u n = 2005 n − 1887 n − 1954 n + 1836 n.

(1)

1.Posons

u n = 2005 ⁿ − 1887 ⁿ − 1954 ⁿ + 1836 ⁿ

^.

Ona:

2006 = 2 × 17 × 59

^.

Ondéduit del'égalité:

a ⁿ − b ⁿ = (a − b)

n−1

X

k=0

a ⁿ⁻ ¹ ^−k b ^k

que

2005 ⁿ −1887 ⁿ

^et

1954 ⁿ −1836 ⁿ

^sont^divisibles^par

2005 − 1887

^et

1954 −1836

^qui^sont^égaux^à

118 = 2 × 59

^.

Parsuite,

u n

^est^divisible^par

2 × 59

^.

Parailleurs,ona:

2005 ≡ −1[17] 1887 ≡ 0[17] 1954 ≡ −1[17] 1836 ≡ 0[17]

Don:

u n ≡ (−1) ⁿ − 0 ⁿ − (−1) ⁿ + 0 ⁿ ≡ 0[17]

Ainsi

u n

^est ^divisible^par

17

^.

2, 17

^et

59

^étant^premiersêntreêux,ôn^déduit^du^théorème^de^Gauss^que

u n

^est^divisible^par

2 × 17 ×59 = 2006

^.

2.Posons

u n = 3 ⁿ + 4 ⁿ + 6 ⁿ + 7 ⁿ + 12 ⁿ + 43 ⁿ + 1806 ⁿ − 1

^.

Montronsquelesseulsnombrespremiersavetousles

u n

^,

n > 1

^,^sont^de^la^forme

3 ^p 7 ^q

^,

p, q ∈ N

.

•

^Montrons^que

3

^ne^divise^auun

u n

^.

Comme:

4 ≡ 1[3] 6 ≡ 0[3] 7 ≡ 1[3] 12 ≡ 0[3] 43 ≡ 1[3] 1806 ≡ 0[3]

ilvient:

u n ≡ −1 ≡ 2[3]

Ainsi,lerestedeladivisioneulidiennede

u n

^par

3

^est^égal^à

2

^:^auun

u n

^n'est^divisible^par

3

^et,^par^onséquent,

parauunepuissanede

3

^.

•

^Montrons^que

7

^ne^divise^auun

u n

^.

Comme:

3 ≡ 3[7] 4 ≡ −3[7] 6 ≡ −1[7] 12 ≡ 5[7] 43 ≡ 1[7] 1806 ≡ 0[7]

ilvient:

u n ≡ 3 ⁿ + (−3) ⁿ + (−1) ⁿ + 5 ⁿ [7]

Si

n = 3k

^,^alors

u n ≡ 1 + 3(−1) ^k ≡ 4

^ou

5[7]

^.

Si

n = 3k + 1

^,^alors

u n ≡ 4[7]

^.

Si

n = 3k + 2

^,^alors

u n ≡ 2[7]

^.

Ainsi, le restede la division eulidienne de

u n

^par

7

^est ^égal ^à

2, 4, 5

^: ^auun

u n

^n'est ^divisible^par

7

^et, ^par

onséquent,parauunepuissanede

7

^.

• 2

^et

5

^divise

u 1 = 1880

^et

43

^divise

u 9

^.

Considéronsunnombrepremier

p

^,

p 6= 2, 3, 5, 7, 43

^,^et^montrons^que

p

^divise

u p−2

^.

D'aprèslepetit théorèmedeFermat,ona:

3 ^p−1 ≡ 1[p] 4 ^p−1 ≡ 1[p] 6 ^p−1 ≡ 1[p] 7 ^p−1 ≡ 1[p]

12 ^p−1 ≡ 1[p] 43 ^p−1 ≡ 1[p] 1806 ^p−1 ≡ 1[p]

Parsuite,ilexiste

a, b, c, d, e, f, g ∈ N

tels que:

3 ^p−2 = 1 + ap

3 4 ^p−2 = 1 + bp

4 6 ^p−2 = 1 + cp

6 7 ^p−2 = 1 + dp 7 12 ^p− ² = 1 + ep

12 43 ^p− ² = 1 + f p

43 1806 ^p− ² = 1 + gp 1806

Alors:

u p−2 = 1 + ap

3 + 1 + bp

4 + 1 + cp

6 + 1 + dp

7 + 1 + ep

12 + 1 + f p

43 + 1 + gp 1806 − 1

= p(1204a + 903b + 602c + 516d + 301e + 84f + 2g) 3612

soit:

3612u p− 2 = p(1204a + 903b + 602c + 516d + 301e + 84f + 2g)

^.

Onendéduitque

p

^divise

3612u p− 2 = 2 ² × 3 × 7 × 43

^.

D'aprèslehoixde

p

^,

u p− 2

^est^divisible^par

p

^.

Conlusion.

3

^et

7

^étant^premiersêntreêux,ôn^déduit^deê^qui^préèdeêt ^du^théorème^de^Gauss^que^seuls

lesentiers delaforme

3 ^p 7 ^q

^,

p, q ∈ N

,sontpremiersavetousles

u n

^,

n > 1

^.

u n = 2005 n − 1887 n − 1954 n + 1836 n.