A la recherche de l'inégalité perdue

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A la recherche de l’inégalité perdue

Grégoire Allaire

To cite this version:

Grégoire Allaire. A la recherche de l’inégalité perdue. Matapli, Société de Mathématiques Appliquées

et Industrielles (SMAI), 2012, pp.52-64. �hal-01111806�

GrégoireAllaire

∗

15 mai2012

Résumé

A l'oasion duentenaire dela disparitionde Henri Poinaréon

s'intéresseàl'originedelaélèbreinégalitédePoinaré,siutiledansl'-

analysedeertaineséquationsauxdérivéespartielles.Commesouvent

enmathématiqueslesbonsrésultatsnesontpasattribuésauxbonnes

personnes...Enfait,etteinégalitéestprobablementdue àNeumann,

ShwarzouSheeeret ondoitplutt àHenriPoinaréunevariante,

appeléeommunémentinégalitédePoinaré-Wirtinger.Sadémonstra-

tionoriginaleesttrèsintéressantearelleestonstrutive,auontraire

d'unedémonstrationultérieureparontradition,utilisantlethéorème

deompaitédeRellih,quel'ontrouvedésormaisdanslaplupartdes

ouvrages sur les équations aux dérivées partielles. La motivation de

etteinégalitéest l'étude des valeurspropreset fontionspropresdu

Laplaien.

1 Introdution

Il existe une multitude d'artiles et de livres présentantet disu-

tant les nombreux travaux mathématiques de Henri Poinaré 1

et il

est fort diile d'apporter une ontribution originale à la onnais-

sane de l'oeuvre de Poinaré, surtoutpour un modeste amateur en

histoire des mathématiques omme je le suis... Néanmoins, puisque

l'Eole Polytehnique, où fut formé Henri Poinaré, se doit de par-

tiiper auxélébrations du entenaire de son déès, je me suis laissé

alleràunélandeuriositéet j'aivouluensavoirplussursestravaux

dansledomainedeséquationsauxdérivéespartiellesetplusspéique-

mentsurl'originedesaélèbreinégalité,enseignéeàtouslesétudiants

s'intéressant aux équations aux dérivées partielles. S'il n'est pas for-

émentfailed'avoiraèsauxpubliationsoriginalesdePoinaré,on

peut ependant les déouvrir dans l'édition des oeuvres de Poinaré

[15℄,entrepriseparlasetiondegéométriedel'AadémiedesSienes

∗

CMAP, Eole Polytehnique, Route deSalay, 91128 Palaiseau Cedex Frane (gre-

goire.allairepolytehnique.fr)

1. HenriPoinaré,mathématiienfrançais,néle29avril1854,déédéle17juillet1912,

polytehniiendelapromotion1873.

rééditéesenfa-similéparleséditionsJaquesGabay.LestomesIXet

XdesoeuvresdePoinaré[15℄regroupentsesartilessurleséquations

aux dérivées partielles et la physique mathématique. Ses travaux en

physiquemathématiqueouvrentprinipalementl'életromagnétisme,

la théorie inétique des gaz, la physique statistique et la thermody-

namiqueainsiquelaphysiquedesquanta.LesartilesdePoinaréne

sontpastoujourstrèsfailesàliresuressujets,enpartieparequele

formalismedeesthéories,trèsréentesàl'époque,abeauouphangé.

Parexemple,iln'estpastoujoursfailedereonnaitreleséquationsde

Maxwell de l'életromagnétismedans ertains érits...Fort heureuse-

ment,ertainsysontarrivésmieuxquemoietjerenvoieàl'analysede

l'équationdestélégraphistesparJeanMawhin[10℄ouàl'étuded'Yves

Pomeau danslehapitre18de[5℄.Ilestbien plusaisédelirelesarti-

lesdePoinaréonsarésauxéquationsauxdérivéespartielles.Bien

queplusieursauteurs,notamment,etenore,JeanMawhin[8℄,[9℄,les

aient déjà analysés ave beauoup de pertinene, 'est néanmoins e

que je vaisfaire ii de manière plus modeste et unpeu anedotique.

SuivantunexposéremarquabledeLaurentShwartz 2

en1954lorsdes

érémoniesduentenairedela naissanede Poinaré [17℄, je vaisme

onentrer surtroisartilesfondamentauxdePoinaré[12℄, [13℄,[14℄,

parusentre 1890et 1897.Notonsque Poinaréaéritune analysede

sesproprestravauxsur lesujet [16℄ qui permet de s'y retrouverplus

failementdanslaprogressiondesesidées.

