PHQ111_Capacite_ther..>

Sécurité : Vous utiliserez de l'azote liquide et de l'eau bouillante pour cette expé- rience. Protéger vos yeux avec vos lunettes de sécurité et porter les gants disponibles au laboratoire. Désinfecter vos mains avant et après l'utili- sation des gants avec du gel hydroalcoolique. Utiliser un contenant de styromousse au lieu des thermos en verre pour contenir l'azote liquide.

Porter un sarrau. Il vous faut porter des souliers fermés au deux bouts de même que des pantalons longs.

Devoir à remettre à votre arrivée au laboratoire

Un contenant est rempli de 500 grammes d'un liquide quelconque à une température T_i = 22^oC. On y plonge un bloc de 50 grammes d'un métal à une températureT_bloc= 55^oC. Le liquide voit alors sa température augmenter jusqu'à 30^oC. Sachant queCp(liquide) = _g·K^2J, calculer Cp (métal). Le symboleCp représente la capacité thermique massique à pression constante.

Buts : Mesurer la chaleur de vaporisation de l'azote liquide.

Déterminer la capacité thermique massique de quelques matériaux (alu- minium, cuivre et graphite) à la température ambiante et à basse tem- pérature.

1 Introduction

Le terme capacité thermique massique est également connu sous le nom de chaleur spécique ou chaleur massique. C'est une grandeur qui reète la capacité d'un matériau à accumuler de l'énergie sous forme thermique, pour une masse donnée, quand sa température augmente.

Un corps possédant une grande capacité thermique massique peut emmagasiner une grande quantité d'énergie pour une augmentation relativement faible de sa température. La chaleur spécique s'exprime en joules par kelvin et par kilogramme (J K⁻¹kg⁻¹) et est indépendante de la quantité de matière.

2 Théorie

2.1 Dénition de la température

La notion de température est intuitive à l'origine. Le toucher nous dit que certains corps sont plus chauds que d'autres. Les variations de température peuvent même entrainer des changements de phase de la matière : fusion, vaporisation, ...

Sur une base empirique, on a convenu de mesurer la température d'un milieu à l'aide de l'amplitude de dilatation d'un liquide enfermé dans un réservoir en verre. Un thermomètre de ce type est présenté à la gure suivante :

L0

100

1 degré

Il est formé d'un réservoir prolongé par une colonne cylindrique de section constante. Il est rempli de liquide de façon à ce que la surface libre se trouve dans le tube mince pour la gamme de température considérée. La température du milieu dans lequel le réservoir est immergé est donnée par la distance L de l'extrémité de la colonne à un repère xe. On a choisi comme repère xe la position (0) de l'extrémité de la colonne lorsque le réservoir est immergé dans un mélange de glace et d'eau en équilibre sous la pression atmosphérique normale (101.3 kPa). On a également donné la valeur 100 à la température d'ébullition de l'eau sous la même pression. L'unité de mesure θreprésente donc le centième de la distance entre le repère 0 et le repère 100.θ est exprimé en degrés Celcius (^oC).

Par la suite, il fut constaté que la pression d'un gaz enfermé dans une enceinte de volume constant variait proportionnellement au paramètre θ (loi de Gay-Lussac) à condition que cette pression reste faible).

P =P0(1 +αθ) P0 étant la pression pourT = 0^oC.

Cette loi n'est valide que pour les gaz dont les molécules n'exercent aucune action les unes sur les autres, mis à part les échanges d'énergie lors de leurs rencontres, c'est-à-dire que pour les gaz que nous avons qualiés de gaz parfaits. Il n'existe pas de gaz parfait mais la plupart des gaz réels se comportent comme des gaz parfaits aux pressions inférieures ou peu supérieures à la pression atmosphérique.

Dans l'équation précédente, le coecient α est nécessairement un nombre. On constate expérimentalement qui si l'on porte P en fonction de θ, en extrapolant pour des valeurs décroissantes de P, la pression devient nulle pour θ = −273.16^oC. Donc, 1/α = 273.16.

Cette valeur de θapparait comme la température limite. C'est pourquoi on a posé :

T(K) =θ(^oC) + 273.16 (1)

T a été appelée la température absolue. Elle est nulle pour la température à laquelle la pression devient nulle dans la relation mathématique. On exprime T en degré Kelvin (^oK).

