Devolution of a problem and construction of a conjecture, the case of the sum of the angles of a triangle

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conjecture, the case of the sum of the angles of a triangle

Nicolas Balacheff

To cite this version:

Nicolas Balacheff. Devolution of a problem and construction of a conjecture, the case of the sum of the angles of a triangle. 2020, 50 p. �hal-01117320�

IlI'lIVEIlSITE PARIS 'Ill

DEVOLUTION D'UN PROBLEME ET CONSTRUCTION D'UNE CONJECTURE LE CAS DE "LA SOMME DES ANGLES D'UN TRIANGLE~

PAR N. BALACHEFF

FEVRIER 1987

Dévolution d'un problème et comtmction d'une conjecture Le cas de c la somme des angles d"un triangle"

N. Balachell Eqlllpededida<:tique de!'! mathématique) etdel' informatique Université de Grenoble 1 BP 68 38402 St MARTIN D'HERES CEDEX

1 : Introduction

1.1" La comtruction d'une situation de validation en cinquième . L'obio.t d~ l'o~ration de ~œrcœ 9œ no", prèsenlons ici est d'analyser les contraintes !tees a la reahsation d uœ Slbntion dans laquelle des élèves, qui n'ont pas ercore étu:lié la notion de démonstration, aient à émettre uœ conjecture et à considérer le problème d'en fournir uœ preuve. Le cadre général dans leqœl nous nous plaçons est cehl! qœ rourm la théorie des sibntions didactiqœjde Brousseau (1986), dont nous

avo~ montré ailleurs (Balocbeff 1987) en quoi eUe est pertiœnte pour des recbercœs sur 1 ensetgœnt de la démonstration à ces niveaux scolaires. Au plan épistémologiqœ nous nous appuyons sur lBS tœses de Laltalos (1976).

Si l'apprentissage de la démonstration peut être, comme pour d'autres notions matœmatiqœs, abordé d'un point de vue constru:tiviste, la dimension sociale joœ dans son cas un rôle unportant; notamment pour ce qui est des implications du contrat

~actiqœ .. C'~ plus particulièrement sur ce point que porte l'analyse qœ nous présentons ^{ICl •} propos de la cons1nJ:tion et de l' o1Jservation d'uœ séqœœe didactique particulière, en classe de cinquième.

Uœ première contrainte sur la situation de validation qœ nous voulons constnnre, est qœ les élèves aient effectiwmentla responsabilité de la formulation de la coni""ture. Eneff~~ si elle étaiténoœée par le,professeur, alors eUe perdrait aussitôt son venlable caroclére de conpture pour les élèves. lis œ pourraient 1. considérer qœ ~mme un énoocé vrai et pas seulement fortement plausible. Par ailleurs le probleme pourrmt devemr cellll de la recbercœ d'uœ preuve convenœ et non celui de

2

l'élablissl;ment,de la 'llirité d'~ énoocé. Rap~lons de plus qœ le statut de CODpture pour un enonce est un statut tr1ls forl Il œ S agit pas d'uœ simple spéculation, mais

~'~ éno~ sur la 'llirité dtqœll'ensemble de la classa s'engaj,'ll. Il faut doœ qu'il ait elé formule par eUe et qœ se forrœ un consensus sur celle formulation. Cala œ signifie pas pour autant qœ l'ensemble de la classe ait uœ position uniqœ sur sa validité les recœrcœs peuvent porter aussi bien sur des preuves qœ sur des contre-eJœmples. '

. . La compl""!té de la réalisation d'uœ telle situatioD tient à l'exil5"W' de

~alisal!on : il s "8't non seulement qœ les élè.",. s'approprient le problèrœ indiVldœllement ^IDa1S eœore qu'ils en partagent la signification.

Le problème, ,'il, œ peut êtra formulé par le professeur, œ peut alors que provemr delaconfronlation des élèves à uœ situation spécifique de 1. conjecture vi,.",.

Nous cOllSlderons avec Mach (1908) qœ la source d'un problème est "le dJisID:ord entra les pensées et les faits, ou le désaccord des pensées entra eUes" (ibid., p. 254).

MatS il faut qœ ce désaccord SOit inévilablerœnt remarqué par les élèves, qu'il soit nettement reconnu, pour qœ le problème puisse être formulé. Pour cela uœ situation f.vorable est notamrœnt celle où les élè.",. disposent de coœeptions erronées ou lIl:omplète ^IDa1S assez stables, associées à des théorèmes·en-acte assez solides pour qœ la confronlallon aux faits ou à d'autres coœeptions cooouisent effectivement à des questioœ. Cas coœeptioœ doivent êtra te.lles qu'elles perrœllent des anticipations susceptibles d'étra rèfutées.

La formulation d'uœ conjecture peut êtra d'uœ grande complexité par les cons1nJ:tions cognitives qu'elle demande, par la reconrmisance des objets de savoir et des rel."tions qu:elle requiert. Nous souhaitons au niveau qui nous intéresse (la classa de CIDjllleme) rrumllllser la part pme par ces problèmes de formulation, tant au plan de la laJl81.l! naturelle qu'à celui celui des constru:tions symboliqœs.

Sous ces contrainles nous avons retemlle théorème sur l'invariance de la somme des mesures des angles d'un triangle. D'uœ part, l'idée de la possibilité d'un tel invariant ne devrait pas manqœr de défier la coœeption répandœ ciEZ les élèves de ce niveau (cf. ci-<lessous § II, 1.2,), selon laqœlle la valeur de cette somme dépend de la

« lollle » du triangle. Nous concewons uœ siÙll1tion partœtlant celle confrontation.

