Jeux de Fra¨ıss´e-Ehrenfeucht

LIAFA, CNRS et Universit´e Paris VII

Jeux de Fra¨ıss´e-Ehrenfeucht

Jean-Eric Pin

LIAFA, CNRS et Universit´e Paris 7 [email protected]

18 octobre 2004

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Plan

(1) Logique

(2) Logique sur les mots

(3) Jeux de Fra¨ıss´e-Ehrenfeucht

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Premi`ere partie I

Logique

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Un exemple de formule de logique

∃x∃y (x < y)∧ax∧by Interpr´etation sur un mot u :

Il existe deux entiers x < y tels que, dans u, la lettre en position x est un a et la lettre en position y est un b.

L’ensemble des mots v´erifiant la formule est

l’ensemble des mots contenant une occurrence de a et ult´erieurement une occurrence de b.

A^∗aA^∗bA^∗

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Un deuxi`eme exemple

∃x ∀y (x < y)∨(x = y)∧ax Interpr´etation ?

(x < y)∨(x = y) peut s’´ecrire x ≤ y

∃x ∀y x ≤ y peut s’´ecrire x = min L’ensemble des mots v´erifiant la formule est donc aA^∗.

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La logique du premier ordre

Symboles logiques :

• les connecteurs logiques : ∧ (et), ∨ (ou), ¬ (non), → (implique),

• le symbole d’´egalit´e =,

• les quantificateurs ∃ et ∀,

• des variables (x, y, z, ou x₀, x₁, x₂, ... )

• des parenth`eses.

Symboles non logiques :

• Symboles de relations (<),

• Symboles de fonctions (min,max),

• Symboles de constantes (0, 1).

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R`egles de construction

Exemple : L= { < , h,0}

• < est un symbole de relation binaire,

• h est un symbole de fonction `a deux variables

• 0 est une constante.

Termes

• Les variables

• Les symboles de constantes

• Si t1, t2, . . . , tn sont des termes et si f est un symbole de fonction n-aire, f(t1, t2, . . . , tn) est un terme.

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Exemple de termes

Si L ne contient pas de symbole de fonction, les seuls termes sont les variables et les symboles de constantes.

Si L = {<, h,0} les expressions suivantes sont des termes :

x h(0,0) h(x, h(0, y)) h(h(x, y), h(x, z))

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Formules atomiques

Ce sont les formules soit de la forme (t1 = t2) o`u t1

et t2 sont des termes, soit de la forme R(t1, . . . , tn)

o`u t1, . . . , tn sont des termes et o`u R est un symbole de relation n-aire de L.

(h(x, h(0, y)) = x) (h(0,0)< 0) (h(h(t, x), h(x, y))< h(z, x))

Note : on devrait ´ecrire <(t1, t2) au lieu de t1 < t2.

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Formules du premier ordre

(1) Les formules atomiques

(2) Si (ϕi)1≤i≤n est une famille de formules, alors

^

1≤i≤n

ϕi et _

1≤i≤n

ϕi

sont des formules.

(3) Si ϕ et ψ sont des formules, alors ¬ϕ et (ϕ → ψ) sont des formules.

(4) Si ϕ est une formule et si x est une variable, alors (∃xϕ) et (∀xϕ) sont des formules.

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Exemples de formules

Pour simplifier, on pose vrai= ^

i∈∅

ϕi et faux = _

i∈∅

ϕi

Les expressions suivantes sont des formules du premier ordre

(∃x (∀y ((y < h(z,0))∧(x < 0)))) (∀x (y = x))

On ´ecrira les formules pr´ec´edentes sous la forme

∃x ∀y (y < h(x,0))∧ (z < 0)

∀x y = x

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Variables libres et variables li´ees

Certaines variables apparaissent apr`es un quantificateur (existentiel ou universel) : les

occurrences de ces variables sont li´ees. Les autres occurrences sont dites libres. Par exemple, dans la formule

∃x (y < h(x,0))∧ ∀y (z < y)

les occurrences x et y sont li´ees et les occurrences z et y sont libres.

On appelle ´enonc´e une formule dont toutes les variables sont li´ees.

