IV-2 Miroirs sphériques

Miroir concave Miroir concave

S x xC Miroir convexe Miroir convexe

S

C x

x

IV-2 Miroirs sphériques

a- Définition

Un miroir sphérique se présente sous la forme d’une calotte sphérique Un miroir sphérique se présente sous la forme d’une calotte sphérique centrée autour d’un axe de révolution, ces calottes

centrée autour d’un axe de révolution, ces calottes peuvent être concaves peuvent être concaves ou convexes

ou convexes. Le centre d’un tel miroir coïncide avec celui de la sphère . Le centre d’un tel miroir coïncide avec celui de la sphère supportant la calotte sphérique

supportant la calotte sphérique..

Les miroirs sphériques ne sont stigmatiques que pour les rayons passants par le centre C

x S

b. Stigmatisme

A’

I

Cx

i i

 A

a _x

 A J

i’

A’₁

x

Images différentes

Images différentes A’A’ et et A’A’_{1 1} d’un même objet situé à l’infini d’un même objet situé à l’infini Miroir sphérique non stigmatique

Miroir sphérique non stigmatique

C

I

x

H

x

A

Objet réel

a + i a - i i

A’

Image réelle

x ^xS

a

a ; i <<1 rad H Ξ S

c. Relation de conjugaison des miroirs sphérique c. Relation de conjugaison des miroirs sphérique

dans l’approximation de Gauss

dans l’approximation de Gauss (optique paraxiale)(optique paraxiale)

( ) (1)

' '

IH IH

tg i i

HA SA a  a   

( ) IH IH (2)

tg i i

HA SA a   a   

( ) IH IH (3)

tg a  a  HC  SC

: (1) (2) 2 (3 ) On constate que   

1 1 2

'

SA SA SC

  

Du miroir sphérique

Par définition des foyers

si , A´  F´ = foyer image

On obtient : -

SA 

2

´ SC SF

SF  

d - Foyers et distances focales

SC 2

´ SA

1 SA

1  

et si , A  F = foyer objet. La relation montre que les foyers sont confondus.



SA’ 

Relation de conjugaison des miroirs sphériques avec origine au centre C

A C B

A’

B’

Théorème de Thalles: A B' ' CA' AB  CA

'( ) ( ')

( ) ( ')

'

1 1 2

1 1

' '

CA SC CA SC CA CA

SC CA SC CA

CA CA

SC SC

CA CA CA CA CS

   

 

 

      

' SC CA

SC CA

  

 '

SA

  SA

Pour un miroir convexe, SF > 0 et SF´ > 0, les foyers sont virtuels, le miroir est dit divergent.

S

C F:F´

miroir convexe

Pour un miroir concave, SF < 0 et SF´ < 0, les foyers (confondus) sont réels, le miroir est dit convergent.

miroir concave

C S

F F´

e - Vergence

ce qui permet d’écrire la relation de conjugaison sous la forme :

V > 0 pour un miroir concave et

V < 0 pour un miroir convexe.

SC 2

´ SF

1 SF

V 1 

 

 



´ V SA

1 SA

1   

f - Grandissement

D'après la figure, on peut écrire pour i et i’ faibles:

et

A C S

B

i I’

A´

B´

La loi de réflexion donne i = - i´ en déduit :

SA

´ SA AB

´ B

´

A 



g -

+

' ' '

' i A B

 SA i AB

 SA

Comme nous travaillons dans les conditions de Gauss, un miroir sphérique sera quasiment confondu avec son plan tangent en S.

g- Modélisation et constructions

concave convexe

représentation

A B

B´

A´

Construire l’image B´ de B ne nécessite que deux rayons lumineux parmi les quatre fondamentaux.

3- Le rayon passant par C revient sur lui-même.

2- Le rayon passant par B et S revient symétriquement par rapport à l’axe optique.

4- Le rayon passant par B et F revient parallèlement à l’axe optique.

1- Le rayon issu de l’infini, parallèle à l’axe optique et passant par B revient en passant par F.

C S

F

Exercice d’application : Miroir concave

A B

B´

C A´ F

S

C F

S A´

B´

B A

Objet réel avant C 1

Objet réel entre C et F 2

Ces 2 cas se déduisent l’un de l’autre par le principe du retour inverse.

