4 TMC dans le cas du SOLIDE

1 Trois th´ eor` emes fondamentaux

TCI : Le th´eor`eme du centre d’inertie TMC : Le th´eor`eme du moment cin´etique

TEC : Le th´eor`eme de l’´energie cin´etique, ou mieux : TEM : Le th´eor`eme de l’´energie m´ecanique.

• Appliqu´es `a un seul point , le TMC et le TEC d´ecoulent du TCI ; ils pr´esentent parfois l’avantage d’ˆetre plus faciles `a appliquer. Par contre, ils se limitent `a une seule expression scalaire.

• Eviter le TCI quand on a affaire `a un ressort qui change de direction; pr´ef´erer dans ce cas le TEM car l’´energie potentielle d’´elasticit´e est facile `a exprimer. Eviter le TCI quand on a un solide qui tourne autour d’un axe car on ne connaˆıt pas la r´eaction d’axe, utiliser le TMC ou le TEM.

• Rq: dans le cas d’un syst`eme `a plusieurs points, le TCI et le TMC ne sont pas redondants; en effet le TMC tient compte des diff´erents points d’application des forces, pas le TCI.

2 Sur les forces int´ erieures

• Quel que soit le syst`eme (d´eformable ou non), Σf~interieures=~0 et ΣM~A(f~interieures) =~0

• Syst`eme d´eformableδW(Σf~interieures)6= 0

• UNIQUEMENTpour le SOLIDE (syst`eme ind´eformable),δW(Σf~interieures) = 0

3 Cons´ equence dans un r´ ef´ erentiel galil´ een

TCI :

d~p_G

dt = Σf~exterieures ou m~a_G= Σf~exterieures

TMC :

dσ∆

dt = ΣM∆(f~exterieures) L’axe ∆ peut ˆetre tout axe fixe ou un axe passant parG.

Attention: effectuer le calcul du moment de chaque force `a partir de son PROPRE point d’application.

Toute r´esultante de forces uniform´ement r´eparties s’applique en G. C’est le cas du poids total.

TEC :

dE_C =δW_exterieur+δW_interieur

Noter l’intervention des forces int´erieures , contrairement au TCI et TMC.

TEM :

Quand le travail des forces, int´erieures ou ext´erieures, peut s’exprimer `a l’aide d’une ´energie potentielle, (cas de la tension de ressort ou de la pesanteur), alors on remplace souventδW par−dE_pet on obtient le TEM :

dEm=δWnon pot

- o`u δW_{non pot} repr´esente le travail des forces, int´erieures et ext´erieures, ne d´erivant pas d’une ´energie potentielle (i.e non conservatives)

- Em doit contenir TOUTE interaction, INTERIEURE et EXTERIEURE, d´erivant d’une ´energie POTENTIELLE.

- Dans le cas o`uδW<sub>non pot</sub>= 0 alorsE<sub>m</sub> =Cte. On parle de syst`eme isol´eou conservatif.

4 TMC dans le cas du SOLIDE

Les situations auxquelles le programme actuel vous confronte sont telles que : dL∆

dt =M∆(f~exterieur) avec L∆=J∆ω

Il faut que l’axe de rotation ∆ soit FIXE .J_∆ est le moment d’inertie du solide par rapport `a l’axe ∆.

5 TEM dans le cas du SOLIDE

Les situations auxquelles le programme vous confronte sont telles que

E_C = 1

2 J_∆ ω² Il faut que l’axe de rotation ∆ soit FIXE.

dE_C

dt = P_exterieur car P_interieur= 0

dE_m

dt = P_{non pot} puissance des forces ext´erieures non conservatives

6 Actions de contact

Sans frottement, T = 0 ce qui faitW(T) = 0 (d’o`u syst`eme conservatif)

Avec frottement,T 6= 0; si glissementW(T)6= 0 mais SANS glissementW(T) = 0 (RSG)

Le syst`eme est donc conservatif en cas d’absence de frottement ou dans les cas de roulement SANS glissement.

Le syst`eme est non conservatif en cas de frottement AVEC glissement.

Lois de Coulomb: glissement : T =f N non glissement : T < f N

7 Oscillateurs

De nombreux oscillateurs (filtres passe-bas en ´electronique, syst`eme masse-ressort, ´electron ´elastiquement li´e...) ont un mouvement r´egi par une ´equation diff´erentielle du type :

¨ x+ω0

Q x˙+ω₀²x=f(t) La solution g´en´erale de cette ´equation est la somme :

- de la solution de l’´equation diff´erentielle sans second membre qui physiquement correspond aur´egime libre (l’oscillateur oscille librement apr`es une excitation br`eve)

- d’une solution particuli`ere de l’´equation avec second membre qui physiquement correspond au r´egime forc´e(l’oscillateur est sans cesse excit´e par une forceF(t))

7.1 R´egime libre

equation differentielle x¨+^ω_Q⁰x˙+ω₀²x= 0 caracteristique r²+^ω_Q⁰ r+ω₀²= 0

Q≤1/2 discriminant ≥0 Q≥1/2 discriminant ≤0

r´egime ap´eriodique ou critique r´egime pseudo p´eriodique

L’amplitude varie ene^−ω0t/2Q - Dur´ee caract´eristique : 2Q/ω₀

7.2 R´egime forc´e F =F0cosωt (cf cours sur les filtres passifs en ´electronique) X = _ω2 ^F0/m

0+j^ω_Q⁰ω−ω² = ^F0/mω02

1+j_Q¹ _ω^ω

0−^ω2

ω2 0

V =jωX = _1+jQ(^QF0/mωω ⁰ ω0−^ω_ω⁰)