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D´ef. formelle des variables libres

L’ensemble F V(ϕ) des variables libres d’une formule ϕ est d´efini comme suit :

(1) Si ϕ est atomique, F V(ϕ) est l’ensemble des variables de ϕ,

(2) F V(¬ϕ) = F V(ϕ)

(3) F V(ϕ∧ψ) =F V(ϕ∨ψ) = F V(ϕ)∪F V(ψ) (4) F V(ϕ →ψ) = F V(ϕ)∪ F V(ψ)

(5) F V(∃xϕ) = F V(∀xϕ) = F V(ϕ)\ {x}

Toute variable qui a au moins une occurrence libre dans ϕ est libre.

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S´emantique des formules

Une structure S sur L est donn´ee par un ensemble D, appel´e domaine et par une application d´efinie sur L et qui associe :

(1) `a chaque symbole de relation n-aire de L, une relation n-aire d´efinie sur D,

(2) `a chaque symbole de fonction `a n arguments f de L, une fonction `a n arguments d´efinie sur D,

(3) `a chaque symbole de constante c de L, un

´el´ement de D.

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Interpr´etation des variables

Une valuation est une application ν de l’ensemble des variables dans l’ensemble D. On ´etend ν aux termes de L :

(1) Si c est un symbole de constante, on pose ν(c) = c,

(2) si f est un symbole de fonction `a n

arguments et si t1, . . . , tn sont des termes ν f(t1, . . . , tn)

= f(ν(t1), . . . , ν(tn))

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Interpr´etation des variables

Si ν est une valuation et a un ´el´ement de D, on note ν

a x

la valuation ν⁰ d´efinie par

ν⁰(y) =

(ν(y) si y 6= x a si y = x

On d´efinit, pour toute formule ϕ et pour toute valuation ν, les expressions :

• la valuation ν v´erifie ϕ dans S

• S satisfait ϕ[ν] (not´e S |= ϕ[ν]) de la fa¸con suivante :

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Interpr´etation des formules

(1) S |= (t₁ = t₂)[ν] ssi ν(t₁) = ν(t₂)

(2) S |= R(t1, . . . , tn)[ν] ssi ν(t1), . . . , ν(tn)

∈ R

(3) S |= ¬ϕ[ν] ssi non S |= ϕ[ν]

(4) S |= (ϕ∧ψ)[ν] ssi S |= ϕ[ν] et ψ[ν]

(5) S |= (ϕ∨ψ)[ν] ssi S |= ϕ[ν] ou ψ[ν] (6) S |= (ϕ→ ψ)[ν] ssi non S |= ϕ[ν] ou S |=

ψ[ν]

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Interpr´etation des formules

(7) S |= (∃xϕ)[ν] ssi il existe a ∈ D tel que S |= ϕ[ν

a x

]

(8) S |= (∀xϕ)[ν] ssi pour tout a ∈ D, S |= ϕ[ν

a x

]

La v´eracit´e de l’expression “la valuation ν v´erifie ϕ dans S” ne d´epend que des valeurs prises par les variables libres de ϕ.

Si ϕ est un ´enonc´e, on dit que ϕ est v´erifi´e par S (ou que S satisfait ϕ), et l’on note S |= ϕ, si, pour toute valuation ν, S |= ϕ[ν].

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Formules logiquement ´equivalentes

Deux formules ϕ et ψ sont dites logiquement

´equivalentes si, pour toute structure S sur L, de domaine non vide, on a S |= ϕ ssi S |= ψ.

L’´equivalence logique ne concerne que les structures de domaine non vide. Par exemple, les formules

∀x ϕ(x)∧ ∃y ψ(y) et

∀x ∃y (ϕ(x)∧ψ(y))

sont logiquement ´equivalentes mais ne sont pas

´equivalentes sur une structure de domaine vide...

