magnétique et à leur mesure

Dans ce paragraphe, nous allons présenter comment les grandeurs champs électrique E et magnétique B peuvent se traduire en grandeurs électriques mesurables, différence de potentiel ou courant, et ce à partir de l’analyse des équations de Maxwell.

La physique du 18^ème au 20^ème siècle a mené aux nombreux développements et applications de l’électromagnétisme. La remarquable synthèse de Maxwell est l’un des piliers sur lesquels reposent nos travaux. Les quatre équations de la formulation locale ainsi que celles associées à la formulation intégrale seront utilisées dans nos développements. Analysons les équations de Maxwell dans une perspective de mesure des champs E et B . Considérons pour cela tout d’abord les deux équations :

t E B

rot ∂

−∂

= , équation de Maxwell - Faraday _{( 1 )}

=0 B

div , équation de Maxwell -Thompson . _{( 2 )}

De l’équation ( 2 ) et sachant que :

=0 rot

div , ( 3 )

et rotgrad =0, _{( 4 )}

on déduit que le champ B peut s’exprimer sous la forme : A rot

B= , ( 5 )

où A est qualifié de potentiel vecteur, défini à un gradient scalaire près.

D’après ( 1 ) et ( 5 ) on tire :

=0













∂ +∂

t E A rot

r r

( 6 )

ce qui permet avec ( 4 ) décrire E r

sous la forme :

t V A grad

E ∂

−∂

−

= , _{( 7 )}

où V est un potentiel scalaire défini à une constante près et t A

∂

−∂ désigne le champ

électromoteur.

Comme nous allons le présenter, cette équation permet d’envisager d’accéder aux grandeurs

t B_ext

∂

∂r

, Eext et B_ext r

(dans l’hypothèse où les champs Eext et B_ext r

à mesurer, imposés par des sources extérieures externes au circuit de mesure, sont spatialement uniformes dans le volume englobant le circuit de mesure).

Considérons un chemin C d’extrémités A et B. On a : r

d t A V

V r d E

B

A A

B B

A

r r r r

∂ ⋅

− ∂

−

−

=

⋅

∫

∫

Si ce chemin est parcouru dans un matériau conducteur de section S_w, le champ électrique est relié à la densité de courant via un facteur de proportionnalité σ (la conductivité) selon l’équation :

E j =σ r

( 9 )

qui conduit pour l’équation ( 8 ) à :

r d t A V

V Ri r d E

B

A A

B B

A

r r r r

∂ ⋅

− ∂

−

−

=

=

⋅

∫

∫

où ⁼

∫∫

Sw

s d j

i .

r .

Pour un chemin fermé (A=B) on peut définir S, la surface fermée s’appuyant sur C, et

∫∫

∫

S C

dS n B t

r d

Ar r ( ) (r r)

, le flux total à travers la surface. D’où on déduit de ( 8 ) que :

dt r d

t d r A

d E

C C

− Φ

=

∂ ⋅

− ∂

=

⋅

∫

∫

r r r

^{( 11 )}

Quand le chemin correspond à un circuit conducteur en circuit ouvert dont les extrémités sont quasi jointives Figure 1 (a)), la circulation sur le circuit fermé se décompose en un chemin principal correspondant à un conducteur et à un chemin très court correspondant à de l’air (ou un diélectrique). On a :

r t d t A V

V Ri r d E r d E

A

B A

B A

air B B

conducteur

A _air ∂

Φ

−∂

=

∂ ⋅

− ∂

− +

=

⋅ +

⋅

∫ ∫

∫

, ,

r r

r r _{( 12 )}

Le courant i correspondant s’obtient à partir de l’équation de Maxwell - Ampère













∂ + ∂

= t

j E B

rot µ₀ ε₀ ^, équation de Maxwell - Ampère _{( 13 )}

qu’il convient d’intégrer sur une surface fermée ∑ entourant la spire. On obtient avec le théorème de Green-Ostrogradski :

∫∫

⋅













∂

− ∂

= n dS

t

i E r

ε0 ^{( 14 )}

Ce terme définit i comme un courant de déplacement. On le considère nul en négligeant la capacité mutuelle répartie. A étant proche de B le terme A dr

A

B_air

⋅ r

∫

à placer ABair perpendiculairement à 





ABair Bext

A ce terme est alors nul lui aussi.