Ces trois artilessontonsarés prinipalementàdeux problèmes

importants: d'une part leproblème de Dirihlet 3

, d'autre partl'ex-

istene de valeurspropres et de fontionspropres pourle Laplaien.

Dans tout e qui suit on désigne par

Ω

^{un ouvert borné régulier de}

R

^{N (supposéonnexepoursimplier).DansleproblèmedeDirihlet,}

étantdonnéeune fontion

g(x)

^{dénie surle bord de}

∂Ω

^{,il s'agit de}

trouverlasolution

u(x)

^dans

Ω

^{duproblèmeauxlimites}

−∆u = 0

^dans

Ω,

u = g

^sur

∂Ω.

⁽¹⁾

Onsait queRiemann 4

proposade trouverlasolutionde(1) enher-

hantlasolutionduproblèmedeminimisation

inf Z

Ω

|∇v|

²

dx

^ave

v

^telque

v = g

^sur

∂Ω

.

⁽²⁾

Malheureusement,Weierstrass 5

trapidementremarquerqu'ilyavait

une diulté essentielle dans le raisonnement de Riemann, à savoir

2. Laurent Shwartz,mathématiien français, néle 5 mars 1915 etmort le 4 juillet

2002,lauréatdelamédailleFieldsen1950.

3. JohannPeter Gustav LejeuneDirihlet,mathématiien allemand, néle 13février

1805etdéédéle5mai1859,élèbrepoursestravauxenanalyseetenthéoriedesnombres.

4. Georg FriedrihBernhard Riemann,mathématiien allemand, néle 17 septembre

1826etmortle20juillet1866,spéialisted'analyseetdegéométriediérentielle.

5. KarlWeierstrass,mathématiienallemand,néle31otobre1815etmortle19février

1897,undespèresdel'analyse.

inférieure) de la fontionnelle dans (2). On sait depuis que la dé-

monstrationrigoureusedel'existened'un minimisateurde (2)nées-

site des outils d'analyse fontionnelle inonnus à l'époque. Les pre-

mières démonstrationsde l'existened'une solution de (1) sont dues

àNeumann 6

en utilisant lanotion de potentiel de double ouhe et

àShwarz 7

qui proposa une méthode itérative de onstrutionde la

solutionà partir de deux solutionsonnues sur deux sous-domaines.

Poinaréproposaunenouvelleméthodepourrésoudre(1),diteméth-

odedu balayage,qui généralisait les résultats de Neumann, alorsre-

streintsauasdedomaines

Ω

^{onvexes,àtoutdomaineonnexe.Nous}

renvoyons à[9℄ pour plusde détails sur la tehniquedu balayage de

Poinaréquin'apaseulaféonditéetlapostéritéqu'aeulaméthode

de Neumann, à l'origine de la théorie du potentiel et des équations

intégrales,développées notammentparFredholm 8

[6℄.

LedeuxièmeproblèmeétudiéparPoinaréestleproblèmespetral

−∆u

j

= k

j

u

j ^dans

Ω,

∂uj

∂n

+ hu

j

= 0

^sur

∂Ω,

⁽³⁾

où

k

j

∈ R

^{estunevaleurpropreet}

u

j

(x)

^{unefontionproprenonnulle}

(dansertains de ses artilesPoinaré appelent les fontionspropres

"fontions fondamentales" et dans d'autres, omme [13℄, "fontions

harmoniques"àausedesharmoniquesd'unson).Leparamètre

h

^ap-

partientà

R

^{+etlesdeuxvaleursextrêmes}

h = 0

^,

h = +∞

^permettent

de retrouverles onditionsaux limites de Neumann ou de Dirihlet,

respetivement.Nous étudieronse problèmespetralunpeu plusen

détailsdanslasetion4.Pourl'instant,ontentonsnousderemarquer

qu'enmultipliantl'équationde(3) par

u

j ^{etenintégrantparparties,}

onobtientune formulepourlavaleurpropre

k

j

= R

Ω

|∇u

j

|

²

dx + h R

∂Ω

|u

j

|

²

ds R

Ω

|u

j

|

²

dx .