Image réelle -1 < γ < 0

Image réelle γ < -1

Objet réel entre F et S 3

A´

B´

C

F S

B A

Image virtuelle γ > 1

Objet virtuel 4

Image réelle 0 < γ < 1

A B B´

C F A´ S

Ces 2 cas se déduisent l’un de l’autre par le principe du retour inverse.

Objet réel entre F et S 3

A´

B´

C

F S

B A

Image virtuelle γ > 1

Objet virtuel 4

Image réelle 0 < γ < 1

A B B´

C F A´ S

Ces 2 cas se déduisent l’un de l’autre par le principe du retour inverse.

Objet réel entre F et S 3

A´

B´

C

F S

B A

Image virtuelle γ > 1

Objet virtuel 4

Image réelle 0 < γ < 1

A B B´

C F A´ S

Ces 2 cas se déduisent l’un de l’autre par le principe du retour inverse.

Exercice d’application : Miroir convexe Objet réel

1

Objet virtuel entre S et F 2

Image virtuelle 0 < γ < 1

Image réelle γ > 1

A B

B´

S A´ F C

A´

B´

B S A

C F

Objet virtuel entre F et C 3

Image virtuelle γ < -1

A´

B´

B S A

C F

Objet virtuel après C 4

Image virtuelle -1 < γ < 0

A´

B´

B

S F C A

n n´

axe optique C S

+

Un dioptre sphérique est une portion de sphère caractérisée par son centre de courbure C, son rayon de courbure SC et par les indices de réfraction n et n´ de part et d'autre de sa surface.

+

n n´

S C

S sommet du dioptre correspond à l'intersection de sa surface avec l'axe optique.

0 SC>

0 SC<

IV-1 Dioptres sphériques

a- Définition

Tout rayon lumineux passant par le centre Tout rayon lumineux passant par le centre CC est perpendiculaire à la tangente au point est perpendiculaire à la tangente au point II du

du dioptre n’est pas dévié.dioptre n’est pas dévié.

S C

x

n₂ n₁

I

A

x

b. Relation de conjugaison b. Relation de conjugaison

i₂ I

H

n₁> n₂ , i₂ > i₁

i₁

x a _S

n

n

A’

Approximation de Gauss , H et S sont pratiquement confondus.

2 2

( ) (1)

' '

IH IH

tg i i

HA SA

a   a   

1 1

( ) IH IH (2)

tg i i

HA SA a   a   

( ) IH IH (3)

tg a  a  HC  SC

1 1 2 2

(4)

n i  n i

a_{+ i1} a_{- i2}

C

1 ( 1) 1 H

n n A

i IS

a  

1 IH (2)

i SA a ^{ }

2

2 ( 2) 1 ( 1) 1

'

IH IH

n n

SA S

n i n

i A

a   a   

2 IH' (1)

i SA a  

2 ( 2 ) 2

' n IH

i S

n a   A

( )

( ) IH IH 3

tg IH SC

HC SC

a  a     a

2

2 2 2 1 1 1 2 1

( 1 (5)

( ) )

n n i n n i n n ' n

IH SA SA a   a   a  n  

(1) ^Х n2 (2) ^Х n1

On obtient: ^{2 1 2 1}

'

n n

SA SA

n n

 SC



Notation algébrique

D’après le schéma on a:

1 2 1 2

'

n

n n

SA SA S

n

   C

Relation de conjugaison pour tous les dioptres sphériques Dans l’approximation de Gauss

, ' ',

SA   SA SA   SA SC   SC

1 0 2 1 2

'

n n n n

SA SA SC

    

' ' 2

2 1

' ( n ) (1)

A F SF SC

n n

  



2 1 1 2

' 0

n n n n

SA SC

SA

   

1

1 2

( n ) (2)

A F SF SC

n n

  



C- Les foyers

- Foyer image: Objet à l’infini l’image est en F’

- Foyer objet : image à l’infini objet est en F

Remarque1: (1)+(2) SF  SF '  SC

Ou encore: (1)

/

1

' n

S F S F n

 