D'autre ^part nous peœoos qœ la formulation de 1. proposition: « la somme (des mesures) des angles d'un triangle est 180" », est d'uœ faible complexité langagière ; elle devrait être à portée d'élèves de cinquième.

Enfin celle propriété est susceptible de preuves variées par leur contenu et par leur niveau, dont nous prèsenteroœ ci-<lessous les principaux types. Calle richesse perrœt d'envisager de parcourir l'ensemble du processus de la constru:tion de la conjecture jusqu'à son établissement comme théorème, qœlle qœ soit par ailleurs la diwrsité des classes qœ nous pourroœ observer.

DIOIRfM 0·39 :3 février 1987

1.2. Remarques prealables sur ^UDe approche classique .

Une autre origiœ du choix de ce problèIne est une observation d'une situation de classe portant sur la somme des rœsures des angles d'un triangle, rapportée par des étudiants (F. Barracbin et P. Bou:het) de notre cours de didactique des matbématiqœs en 1983.

Ces étudiants aYaient a<sisté à une leçon suivant un schéma classique, pour le théoréme qui nous mtJiresse, qui consiste à appll}'9r l'énoncé de la conjecture sur une constatation expériInentale, puis à demander aux élèves d'en adInettre la véritJi fauta de pouvoir en établir la preuve (au niveau concerné de la classe de cinquième). Voici ce qu'ils rapportent:

"Le professeur fait tracer à cb&jœ élève un triangle, et mesurer les angles à l'aide d'un rapporteur. Il apparaitalors des difficultés de mesure de plusieurs types :

-les enfants ne savent pas placer le zéro du rapporteur ; - ils ne comprennent pas pourquoi il faut aligner le rapporteur sur un côtJi du triangle;

- si le triangle est plus petit qœ le rapporteur ils ne comprennent pas pourquoi il faut prolonger les côtés du triangle pour lire l'angle.

[ ... ] Le professeur fait calculer la somme des angles, et cœcun va

marqœr ses résultats au tableau. Les élèves remarquentd'eux-m\Ine qœ les résultats sont souvent autour de 179', 180", 181", 182", awc une prédominance de 182".

Le professeur fait refaire les mesures à ceux qui ont trouvé une SOffiIne éloignée de 180" (165", 228", ... ).

Le cours suivant commence par une reprise du cours précédent: les élèves recOffiInencent le m\me travail. Cette fois ils trouvent tous une somme des angles comprise entre 178" et 184", et la moyenne des résultats est de 182" [ ... ] (nous avons entendu plusieurs élè\l\!S dire à leurs voisins pendant qu'ils rœsuraient les angles, qu'il fallait trouver 182").

[ .. ] Puis le professeur annonce que la SOffiIne des angles d'un triangle est de 180", d'où de vives réactions de la part des élèves. Ils sont sceptiques et invoqœnt les argmnents suivants: "on ne trouve pas 180"

en rœsurant", "si le triangle est grand ça devrait faire plus", "l'an prochain on nous dira qœ c'est 183"". Le premier argmnent est celui apparu le plus massivement"

Il s'agit là d'une approcœ très répandœ: aprés quelijues mesures, le faitqœ le résultat devrait être 180" est révélé, accompagné ou non de la présentation d'une

OIDiREM 0'39 :3 fé...,.UIf' 1987

preuve. Le fomement de cette approche tient à une cooception simpliste de la relation entre l'action et la pensée qui fait attendre l'émergence naturelle de la conjecture de l'observation de quelques rœsures. Mais, comme le montre Iaséqœnce d'enseignmœnt rapportée ci-<lessus, les choses ne sont pas si simples. Les cooceptions des élèves, qm ne sont pas ici suffisamment prises en compte, résistent fortement à leur transformaUon.

L'idée que les grandeurs associées à un triangle sont des fonctions croissantes de sa

« taille », constitua, du fait de sa validité pour l'aire et le périmètre, une véritable connaissonce qui ici.s'érige en obstacle. Par Ililleurs, le contnrt didactique et.wc lm l'idée de l'existence de réponses convenues ou ad hoc, crée un obstacle d'une autre nature en conduisant des élèves à régler leur conduite sur des indices nonintrinsèqœs à la connaissance visée. Le problèIne se pose alors de la signification du théoréIne pour les élèves lorsqu'il leur sera donné pour tel, notamInent la qœstion de savoir de qœlle t'lçon il prendra place parmi leurs connaissances antérieures et le statut de la preuve apportée finalement par l'enseignant.

L'un des objectifs de l'opération de recherche qœ nous présentons ici est de montrer comment l'analyse didactiqœ éclaire cette complexité et apporte des éléInents de réponse quant aux conditions de la construction d'une conjecture dans la classe et à son établissement comme théorèIne.

Il : Conceptiom de l'angle et preuves du théorème

11.1. Déftnitions mathématiques et conceptions de l'angle

IL LI_ Les principales définitions

Une étnde historiqœ de la notion d'angle dépasserait le cadre du travail dans lequel nous nous SOffiIneS engagé. Notre propos se limite ici à dessiner les contours de cette notion en relevant qœlques jalons historiques, noUS elllllIliœrons ensuite les cooceptions des élèves et les preuves possibles du théoréme qui nous intJiresse.

