On pose : 15arcsin4x

PanaMaths Septembre 2012

On pose : 1 5

arcsin

x = + 4 . Calculer ^{cos 4x} ( ) et déduire x.

Analyse

Le calcul de ^{cos 4x}

( )

( )

ainsi ramené (mais il n’y a pas équivalence !) à une équation trigonométrique.

Résolution

Rappelons d’abord que l’on cherche x dans l’intervalle ; 2 2

⎡−π π⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦.

On a, pour tout x réel : ^{cos 2}

( )

( ) ( )

( )

( )

2

2 2

4 2

4 2

cos 4 2 cos 2 1

2 2 cos 1 1

2 4 cos 4 cos 1 1

8 cos 8 cos 1

x x

x

x x

x x

= −

= − −

= − + −

= − +

Avec 1 5

arcsin

x= +4 , il vient :

2

2 2 1 5 1 5 1 5

cos 1 sin 1 1 1

4 4 4

4 1 5 4 1 5 3 5 5 5 10 2 5

4 4 4 4 16

5 5

8

x= − x= −⎛⎜⎜⎝ + ⎞⎟⎟⎠ = −⎛⎜⎜⎝ + ⎞⎛⎟⎜⎟⎜⎠⎝ + + ⎞⎟⎟⎠

− − + + − + −

= × = × =

= −

PanaMaths Septembre 2012

D’où :

( )

( )

2

4 2 5 5 5 5

cos 4 8 cos 8 cos 1 8 8 1

8 8

30 10 5 30 10 5

8 5 5 1 4 5

64 8

15 5 5 1 1 5

4 5 15 5 5 16 4 5

4 4 4

1 5

4

x = x− x+ = ⎛⎜⎜⎝ − ⎞⎟⎟⎠ − − +

− −

= − + + = − +

− − −

= − + = − − + =

= − +

Ainsi, 1 5

arcsin

x= +4 vérifie : ^{cos 4}

( )

On procède alors classiquement de façon à faire apparaître une égalité entre cosinus :

( )

cos 4 sin cos cos

2 2

cos 2

x x x x

x

π π π

π

⎡ ⎤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − = − ⎜⎝ − ⎟⎠= ⎢⎣ −⎜⎝ − ⎟⎠⎥⎦

⎛ ⎞

= ⎜⎝ + ⎟⎠

On en tire alors :

4 2 ,

x= + +π2 x kπ k∈] ou 4 2 , x= − − +π2 x kπ k∈] Etudions ces deux possibilités.

4 2 , 3 2 , 2 ,

2 2 6 3

x= + +π x kπ k∈ ⇔] x= +π kπ k∈ ⇔ = +] x π kπ k∈] Il vient alors :

2 3 1 3 1

2 2 2 1 1

2 2 2 6 3 2 2 2 2 2

x k k k k

π π π π π π

− ≤ ≤ ⇔ − ≤ + ≤ ⇔ − ≤ + ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤

k étant entier, les deux seules possibilités sont : k = −1 et k =0.

Pour k = −1, on a : 2 2

6 3 6 3 2

x= +π kπ π= − π = −π et sin sin 1 ^{1 5}

2 4

x= ⎛⎜⎝−π ⎞⎟⎠= − ≠ + . On ne retient pas cette valeur de x.

Pour k =0, on a : 0

6 6

x_{= + =}π π

et 1

sin sin

6 2

x₌ π ₌ . On ne retient pas cette valeur de x.

4 2 , 5 2 , 2 ,

2 2 10 5

x= − − +π x kπ k∈ ⇔] x= − +π kπ k∈ ⇔ = −] x π + kπ k∈]

PanaMaths Septembre 2012

Il vient alors :

2 3

5 1 4 5 4 4 6 1

2 2 2 10 5 2 2

x k k k k

π π π π π π

− ≤ ≤ ⇔ − ≤ − + ≤ ⇔ − ≤ − + ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤

k étant entier, les trois seules possibilités sont : k = −1, k =0 et k =1.

Pour k = −1, on a : 2 2 5

10 5 10 5 10 2

x_{= −}π ₊ kπ _{= −}π ₋ π _{= −} π _{= −}π et

1 5

sin sin 1

2 4

x= ⎛⎜⎝−π ⎞⎟⎠= − ≠ + . On ne retient pas cette valeur de x.

Pour k =0, on a : 0

10 10

x_{= −}π _{+ = −}π

et sin sin 0

x= ⎛⎜⎝−10π ⎞⎟⎠< d’où 1 5 sinx≠ +4 . On ne retient pas cette valeur de x.

Pour k =1, on a : 2 2 3

10 5 10 5 10

x_{= −}π ₊ kπ _{= −}π ₊ π ₌ π

et il s’agit de la seule valeur de x qui convient :

3 1 5

sin sin

10 4

x= ⎛⎜⎝ π ⎞⎟⎠= +

Résultat final

1 5 3

arcsin

4 10

π

+ =