Par conséquent, sous ces conditions, une tension dite à vide ou en circuit ouvert est induite et s’écrit :

dt t t d

e V

V_{B A CO} ^ext( )

)

( =− Φ

=

− Loi de Lenz-Faraday ( 15 )

où ^{Φ =}

∫∫

S ext

ext t Br nrdS

)

( ( 16 )

désigne le flux à travers S du champ magnétique B_ext r

à mesurer, imposé par les seuls sources de courant extérieures au circuit C.

Quand le chemin fermé correspond à un conducteur en court circuit (Figure 1 (b)) un courant non nul (qualifié de courant de court circuit) est induit et circule dans le conducteur. Ce courant est à l’origine d’un flux magnétique (un flux propre proportionnel au courant) qui s’ajoute au

flux dû au champ magnétique B_ext r

à mesurer. Le flux total est donc la somm d’un flux extérieur définis par :

) ( )

(t =Φ_ext t Φ

où Φ_propre(t)=L

Le facteur de proportionnalité L est qualifié d’inductance.

(a)

Figure 1. Spire en circuit ouvert (a) et en court circuit (b).

On déduit des équations précédentes Ri=−

A condition que la fréquence du champ magnétique respecte la condition annexe A ) on obtient la relation :

(on omet la constante résultant de l’

dans la mesure où seuls les termes de fréquences intéressent).

Sachant que div(rotX)=0 quel que soit le vecteur Ostrogradsky, on a pour toute surface

 0







∂ + ∂

∫∫

S t

j ε E

Cette équation complémentaire nous permettra d’accéder à la grandeur

à mesurer. Le flux total est donc la somme d’un flux propre et

)

propre(t Φ +

i L

est qualifié d’inductance.

(b) . Spire en circuit ouvert (a) et en court circuit (b).

On déduit des équations précédentes :

dt Ldi t t

ext −

∂ Φ

−∂

∂ = Φ

−∂

A condition que la fréquence du champ magnétique respecte la condition : f >>

L i= Φ^ext(t)

(on omet la constante résultant de l’intégration temporelle de _^_∂^∂

(

t ^ext s termes de fréquences

L f R

π

> 2 ,donc non nuls, nous

quel que soit le vecteurX , en utilisant le théorème de Green Ostrogradsky, on a pour toute surface S fermée :

=0

⋅





 dS nr

Cette équation complémentaire nous permettra d’accéder à la grandeur t Eext

∂

∂ manquante.

e d’un flux propre et

( 17 )

( 18 )

( 19 )

L R π

2 . (cf.

( 20 )

)

Φ

+ _propre(t) 0

,donc non nuls, nous

, en utilisant le théorème de Green-

( 21 )

manquante.

Plaçons-nous maintenant dans la situation de principe d’un condensateur plan placé dans un champ électrique homogène E_ext

r

(cf. Figure 3), de géométrie telle qu’on puisse négliger les effets de bord et le champ électromoteur.

Lorsque les armatures A et B sont reliées en interne il apparait sur les faces externes, de surface SA et SB, une densité surfacique de charge Er_ext nr