⁽⁴⁾

EnétudiantlequotientdeRayleigh 9

dénipar(4),Poinarévaintro-

duiredesinégalitésentre numérateuret dénominateurpourdesfon-

tionsquelonques,an dedonnerdesbornesauxvaleurspropres.Ces

inégalitésportent désormais le nom de Poinaré et 'est sur elles-i

quejevoudraisonsarerlamajeurepartiedemonexposé.Demanière

surprenante,l'inégalité "lassique"dePoinarénesetrouvepasdans

lestravauxdePoinaré!C'estpluttunevariante deelle-i,l'inégal-

itédePoinaré-Wirtingerquel'ontrouvedans [12℄,[13℄.Ilsemblerait

6. CarlGottfriedNeumann,mathématiienallemand,néle7mai1832 etmortle27

mars1925,pionnierdelathéoriedeséquationsintégrales.

7. HermannAmandusShwarz,mathématiienallemand,néle25janvier1843etmort

le30ovembre1921,spéialisted'analyseetdegéométrie.

8. IvarFredholm,mathématiiensuédois, néle7avril 1866 etmort le17août1927,

pèredelathéoriedeséquationsintégralesetdelathéoriespetrale.

9. John WilliamStrutt,LordRayleigh,physiienanglais, néle12novembre1842 et

déédéle30juin1919,prixNobeldephysiqueen1904.

ertainement, à Shwarz. En tout as, on la trouve de manière er-

taine,endimension und'espae, dansun artilepostume de1886 de

Sheeer 10

[19℄. Ilarrivesouventenmathématiquesquedesrésultats

nesoient pasattribués àeuxqui les ontdéouverts mais àeuxqui

lesontpropagés...

2 Inégalité de Poinaré

Commençonspar rappeler e qu'il est onvenu d'appeler l'inégal-

ité de Poinaré [4℄, [18℄. On rappelle que

H

¹

(Ω)

^{désignel'espae de}

Sobolev 11

desfontionsdearrésommableainsiquetoutesleursdérivées

premières.Demême,

H

₀¹

(Ω)

^{désignelesous-espaede}

H

¹

(Ω)

^onstitué

desfontionsquis'annulentsurlebord

∂Ω

^{.Bienentendu,esespaes}

étaientinonnusàl'époquedePoinaré...

Lemme1. Soit

Ω

^unouvertde

R

^{N bornédansaumoinsunediretion}

del'espae.Ilexisteuneonstante

C > 0

^{telleque,pourtoutefontion}

v ∈ H

₀¹

(Ω)

^,

Z

Ω

|v(x)|

²

dx ≤ C Z

Ω

|∇v(x)|

²

dx.

⁽⁵⁾

Démonstration. Parun argument standarddedensité il sut de dé-

montrer (5) pour une fontion régulière

v ∈ C

¹

(Ω)

^{s'annulant sur le}

bord

∂Ω

^{. On peut l'étendre parontinuité par zéro en dehors de}

Ω

^.

L'hypothèsesurle aratèreborné de

Ω

^{dit(après une éventuellero-}

tation) que pourtout

x ∈ Ω

^{la première omposante}

x

1 ^{est bornée,}

−∞ < a ≤ x

1

≤ b < +∞

^.Pourtout

x ∈ Ω

^ona

v(x) =

Z

x₁

a

∂v

∂x

1

(t, x

2

, ..., x

N

) dt,

d'oùl'ondéduitparl'inégalitédeCauhy-Shwarz

|v(x)|

²

≤ (b − a) Z

b

a

∂v

∂x

1

(t, x

2

, ..., x

N

)

2

dt.

Intégrantsur

Ω

^onobtient

Z

Ω

|v(x)|

²

dx ≤ (b − a) Z

Ω

Z

b

a

∂v

∂x

1

(t, x

2

, ..., x

N

)

2

dt dx,

etpermutantlesdeuxintégrationsparrapportà

t

^et

x

1^,ononlut

Z

Ω

|v(x)|

²

dx ≤ (b − a)

²

Z

Ω

∂v

∂x

1

(x)

2

dx ≤ (b − a)

²

Z

Ω

|∇v(x)|

²

dx.

Onremarqueaupassagequelaonstante

C

^dansl'inégalitédePoinaré (5)estpluspetitequelearrédudiamètrede

Ω

^.

10 . LudwigSheeer,mathématiienallemand,néle1erjuin1859etdisparuprématuré-

mentle11juin1885,élèbrepouruneversionduthéorèmedesaroissementsnisvalable

pourdesfontionsontinuesnondérivablessurunensembledénombrable.