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Equivalence logique

On d´emontre en logique que les formules suivantes sont logiquement ´equivalentes :

(1) ϕ∧ψ et ¬(¬ϕ∨ ¬ψ)

(2) ϕ → ψ et ¬ϕ∨ψ

(3) ∀xϕ et ¬(∃x ¬ϕ)

(4) ϕ∨ψ et ψ∨ϕ

(5) ϕ∧ψ et ψ∧ϕ

(6) ϕ∧f aux et f aux (7) ϕ∨f aux et ϕ (6) ϕ∧vrai et ϕ (7) ϕ∨vrai et vrai

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Forme normale disjonctive

Une formule est sous forme normale disjonctive si c’est une disjonction de conjonctions de formules atomiques ou de n´egations de formules atomiques :

∨i∈I ∧j∈Ji (ϕij ∨ ¬ψij)

Proposition

Toute formule sans quantificateur est logiquement

´equivalente `a une formule sans quantificateur sous forme normale disjonctive.

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Forme pr´enexe

Une formule est sous forme pr´enexe si elle s’´ecrit sous la forme

ψ = Q₁x₁ Q₂x₂ . . . Qnxn ϕ

o`u les Qi sont des quantificateurs existentiels ou universels (∃ ou ∀) et ϕ est une formule sans quantificateur. La suite Q1x1 Q2x2 . . . Qnxn

s’appelle le pr´efixe de quantification de ψ.

Proposition

Toute formule est logiquement ´equivalente `a une formule sous forme pr´enexe.

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Hi´erarchie et forme pr´enexe

Une formule de Σn est une formule sous forme pr´enexe dont le pr´efixe de quantification est une suite altern´ee de n blocs de ∃ et ∀ (´eventuellement vides) commen¸cant par un bloc de ∃.

Une formule de Πn est une formule sous forme pr´enexe dont le pr´efixe de quantification est une suite altern´ee de n blocs de ∃ et ∀ (´eventuellement vides) commen¸cant par un bloc de ∀.

On montre que toute disjonction ou conjonction finie de formules de Σn est logiquement ´equivalente

`a une formule de Σn.

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La hi´erarchie Σ

(1) Σ0 = Π0 = ensemble des formules sans quantificateurs.

(2) BΣn ensemble des combinaisons bool´eennes des formules de Σn

(3) Σn+1 : formules de la forme

∃x1. . .∃xn ϕ(x1, . . . , xn) avec ϕ∈ Πn

(4) Πn+1 : formules de la forme

∀x₁. . .∀xn ϕ(x₁, . . . , xn) avec ϕ∈ Σn

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Quelques exemples

La formule

∃x₁ ∃x₂ ∃x₃

| {z } bloc 1

∀x₄ ∀x₅

| {z } bloc 2

∃x₆ ∃x₇

| {z } bloc 3

ϕ

appartient `a Σ3 (et aussi `a tous les Σn tels que n ≥ 3). De mˆeme la formule

bloc 1|{z}

∀x₄ ∀x₅

| {z } bloc 2

∃x₆ ∃x₇

| {z } bloc 3

ϕ

appartient `a Σ3, et `a Π2, mais pas `a Σ2, car le premier bloc doit toujours ˆetre un bloc de quantificateurs existentiels.

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Logique du second ordre

Les variables utilis´ees dans la logique du premier ordre (variables du premier ordre) s’interpr`etent comme des ´el´ements du domaine.

Dans la logique du second ordre, on utilise un deuxi`eme type de variables, appel´ees variables du second ordre, qui repr´esentent des relations. Ces variables sont not´ees traditionnellement par des lettres majuscules : X₀, X₁, etc..

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Formules du second ordre

L’ensemble des termes de L est le mˆeme qu’au premier ordre. Les formules atomiques sont les formules soit de la forme

(t1 = t2)

o`u t₁ et t₂ sont des termes, soit de la forme R(t1, . . . , tn) ou X(t1, . . . , tn)

o`u t1, . . . , tn sont des termes, R est un symbole de relation n-aire de L et X est une variable

repr´esentant une relation n-aire.

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R`egles de formation

(1) On part des formules atomiques

(2) Si ϕ et ψ sont des formules, il en est de mˆeme de

¬ϕ (ϕ∧ψ) (ϕ∨ψ) (ϕ→ ψ) (3) Si ϕ est une formule, si x est une variable et

si X est une variable de relation, alors les expressions

(∃xϕ) (∀xϕ) (∃Xϕ) (∀Xϕ) sont des formules.