0 K0

différents gaz

Pression

température

Figure 1: Pression vs Température.(P V =nRT)fonctionne pour les gaz parfaits (hélium, azote, ...). Certains gaz deviennent liquides ou solides à diérentes températures. Par contre, si on extrapole la droite, on arrive au zéro absolu.

2.2 Chaleur et température

Il existe plusieurs mécanismes qui permettent à un système d'échanger de l'énergie avec son environnement. Considérons un cylindre contenant un gaz pouvant être comprimé à l'aide d'un piston.

courant électrique

radiations du soleil

piston

flamme

Figure 2: Diérents mécanismes pouvant permettre un changement de température.

On ajoute au système une amme qui chaue le cylindre exposé aux radiations du soleil. De plus, le cylindre renferme un élément chauant qui dissipe de l'énergie lorsqu'on y fait circuler un courant. Tous ces mécanismes produisent un échange d'énergie avec le gaz contenu dans le cylindre. Par contre, seul l'eet du piston peut être mis sous la forme d'un déplacement multiplié par une force (la pression exercée par le gaz). On appellera travail mécanique, tout travail résultant du produit d'une force par un déplacement. Toutes les les autres formes de travail représentées plus haut porteront le nom de chaleur.

Prenons le cas de la amme. Pour traiter correctement ce problème, il faudrait additionner tous les échanges d'énergie produits lors de chacune des collisions entre une molécule de la amme et une autre du cylindre. En pratique, ceci est impossible à cause du trop grand nombre de particules en jeu. Nous devons donc nous tourner vers un concept statistique, la chaleur , qui représente la somme de tous les échanges d'énergie entre un système et son

environnement sans qu'il n'y ait de déplacement collectif (le gaz dans le cylindre ne change pas de volume).

Lorsqu'il y a apport d'énergie du milieu vers un système sans que son volume change, il y a augmentation de l'agitation des molécules dans le système. C'est la température qui est le terme désigné pour quantier ce degré d'agitation des molécules. La relation qui unit la température et le degré d'agitation des molécules dépend de la nature du milieu en question.

Évidemment, la température est un concept statistique qui ne s'applique pas aux systèmes contenant une seule particule.

2.3 Chaleur de vaporisation

Considérons un liquide quelconque en contact avec l'air à la pression atmosphérique. Par un dispositif approprié, on introduit de l'énergie dans ce liquide, disons sous forme de chaleur.

Le liquide s'échaue jusqu'à une température T_V, point où il entre en ébullition. Dans le graphique ci-dessous, la première partie de la courbe (E < E1) se rapporte au liquide avant l'ébullition. Poursuivant l'introduction d'énergie, le liquide s'évapore tout en demeurant à une température xe T_V.

1 E

E

T

TV

Figure 3: Évolution en température d'un liquide que l'on chaue et qui passe à l'état gazeux.

Au-delà de E2, tout le liquide a été transformé en vapeur. Si on pouvait rassembler cette vapeur dans une enceinte, un chauage supplémentaire au delà de E₂ échauerait cette vapeur comme un gaz ordinaire. Durant l'évaporation du liquide, entre E₁ et E₂, toute l'énergie introduite ne sert qu'à transformer le liquide en vapeur. Il est possible de dénir une quantité propre à un liquide liée à cette transformation, notée L_V, qui est l'énergie nécessaire pour transformer en vapeur l'unité de masse d'un liquide : c'est la chaleur de vaporisation.

2.4 Capacité thermique massique

Par dénition, la capacité thermique massique d'un matériau est l'énergie nécessaire pour élever d'un degré l'unité de masse de cette matière. On peut l'exprimer en :

Notre intérêt se porte vers les propriétés thermiques de matériaux tels les métaux ou le carbone et non des substances complexes telles que le bois, le plastique, etc.

note : Les éléments comme le plomb et le graphite se présentes sous la forme d'une agglomération de cristaux minuscules collés les uns aux autres. À cause de cela, la théorie traitant de la capacité thermique massique des cristaux s'applique. Cette théorie est étudiée dans le cadre de la physique statistique. Ne possédant pas tous les prérequis, notre approche sera plutôt descriptive. Vous pouvez consulter le complément mathématique en annexe an de vous familiariser avec un traitement plus rigoureux.