11 . SergueïLvovithSobolev,mathématiien russe,né le6otobre 1908 etmortle 3

janvier1989,spéialisted'analysefontionnelleetd'équationsauxdérivéespartielles.

férieurepourlapremièrevaleurpropre

k

1^{de(3)pourleasdesondi-}

tionsauxlimitesdeDirihlet(

h = +∞

^),àsavoir

k

1

≥ 1/C

^.Enfait,si

onherhelameilleure onstante ('est-à-direlaplus petite telle que

(5)aitlieu),alorsilestfailedevoirqu'ils'agitjustementdel'inverse

delapremièrevaleurpropre

k

1^{duLaplaienaveonditionauxlimites}

deDirihletdans

Ω

^{.Commenousleverronsdanslasetion4Poinaré}

s'est intéressé à l'existene des valeurspropres du Laplaien,mais il

reonnaitque'estShwarzquiadémontrél'existenedelapremière

valeurpropre.OnpeutdonattribueràShwarzl'inégalitédePoinaré

(5)(maisje n'aipaspuvérierefaitdanssesartilesoriginaux).

Dans l'approhe moderne des équations aux dérivées partielles le

rlepremierdel'inégalité dePoinaréestdepermettrederésoudrele

problèmedePoisson 12

−∆u = f

^dans

Ω,

u = 0

^sur

∂Ω.

⁽⁶⁾

On passe du problème de Dirihlet (1) à elui de Poisson (6) par

un relèvement de la ondition aux limites. Pour montrer l'existene

d'unesolutionde (6), parexemplepar lethéorème dereprésentation

deRiesz 13

,ilfautprouverqueleproduitsalaireissudelaformulation

variationnellede(6),àsavoir

hu, vi = Z

Ω

∇u(x) · ∇v(x) dx,

estéquivalentauproduitsalaireanoniquedel'espae

H

¹

(Ω)

^,

hu, vi

H¹(Ω)

=

Z

Ω

∇u(x) · ∇v(x) + u(x) v(x) dx,

etl'inégalitédePoinaré(5)est lalé deetteéquivalene.Nousren-

voyonsauxbonsouvragespourlesdétails [4℄,[18℄.

3 Inégalité de Poinaré-Wirtinger

Si Poinarén'estpasàl'originedel'inégalitéde Poinaré,il apar

ontreétabliuneautreinégalitéélèbre,appeléemaintenantinégalité

dePoinaré-Wirtinger.Danslesdeux artiles[12℄, [13℄il propose une

démonstrationonstrutive,reproduitei-dessous,deetteinégalitéde

Poinaré-Wirtinger.EllefutindépendemmentdéouverteparWilhelm

Wirtinger 14

, sans référene préise dans la littérature, mais elle est

12 . SiméonDenisPoisson, mathématiien français, néle21 juin 1781 etdéédéle 25

avril1840,élèbre poursesontributionsengéomètrieetenphysique.

13 . FrigyesRiesz,mathématiienhongrois,néle22juin1880etmortle28février1956,

undesfondateurs del'analysefontionnelle.

14 . Wilhelm Wirtinger, mathématiien autrihien, né le 15juillet 1865 etmort le 15

janvier1945,onnupoursesontributionsengéométriediérentielle.

mentionnéeàlapage105dulivredeBlashke [3℄.Elleestaussiutil-

isée impliitementpar Adolf Hurwitz 16

pourdémontrer unthéorème

isopérimétrique[7℄.Onlatrouveàlamêmeépoque,indépendemment,

dansunartiledeEmilioAlmansi 17

[1℄.Commemel'afaitremarquer

Jean Mawhin, la diérene entre l'inégalité de Wirtinger et elle de

Poinaré,quenousallonsvoiri-dessous,estquelapremièreestétablie

pour des fontionsdénies sur la sphère unité alorsque la deuxième

l'estpourdesdomainesonvexes(elles neoinidentqu'endimension

d'espae

N = 1

^{). En dimension}

N = 1

^la démonstration usuelle de l'inégalitédeWirtingerest onstrutiveet relativementfaileenutil-

isantl'analysedeFourier 18

.

L'énonéproposéparPoinaréestlesuivant.Notonsqu'ilsuppose

le domaine onvexe alors que le résultat reste vrai pour un domaine

onnexe(aveuneautredémonstration).

Lemme 2. Soit

Ω

^{un ouvert borné, régulier et onvexe de}

R

^{N. On}

désignepar

V

^l'espae

V = {φ ∈ H

¹

(Ω)

^telque

Z

Ω

φ(x) dx = 0}.