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Second ordre monadique

Dans le second ordre monadique, toutes les variables du second ordre sont des variables de relations unaires : elles s’interpr`etent donc comme des sous-ensembles du domaine.

∃ X (∀x Xx) ce que l’on ´ecrit aussi sous la forme

∃ X (∀x x ∈ X)

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Interpr´etation des variables

Une valuation du second ordre est une application ν qui associe `a chaque variable un ´el´ement de D et `a chaque variable de relation n-aire une partie de Dⁿ (i.e. une relation n-aire sur D).

Si ν est une valuation et R une partie de Dⁿ, on note ν

R X

la valuation ν⁰ d´efinie par

ν⁰(x) = ν(x) si x est une variable du premier ordre ν⁰(Y) =

(ν(Y) si Y 6= X

R si Y = X

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Interpr´etation des formules

La notion d’interpr´etation, d´ej`a d´efinie pour le premier ordre, est compl´et´ee par les r`egles suivantes :

(9) S |= (X(t1, . . . , tn))[ν] ssi ν(t1), . . . , ν(tn)

∈ ν(X)

(10) S |= (∃Xϕ)[ν] ssi il existe R ⊆Dⁿ tel que S |= ϕ[ν

R X

]

(11) S |= (∀xϕ)[ν] ssi pour tout R ⊆ Dⁿ, S |= ϕ[ν

R X

]

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Deuxi`eme partie II

Logique sur les mots

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Le calcul s´equentiel de B¨uchi

A chaque lettre a ∈ A, on associe un symbole de relation unaire a. On associe aussi `a chaque mot u une structure de la forme Mu = Dom(u),(a)a∈A o`u

Dom(u) = {0, . . . ,|u| −1} et

a = {i ∈ Dom(u) | u(i) = a}

Par exemple, si u = abbaab, alors

Dom(u) = {0,1, . . . ,5}, a = {0,3,4} et b = {1,2,5}.

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Interpr´etation des variables

On utilisera deux autres symboles non logiques, <

et S, interpr´et´es comme l’ordre usuel et la relation successeur sur Dom(u) :

S(x, y) ssi y = x+ 1 Langage de l’ordre lin´eaire :

L< = {<} ∪ {a | a ∈ A}

Langage du successeur

LS = {S} ∪ {a | a ∈ A}

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Logique sur les mots

Soit ϕ un ´enonc´e. On dit qu’un mot u satisfait ϕ si Mu satisfait ϕ. On pose alors

L(ϕ) = {u ∈ A⁺ | u satisfait ϕ}

On note F1(<), M F2(<), (resp. F1(S), M F2(S)) l’ensemble des formules du premier ordre et du second ordre monadique de signature {<,(a)a∈A} (resp. {S,(a)a∈A}).

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S versus <

La relation S peut ˆetre exprim´ee dans F1(<), et la relation < peut ˆetre exprim´ee dans M F2(S), mais pas dans F1(S).

Pour S(i, j), on a la formule :

(i < j) ∧ ∀k ((i < k) →((j = k)∨ (j < k))) Pour i < j, on a la formule

∃X Xj ∧ ¬Xi ∧[∀x ∀y ((Xx∧S(x, y))→ Xy)]

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Th´eor`eme de B¨uchi

Th´eor`eme (B¨uchi)

Un langage de A⁺ est d´efinissable par une formule de M F2(S) (resp. M F2(<)) si et seulement si il est rationnel.

Quel est le pouvoir d’expression de F1(S)? de F1(<)?

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Compteurs

Soit x et y deux entiers. On dit que x est congru `a y au seuil t et on note

x ≡t y ssi min(x, t) = min(y, t)

Par exemple, les classes d’´equivalence de ≡₄ sont {0}, {1}, {2}, {3}, {4,5,6,7, . . .}.

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Facteurs

Si u et x sont deux mots, on note _u

x

le nombre d’occurrences du facteur x dans u.