1 2 1 2 1 2

' ' (3)

n n n n n n

SA SA SC SF SF

     

Remarque2:

Le dioptre est dit convergent si ses foyers sont réels (F dans l'espace objet, F´ dans l'espace image) :

SF < 0 et SF '  0

Il est dit divergent si ses foyers sont virtuels (F dans l'espace image, F´ dans l'espace objet) :

SF  0 et SF ' < 0

Remarque3: la relation de conjugaison peut s’écrire aussi:

1 2 2 1 '

n n n n

V SF SF SC

    

d- La vergence (dioptries)

: 0

0

On verifie facilement V dioptre convergent V dioptre divergent

 

< 

e

e

1 2 1 2 1 2

' ' (3)

n n n n n n

SA SA SC SF SF

     

1 2

1 2 1 2

( ) ( ) ' 1

SC n SC n

n n SA  n n SA 

 

' 1 (4)

'

SF SF

SA SA

  

' 1 (5)

' '

SF SF

SF SA SF SA

  

 

Nous avons montré :

1 2

( )

SC n n

 

En développant (5)

FA F A . ' '  SF SF . '

Relation de conjugaison de Newton

Inverse Inverse

ff

i

> i

n

> n

i₂ i₁

A B

S

' ' A B

  AB

C

A’

B’

L’image A’B’ est virtuelle

1 1 2 2

et comme n i  n i

1 1 2 2

tang tang ' '

'

AB A B

i i et i i

SA SA

   

1 2

' ' n '

A B SA

AB n SA

  

n₁>n₂

B’₁

A’₁

B₁

n₁ n₂

S A₁

F’

+

F

+

C

+

g.

g. Exemples de construction d’imageExemples de construction d’image

on utilise 3 rayons particuliers:

1- un rayon passant par le centre du dioptre et qui n'est pas dévié à la traversée de celui-ci

2- un rayon issu de B1 et parallèle à l'axe principal: il est réfracté suivant un rayon qui passe par le foyer image F'.

3- un rayon issu de B1 et passant par le foyer objet F: il est réfracté suivant une parallèle à l'axe principal

L’objet réel A entre -

∞

n₁>n₂

S B

A

n₁ n₂

F’

C+ + F

+ A’ B’

L’objet réel A entre F et C

Image virtuelle

n₁>n₂

S B

A

n₁ n₂

F’

+ C+

F

+ A’

B’

L’objet réel A entre C et S

Image virtuelle

n₁>n₂

B

A F’

F

n₁ n₂

S +

+

C+

B’

A’

L’objet virtuel A entre S et F’

L’image est réelle

Une lentille est formée par l'association de deux dioptres sphériques de sommet S₁ et S₂ délimitant un milieu d'indice de réfraction n, dans un milieu d'indice de réfraction différent.

V – Associations de dioptres sphériques : les lentilles

1 – Définition et classification des lentilles

Dans tout ce qui suit, nous nous plaçons dans ce cas où le milieu ambiant est l’air.

Les Lentilles sont des constituants essentiels des systèmes optiques

(jumelles, microscopes, télescopes et bien sûr l’appareil photographique).

Lentilles minces dans les conditions de Gauss permettent:

On désigne par le centre optique « O » le point de l’axe optique appartenant à la lentille : c’est l’axe passant par les deux centres des dioptres

sphériques formant la lentille.

•De focaliser l’image d’un objet sur un écran ou un détecteur.

•De réaliser des images nettes.

•D’agrandir l’image d’un objet.

•De rétrécir l’image d’un objet..

•De renverser l’image d’un objet..

Une lentille est dite mince lorsque son épaisseur est faible comparée au rayon de courbure de ses faces.

V–

1- Généralités

Centre optique

Une lentille est un milieu homogène, transparent et isotrope; elle est formée par l'association de deux dioptres sphériques de rayon R₁ et R₂ et de sommet S₁ et S₂ délimitant un milieu d'indice de réfraction n, dans un milieu d'indice de réfraction différent. l’un des 2 dioptres peut être plan.

2 – Définition

•On travaille en notation algébrique.