Ilexisteune onstante

0 < C ≤ 2

^N−1

d(Ω)

^{2 telleque, pourtoutefon-}

tion

v ∈ V

^,

Z

Ω

|v(x)|

²

dx ≤ C Z

Ω

|∇v(x)|

²

dx.

⁽⁷⁾

Démonstration. Enoreunefois,parunargumentstandarddedensité

ilsut de démontrer (7)pourune fontionrégulière

v ∈ V ∩ C

¹

(Ω)

^.

L'idéeingénieusedePoinaréestderemarquertoutd'abordque,pour

tout

v ∈ V

^,ona

Z

Ω

Z

Ω

v(x) − v(x

^′

)

2

dx dx

^′

= 2|Ω|

Z

Ω

v

²

(x) dx

⁽⁸⁾

puisque

v

^{est àmoyennenullesur}

Ω

^{.Ensuite, grâe àlaonvexitéde}

Ω

^{, il remarque que, pourtout ouple depoints}

x, x

^′

∈ Ω

^{,le segment}

(x, x

^′

)

^{estinlus dans}

Ω

^etona

v(x) − v(x

^′

) = Z

1

0

(x − x

^′

) · ∇v(tx + (1 − t)x

^′

) dt.

Enélevantauarré,l'inégalitédeCauhy-Shwarzonduità

|v(x) − v(x

^′

)|

²

≤ d(Ω)

²

Z

1

0

|∇v(tx + (1 − t)x

^′

)|

²

dt,

15 . WilhelmBlashke,mathématiienautrihien,néle13septembre1885etmortle17

mars1962,spéialistedegéométriediérentielle

16 . AdolfHurwitz,mathématiienallemand,néle26mars1859etmortle18novembre

1919,spéialiste degéométrieetdethéoriedesnombres.

17 . Emilio Almansi, ingénieur et mathématiien italien, né le 15 avril 1869 et mort

le 10 août 1948, spéialiste de géométrie diérentielle et d'appliations aux problèmes

d'élastiitéengrandesdéformations.

18 . JosephFourier,mathématiienetphysiienfrançais,néle21mars1768etmortle

16mai1830,inventeurdel'analysedeFourierpourétudierlapropagationdelahaleur.

où

d(Ω) = sup

_x,x′∈Ω

|x − x

^′

|

^{désignele diamètre de}

Ω

^{. Onen déduit}

alors

Z

Ω

Z

Ω

|v(x)−v(x

^′

)|

²

dx dx

^′

≤ d(Ω)

²

Z

Ω

Z

Ω

Z

1/2

0

+ Z

1

1/2

!

|∇v(tx+(1−t)x

^′

)|

²

dt dx dx

^′

.

Par symétrieona

Z

Ω

Z

Ω

Z

1/2

0

|∇v(tx+(1−t)x

^′

)|

²

dt dx dx

^′

= Z

Ω

Z

Ω

Z

1

1/2

|∇v(tx+(1−t)x

^′

)|

²

dt dx dx

^′

,

etdon

Z

Ω

Z

Ω

|v(x)−v(x

^′

)|

²

dx dx

^′

≤ 2d(Ω)

²

Z

Ω

Z

Ω

Z

1

1/2

|∇v(tx+(1−t)x

^′

)|

²

dt dx dx

^′

.

ParFubinionpeutéhangerl'ordredesintégralesen

t

^et

x

^.Pour

t

^xé

dans

[1/2, 1]

^{,lehangementdevariables}

x ˜ = tx + (1 − t)x

^{′ onduità}

Z

Ω

|∇v(tx + (1 − t)x

^′

)|

²

dx = 1 t

^N

Z

ω

|∇v(˜ x)|

²

d˜ x

où

ω = tΩ + (1 − t)x

^{′ estun}sous-ensemblede

Ω

^(ar

Ω

^estonvexe).

Onpeutdonmajorer,pour

t ≥ 1/2

^,

Z

Ω

|∇v(tx + (1 − t)x

^′

)|

²

dx ≤ 2

^N

Z

Ω

|∇v(˜ x)|

²

d˜ x.

Autotal,onaobtenu

Z

Ω

Z

Ω

|v(x) − v(x

^′

)|

²

dx dx

^′

≤ 2

^N

d(Ω)

²

2 Z

1

1/2

Z

Ω

Z

Ω

|∇v(x)|

²

dt dx dx

^′

≤ 2

^N

d(Ω)

²

|Ω|

Z

Ω

|∇v(x)|

²

dx,

e qui onduit, par ombinaison ave (8), à l'inégalité de Poinaré-

Wirtinger(7).