La capacité thermique massique d'un élément solide varie avec la température. Les atomes oscillent par rapport à leur position d'équilibre avec une facilité qui dépend de la rigidité des liens existant entre les atomes du solide. Ces mêmes liens régissent également la fusion de ce solide. Le traitement théorique de ce problème permet d'obtenir un résultat très intéressant relativement à la capacité thermique massique. Il est possible de dénir une température pour chaque élément, appelée température de Debye, et d'intégrer tous les éléments dans un seul modèle, le cristal de Debye. D'après ce modèle, la capacité thermique massique augmente de zéro à une valeur maximale (lorsque le solide fond) selon la courbe universelle suivante :

0 5 10 15 20 25

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

D

T θ

(J/moleK)VC⋅

( D 215K) Argent θ =

Figure 4: Courbe universelle de capacité thermique massique.

CV : Capacité thermique massique à volume constant T : Température

θ : Température de Debye en degrés Kelvin

La température de Debye est caractéristique du matériau qui décrit le comportement de sa capacité thermique massique et sa dureté. Plus la température de Debye est grande, plus il faut monter en température avant d'avoir une grande capacité thermique massique.

Matériau Température de Debye (K) Capacité thermique massique à 300 K _g^J_·K

aluminium 428 0.897

cuivre 343 0.385

mercure 71.9 0.14

fer 470 0.443

graphite 412 0.709

diamant 2200 0.518

or 165 0.129

potassium 91 0.757

silicium 645 0.705

magnésium 400 1.023

plomb 105 0.129

D'après le tableau précédent, on constate que la mesure de la capacité thermique massique d'un élément au voisinage de la température ambiante donnera un résultat semblable pour les éléments Al, Cu, Fe, Mg, .... car T /θ prend la valeur ≈ 1 dans ce cas. Avec le plomb, C_p sera un peu plus élevée tandis qu'avec le carbone (graphite)T /θ devient petit, d'où une capacité thermique massique plus faible. À température plus faible, des écarts de valeur de C_p pour les diérents éléments apparaissent mais ne deviennent évidents que dans la région fortement descendante de la courbe universelle.

note : Il faut considérer le modèle de Debye (en annexe) an d'obtenir des résultats quantitatifs.

2.5 Poussée d'Archimède

On va maintenant s'intéresser à un tout autre phénomène : celui de la ottaison de certains objets. Prenons le cas d'un cube d'arête a complètement immergé dans un liquide mais ne touchant pas au fond du récipient contenant ce liquide. La surface supérieure du cube est située à une profondeur z₁ > 0 (le sens positif est vers le bas). On notera e~_z le vecteur unitaire dirigé selon l'axe des z croissants (donc vers le bas).

z = 0 z

z

a a

Dans un liquide incompressible au repos soumis à un champ de pesanteur uniforme, la pression absolue pà une profondeurz vaut :

p(z) =p₀+p_h(z)

p0 est la pression atmosphérique

p_h(z) est la pression hydrostatique à la profondeurz

Considérons une colonne de liquide de hauteur variable z et dont la base est constante et vaut A. À une profondeur z, la pression hydrostatique correspond à la norme P du poids divisé par la base A de la colonne de liquide : p(z) =P/A. Or l'expression du poids de la colonne de liquide est :

P~ =m~g= (ρzA)g ~e_z où :

m est la masse de la colonne z·A est son volume

ρ est la masse volumique du liquide g est l'accélération de la pesanteur

On obtient donc, en utilisant la formule p(z) =P/A : ph(z) = P

A =ρgz La pression absolue vaut donc :

p(z) =p0+ρgz

Par symétrie, les forces de pression exercées sur les quatre faces latérales du cube s'annulent deux à deux.

La forceF~₁, exercée par le liquide sur la face supérieure (d'aireA=a²) du cube, est dirigée de haut en bas et vaut :

F~₁ =p(z₁)A ~e_z = (p₀+ρgz₁)a²e~_z

La forceF~2 dirigée du bas vers le haut, exercée par le liquide sur la surface inférieure (d'aire A=a²) du cube, qui est située à la profondeur z₂ =z₁+avaut :

F~₂=−p(z₂)A ~e_z =−(p₀+ρgz₂)a²e~_z =−(p₀+ρg(z₁+a))a²e~_z

La résultante F~ des forces de pression vaut donc :

F~ =F~1+F~2 =−(ρga)a²e~z =−ρga³e~z =−ρgV ~ez=−ρV g ~ez =⇒ F~ =−m_fg ~ez

F~ =m_f~g où :

V =a³ est le volume du cube, c'est-àdire en l'occurrence le volume immergé.

mf est la masse du uide contenu dans le volume V.