Par exemple,

abababa aba

= 3

puisque aba poss`ede 3 occurrences distinctes dans abababa : abababa, abababa, abababa.

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Langages localement testables `a seuil

Pour tout entier k ≥ 0, posons F(x, r) = {u ∈ A⁺ |

u x

≥r}

En particulier, F(x,1) =A^∗xA^∗. Un langage est localement testable `a seuil s’il s’´ecrit comme combinaison bool´eenne de langages de la forme

xA^∗, A^∗x ou F(x, r) avec x ∈ A⁺ et r ≥0.

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Une ´equivalence sur les mots

Pour k, t > 0, soit ≡k,t l’´equivalence sur A⁺ d´efinie par

u ≡k,t v ssi, pour |x| ≤ k, u

x

≡ v

x

seuil t Exemple abababab ≡2,3 abababa

Proposition

Pour tout k, t > 0, ≡k,t est une ´equivalence d’indice fini sur A⁺.

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Une congruence sur les mots

Pour k, t > 0, et u, v ∈ A⁺ on pose u ∼k,t v ssi, (1) u et v ont les mˆemes pr´efixes de longueur

< k,

(2) u et v ont les mˆemes suffixes de longueur< k, (3) u ≡k,t v.

Exemple ababababa ∼2,3 abababa

Th´eor`eme

Pour tout k, t > 0, ∼_k,t est une congruence d’indice fini sur A⁺.

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Une caract´erisation combinatoire

Proposition

Un langage est localement testable `a seuil ssi il est union de ∼k,t-classes pour un couple (k, t).

⇒

(1) xA^∗ est union de ∼_|x|+1,1-classes : si u ∈ xA^∗ et u ∼|x|+1,1 v, alors v ∈ xA^∗.

(2) A^∗x est union de ∼_|x|+1,1-classes.

(3) F(x, r) est union de ∼_|x|,r-classes : si

u ∈ F(x, r) et u ∼_|x|,r v, alors v ∈ F(x, r).

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Caracterisation combinatoire

⇐

Si u ∈ A⁺, la ∼k,t-classe de u est pk−1(u)A^∗∩A^∗sk−1(u) ∩

( \

(x,r)∈E

F(x, r)\ [

(x,r)∈F

F(x, r))

o`u

E = {(x, r) | |x| ≤ k, r ≤ t et u ∈ F(x, r)}

F = {(x, r) | |x| ≤ k, r ≤ t et u /∈ F(x, r)}

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Des langages aux formules

Proposition

Tout langage localement testable `a seuil est d´efinissable dans F1(S) et mˆeme dans BΣ₂(S).

(1) min est d´efinissable dans Σ2(S) :

∃min ∀x ¬S(x,min)

(2) xA^∗ est d´efinissable dans Σ2(S). Par exemple, abA^∗ = L(ϕ) avec

ϕ = ∃min ∃y (∀x ¬S(x,min))

∧S(min, y)∧amin∧by

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Des langages aux formules

(3) A^∗x est d´efinissable dans Σ₂(S).

(4) F(x, r) est d´efinissable dans Σ1(S).

Corollaire

Soit L = {S,min,max} ∪ {a | a ∈ A}. Tout

langage localement testable `a seuil est d´efinissable dans BΣ₁(L).

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Des langages aux formules

Th´eor`eme (Thomas)

Pour un langage L, les conditions suivantes sont

´equivalentes :

(1) L est localement testable `a seuil, (2) L est d´efinissable dans BΣ₁(L), (3) L est d´efinissable dans F1(L).

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Deuxi`eme version

Th´eor`eme (Thomas)

Pour un langage L, les conditions suivantes sont

´equivalentes :

(1) L est localement testable `a seuil, (2) L est d´efinissable dans BΣ2(S), (3) L est d´efinissable dans F1(S).

Comme F1(S) = F1(L), il reste `a prouver que si ϕ est une formule de F<sub>1</sub>(S), L(ϕ) est localement testable `a seuil.