Nous laissons délibéréInent de côtJi les définitions algébriqœs et les considérations sur les rœsures des angles, de m\me qœ les notions d'angle orienté ou d'angle de wcteur; en qœlijœ sorte nous nous limitons à la géométrie plane élémentaire. De m\Ine nous avons laissé de côté la discussion sur la confusion qœ l'on peut parfois rencontrer entre les notions d'angle et de mesure d'angle.

OIOlREH 0'39 :3 février 1987

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Nous distiIJ8uons quatre types priIripaux de définitions, nous siturons les défmitions modernes de l'angle en larme de classe d'équivaleœa ralatiwrœnt il cas types :

-l'angle, inclinaison d'une droite sur une antre

C'est la défmition classiqœ des Ep.J1JP.o1s d'Eœ.IJde; on en trouve diverses formulations dans les multiples éditions des " Elérnents" , nous avons cooisi de rapporter ici I.lradoction en frru>;ais la plus récente dœ il Karos (1978, p.l) :

"l'angJa pl.w est l'iœlinaison mutuelle de deux lignes coplanaires qui se reocontrent sans étre colinéaires "

Comrœ le souligne Smith (1925, p. m) cette définition e,,"lut les angles ^BR. Nous ajouterons qu'elle ill:1te àne considérer qœ des ang1l!s de rœsure inférieure à 180". La définition des Elérœnls a été soumise à de nombreusas critiqœs et a connu diverses reformulations (cf. par eJœmple àce propos Carroll 1885, Heath 1926 p.176sqq).

-l'angle, figure formée par deux demi-droites

Smith (ibid.) attribue cette conception à Aristote. En voici par eJœmple une formulation issue d'une édition tardive des élérœnls de Legendre (1875, p.2) :

(Figure 1)

"La figure formie par deux droites AB et AC, qui se coupent, s'appelle angle. Le point A est le somrœt de l'angle; les lignes AB et AC en sontles côtés"

Cet énoocé assez iruprècis rend bien compte du type de

définition qui dominera dans l'enseignement avant la première gœrre mondiale (Berdonneau 1981, p.215 sqq). En voici une formulation plus précise, classlqœment rapportée, due à Hilbert (1899, p.21) :

"Définition- Soient iJ et

r

r

r

Les demi-<lroites iJeU sont les ^c.>tés de l'angle et le point ⁰ estle sommel ".

A la suite de cela Hilbert note que "cette définition e,,"lut les angles plats et concaves"

(ibid.), puis il introduitles notions d'intérieur et d'extérieur d'un angle.

Cette cooception réapparaît récemment sous la définition de l'angla adoptée en classe de troisièrœ lors de la réforme des programrœs de 1970, l'.vwfe "",?mi/ril/œ (par opposition à l'angla du sens commun) étant défini comrœ une classe de couples

O!OIRfM Il'39 :3 février 1987

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isomitriqœs de demi-<lroites de mirœ origine (Berdonœauop. cit.).

-l'angle, région dn plan

Nous proposons de distingœr deux types différents de définition ratta:œes à cette conception. Un type qœ nous qualifions de dynamiqœ, comrœ la définition de Henrici qœ rapporta Carroll (1885, p.74):

"n.. ^part of • peocil of half-rays, described bya half-ray turning about ils end point from one position ^\0 anolrer is called an angle";

et un type statiqœ comrœ la défmition de Bertrand de Genéw (1812) que rapporta Fourrey(1938, p.44):

"on appelle angle la partie du plan limitée par deux droites partant d'un mirœ point"

Cette conception de l'angle connaît son appo!Jée avec l'introdoction dans l'enseigœment des "Mathématiqœs Modernes" de la notion de _leur.!llJCl1laire.

L'angle étant alors défmi comrœ une classe de secteurs superposables.

-l'angle, rotation

Bien qu'elle aussi très ancienne, Heath (1926, p.177) suggère Carpus d'Antioche comrœ l'un de ses précurseurs, cette définition ne s'imposera pas véritablerœnt dans l'enseignerœnl Au morœnt du débat moderniste sur le renouvellerœnt de l'enseignerœnt des mathématiqœs, elle est défendœ par certains mathématiciens.

Notamrœn~ COOquet (1967, p.97) aprés avoir envisagé les différentes coœaptions de l'angle, propose ...

d' "identifi[er]les angles aux rotations autour d'un point 0; on montr(e] ensuite qœ le cooixde 0 n'importa pas"

Et pourtant Heath (dooc dès le début de ce siècle) note : "itis relll1lTkable oovever tha!

œarlyail of Ire text-book vich give definitions different from those in group 2 [angle comrœ rotation] OOd ^\0 lrem sorœthing pointing ^\0 a conneJ!ion betveen an angle and rotation: astriking indication that Ire essential nature of an angle is closely connected vith rotation" (op. cil p.179)

Ce que Papy (1967, p.289) exprirœ dans unra:courcitsaisissant par:

• ANGLE.ROTATION

qui a perdu sonCEJm/.E '"

OIDIREM 0'39 :5 février 19tH

IL 1.2. Une notion difficile

• La notion d'angle est sans doute œlJs qui soulève le plus de discussions et de difficultés dans l'enseigœment de la géomitrie" (Cboqœt 1967, p.96). Si la

!'eCOnrl1';SSIloce de CIlS difficultés fait l'umnimité, il n'en va pas de mime des solutions qui peuvent être apportées, notamment pour œ qui con;erœ 1. définition. En atteste par elŒlmple le f<>isonœment de formulations qœ l'on peut trouver dans les lll1lI1œls scolaires en l.JSll8" depuis le début du siécle qui sont au!ent de tentatives pour résoudre ca difficile problèrœ d'enseigœment (cf. à ca sujet l'éb.rle de Berdonœau 1981, pp.

