Application de l’analyse à la géométrie (MVA006)

MVA006

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Application de l’analyse à la géométrie (MVA006)

Téléphone et Calculatrice sont interdits

Examen proposé par : J.SAAB

pour les centre de Beyrouth et les antennes regionales

Exercice 1 (10 points) On considère la fonction réelle de deux variables réelles f(x; y) =x²+y² 2(x y)

1. Montrer quef admet un point critique M que l’on déterminera.

2. En étudiant le wronskian de f, déterminer la nature local de M : (minimum local, maximum local, point de selle).

3. Montrer queM garde la même nature globale

Exercice 2 (30 points) : On considère la fonction vectorielle F~(t) =x(t)~i+y(t)~j avec

x(t) = 2 cost+ cos 2t y(t) = 2 sint+ sin 2t

1. Donner la période dex(t)et la période de y(t)en déduire la période de F~(t):

2. Montrer que l’on peut obtenir entièrement la trace de F~(t) en réduisant le domaine d’étude à l’intervalle [0; ]grâce à une symétrie que l’on précisera.

3. Donner!F⁰(t); !F⁰⁰(t) et!F⁰⁰⁰(t), en déduire l’existence d’un point singulier dont on pré- cisera la nature (Sachant queM(t0) est singulier si et seulement six⁰(t0) =y⁰(t0) = 0) 4. Véri…er que la tangente à en M(0)est parallèle à y⁰y

5. Déterminer les points d’interssection de avec l’axe des ordonnées 6. Donner le tableau de variation de x(t) ety(t)

7. Construire le graphe deF~(t) pour t2[0; ]en déduire la construction entière de dans le domaine deF~(t):

8. SoitH(x; y) =~ y ~i+x ~j:Calculer la circulation de H~ le long de pourt2[0; ]

Exercice 3 (15 points) : On considère le domaineD de R² dé…ni par D=f(x; y)2R² = y² < x; y+x <2g

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1 2 3 4

-2 -1 0 1 2

x y

Calculer l’aire deD:

Exercice 4 (20 points) Le but de cet exercice est de calculer I =R R

D(x² y²) cos(xy)dxdy où Dest le domaine deR² dé…ni par :

D=f(x; y)2R² = 0< x+y <4; 0< x < y; xy >1g

0 1 2 3

0 1 2 3 4

x y

et soit le changement de variable

( u = p¹

2(x+y) v = p¹

2( x+y)

1. Exprimer l’élément d’aire dxdy du repère xoy en fonction de l’élément d’aire dudv du repèreuov

2. Exprimeru² v² en fonction dex ety et illuster dans le repèreuov le nouveau domaine , image de Dpar ce changement de variable

3. CalculerI

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Exercice 5 (10 points) Soit D le domaine deR³ limité par

z = x²+y² z = 2 x² y² CalculerR R R

D(x²+y²)³⁼²dxdydz

Exercice 6 (15 points) Soit A= 0

@

1 2 3 2 3 1 3 1 2

1 A

1. Véri…er que(A 6I)(A² 3I) = 0

2. En déduire queA est inversible et donnerA ¹ l’inverse deA

3. RetrouverA ¹ par la méthode des cofacteurs ou par celle de Gauss-Jordan 4. Soit le système linéaire 8

<

:

x+ 2y+ 3z = 1 2x+ 3y+z = 0 3x+y+ 2z = 1

(S)

Résoudre le système(S)

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