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Troisi`eme partie III

Jeux de Fra¨ıss´e-Ehrenfeucht

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Une structure pour toutes les formules

On fixe un ensemble fini V = {x₁, . . . , xp} de

variables. Une V-structure est un mot sur l’alphabet BV = A× P(V)

u = (a1, V1)(a2, V2). . .(an, Vn)

tel que V1, V2, . . . , Vn soient des parties de V deux `a deux disjointes. Par exemple, si A = {a, b} et p = 6,

(a,∅)(b,{x₁, x₃})(a,{x₂})(a,∅)

(b,{x4, x6})(b,∅)(a,{x5})

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Interpr´etation des formules

Soit ϕ(x1, . . . , xr) une formule du premier ordre dont les variables libres ordre sont x1, . . . , xr. On dira que u satisfait ϕ(x1, . . . , xr) si u satisfait ϕ[ν] o`u ν est la valuation d´efinie par ν(xi) = j o`u j est l’unique position telle que xi ∈ Vj. Par exemple

(a,∅)(b,{x1, x3})(a,{x2})(a,∅)

(b,{x₄, x6})(b,∅)(a,{x₅}) satisfait ϕ(x1, . . . , x6) ssi abaabba satisfait

ϕ(2,3,2,5,7,5)

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Equivalence ´el´ementaire

Le rang de quantification d’une formule est d´efini par r´ecurrence :

(1) r(ϕ) = 0 si ϕ est atomique, (2) r(¬ϕ) = r(ϕ),

(3) r(ϕ∨ψ) = max{r(ϕ), r(ψ)}, (4) r(∃x ϕ) = r(ϕ) + 1.

On dit que deux mots sont (´el´ementairement) n-´equivalents (notation u ∼n v) s’ils satisfont les mˆemes formules de rang ≤n.

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Equivalence ´el´ementaire

On consid`ere un langage logique ne contenant aucun symbole de fonction et un nombre fini de symboles de relations et de constantes. (par exemple, LS = {S} ∪ {a |a ∈ A})

Proposition

Etant donn´e un nombre fini de variables, il n’y a, `a

´equivalence logique pr`es, qu’un nombre fini de formules de rang ≤r.

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D´emonstration

Les formules atomiques sont de la forme u = v ou R(u1, . . . , un) o`u R est un symbole de relation. Il y en a donc un nombre fini. Il y a donc aussi un

nombre fini de combinaisons bool´eennes de formules atomiques, ce qui prouve le r´esultat pour r = 0.

Ensuite, les formules de rang r sont combinaisons bool´eennes de formules ϕ ou ∃x ϕ, o`u ϕ est de rang < r. On en d´eduit par r´ecurrence qu’`a

´equivalence logique pr`es, il n’y a qu’un nombre fini de formules de rang r.

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Jeux de Fra¨ıss´e-Ehrenfeucht

Soient u et v deux mots. Le jeu Gn(u, v) est un jeu

`a 2 joueurs, I et II. Chaque joueur poss`ede n jetons. Les joueurs jouent alternativement pendant n coups en appliquant `a chaque tour les r`egles suivantes :

(1) Le joueur I choisit l’un des mots (u ou v) et pose un jeton sur l’une des lettres de ce mot.

(2) Le joueur II pose `a son tour un jeton sur l’une des lettres du mot restant.

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Le gagnant

Soit ik (resp. jk) la position marqu´ee sur u (resp. v) au cours du k-i`eme tour. Le joueur II gagne si, pour tout r, s ≤ n,

(1) ir = is ⇔ jr = js

(2) S(ir, is) ⇔ S(jr, js) (3) air ⇔ ajr

Sinon, c’est le joueur I qui gagne.

On dit que II a une strat´egie gagnante s’il peut toujours gagner, quels que soient les choix de I.

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Le th´eor`eme de Fra¨ıss´e-Ehrenfeucht

Th´eor`eme

Deux mots u et v sont n-´equivalents si et seulement si le joueur II a une strat´egie gagnante pour le jeu Gn(u, v).

⇒ : par r´ecurrence sur n.