21S-224).

.<

(Figure 2)

La prirripale difficulté tient au développement CŒz les élèves d'une cooception de l'angle!>;sœ de son identification à la figure qui le représente sur un feuille de pepier ou au tableau, conuœ par e""mple la représentation qœ propose 1. figure ci-contre.

L'angle est alors corçu conuœ la dollDie de deux segments ayant uœ extrémité commuœ et des supports distiœts. Avec une telle cooception deux figures qui diffèrent par la seule longueur des segments qui les constituen~ apparaissent conuœ représentant deux angles différents. Cette cooception est très résistante et très répandœ. On a pu penser qu'elle découlait des définitions mimes qui était uti!islies, conuœ par elŒlmple la définition de Legerrlre citée ci-<1essus. Pour œtte raison œrtains manœls stigmatisaient l'erreur possible enstipulantqœ:

"la grandeur d'un angle dépend uniqœment de son ouverture et non de la IODgœur de ses côtés, qui, théoriqœment, doivent être considérés conuœ

illimités'(Thure~ 1934, Précis de Géomitrie, Paris: Nathan).

Ce genre de rellllmJœ ail. peu prés disparu des manœls récents dans lesqœls l'angle est dfini conrrœ cl""", d'équivalen:e de secteurs angulaires ou de couples de demi-<1roites d'extrémité commune.

Pourtant œtte cooception de l'angle cre. les élèves de la fin de l'enseigœrumt primaire et du début de l'enseigœrumt secondaire reste présente, c'est un fait bien connu des enseignants. Il semble œpendant peu étudié.

Nous prenons ici comme référence l'éb.rle de Close (1982). Cet auteur mentionœ les travaux de GUes (1981, p.ll) qui atteste de la préseoce de cette cooception cre. la moitié de 4881 sujets el<llIllillis sur une lî>:œ de classement d'un ensemble d'angles suivant leur taille. Pour sa propre recœrcœ Close. proposé il. 87 élèves anglais de Il il. 12 ans, relevant d'un enseigœrumt ordinaire, un questionnaire sur les angles comprenant les items ci-<1essous ; elle obtient 53 réponses fausses pour l',tem l, 8149 réponses fausses pour l'item2 (Close op. cil p.120, 122).

OIDIREM 0'39 :3 f~vriQr 1987

(Figure J)

Dans l'l.JSll8"courantde la langue frarçaise, le mot« angle »a pour synonymes

«coin» ou «encoignure », il désigœ une région relativement bien détermiIlée. On peut sans trop d'ambiguité fbœr un rendez-wus« à l'angle d'une ru: », il ne viendra alors pas à l'idée de se plnr ailleurs qu'.u wisinage du carrefour correspondant. De rnèrœ en mathématiques, si l'on demande il un élève de montrer un angle d'un polygone, on attendra de lui qu'il désigœ un région assez précise ; 1'l.JSll8" conduira à considérer qœ le point A de la figure ci-<1essous se trouva dans un angle du polygona représenté, mais pas le point B.

B X

(Figure 4)

Ainsi 1'l.JSll8" commun, en frarçais, et la signification mathématiqœ du mot « angle » sont en contradiction. A défaut d'une éb.rle analogœ il. celle de Close qœ nous venons de rapporter, ce constat nous corrlui! à faire l'hypotlilse qœ, comme les jeuœs anglais, les élèv.s frarçais de cinquièr:œ auront une conception qui privilégie l'identification de l'angle àsa représentation.

D!D1RfM 1\'39

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11.2" Des preuves du théorème sur la somme des angles d'un triangle

Nous nous appuyons dans cette section sur qœlques eJœmples historiques mais, connœ au parngrapœ précédent, il ne s"ogit pour nous qœ de s"ossurer de qœlques poinbde repère qui apporteront à notre propos le renfortd'eJœmples de preuves oude débats effectivement apparus dans les pratiques mathématiques ou dans l'enseigœment des mathématiques.

Après avoir décrit les preuves pragmatiques qœ nous avons pu repérer, nous présenterons des preuves intellectuelles en les regroupant en deux catégorie;; suivant les types de conceptions de l"angle qui les soUlement: iu:linaison d"une droite sur une autre ou rotation.

Il.2.1. Des preuves pragmatiques 11.2_1.1. L .. mesure

Un premier type de preuve pragmatiqœ, qui relève de l'empirisme naît consiste à réaliser les mesures elles calculs utiles pour qœ1ques triangles età cou:l~

qœ la propriété observée sur ces qœ1ques cas sera toujours vérifiée. li nous semble qœ l"usaga d'une telle preuw ^est focilemenl disqualifié en mettant en évidence l"inévitable incerti tu:le sur les mesures.

11.2_1.2_ Le découpage

Une preuve pragmotiqœ c10ssiqœ consiste il tm::er un triangle sur du papier, à le déchirer pour en séparer les trois angles, puis à les associer de fuçon adjacente comme l'illustre 1. figure ci-après (Figure S).

On remarqœ qœ cette preuw relève comme la précédente d'un empirisme naïf et est susceptible d'erreurs pratiques tout autant qœ le recours à la IœSUre ; les découpages de;; élèves sont le plus souvenl incertains elles assembl~ approximatifs.

U~ autre ob"ction nous semble être qu'il n'esl pas évident qœ d'une pari pour les eleves les nouons d' « angle» et d" « angle;; d'un triangle» soient identiques, el qœ d'autre part ce décotlJ'08'l ^1ISSUre pour eux de f""on évidente 1. conservation des propriétés.