En vérité ladémonstration dePoinaré dans[12℄ est un peu plus

omplexe ar il utilise un autre hangement de variables à base de

oordonnéessphériques.

LadémonstrationduLemme2fournituneonstante

C = 2

^N−1

d(Ω)

²

dansl'inégalité(7)quin'estpasoptimale.Onpeutlégèrementl'améliorer

enalulantuneprimitivede

t

^{−N,equidonne}

C = (2

^N−1

−1)d(Ω)

²

/(N−

1)

^{.C'esttoujoursmoinsbienquelesonstantestrouvéesparPoinaré}

dans[13℄,

C = 7d(Ω)

²

/24

^{en dimension}

N = 2

^et

C = 9d(Ω)

²

/16

^en

dimension

N = 3

^{.C'estenoreloindelaonstantetrouvéeparPayne}

etWeinberger[11℄,aveunedémonstrationorrigéeparBebendorf[2℄,

quiest

C = d(Ω)

²

/π

^{2 entoutedimension(pourundomaineonvexe).}

Cettedernièreonstanteestoptimalesionsouhaitequ'ellenedépende

quedudiamètre

d(Ω)

^.

Biensûr,pourhaquedomaine

Ω

^{il existeuneonstanteoptimale}

dans (7) ('est-à-dire la plus petite possible) qui est enore l'inverse

propre

k

2 ^{duLaplaien ave onditionaux limites deNeumann dans}

Ω

^,'est-à-direquand

h = 0

^{(lapremièrevaleurpropre}

k

1

= 0

^estnulle

avelafontionpropreassoiéeonstante).

LeLemme2est énonépourdesouvertsonvexesuniquement(et

ladémonstrationutilisefortementettehypothèse).Ladémonstration

usuelle de l'inégalité de Poinaré-Wirtinger(7) est valable pourtout

ouvert borné onnexe (mais pas forément onvexe), n'est pas on-

strutive(ausensoù ellenedonne auuneestimation sur lataille de

la onstante

C

^{) et repose sur un argument de ompaité. Dérivons}

brièvement ettepreuve par ontradition. Supposons que l'inégalité

(7)soitfausse:ilexistedonunesuitedefontions

v

n

∈ V

^telleque

Z

Ω

|v

n

(x)|

²

dx = 1

^et

Z

Ω

|∇v

n

(x)|

²

dx = 1/n.

La suite

v

n ^{étant bornée dans}

H

¹

(Ω)

^{, par appliation du théorème}

deompaité de Rellih 19

[4℄, on peut en extraireune sous-suite

v

n^′

quionverge(fortement)versunelimite

v

∞ ^dans

L

²

(Ω)

^.Comme

∇v

n

onverge manifestement vers zéro dans

L

²

(Ω)

^{N, on en déduite que}

∇v

∞

= 0

^et,

Ω

^{étant onnexe, que}

v

∞ ^{est une fontion onstante.}

Commeelleappartientàl'espae

V

^puisque

v

n

∈ V

^,

v

∞^{doitêtrenulle}

equiest uneontraditionavelefaitque

Z

Ω

|v

∞

(x)|

²

dx = lim

n^′→+∞

Z

Ω

|v

n^′

(x)|

²

dx = 1.

Dans le hapitre IV de [14℄ Poinaré propose une généralisation

duLemme 2 qui antiipe les théorèmesde trae pourles espaes de

Sobolev.Nousnousontentonsd'énonererésultati-dessous.

Lemme3. Soit

Ω

^{unouvertborné,régulieretsimplementonnexede}

R

^{N.Ondésigne par}

W

^l'espae

W = {φ ∈ H

¹

(Ω)

^telque

Z

∂Ω

φ(x) ds = 0}.

Ilexisteune onstante

C > 0

^{telleque, pourtoutefontion}

v ∈ W

^,

Z

∂Ω

|v(x)|

²

ds ≤ C Z

Ω

|∇v(x)|

²

dx.

4 Valeurs propres et fontions propres du

Laplaien

LamotivationdePoinarépourdémontrer leLemme2est l'étude

desvaleurspropresetdesfontionspropresduLaplaien,solutionsde

(3).Dans[12℄ilappelleleproblèmespetral(3)"problèmedeFourier"

(ourefroidissementd'unorpssolide)ar,parséparationdesvariables

19 . Franz Rellih, mathématiien autrihien, né le 14 septembre 1906 et mort le 25

septembre1955, spéialisted'équationsauxdérivéespartielles.