•Le milieu extérieur est toujours l’aire

• lentille à bords

minces (convergentes)

Symbole Lentille

biconvexe

Lentille plan

convexe Ménisque convergent On distingue deux types de lentilles :

• les lentilles à bords minces (convergentes) : le faisceau lumineux les traversant devient plus convergent

3- Types de lentilles

Les différents types de lentilles Minces convergentes

• lentilles à bords épais (divergentes) : le faisceau lumineux les traversant devient plus divergent

biconvexe plan convexe ménisque

divergent ^symbole Les différents types de lentilles

minces divergentes

• lentille à bords minces (divergente)

* Cas d’une lentille convergente

• Si l’on place un objet plan à une distance infinie d’une lentille mince convergente,

celle-ci fournit une image réelle nette de cet objet dans le plan appelé plan focal image de la lentille. La distance entre le plan de la lentille et son plan focal est la distance

focale f^.

Plan focal image

F’ Axe optique

O

On note F’ le point de l’axe optique appartenant au Plan Focal Image : il correspond au point d’intersection des rayons arrivant sur la lentille parallèles entre eux et

parallèles à l’axe optique. F’ est appelé le foyer image.

Le Foyer Objet est noté F : il est symétrique de F’ par rapport à O. Tous les

rayons issus de ce point et atteignant la lentille en ressortent parallèles entre eux et parallèles à l’axe optique.

L.C

F

3- Notion du Plan Focal Image

4- Relation de conjugaison des lentilles minces.

1 1

2 2 1 2 2

( 2) : (1) Pour le dioptre S

n n n n

S A S A S C

   ^{2 2}

1 1 1 1 1

( 1) : ' (2)

Pour le dioptre S

n n n n

S A S A S C

  

Pour les lentilles minces S1 ,S2 et O sont très voisin S1 S2 O

Sens +

(AB ; n₁)

Dioptre S₂

(A₁B₁ ; n)

« dans l’approximation de Gauss »

(A^’B^’; n₂) Dioptre S₁

1 1

1 2

(1) 2 n n n n (1')

Dans en remplace S par O

OA OA OC

   

1 2 1 2

2 1

(1') (2 ') (3)

'

n n n n n n

OA OA OC OC

 

     

En général : n₁ = n₂ = 1

2 1

1 1 1 1

( 1) (4)

' n

OA OA OC OC

 

      

 

2 2

1 1

(2) 1 (2 ')

'

n n n n

Dans en remplace S par O

OA OA OC

   

1 1 1 1

' ' V

P  P  f   f 

1 1 1 1

- ( -1) -

' 2 1

V n

f f O C O C

 

 

 

 

 

  

'

: f ' f 1

ou encore

P  P 

La vergence est homogène à l’inverse d’une longueur et s’exprime en m^-1. En optique, le m^-1 est appelé Dioptries dont le symbole est  : 1m^-1 = 1

Relation de Descartes avec origine au centre O

' ' ; ; ' ' ;

P  OA P  OA f  OF f  OF

On pose:

La relation (4) devient:

On défini la vergence ‘V’ :

5- Propriétés des lentilles minces

• f = -f ‘

• Et : f > 0 , f ‘ < 0 et V < 0

• Et : f < 0 , f ‘ > 0 et V > 0

F F’

O

L.C

F’ F

O L.D

• Pour une lentille convergente :

• Pour une lentille divergente

• f = -f ‘

Relations de Newton avec origine aux foyers

' ' ' ' '

(5)

F A FA OF OF f

    

1 1 1

' ' (1)

OA  OA  OF

' ' '

( ' ' ')( )

1 1

' ' ' (2)

OF FA OF F A OF F A OF F

OF F A OF FA A

  

 

 

 

' ' '

' ' ' ' ' '

1 (3) '

OF FA OF F A

OF OF OF FA F A OF F A FA OF

  

  

 

' '

' ' ' '

OF O F  OF FA  F A O F  F A FA 

' ' ' '

' F AOF ' OF O ' F A OF (4)

OF OF   F 

Rayons particuliers

O a/ Tout rayon incident passant par le

centre optique, ne subit aucune déviation.

O

L.C L.D

b/ Tout rayon incident // à l’axe, sort en passant par le foyer image F’.