D!DlREM n"39 .3 fêvri9r ,1]61

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62. - Découpez: en papier de couleur un tnangle irrégulier

q:4 ":/,'t~

M

Déchire:t li! coin 1 du triangllt et collez·le sur votre pa$8 en plaçant J'un dei c6té5 Bur une droiw AB. Collez A la 5wte le coin Il puia le coiD lU. Où finît enctement ce dernier?

Voua avel: aîn~i additionné lea trois angles du triangle:

Combi~1l de lkgres vaui le tOlal?

Remarque: us trjallgle~ décoliplU pu ln élèves do la Cfil.!I$6 ~Ol\t tous diUérellts de (orme el de grandeur. Si le trayait il ete tait avec win, Je résultat fiora le même pour tOliS.

Conclusion:

La. somme des angles d'un triangle vaut un demlMtour. soU

'::"_ ~ ~',~;:::~E~~.:~:F~o~~' l~:

gles.

ElTciitde "GéoméUic", L Gro<pill, Genève, 19+1

auvr.ge pour I.S' primaire (figureS)

IL2_ U_ Le pliage

Un triangle ayant été trri sur une feuille de papier, il s'ogitde le découper puis de le plier comme l'illustre bien la figure ci-après (Figure 6) : amener le sommet A sur le côté qui lui ^est opposé en pliant autour des milieux (qui peuvent être déterminés par pli...,.,) des côtés qui lui sont ad ja:ents, puis rabattre les « coins» du trapê:ze obtenu vers l'intérieur.

11.2-2_ L'angle, ÏDl:linai.son ,,'une demi-droite sur une autre 11.2_2_ L Les origines

Le théorème sur la somme de;; angles d"un triangle est rèputé pytœgoncien.

C"esl à l"école pytœgoricienne qœ l'on attribœ non seulement 1. démonstration géœrale mais aussi sa découverte (Caveing 19T/, p. 557). Selon Geminus, cité par Caveing: 'les

mens

OlDlRE.M n"39

2" Plloctot ; Sur 1.: S<:Ç(Ifld trianeJc ABC.

délermÎf1t:7 1=. m,ticUlI. M, de AB, N de AC,

~I pli" Je lrianl!c autour de MN (HQ,li).

A vient .:nA' sur BC; plicrlelriangle BMA' de fllçon que 8 .... icnnc en A'. CI le tria"slc eNA' de: {"<tOn que C ~icnnecn A'. Véritic:r Que ICl Iroi.$ anslc:li de ABC ~Ilt lIinlii CUnlilrllllS cn A'.

Con,:lurr ; U La $ommc dc$ anslC$ d"un triana;h: QI ':~Jc ;l ... (û:Ue propri.i=1é sera démonlrée plus lard.)

futuitdc" MathéJ:naLiquel6°" , CollectionE. Riche 1%9, p",,: Hatier

(~igure 6)

particulière de trillIJ8!es, d'abord dans l'équilatéral, ensuite dans l'isoscèle, et en dernier lieu dans le triangle SClllèœ, mois les géomêtres postérieurs démontraient le tMorème général que dans un trillIJ8!e quelcolXjue les trois angles inlérieurs sont égaux à deux droits' (ibid. p. 558).

li nous intéresse ici de rapporter la tentativu de reconstru:tion de cette démaiche que propose Heath (1956), à la suite de Henkel et Cantor auxquels il se réferre. A y.mt rappelé que des tri1llJ8les équilatéraux ou des hexagones réguliers étaient utilisés pour réaliser des pa~, Heath poursuit:

Oit vould \hm he clear !hat six 1IlJ8les eqll1l1 to an1llJ8le of an equilatera1 trillIJ8!e are equal to four right angles, and tterefore !hat tte three angles of an equilateral triangle are equal to tvo right llIJ8!es [la réalisation dB pa~ rœt en éviden:e que deux moitiés dB triangles équilatéraux peuwntêtre associés pour forrœr un rectangle ... ] Next it vould be inferred, as tte result of draving the diagonal of .!JlJy rectangle and observing tte equa1ityof tte tri1llJ8les forming tte IvO halvas, !hat the sum of tte 1IlJ8les of .myright-1IlJ8le tri1llJ8le is equal to IvO righ! angles, and beoce (tte tvo congruent right-llIJ8!ed triangles being tten placed 50 as to form ore isoscele triangle) !ha! tte same is lrueof .wYL""",1e.<tri1llJ8le. Oo1y tte laststepremained, namely!hat of observing !hat Mly triangle could he regarded as tte baIf of • rectangle or simply !hat any tri1llJ8le could he divided into IvO right-angled 1n1llJ8les, vhernJ it vould he inferres !hat in geœral tte sum of tte 1IlJ8les of any tri1llJ8le is equal to tvo right 1IlJ8les. "(ibid.

DIDIREM n'39 3 fivritlr 1967

p.318-9)

Il faut noter que Heath considère lui-même cette reconstru:tion comme très spéculatiw.

