D624 : La M-configuration
Les triangles DBE et FEC sont isocèles, donc BE=2BD*cosB et EC=2EF*cosC, donc EB/EC=-cosB/cosC (en prenant les longueurs orientées). On a donc également HC/HA=-cosC/cos A, et KA/KB=-cosA/cosB ; donc EB/EC*HC/HA*KA/KB=-1, ce qui entraîne d’après le théorème de Ceva, que AE, BH et CK sont concourantes.
Pour tracer le point E, on peut tracer les hauteurs BB1 et CC1 (trois arcs de cercles et une droite à chaque fois - on obtient au passage l’orthocentre O), on reporte C1C2=CB1 de l’autre coté de B par rapport à C1 sur BA (un arc), et on trace la parallèle à C2C passant par C1, qui coupe BC en E (deux arcs et une droite) ; pour obtenir D et F, on trace les médiatrices de BE et EC (deux arcs et une droite pour chaque) ; soit 18 tracés au total. Pour obtenir H, on a déjà C1, et l’on obtient A1 en joignant A à O, soit 7 tracés de moins : il en faudra donc 11 pour obtenir G H et I. Enfin, pour obtenir K, il suffit de tracer AE et BH et de joindre C au point de concours (3 tracés), donc 9 tracés pour obtenir J, K et L.
En résumé, il faut 12+5+3=20 tracés pour obtenir les points E, H et K, et 18 autres tracés pour obtenir D, F, G, I, J et L. Peut-on faire mieux ?
![v v v v v = = = = = kA kB kA kB kN [] [] [] [] [] 2 2 [] O B 5 2](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)