F F’ F’ F

c/ Tout rayon incident passant par le

foyer objet F, sort // à l’axe optique. F F’

O

O

O

F’ O F

Construction géométrique pour un rayon quelconque traversant une lentille convergente

F O

F’

Plan focal image

En utilisant le plan focal image

Construction géométrique pour un rayon quelconque traversant une lentille convergente

F O

F’

Plan focal objet

En utilisant le plan focal objet

Construction géométrique pour un rayon quelconque traversant une lentille divergente

F’

F Plan focal

image

O

En utilisant le plan focal image L.D

Les deux rayons parallèle Doivent se rencontrer au même point sur le plan focal image

Construction géométrique pour un rayon quelconque traversant une lentille divergente

F’

F Plan focal

objet

O

L.D

En utilisant le plan focal objet

1-On trace son prolongement (virtuelle) jusqu’au plan focal objet

F ^Foyer

secondaire objet 2-On trace un rayon incident, parallèle à l’axe optique, et qui

converge ver f

Construction géométrique pour un rayon quelconque traversant une lentille divergente

F’ O F

L.D

En utilisant le point focal objet

L’image de l’objet à l’infini est situé sur le plan focal image

6- Formation d’image , grandissement et grossissement angulaire

LC

F

F’

A B

a B’

a

a- Grandissement transversal «  ^{»: A B' '}

  AB

tang ( ) ' '

'

A B AB

OA OA

a  

OA '

  OA

Et comme :

Lorsque g > 0 , l’image est de même sens que l’objet, alors que pour g < 0 , l’image est renversée. On dit que l’image est grandie quand /g/ >1 alors qu’elle est rétrécie lorsque /g/ < 1

A’

o

B- Grossissement angulaire « G »:

A A’

a a’

Par définition le grossissement angulaire est la quantité: '

G a

 a

' G OA

 OA

tang OI (1)

a a  OA

I

O

On travaille dans les condition de Gauss : rayons peu inclinés par rapport à l’axe optique càd on travaille avec des petits angles.

. 1

G  

' tang ' (2)

' OI a a  OA

et

On obtient :

Ou encore : a '. A B' '  a. AB Relation de Lagrange- Helmoholtz

7 – Constructions géométriques

Procédant de la même manière que pour le dioptre sphérique.

On utilise les propriétés des foyers et du centre optique :

- Un rayon incident passant par le foyer objet émerge parallèlement à l'axe optique.

- Un rayon incident parallèle à l'axe optique émerge en passant par le foyer image.

- Un rayon passant par le centre optique n'est pas dévié (axe secondaire).

A´

B´

A B

F F´

L’image est virtuelle droite plus grande que l'objet et située entre le centre optique O et -

∞

- Objet réel situé entre le foyer objet F et le centre optique O

a - Pour les lentilles convergentes

F

F´

A B

A´

B´

image réelle droite plus petite que l'objet et située entre le centre optique O et le foyer image F´.

- Objet virtuel situé dans l'espace image

A´

A

B´

F´

F B

L’image est virtuelle droite plus petite que l'objet

b- Pour les lentilles divergentes

- Objet réel situé entre l'infini et le centre optique.

L’image est réelle droite plus grande que l'objet et située entre le centre optique O et l'infini.

A´

F´ A F

B B´

- Objet virtuel situé entre le centre optique O et le foyer objet F

L’image est virtuelle renversée plus grande ou plus petite que l'objet et située entre le foyer image F´ et l'infini.

A´ F´

F

B

A

B´

-Objet virtuel situé entre le foyer objet F et l'infini.

7- Association de lentilles minces

L’association de deux lentilles minces constitue ce qu’on appelle un doublet.

Si les deux centres optiques deux lentilles peuvent être considérés comme confondus, le doublet est dit accolé , dans le cas contraire, il est dit non accolé

a- Doublet accolé les centres optiques O₁ et O₂ des deux lentilles sont considérés comme confondus en un seul point O.

