D30578. Deux sphères
S etT sont deux sphères, settleurs rayons, T passant par le centre deS.
Quelle est l’aire de la partie deT intérieure àS? Solution
SoitO le centre deS,OD le diamètre deT passant parO. Sit < s/2,T est complètement intérieure à S et l’aire cherchée est 4πt2, celle deT.
Sit≥s/2, les deux sphères ont des points communs. Leur cercle d’intersec- tion se projette enI surOD. La partie de T intérieure à S est une calotte sphérique de hauteurOI et d’aireπ.OI.OD. SoitA un point du cercle d’in- tersection, l’angle OAD est droit et OI.OD = OA2 = s2. L’aire cherchée est alors π.OI.OD=πs2.
La formule min(πs2,4πt2) couvre les deux cas.