11.2.2.2. La preuve d'Euclide

Lapreuw la plus classique estceUe que l'ontrouw dansles Elémentsd'Eœ1ide, liée à 1. coœeption de l'angle comme iŒlinaison d'uœ drOIte sur uœ autre est la preuw suiVllllte (selon Kayas, 1978):

'Soit le trillIJ8!e AB r ; prololl8OOns son côlé Br jusqu'au point A. Je dis que l'ona:

ArA=rAB+ABr

et ABr+BrA+rAB ^{=2 tir}

1l

iL

(Figure 7) La droite A r étant uœ sécante des parallèles AB et r E, eUe forme awc eUes des llIJ8!es alternes-internes égaux: BA r = ArE

De même 1. droite BA étant une sécante des parallèles AB et r E, les llIJ8!es correspondllJlls sont égaux: AB r = Er A .

Ajoutons ces deux égalités membre à membre ; il vient:

ABr+BAr=Arll;

etenajoutantlemêmellIJ8!eArB:

ABr +BAr+ArB=ArA+ArB.

Mais d'où

Clairaut (1753), réalisant son projet de montrer comrœnt on parvient à la découwrte et au fondement d'un tMorème mattematique, donne uœ explication

« intuitiw » des origines de la preuw de ce tMorème. li s'agit de l'exposé d'uœ expérience-mentale qui s'appuie essentieUeIIlBnt sur la conception de l'angle comme

OIOIREM 0'39 3 r~vri"r 1987

13

ioclinaison d'une droite sur une autre (Heath, op. cit. p.32l attribœ cette idée à Proclus) :

"Reprenons le lriangIe ABC. On sent qœ la grandJlur de l'angle C doit résulter de celle des angles A & B ; car qu'on augrœntât, ou qu'on diminuàt ces angles, la position des lignes CA, Be clrulgeroit, & par conséqœnt, l'angle C, qœ ces lignes font entr'elles. Or si cet angle dépend de 1. grandeur des angles A & B, on doit présumer qœ ce qœ les angles A & B renferrœnt de degrés doit détermiœr le nombre de degni que doit renfermer l'angle C, & qu'ainsi il pourra servir d.

vérification aux opérations qu'on aura faites pour détermiœr les angles A & B, puisqu'on seraSÛl" qu'on aura bien mesuré les angles A & B, si, en mesurant ensuite l'angle C, on lui trouve le nombre de degrés qui lui convieoora relativement à la grandeur des angles A & B.

Pour trouver comment de 1. grandeur des angles A & B, on peut coœlure celle de l'angle C, e=ninons ce qui arriveroit il cet angle, si les lignes AC, Be, venoient à se rapprocœr, ou il s'écarter l'une de l'autre. Supposons, par e:>œmple, quo Be tournant autour du point B, s'écarte de AB, pour s'approcœr de BE, il est clair que pendantqœ Be tourneroit, l'angle B s'ouvriroit continuellement; ^& qu'au contraire, l'angle C se resserre de plus en plus; ce qw d'abord polHToit faire présumer que, dans ce cas, la diminution de l'angle C égdleroll l'augrœntation de l'angle B, & qu'ainsi 1. sonm~ des trois angles A, B, C, seroit toujOurs la méme, quelle que fut l'ioclinaison des lignes AC, Be, sur la ligre AE. "(ibid. pp. 63-64)

Clairaut précise ensuite que "cette indoction présumée porte avec elle sa démonstration "(ibid. J, puis il expose la démonstration classique des Elémenls.

CBIte preuve d'Eoclide est celle que l'on trouve le plus classiquement dans les ouvrages scolaires fran;ais avant la réforme des "Ma!œmatiques Modernes". Les deux scœmaci-<iessous résUIœnt assez clairement pour le lecteur averti, les deux priIripales variantes qœ l'on rencontre dans les ouvrages (en fait 1. figure de droite illustre une preuve généralement attribuée à l'école pythagoricienne; Heath op. cit. p. 320) :

(FiS"'_ 8)

DIDIREM 0'39 :3 fevriar \9B7

14

Uœ présentation plus récente de ces preuves consiste il utiliser les transformations géométriques (Figure 9), mais d'un point de vue œuristiqœ il S'agit

bien de la preuve classiqœ : les transformations sont là pour« transporter» les angles de façon adjocante autour d'un méme sommet. Dans une certaine mesure ces preuves pourraient être comprises dans la filiation des preuves pragmatiques par découpil8ll ou par Jlli.a8e que oous avons rappelées ci-<lessus.

[l SOMME OE6 tOARTIii DES ANGLES atoMÊTRIQUE D'UN TRIANGLE - - - - -

IIQ ~

Soit un a-ianglc (A. B, q, désignons par S la symêuie centrale pat rapport au milieu de (A. B)

et S' la symétrie par rapport au milieu de (A, C) soient:

D=S(C) Ct D'=5'(8)

C ct D SOQt donc dans deux demi.-plaru; différents de bord commun (AB) les secteurs angul~es saillanu fermés de bords (A, D) et [A, B) pour l'un et fA, B} et [A, C} pour l'autre sont alors adJa- cents doni:

E (00) + E (iÎAè) - E (Mc) cac ils out des représentana Îsom~criques pat S.