AB A₁B₁

Objet / L1

(L1) ^{Image / L1}

Objet / L2

(L2) A^’B’

Image / L2

Image de AB / (L1+L2)

Les distances focales images des deux lentilles L1 et L2

' '

2 1

1 1 1 1

(1) (2)

'

OA OA f f

    

' '

1 1 1

1 1 1 1

OA  OA  OF  f (1) ^' '

1 2 2

1 1 1 1

' (2)

OA  OA  OF  f

Ces relations montrent que le doublet accolé se comporte comme une seule lentille mince de centre optique O et de distance focale image f’ telle que:

' '

1 2

1 1 1

'

f  f  f

a-1- Grandissement du doublet accolé:



1 1

2 1

1 1

' ' ' '

A B A B A B .

AB A B AB



 

'

1 1

'

f   f

L e résultat précédent peut être étendu à l’association d’un nombre quelconque de lentilles minces:

1 1

1 2

1 1

: A B A B' '

avec et

AB A B

   

b- Lentilles afocale

F₁

F’₁ F₂

O₁ O₂ F’₂

'

1 2

F  F

-Cas de deux lentilles convergentes

d₁ d₂

1 1

2 2

1 2

' ' F O

F O

d

d 





On montre facilement que : L1

L2

càd que Le point focal image de la 1^ère lentille coïncide avec le point focal objet de la 2^ème

lentille

-Cas de deux lentilles une convergente et l’autre divergente

F’₁

F₁

F₂ F’₂

L1

L2

'

1 2

F  F (point focalimage de L1 confondu avecle point focalobjet de L2

O1 O2

1 1

2 2

1 2

' ' F O

F O d

d 

d1 d2

c- Doublet quelconque

F₁ F’₁

F₂ F’₂

F F’

L1 L2

Point focal image du système (L1 +L2) Point focal objet

du système (L1 +L2)

S1 S2

7- Relation de conjugaison et foyers d’un doublet

A L1 A₁ L2 A₂ '

1 1 1 1 1

'

2 1 2 2 2 2

: ;

;

avec S A P S A P S A P S A P

 

 

'

1 2 :

Or P et P sont reliés à e par

'

' 1 1

1

1 1

P f (3) P  P f



Les relations de conjugaison pour L1 et L2 sont:

' ' ' ' ' '

1 2 ( 1 2 ) 1 2 ( 1 ) 2 1 ( 2 ) 1 2 0

(6)

P P e  f  f  P f f  e  P f f  e  ef f 

' 1 1 '

1 1

1 (1) f f

P  P 

'

1 2 1 1 1 2 1 2 (5)

e S S  S A  AS  P P

En injectant (3) et (4) dans (5) on obtient:

' 2 2 '

2 2

1 (2) f f

et P  P 

'

2 2

2 ' '

2 2

P f (4) et P  P f



'

1 2

'exp

On tire alor l ression de P en fonction de P

' '

2 1 2 1 2

1 ' ' ' '

2 1 2 2 1

( )

( ) ( ) (7)

P f f e ef f

P P e f f f f e

 

    

P

   

Relation de conjugaison

du doublet

Foyer image et objet d’’un doublet??

Le foyer image du doublet correspond à un objet à l’infini

' '

' 2 1

2 2 '

1 2

( )

' ( )

f e f

P S F

e f f

  

 

De la même façon on calcule le foyer objet du doublet

1 2

1 1 '

1 2

( )

( )

f e f P S F

e f f

  

 

2

'

1 1

P     P  S F 

Vergence d’un doublet

On admettra la formule de Gullstrand qui donne la vergence C = 1/f d’un Ensemble de deux lentilles minces de vergence C₁=1/f₁ , C₂=1/f₂ dont les centres optiques sont distants de e:

1 2

C  C  C

Remarque: Dans le cas ou les lentilles sont accolée (e=0)

1 2 1 2

C  C  C  e C C

8- Aberrations chromatiques

Quand la lumière blanche traverse la lentille , on assiste à une légère dispersion des couleurs comme dans le cas d’un prisme (lois de Cauchy).

Lumière blanche

F’_b

F’_b

' '

( ) ( )

b r n b n r Fb Fr

 <       <

Pour corriger cette aberration on associe une lentille convergente et une lentille divergente pour compensation du chromatisme

LC LD

F’