0 . ε

σ = pour assurer la nullité du champ électrique dans le conducteur. Sur les faces internes et en regard, la densité de charge est nulle car le volume est équipotentiel (aux effets de bord près). Considérons la surface S englobant totalement l’armature A. Décomposons S en la réunion de S1, d’une surface S’A (infiniment proche de SA) et S2 reliant S1 et S’A. Dans l’équation ( 21 ) le flux de j

r

à travers S2 et S’A est nul et celui de E_ext

r

à travers S se réduit à celui à travers S’_A. On obtient ainsi que les variations du champ E_ext

r

créent un courant i de l’armature A vers l’armature B qui traverse S1. La mesure de

t Eext

∂

∂ s’obtient, à partir de l’équation ( 21 ), par :

t n S E dS t

n t E

i ^E _A ^ext

S ext

ext

A

r

r ⋅

∂

− ∂

∂ = Φ

− ∂

=

∂ ⋅

− ∂

=

∫∫

'

0 ε ε

ε ^{( 22 )}

Lorsque les armatures A et B ne sont plus connectées (Figure 3), le problème reste inchangé en ce qui concerne la répartition surfacique extérieure de charge ( Er_ext nr

0 . ε

σ = sur SA et SB). En interne, il apparait par contre une répartition surfacique induite, opposée aux précédentes (si le conducteur est initialement neutre), pour assurer la nullité du champ électrique dans le conducteur. Ces charges créent un champ uniforme entre les armatures, égal à E_ext

r

qu’on mesure avec l’équation ( 7 ) qui donne :

) cos(

.

.^d θ

E V

V_A − _B = _ext

,

où d est la distance entre les plaques. On remarquera que cette expression est exacte pour tout champ magnétique indépendant du temps (car alors =0

∂

∂ t

A ). Par conséquent, la mesure d’un

champ électrique extérieur uniforme E_ext r

revient à la mesure d’une différence de potentiel

Figure 2. Deux plans conducteurs connectés par un conducteur filaire condensateur plan ne sont pas respectées p

Figure 3. Géométrie simple du condensateur plan

En conclusion, suivant les géométries de conducteurs adoptées - la mesure d’une différence de potentiel (ddp) permet

Loi de Lenz-Faraday ( 15

- la mesure d’un courant permet d’accéd (d’après ( 20 )) supposé variable dans le temps.

Ces observations ont inspiré la réflexion développée au chapitre 4 concernan le couple (champ électriqueE_ext

r

, courant) d’une part et le couple (champ magnétique

d’autre part. Elles permettent en outre d’envisager la réalisation d’une sonde mixte Champ électrique – Champ magnétique par la mesure de deux grandeurs duales, une ddp un courant i(t).

. Deux plans conducteurs connectés par un conducteur filaire. Les échelles pour un condensateur plan ne sont pas respectées pour la clarté de la figure transparente.

. Géométrie simple du condensateur plan en circuit ouvert placé dans un champ électrique homogène.

En conclusion, suivant les géométries de conducteurs adoptées :

d’une différence de potentiel (ddp) permet d’accéder soit à 15 ) soit à E_ext

r

(d’après ( 23 ) ).

la mesure d’un courant permet d’accéder soit à t E_ext

∂

∂r

(d’après ( 1 ) supposé variable dans le temps.

Ces observations ont inspiré la réflexion développée au chapitre 4 concernan , courant) d’une part et le couple (champ magnétique

d’autre part. Elles permettent en outre d’envisager la réalisation d’une sonde mixte magnétique par la mesure de deux grandeurs duales, une ddp

Les échelles pour un our la clarté de la figure transparente.

placé dans un champ

d’accéder soit à t B_ext

∂

∂r

(d’après

1 ) ) soit à B^ext

Ces observations ont inspiré la réflexion développée au chapitre 4 concernant la dualité entre , courant) d’une part et le couple (champ magnétiqueBext, ddp) d’autre part. Elles permettent en outre d’envisager la réalisation d’une sonde mixte magnétique par la mesure de deux grandeurs duales, une ddp e(t) et

1.3. Magnétisme et milieu matériel

Etudions maintenant la modification du champ en présence de matériaux qualifiés de matériaux magnétiques.