Passe-basdu second ordre Passe-bande du second ordre R´esonant siQ >1/√

2 Largeur bande passanteQ=ω0/∆ω

|X|est l’analogue de UC du circuit R, L, C s´erie |V |est l’analogue de UR du circuitR, L, C s´erie

8 Mouvement ` a force centrale

8.1 Pr´eliminaire

Ces mouvements s’appliquent aux syst`emes de deux particules dont l’une est beaucoup plus massive que l’autre, comme par exemple le syst`eme (satellite-Terre) ou (plan`ete-Soleil). Ainsi le centre de gravit´e du syst`eme est confondu avec la position de la particule la plus massive ; l’´etude du mouvement revient `a celui de la particule l´eg`ere autour de la particule massive consid´er´ee comme fixe (origine du r´ef´erentiel avec des axes fixes donc consid´er´e galil´een);

8.2 Cas g´en´eral

Def: On appelle force centraleappliqu´ee en un pointM toute forcef toujours colin´eaire `a OM.

Pt´e: le vecteur moment cin´etique se conserve

Cq 1: Le mouvement est plan. (passant par le centre attractif et perpendiculaire au vecteur moment cin´etique)

Cq 2 : r²θ˙=Cconstante des aires (homog`ene `a une surface divis´ee par un temps) Cq 3 L’aire d´ecrite par le vecteur OMpendant dt estdA=Cdt/2.

8.3 Champ de force conservatif

Pt´e: En g´en´eral la force centrale d´erive d’une ´energie potentielle E_p, l’´energie m´ecanique est conserv´ee au cours du mouvement et peut se mettre sous la forme :

E_m = 1

2mv²+E_p(r) = 1

2mr˙²+1 2mC²

r² +E_p(r) = 1

2mr˙²+Ep,ef f ective(r) 8.4 Champ de force newtonnien

Def: On appelle champ de force newtonien, une force de la forme f = _r^k2u_r. d’o`u E_p(r) = ^k_r.

C’est le cas de la force gravitationnelle (k=−GM m <0) et de la force ´electrostatique (k=Qq/4π₀).

f_grav =−^{GM m}_r2 E_pgrav =−^{GM m}_r

Dans ce cas (m´ecanique c´eleste), on obtient la courbe suivante pourE_{p,ef f}

- Em > 0 : hyperbole (mouvement non born´e ou ´etat de diffusion) `a l’infini o`u E_p = 0, la vitesse est non nulle.

- Em = 0 : parabole (mouvement non born´e ou ´etat de diffusion) : `a l’infini o`u Ep = 0, la vitesse est nulle. C’est un moyen de trouver la vitesse de lib´eration.

- Em < 0 : ellipse (mouvement born´e ou

´

etat li´e).

- Rq : le mouvement circulaire est un cas particulier de l’ellipse.

8.5 Cas des mouvements elliptiques pour le champ gravitationnel Newtonien Les 3 lois de Kepler:

Les orbites ferm´ees sont des ellipses dont un des foyers est l’astre attracteur.

Le vecteurOM balaye des aires ´egales pendant des temps ´egaux (loi des aires).

Le demi-grand axe ade l’ellipse et la p´eriode de r´evolution v´erifient : a³/T² 'GM/4π²

(se retrouve facilement `a partir du mouvement circulaire). La constante ne d´epend que de la masse attractive si celle-ci domine la masse de l’objet qui tourne.

Em =k/2a (rappel : k=−GM mpour l’attraction gravitationnelle).

E_m,grav =−GM m 2a

Aux points p´erig´eeetapog´ee, de par la constante du moment cin´etique,r_Pv_P =r_Av_A =C 8.6 Cas des mouvements circulaires pour le champ gravitationnel Newtonien v =

qGM

r (se retrouve rapidement par la R.F.D) Em=−E_C = 1/2 Ep

8.7 Cas du champ de gravitation terrestre GMT =g0R²_T v_lib=p

2GMT/RT = 11km.s⁻¹

9 Mouvement d’un particule charg´ ee dans un champ ´ electromagn´ etique

9.1 Force de Lorentz

Def: Toute particule charg´eeq, situ´ee au pointM `a l’instantt, plac´ee dans un champ ´electromagn´etique {E,B}subit une force dite de Lorentz :

F(M, t) =q(E(M, t) +v∧B(M, t))

Pt´e: la composante´electrique de la force de Lorentz tend `a acc´el´erer ou d´ec´el´erer la particule.

Pt´e : la composante magn´etique de la force de Lorentz est toujours orthogonale au mouvement

9.2 Mouvement de la particule dans un champ magn´etique constant

Pt´e: la R.F.D appliqu´ee `a la particule dans un r´ef´erentiel galil´een fournit : mdv

dt =qv∧B soit dv dt =−q

mB∧v

Une analyse dimensionnelle montre que _m^qB est homog`ene `a une pulsation appel´eepulsation cyclotron; elle repr´esente la vitesse angulaire de la charge sur sa trajectoire circulaire.

Plus pr´ecis´ement, les cercles tournent autour des lignes de champ magn´etique; le mouvement devient une h´elice s’il existe une composante de vitesse parall`ele `a B.

10 Probl` emes ` a un degr´ e de libert´ e

Soit un point M se d´epla¸cant suivant l’axe (Ox) et soumis `a une force conservative f d´erivant d’une

´

energie potentielle E_p.

Point de vue ”classique” Point de vue ´energ´etique

´

equation du mouvement m¨x=f ¹₂mx˙²+Ep(x) =Em =cst

´

equilibre f = 0 dEp/dx= 0

soitEp extr´emal

stabilit´e df /dx <0 d²Ep/dx² >0

soit une force de rappel vers la position d’´equilibre soitE_p minimal