Mais de la même manître la sym~uic: a:ntrale' S' permet d'obtenir

W=ACB et AD'=-CB=-AD

dOllc D' ct 0 sont dans de:U.J. demi-plaw dîstinru de bord commun (AC) ^I~ deux sectel.U'S angulairC$

saillanu fermé:; de: cotés [A, D) ct [A, C) pour l'un, [A, C) e:t [A, D') pour l'aucrc sont donc ad;a- cents ct on a :

E (ôAè) + ^E (6ili') - ^E (15AiY) - k

En utilisant la rdation E (DAC) = E (BAè) + E (ABè) on obtient finalement:

E (iÎAè) + E (ÂBè) + E (ÂCii) - k

THi.Q""k'

La. $Qmme du 'Uf"tS an,uJolires du an,Ju ,eQmihrJquu d'un trian,Je est ~gaJe ~ J'ecan;

an(ulaire It d'UA an,11I pJu,

OIDIREM 0'39

Extraîtde"Mathtmmique3·" ,CoUectionQucysanne-Revuz lm, Paris: FetwUld-Nathan

(Figure 9)

:3 fevri6r 1967

IL2.2.3. La critique de Legendre

Nous ^!lB pouvons dôre le paragraphe sur la preuve d' Eclide sans mentionner les critiqUllS dont elle a éUi l'objet de la part de nombreux mathimaticiens au cours de l'histoire. En fait il s'agit d'ure critique du fondement essentiel de cette preuw, il savoir le p:>stullJlllm ou cinjuième postulat d'Euctide : "si ure sécante rencontre deux droite; en faisant des angles interœs et du rœme côté de la sécante ayant une somrœ inférieure il deux angles droits, ces deux droite; prolonl,'ées indéfiniment se rencontrent du côUi où se trouvent les angles dont la somme est inférieure à deux angles droits" (traduotionde K.yos, 1978).

Legendre, notamment, s'employa une vingtaiœ d'année il essayer d'établir ce tœorilInl en se passant du postulat d'Euclide, en reprenant la démonstration dans chacure des douzes éditions de ses éléments (Le Rest 1982, p.I44-8). Il est classique de rappeler, il ce suJet, la preuw qu'il donne de la proposition XIX du livre I, "dans tout triangle, la somrœ des trois angles est égale il deux angles droits". Nous en donnons ci-dessous les grandes lignes en reprenant la présentation de Le Rest:

'Legendre part d'un triangle ABC avec AB>AC>BC puis il construitle point 1 de BC 1al que CI-lB, le pointC' de AI tel que AC'·AB et le point B4 de AB tel que AB' -ZAL

c

(Figure 10)

SoientA, B, C les angles du triangle ABC etA', B', C' ceux du triangle AC'B'. Legendre montre par les cas d' égelité des triangles que

A+B+C~A'+B'+C' Btque A' «A'I2)

Puis il applique la rœme construction au triaIl81e AC'B' et obtient un triangle ACB" dont les angles sont notés A', BO, C" et vérifient:

A'+B'+c'~A" +B' +C" etA' «A'I2)

En« ""IJIioU'JlJ1 iDfélfnioF-D1 la ^SIDIe des In".wgles » on parvient dit Legendre à un triangle abc dont l'angle a est " m:>jml1J q/JtJ

."Bq"

d"nai •. Si on construit il partir de ce triangle abc le triangle suivant

D!O!REM fl'39 :3 fË!vrier 1967

a'b'c', lasomrœ des angles a'+b' étant égale àl'angle a« <'>II pOltqœl,

.!>.WDJ8 de; trais ~ d/1 Uianglo Il '/1 ~ '.<8 oou1l Jl"'fI/JtJ o1u.<oul i1l{fk

C'».

(Figure 1 0 bis)

« ^.<e.f Mllis câ/és d9 IJl'll1ièJ"',j al1 ft'uI (X>D::e""ir qœ ~.IJfl>J" Je

ln.

plus do Io! 1imtto "Ii les "'if/es ^a' 91 b' .<e.nuMI nuls ». A la limite les points a'b'c' sont en ligœ droite etlasomrœ des angles se réduit il deux droits. Cette démonstration très astucieuse et très visuelle suppose implicitement que toute droite puisse se prolonger indéfiniment et elle ochoppesur lune supposition où intervient l'infini ... ' (ibid. p.14~).

Bkouche (1984) rapporte que dans la première édition de ses éléments (1794) Legendre donne une preuve qu'il n'utilisera plus par la suite: 'on se donne un segment et deux angles, le triangle qui s'en suit est alors connu et le troisième angle est fonction des deux autres (sans être fonctions du segment pour raison d'homogénéiUi). Pour déterminer ,cette fonction, on montre que dans un triangle rectangle, la somme des trois angles est de deux droits; pour un triangle quelconque, sécable par ure hauteur en deux triangles, le résultat est immédiat '. Bkouche souligœ que la justification par l'analyse de ce qu'un angle est fonction des deux autres peut poser problème, il voit là une raison de l'abandon par Legendre de cette première 1antali." dans les éditions suivante;. On 1.

retrouve cependant dans la note Il à la douzième édition des éléments.

11.2.3. L'angle identifié àlarollotion

Une prouw de la propriéUi de la sonu:ne des angles du triangle peut être donnée en s'appuyant sur la conception qui consiste à identifier l'angle avec la rotation Nous donnons ici la démonstration que propose Choquet (1964) dont nous avons rappelé plus haut 1. définition Cette démonstration, qui utilise fortement une formule de Chasles sur les angles (ici orientés), concerœ en fait une propriété plus générale des polygones; le théorème qui nous intéresse en est un corollaire (Figure Il).

OID1REM fl'39 3 fêvriar' 1987

17

Soit p un polygone fermé plan de n sommets, c'es[·à-din:l une mIe (41, ut. •..• aJ

de poUlU de II, cUficic à UDe permUtatiOQ circulaire pres.

On supposcr.a ici que., pour tOUI '. "1 'F atH (donc aussi a .. #: aJ; on pose alors 8, ~ la demi-droÎte D(a,. al't-J.