1.3.1. Grandeurs magnétiques dans les milieux magnétiques

Dans un matériau magnétique, des moments magnétiques existent au sein du matériau, dont l’origine se situe à l’échelle atomique. Nous nous intéresserons aux valeurs moyennes des moments magnétiques locaux et des grandeurs magnétiques sur un volume V suffisamment grand devant la maille atomique pour ne pas prendre en compte les phénomènes localisés associés par exemple aux domaines magnétiques présents dans le matériau et traduisant l’équilibre thermodynamique du matériau. A cette échelle, l’effet collectif des moments magnétiques est décrit par une aimantation volumiqueM, qui correspond à la moyenne des moments magnétiques sur le volume V. Ce terme est nul à l’extérieur du matériau magnétique. Il est la source d’un champ magnétiqueBm, dans tout l’espace, qui s’ajoute au champ magnétique Bext généré, dans le vide, par les sources de courant extérieures au matériau magnétique et vérifiant d’une part divB^ext =0 et d’autre partrotBext =µoJext. Le champ résultant B s’écrit:

m

ext B

B

B= + ( 24 )

Le champ magnétique B vérifie toujours divB=0, on en déduit que divB^m = 0. On démontre que l’aimantation M vérifie [ 83 ] :

- en volume : rotBm =rotM =µoJM où JM est une densité de courant volumique, toujours nulle en dehors du matériau et nulle dans le cas d’une aimantation uniforme, - en surface : M ∧n= JS où n désigne le vecteur normal unitaire à la surface du

matériau.

Par conséquent, en présence de matériau magnétique, la relation de Maxwell Ampère (pour un champ électrique indépendant du temps ou dont l’effet est négligeable) prend la forme suivante :

M rot J

J J J

B

rot =µo =µo( ext + M )=µo ext + ( 25 )

On peut alors définir une grandeur excitation magnétique H par : B M

H

o

−

= µ

( 26 )

vérifiant :

oJext

H

rot =µ ( 27 )

Bien que H et Bext vérifient la même équation : rot H =Jext et ext o

ext J

rot B =











µ , les grandeurs

oH

µ ^{et Bext} ne sont pas identiques. En effet, les conditions aux limites sur le matériau magnétique ne sont pas les mêmes pour les deux grandeurs : Bext, par définition, n’est pas lié à la présence du matériau magnétique alors que H est lié à la présence du matériau magnétique, ce qui est traduit par les équations : divB^ext =0 et divH =−divM.

L’intérêt de H est d’une part pratique. En effet, H étant lié à aux sources de courant extérieures, il devient possible dans certaines configurations (matériau de forme torique ou de type solénoïde très long, cf. paragraphe 1.3.5) d’imposer l’excitation magnétique dans le matériau à l’aide de courant extérieurs Jext, ce qui s’avère utile pour mesurer les propriétés magnétiques du matériau.

D’autre part, de même que l’on a introduit les champs magnétiques Bm, dû à l’aimantation, et Bext généré dans le vide par les sources de courant extérieures au matériau magnétique, on peut introduire une excitation magnétique Hm liée à Bm et une excitation magnétique Hext définies par :

)

(H M

B^m =µ_o ^m + Bext =µoH^a avec H = Ha + Hm, ( 28 )

Sachant que rotB^m =rotM , on a rotH^m =0.

Hm dérive d’un potentiel scalaire Φ_m c'est-à-dire Hm =−grad(Φ_m).

(Le choix du signe ‘-‘,dans cette expression, plutôt que le signe ‘+’, s’explique par le fait qu’une analogie avec le potentiel électrique V peut être opérée, ce qui permet d’utiliser des résultats de calcul correspondant au domaine de l’électrostatique).

Le calcul de H puis B, au moyen notamment d’un outil de calcul numérique, s’en trouve simplifié puisqu’il suffit de calculer la distribution d’un scalaire (et non pas d’un vecteur) pour obtenir Hm et de calculer Ha via la relation de Biot et Savart par exemple.