La force résultante (appelée poussée d'Archimède) est donc égale à l'opposée du poids du volume de liquide déplacé. Cette force étant négative, elle est bien dirigée du bas vers le haut.

3 Partie expérimentale (source : Wikipedia)

3.1 Chaleur de vaporisation de l'azote

Comme la température à laquelle l'azote s'évapore (T_V) est très basse (≈77K), les conte- nants utilisés au laboratoire contiennes de l'azote liquide en ébullition. La température du liquide demeureT_V tant qu'il en reste dans le contenant. L'énergie nécessaire pour évaporer le liquide est fournie par l'air ambiant. On peut cependant accélérer cette évaporation au moyen d'un élément chauant plongé dans le liquide.

Le montage comporte les éléments suivants :

un récipient isolant contenant de l'azote liquide.

une balance

un élément chauant alimenté par une source de tension continue un ampèremètre et un voltmètre

U A

balance

azote liquide élément chauffant

contenant styromousse

Figure 5: Montage utilisé pour mesurer la chaleur de vaporisation de l'azote liquide.

Ajuster la source de tension à 25 volts puis la mettre à OFF.

Introduire la résistance chauante (entièrement) dans l'azote liquide.

Relever la masse du récipient en fonction du temps, à toutes les 10 secondes, durant environ 200 sec., l'interrupteur ouvert. Cette masse diminue à cause de l'évaporation naturelle de l'azote.

Allumer la source de tension de façon à introduire une énergie supplémentaire dans le liquide et relever la masse durant 200 secondes.

Éteindre la source de tension et continuer de relever la masse durant 200 secondes.

temps (s) masse (g) temps (s) masse (g)

0 310

10 320

20 330

30 340

40 350

50 360

60 370

70 380

80 390

90 400

100 410

110 320

120 430

130 440

140 450

150 460

160 470

170 480

180 490

190 500

200 510

210 520

220 530

230 540

240 550

250 560

260 570

270 580

280 590

290 600

300

note : On utilise le terme masse pour la lecture de la balance. En réalité, c'est le poids que la balance mesure mais elle eectue la conversion.

Faire un graphique de la masse en fonction du temps. Le graphique obtenu devrait ressembler à ceci :

application du chauffage

temps

masse

t

∆

2

penteP penteP1

penteP3

Figure 6: Variation de la masse d'azote liquide en fonction du temps.

Sans le courant électrique, on trouve deux droites presque parallèles (pentes P₁ etP₃). La moyenne de ces deux pentes donne le taux d'évaporation de l'azote sans chauage. Il s'agit du taux d'évaporation de l'azote dû au contacts avec l'environnement (verre de styromousse, air, ...). La pente centrale donne le taux d'évaporation dû au chauage et au contact avec l'environnement. Pour déterminer le taux relié uniquement au chauage, il faut soustraire de cette valeur la contribution moyenne du contact avec l'environnement. Ce taux s'exprime donc par la quantité∆M/∆T.

La quantité d'énergie introduite par le courant pendant le chauage est U I∆t. La chaleur de vaporisation s'exprime alors par la relation :

L_V =U I ∆t

∆M (2)

U = I =

Calcul de la chaleur de vaporisation

Comparer à la valeur acceptée qui est : 198 J/g.

Pourquoi n'observe-t-on pas réellement des droites lors de l'évaporation de l'azote ?

Discuter des principales causes d'erreur.

3.2 Capacité thermique massique de matériaux solides ( 1 cal = 4.184 J) Pour le cuivre et l'aluminium :

Peser les blocs.

Faire chauer les blocs jusqu'à 100^oC(Ti) par trempage dans l'eau bouillante.

Verser environ 100 ml d'eau très froide dans la bouteille thermos et mesurer la tem- pérature T_i de cette eau. L'eau doit pouvoir submerger le bloc en entier mais pas beaucoup plus.

Introduire le bloc dans la bouteille thermos et mesurer la température nale(T_f) de l'eau à son maximum.

Calculer la capacité thermique massique sachant que celle de l'eau vaut 4.18 J/(g·K). note : La valeur obtenue est celle correspondant à la température moyenne

entreT_i etT_f.

