D212 – Les cinq rebonds de la boule de billard.
Solution Question n°1
Le trajet de la boule pouvant être assimilé à celui d’un rayon lumineux, la règle de la réflexion d’un rayon lumineux sur la surface d’un miroir s’applique. Les angles d’incidence et de réflexion sont égaux et le rayon réfléchi se propage sur un trajet symétrique de celui qu’il suivrait s’il traversait la miroir en ligne droite. Cette propriété permet de démultiplier le rectangle d’origine par des symétries successives. On obtient ainsi un quadrillage à l’intérieur duquel on peut analyser différents scénarios en prenant des lignes droites comme trajectoires possibles de la boule. Le nombre de rebonds sur les bords du billard rectangulaire est alors égal au nombre de points d’intersection de cette droite avec les lignes verticales et
horizontales du quadrillage et qui sont les reflets des bords du billard à travers les miroirs successifs.
On rappelle que AB = 2 et BC = 1.
On constate qu’il y a trois possibilités de pousser la boule pour qu’elle atteigne le coin B en cinq rebonds exactement. Ce sont les trois lignes droites tracées en rouge et les points
d’arrivée sont repérés par des cercles rouges. Les angles correspondants mesurés par rapport à l’axe des abscisses sont égaux à arctang(3), arctang(2/3) et arctang(1/5). Ils valent donc respectivement : 71,565..°, 33,69…°, 11,3099..°.
Pour ce qui concerne le coin C, il n’est pas possible d’atteindre ce coin après cinq rebonds exactement. Soit il y a toujours un nombre pair de rebonds pour atteindre ce coin, soit la boule est poussée le long de la diagonale AC , elle rebondit successivement en C, revient en A, repart en C…Il y a bien un cinquième rebond passant par C mais c’est la cinquième fois que la boule passe par ce point. On exclut donc cette solution.
Enfin pour atteindre le coin D, il y a trois directions possibles comme pour B. Les angles valent arctang(5/4), arctang(3/8) et arctang(1/12) d’où les angles 51,340..° ,20,556..°et 4,763…°. Les points D d’arrivée sont repérés par un cercle bleu.
On vérifie sur le quadrillage que la ligne droite tracée en jaune a une longueur entière égale à 10. En effet elle est l’hypoténuse d’un triangle rectangle pythagoricien dont les côtés de l’angle droit valent 6 et 8.C’est la plus courte trajectoire à valeur entière atteignant le coin B.
L’angle correspondant vaut arctang(4/3) = 53,130..°
Question n°2
Avec la même approche qu’avec le billard rectangulaire, on établit un quadrillage dans lequel sont à prendre en compte non seulement les lignes horizontales et verticales qui sont les reflets des côtés de l’angle droit du triangle ABC mais aussi les diagonales qui reproduisent l’hypoténuse BC du triangle. La ligne droite rouge AB unique qui correspond à 5 rebonds exactement de la boule dans le billard, coupe les lignes verticales, horizontales et diagonales en 5 points. L’angle mesuré par rapport à l’axe des abscisses selon lequel la boule doit être poussée est égal à arctang(3/2) = 56,309…°.
La trajectoire qui permet d’atteindre B après un nombre entier de mètres parcourus est longue de 5 mètres. C’est l’hypoténuse tracée en vert du triangle pythagoricien (3,4,5).L’angle correspondant vaut arctang(3/4) = 36,869..°.
Question n°3
Le quadrillage à base de triangles équilatéraux est composé de lignes horizontales et obliques.
Il permet d’identifier le point B tel que la ligne droite AB coupe les lignes du quadrillage en cinq points exactement. Il existe une direction unique et l’angle correspondant mesuré par rapport à l’axe des abscisses est égal à arctang(3 3/5) = 46,102..°.
Question n°4
Le digramme ci-après montre que la trajectoire recherchée a la forme d’une étoile à 5
branches dont les sommets A1,A2,A3,A4et A5sont ceux d’un pentagone régulier inscrit dans le billard circulaire de rayon 1.
Pour tracer l’étoile, il suffit de connaître le rayon du petit cercle inscrit à l’intérieur de l’étoile.
Son rayon vaut sin(18°)=0,309… A étant choisi à 75 cm du centre, il est donc possible de tracer les deux tangentes issues de A à ce cercle. Il y a donc deux trajectoires possibles, celle tracée en rouge sur le diagramme ci-dessus et la trajectoire symétrique par rapport à OA.
Commentaires de Michel Goudard.
Comme pour les questions précédentes il existe plusieurs solutions à cette question de parcours dans le cercle. Celle qui est proposée consiste à ce que la fin du parcours la droite
A
A5 soit dans l'alignement de la droite AA1.Mais il existe une autre solution où après 5 rebonds, le parcours repasse en A, mais AA1et A5Asont simplement concourants en A. La
difficulté de la résolution vient de ce que je n'ai pas trouvé de solution géométrique ou analytique. Le calcul permet d'approcher les valeurs de la solution.
Si H est le pied de la perpendiculaire issue de O sur la droite AA1 et l'angle AOH, est solution de l'équation : + 5arccos(
4
3cos ))= 2 qui repose sur le fait que les points O, A
et A sont sur un même rayon (ce qui respecte la symétrie obligatoire du parcours).Une 3 solution approchée donne = 50,957 degrés.
Y aurait-il une solution plus élégante que l'approximation ci-dessus ?