On appelle ilIIlle exJÜieur de P au sonunel a, l'angJc Ô'_l&"; on appelle anr/~

de P cn a, l'angle al~l'

Propolirfon 59./. UJ SOrtUrl& J&S anrl&s ~."térÙ!urs d& toul p<J[Y8ollc [~rmJ plllll ut O.

Dlnwnslrarion. Eo ctrct,. d'après la relation de Cbas!cs ô-;a; + 8~8~ + " .. + ô.8_{1 -} 8,SI _ O.

Cllrll/laira 59.1. UJ Jamme des Dll8/~ de toul polygoM [erml plan IJI 0 011 Cil su/~

~<lII1 que le IWmbre " de SItS sommlfls /&.fI pair 0/.1 impair.

En effet soit 8"_1 la demi-droite D(a

"

a,_l); on il 8,_,8'_1" Cil

-- - ^-

Donc a,_,a,.a'_l - 8'_1 0._₁ + 8'_18, - Q + 8f-,8,

la somme, de ces anglet vaut donc ,,!il + 0 ... 0 ou Cl sUÎvant que /1 est paie ou Implltr (ptwquc Gl + ta _ 0).

En particuJicr la SOOUDe des iUlgJes d'ua triplet (a,. al> aJ est Q; lorsqu'oo aura défini [a notion d 'orientatioo, on 'précisera cc rbullat cn montrant que Ics trois angles d'un tel triplet ont mtme orientation.

(Figure 11)

Une preuve da

rœme

Il.2.1. Remarques SlIr évidence et intuition

u ~rème ~ la somme des angles d'\Dl triangle est souvent pris comme exemple a 1 appU! de thèses sur les fomements de l'évidence ou sur le cam:tère intuitif

~e cer1atœs preuves. En relation avec les cOOOlptions de l'angle que oous avons evoql..,es plus haut, nous en donnons ci-dessous deux examples qœ nous discuterons ellSU1te dans \Dl dernier paragraphe.

O!D1REM 0"39

3 révrüw 1967

III

5'. Pa»OlIs, daM <;cIte '1u~ti<»l. de j'u.perimcutatioll pille ail ralsOllllcmcnt.

OB U-it que deux allsJes OppOltJ par le sommet (Ua:. 1) sont tsll.UX (Ne 37).

PrcllOOI uR trlaBile qLldconquc (1111_ 2). SUPPOSOIlS una aiguille de montre en 1. J(J la Jais rourner de J'allgle A (pouillon 2). Pll~ je ia fais eli;lIer de 2 cil 3 ct hllnoer de l'angle B - ou plut!)t de IIHI ~8i11.

opPQsi par te wlI!md (positiull 4). Eufin je la fais gliuu dl: 4. .n 5 . et tourner de J'angle C (p ... ililln Il).

Au dtpart, tll l, l"aiguiUe poinlait "erl midi,.i la lin Ven s.ix hturell.

Elle Il donc tOllru~I. 10Ul cil p.r~o'ua"t lu troi, augln, d'un dCQ"'_ tou ....

l'JI. 1

'(>K ... /

.

A 1/"

,

l'J,. 1

''\11 ubl ... , ... 1 ... 11<0 .' ... 1. 1·.JI~l)h pu UR ttar~~. R.",uq .. u q ... , ..

, ... ""ail ... OQI ". mtmo ... ~.I .. I ... "IIUlIIe. "' ... mO""' •

• CelledlmoA1UolJ<. .... , 0 .. 00 _4 ... otl. pline'p<. P<""ol d •• llOj,IIII" ... «<toi .. ,

r~;~~~;: a.::."\! '!i,~~:'~:,\~ t.~~=:~" ;;':r":;<":~!:~'p-;;J::::,I-:'!~o c~r,j'!

Inol\ll'" po. 1. ^IGmm., oppod, p~'<o '1~'.Ue "'pt.n" j'I<14. d. la I .... rallo .. <l ..

a .. ~( .. p .... ","'U~'"

(Figure 12)

11.2.'1. L E. Fishbein, la vérité intrinsèque

Fishhein (19&2) est intBressé au rôle et à la signification da l'intuition dans les IIl1lthématiques et 5pIlcialement dans leur enseignement. « Intuition »ne désigne pas ici l'intuition du sens commun, mais une 'léritable connaissarœdu sujet: "anintuition is a 1i>Jm O/·1:IDv1«l..., . It lm the rôle of • programme of oction - but il is • cognition [ ... ] An intuition cannot he buill by mere verbal explorations oor by blindl Y practising solving proœiures. An intuition tan he elaborated only in the frame of p=tica1 situations os • resullof the persona! involvamenl of the learner in solving genuino problems raised by the practica1 situations" (ibid. p. 12).

L'intuition au sem da Fishhein apparaît donc comme uncoOOlpt très voisin des COOOlpts de "modèle implicite" ou "modèle pour l'oction" forgés par Brousseau ou celui de "tOOorèIœ-eIl-lCte" forgé par Vergnall!. Les relations entre ces différents con:epts n'onl pas jusqu'ici été étuliées, il serait important que cela soitfoit ; quoiqu'il en soit ce n'est pas ici le lieu, oous oous limitons à une analyse de l'usage qœ Fishbein foit du cOOOlpt d'intuition dans une réflexion critiqœ sur la ootion de preuve; en particulier pour ca qui COIDlrne la preuve du tOOorème sur la somme des angles d'un triangle:

"ut us consider again the tœorem : « The ^SUffi of the angle of a

DIOIREM 0"39 3 f.lvri<ll' 1987