E601 - Le pousse-pousse Solution
La première case est la clé du puzzle. En effet tous les chiffres déplacés pour la première fois aboutisse à cette case. Elle jouera donc le rôle d’un « poste d’aiguillage » dans le déplacement des pièces. Le déplacement initial du chiffre 1 pour l’intervertir avec N n’aboutit à rien . La meilleure tactique est de commencer par le chiffre 2 qui se met en 1ère position et permet de mettre N en avant-dernière position puis on déplace dans l’ordre :
- N-1 qui se met dans la 1ère case et transfère 2 à la deuxième case, - 3 qui se met en 1ère position et met N-1 en position N-2,
- N-2 qui se met en 1ère position et met 3 à la troisième case, - 4 qui permet de transférer N-2 en position N-3 et ainsi de suite…
jusqu’au moment où on a la disposition suivante : - si N est pair : N/2, 2, 3, 4, ….., N-2, N-1, N, 1 - si N est impair : (N+3)/2, 2, 3, 4,… N-2, N-1, N, 1
A ce stade là, on fait intervenir le chiffre 1 qui passe en tête puis à tour de rôle on déplace tous les nombres qui sont en dernière position afin de mettre à la bonne place tous les entiers supérieurs ou égaux à N/2 (si N est pair) et à (N+3)/2 si N est impair.
On observe que pour N pair, les premières valeurs du nombre X de déplacements sont 1,4,7,10,13,…C’est une progression arithmétique de raison 3. Pour N impair la séquence est la même 1,4,7,10…. La formule générale s’établit aisément par récurrence et l’on obtient X = 3*k – 2 pour N=2*k et pour N=2*k+1
Remarque sur le tableau ci-après : pour chacune des lignes k, le nombre qui fait l’objet du déplacement aboutissant à la ligne k+1 est repéré dans une case en bleu clair.
n° 2 1 n° 3 2 1 n° 4 3 2 1 n° 5 4 3 2 1 n° 6 5 4 3 2 1 n° 7 6 5 4 3 2 1
1 1 2 1 1 2 3 1 2 3 4 1 1 2 4 3 5 1 1 2 5 4 3 6 1 1 2 6 5 4 3 7 1
2 1 3 4 2 2 4 2 3 5 1 2 5 2 4 3 6 1 2 6 2 5 4 3 7 1
3 1 2 4 3 3 1 2 3 5 4 3 3 2 4 5 6 1 3 3 2 5 4 6 7 1
4 1 2 3 4 4 1 2 3 4 5 4 4 2 3 5 6 1 4 5 2 3 4 6 7 1
5 1 2 3 5 6 4 5 1 2 3 4 6 7 5
6 1 2 3 4 6 5 6 1 2 3 4 5 7 6
7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7
n° 8 7 6 5 4 3 2 1 n° 9 8 7 6 5 4 3 2 1 n° 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 7 6 5 4 3 8 1 1 2 8 7 6 5 4 3 9 1 1 2 9 8 7 6 5 4 3 10 1
2 7 2 6 5 4 3 8 1 2 8 2 7 6 5 4 3 9 1 2 9 2 8 7 6 5 4 3 10 1
3 3 2 6 5 4 7 8 1 3 3 2 7 6 5 4 8 9 1 3 3 2 8 7 6 5 4 9 10 1
4 6 2 3 5 4 7 8 1 4 7 2 3 6 5 4 8 9 1 4 8 2 3 7 6 5 4 9 10 1
5 4 2 3 5 6 7 8 1 5 4 2 3 6 5 7 8 9 1 5 4 2 3 7 6 5 8 9 10 1
6 1 2 3 5 6 7 8 4 6 6 2 3 4 5 7 8 9 1 6 7 2 3 4 6 5 8 9 10 1
7 1 2 3 4 6 7 8 5 7 1 2 3 4 5 7 8 9 6 7 5 2 3 4 6 7 8 9 10 1
8 1 2 3 4 5 7 8 6 8 1 2 3 4 5 6 8 9 7 8 1 2 3 4 6 7 8 9 10 5
9 1 2 3 4 5 6 8 7 9 1 2 3 4 5 6 7 9 8 9 1 2 3 4 5 7 8 9 10 6
10 1 2 3 4 5 6 7 8 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 8 9 10 7
11 1 2 3 4 5 6 7 9 10 8
12 1 2 3 4 5 6 7 8 10 9
13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