Cuivre T_i= T_f = Masse (eau) = Masse (cuivre) =

Aluminium T_i = T_f = Masse (eau) = Masse (aluminium) =

Question : Pourquoi utilise-t-on de l'eau très froide ? Inspirez-vous de la courbe universelle de la capacité thermique à la n du document.

Calcul de la capacité thermique massique du Cuivre

Calcul de la capacité thermique massique de l'aluminium

3.3 Capacité thermique massique à basse température

Vous allez maintenant déterminer la capacité thermique massique de trois matériaux pour une température moyenne entre celle du laboratoire et celle de l'azote liquide. Commencer par relever la masse des blocs.

Masse des blocs (g) cuivre

aluminium graphite

S'assurer que les blocs soient à la température de la pièce.

Poser le contenant d'azote liquide sur la balance et le remplir jusqu'à 4 cm du rebord.

Relever la masse obtenue en fonctions du temps (à chaque 10 secondes) pendant 100 secondes.

Suspendre un bloc dans le récipient (il doit être suspendu très près du fond du réci- pient) et continuer de relever la lecture à la balance jusqu'à la disparition complète du bouillonnement.

Continuer de relever les lectures pendant 100 secondes.

Répéter les mesures avec les deux autres blocs

Aluminium Graphite Cuivre

temps (s) masse (g) temps (s) masse (g) temps (s) masse (g)

0 0 0

10 10 10

20 20 20

30 30 30

40 40 40

50 50 50

60 60 60

70 70 70

80 80 80

90 90 90

100 100 100

110 110 110

120 120 120

130 130 130

140 140 140

150 150 150

160 160 160

170 170 170

180 180 180

190 190 190

200 200 200

210 210 210

220 220 220

230 230 230

240 240 240

250 250 250

260 260 260

270 270 270

280 280 280

290 290 290

300 300 300

310 310 310

320 320 320

330 330 330

340 340 340

350 350 350

360 360 360

370 370 370

380 380 380

Aluminium Graphite Cuivre

temps (s) masse (g) temps (s) masse (g) temps (s) masse (g)

390 390 390

400 400 400

410 410 410

420 420 420

430 430 430

440 440 440

450 450 450

460 460 460

470 470 470

480 480 480

490 490 490

500 500 500

510 510 510

520 520 520

530 530 530

540 540 540

550 550 550

560 560 560

570 570 570

580 580 580

590 590 590

600 600 600

Tracer un graphique de la masse en fonction du temps pour chacun des matériaux. Le graphique suivant montre à quoi on devrait s'attendre.

bouillonnement

temps

masse

t

∆

2

penteP penteP1

penteP3

poussée d’Archimède

Figure 7: Variation de la masse en fonction du temps.

On remarque une montée abrupte lorsqu'on plonge le bloc dans le liquide même si ce dernier ne touche pas le fond du récipient. Cette montée n'est autre que la poussée d'Archimède.

Faire le calcul permettant de calculer la capacité thermique massique moyenne (pour une température moyenne entre l'ambiante et l'azote liquide) en J/(g·K).

Comment faire ce calcul :

Il faut trouver la quantité d'azote qui a été évaporée à cause que le bloc a cédé de l'énergie thermique lors de son passage de 300K à 77K (partie centrale de la courbe de la gure pré- cédente). La penteP2 de la partie centrale correspond là où l'azote liquide s'évapore le plus rapidement. En eet, deux phénomènes mènent à cette grande perte d'azote : l'évaporation normale de l'azote (moyenne des pentes 1 et 3) et l'énergie cédée par le bloc. Pour isoler l'énergie cédée par le bloc permettant de calculer sa capacité thermique, il faut soustraire la pente moyenne ^P1+P₂ ³ de la penteP2. On multiplie ensuite cette pente par le temps∆t(voir gure). Cette multiplication nous donne la quantité d'azote évaporée uniquement à cause du bloc. Comme vous connaissez la chaleur de vaporisation de l'azote (198 J/g), vous êtes maintenant capable de calculer l'énergie qu'à perdu le bloc.

Calcul de la capacité thermique massique de l'aluminium

Calcul de la capacité thermique massique du graphite

Calcul de la capacité thermique massique du cuivre

Compléter le tableau suivant à l'aide de vos derniers résultats. Attention, ici la quantité d'azote vaporisée est celle qui est due au refroidissement du bloc. Ce n'est pas la quantité initiale d'azote moins la quantité nale !