La distribution des grandeurs magnétiques H et B dépend :

- de la forme du matériau, qui va fixer le lieu où les conditions aux limites, à l’interface notamment entre le matériau et le vide, s’appliquent,

- de la loi de comportement magnétique du matériau M(B) ou M(H). Précisons ces points dans les deux paragraphes suivants.

1.3.2. Conditions aux limites

Les conditions divB=divB^m =divB^ext = 0 impliquent une continuité de la composante normale des champs B, Bext et Bm. Il suffit pour s’en convaincre d’exprimer le flux de divB au travers un volume cylindrique, de longueur infiniment petite, dont l’axe est normal à la surface du matériau magnétique (cf. Figure 4 (a)). Les relations rotBext =µorotH =µoJext conduisent à une continuité des composants tangentiels de H et Bext. Ceci se démontre en exprimant l’intégrale du flux de rotH au travers une aire délimitée par un contour fermé C traversant la surface du matériau sachant que en surface du matériau J^ext = 0 (cf. Figure 4 (b)). De la même manière, la relation rotB=µ_oJ conduit à une discontinuité de la composante tangentielle de B selon l’expression :

12 1

2

12 (B B ) M n

n ∧ − = ∧ , ^{( 29 )}

où n12 est un vecteur unitaire normal à l’interface dirigé du milieu 1 magnétique au milieu 2 le vide.

(a) (b)

Figure 4. Surface (a) et contour (b) utilisés pour déterminer les conditions aux limites de B _aux interfaces.

1.3.3. Susceptibilité magnétique

L’aimantation M acquise par un matériau soumis à un champ magnétique extérieur Bext est une fonction du champ magnétique B dans le matériau. Dans les milieux magnétiques linéaires, mais pas forcément homogènes ou isotropes, la relation entre M et B est tensorielle et s’exprime par :

[ ]

o B

M B

χ ⋅ µ

= ^{( 30 )}

où

[ ]

[ ]

(

)

H H

B _{o r}

B

o ⋅ = ⋅ ⋅

⋅ +

= µ µ

µ χ 1

1 _{( 31 )}

où le terme µr désigne la perméabilité relative du matériau magnétique.

En fonction de leur réponse au champ magnétique tous les matériaux peuvent être classifiés en trois groupes : les diamagnétiques, les paramagnétiques et les ferromagnétiques. Les corps diamagnétiques, constitués d’atomes dépourvus de moment magnétique intrinsèque, ont une susceptibilité magnétiqueχB <0, associée au fait que le moment induit, via la modification des orbitales électroniques, a un effet de sens opposé au champ source. En pratique la valeur de χ_B est très faible en valeur absolue (de l’ordre de 10^-5 à quelque 10^-3) sauf pour la phase supraconductrice. Dans ce dernier cas l’induction interne, au delà de la profondeur de pénétration de London devient nulle, menant à χB =−1. Un volume de matériau supraconducteur expulse les lignes de champ magnétique. Lorsque des atomes et/ou molécules possèdent un moment magnétique intrinsèquem_i, un couple existe entre m_i et le champ externe. Son résultat est d’aligner le champ induit avec l’excitation, en compétition avec l’effet de la température qui mène à une équirépartition des directions desm_i. Dans cette limite, qui suppose une interaction très faible entre chaque moment, la susceptibilité est alors positive, et la tendance de ces corps est à concentrer les lignes de champ magnétique (voir sur la Figure 5). Pour ces substances, dites paramagnétiques, le champ induit a la même direction que le champ externe. Les substances paramagnétiques ’’attirent’’ des lignes du champ magnétique externe. Enfin, les substances dites ferromagnétiques ou antiferromagnétiques présentent une aimantation macroscopique spontanée en absence de champ magnétique externe. Les atomes et molécules des ces substances possèdent des moments magnétiques, mais ces moments sont en interaction mutuelle forte. En conséquence, le champ intérieur induit dans ce type des matériaux peut être considérablement plus important que le champ externe. Les lignes du champ magnétique externes sont aussi déformées par les matériaux ferromagnétiques.