Substance Cp^exp.

J

g·K

Cp^accept´ee

J

g·K

Cp^accept´ee

J

g·K

Quantité d'azote vaporisée (g) 300 K 77 K pour que le bloc passe de 300K à 77K

aluminium 0.90 0.357

graphite 0.71 0.096

cuivre 0.385 0.205

Discuter des résultats obtenus.

Question : Pourquoi utilise-t-on souvent l'eau comme liquide de refroidissement ?

3.4 Poussée d'Archimède

Le prochain montage consiste en un bécher contenant de l'eau reposant sur une balance.

Avant d'y insérer le cylindre d'aluminium, on fait une tare sur la balance, elle indique donc maintenant zéro.

cylindre d’aluminium (rayon = 1.25 cm)

eau

1 cm

balance

Figure 8: Mesure de la poussée d'Archimède.

On commence par utiliser un cylindre d'aluminium dont le diamètre est de 25 mm et qui est gradué à tous les 10 mm sur sa longueur. On le plonge dans l'eau et on note l'augmentation de la masse sur la balance à chaque centimètre du cylindre recouvert d'eau. On obtient les résultats suivants :

longueur du cylindre submergée (cm) masse achée sur la balance (g) 01

2 3 4 5

Calcul théorique (selon Archimède) de l'augmentation de masse lorsque un centimètre du cylindre d'aluminium est plongé dans l'eau.

Faire un graphique de l'augmentation de la masse en fonction de la longueur du cylindre submergée et tracer également la courbe théorique.

Recommencer l'expérience mais cette fois avec le bloc rectangulaire donc l'arrête de la base a une longueur de 22 mm et qui lui aussi est gradué en longueur à chaque 10 mm.

longueur du prisme rectangulaire submergée (cm) masse achée sur la balance (g) 0

1 2 3 4 5

Calcul théorique (selon Archimède) de l'augmentation de masse lorsque un centimètre du prisme rectangulaire d'aluminium est plongé dans l'eau.

Faire un graphique de l'augmentation de la masse en fonction de la longueur du prisme rectangulaire submergée et tracer également la courbe théorique.

Discuter des résultats obtenus avec les deux solides.

Conclusion

Références

[1] A. Marcelo & E. J. Finn. Physics. Addison Wesley, 1992.

[2] J. Tonnelat. Thermodynamique probabiliste (un refus des dogmes). Masson, 1991.

[3] E.H. Wichmann. Physique quantique (Berkeley volume 4). Librairie Armand Colin, 1974.

Annexe A Le modèle d'Einstein

Ce modèle permet d'expliquer raisonnablement bien l'existence d'une courbe universelle pour la capacité thermique massique, bien qu'en réalité ce soit le modèle de Debye qui correspond le mieux à la réalité. L'approximation d'Einstein est que :

Le cristal peut être vu comme un ensemble d'oscillateurs identiques et indépendants possédant une énergie caractéristique d'oscillation notée ~ω, où ω est égale à 2π fois la fréquence d'oscillation.

Pour un ensemble de N oscillateurs, à une dimensions, l'énergie thermique emmagasinée dans le cristal est :

U =Nhni~ω (A-1)

avec la distribution de Planck

hni= 1 e ^~

ω kB T −1

(A-2) qui représente l'occupation moyenne du mode d'énergie ~ω à la température T. À trois dimensions, N doit être remplacé par3N à cause des trois degrés de liberté possibles pour chacun des oscillateurs. L'énergie thermique du cristal est donc :

U = 3N~ω e ^~

ω kB T −1

(A-3) La chaleur spécique d'un tel système s'écrit :

CV =

∂U

∂T

V

= 3N kB

~ω

k_BT 2

e ^~

ω kB T

e ^~

ω kB T −1

2 (A-4)

Le graphique suivant montre l'allure de la dernière relation.

cal/mol-K

/ T θ

0 1 2 3 4 5 6

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

V

C

où : θ_E =~ω/k_B.

À haute température,C_p tend vers la valeur3N k_B (valeur prédite par Dulong et Petit). À basse température, le modèle d'Einstein donne C_p∝e^{− ~}

ω

kB T alors qu'expérimentalement on trouve C_p ∝T³. C'est le modèle de Debye^[2], plus élaboré que celui d'Einstein, qui permet d'expliquer correctement cette dépendance en T³.