Si n = 0, le joueur II a gagn´e. On suppose le r´esultat vrai pour n−1. Le joueur I joue un coup i1, disons sur u. Posons

ψ(x) = _

u|=ϕ(i1) r(ϕ)<n

ϕ(x)∧ ^

u6|=ϕ(i1) r(ϕ)<n

¬ϕ(x)

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Preuve (suite)

Alors u |= ∃xψ(x) et puisque le rang de ∃xψ(x) est

≤ n, on a aussi v |= ∃xψ(x).

Il existe donc une position j1 dans v telle que, si r(ϕ) < n,

u |= ϕ(i1) ⇔ v |= ϕ(j1)

Maintenant, les mots (u, i₁) et (v, j₁) de B₁⁺ sont (n−1)-´equivalents. Par r´ecurrence, II a une strat´egie gagnante.

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Le th´eor`eme d’Ehrenfeucht-Fra¨ıss´e

Th´eor`eme

Deux mots u et v sont n-´equivalents si et seulement si le joueur II a une strat´egie gagnante pour le jeu Gn(u, v).

⇐ : par r´ecurrence sur n. Trivial si n= 0. On suppose le r´esultat vrai pour n−1. On montre que si r(ϕ) < n, alors

u |= ∃xϕ(x) ssi v |= ∃xϕ(x)

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Fin de la preuve

Si u |= ∃xϕ(x), il existe i1 tel que u |= ϕ(i1). Si I joue i₁ sur u, II joue j₁ sur v en suivant sa

strat´egie. Donc v |= ϕ(j1) et v |= ∃xϕ(x).

Si r(ψ) ≤ n, ψ est combinaison bool´eenne de formules de la forme ∃xϕ(x), avec r(ϕ) < n. Donc

u |= ψ ssi v |= ψ

Par cons´equent u et v sont n-´equivalents.

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Des formules aux langages

Si u = a1a2· · ·an est un mot, et i, j ∈ Z, avec i ≤j, on pose

u[i, j] =



















ai· · ·aj si 1 ≤i ≤j ≤ n a1· · ·aj si i < 1≤ j ≤ n ai· · ·an si 1 ≤i ≤n < j u si i < 1 et n < j 1 dans les autres cas

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La strat´egie gagnante

Proposition

Soit n ≥ 0 et N = 3ⁿ. Si u ∼N,3N v, alors u et v sont n-´equivalents.

Il suffit de trouver une strat´egie gagnante pour II dans Gn(u, v).

L’id´ee intuitive est que la position ir (resp. jr) choisie sur u (resp. sur v) au r-i`eme coup doit d´eterminer le segment u[ir −3^n−r, ir+ 3^n−r] (resp.

v[jr −3^n−r, jr+ 3^n−r]).

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La strat´egie gagnante

Apr`es i coups, les jetons z1, . . . , zi ont ´et´e jou´es sur chaque mot. Pour chaque position m de u (resp. v) ayant un jeton, consid´erons le facteur de longueur 2.3ⁿ⁻ⁱ centr´e en m.

u[m−3ⁿ⁻ⁱ+ 1, m+ 3ⁿ⁻ⁱ]

Consid´erons l’union de tous ses intervalles : on obtient une union disjointe d’intervalles qui sont le support de facteurs de longueur ≥ 2.3ⁿ⁻ⁱ. On dira que ces facteurs disjoints sont les facteurs de niveau i de u. En particulier, pour i = n, ils sont de

longueur ≥ 2.

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La strat´egie gagnante (suite)

Montrons par r´ecurrence sur i que II peut toujours appliquer la strat´egie suivante : `a chaque tour i, II joue de fa¸con `a ce que les facteurs les facteurs associ´es au jeton zi soient les mˆemes sur u et sur v et que la position relative des jetons dans l’un de ces facteurs soit aussi la mˆeme dans u et dans v.

Cette strat´egie est gagnante, puisque pour i = n, si u (resp. v) satisfait par exemple zp = zq + 1, les jetons zp et zq seront plac´es dans le mˆeme facteur de u (puisqu’ils sont de longueur au moins 2) et l’autre mot satisfera la mˆeme formule.

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La strat´egie gagnante (suite)

Pour i = 0, il n’y a rien `a d´emontrer. Supposons le r´esultat acquis pour i. Alors I pose son jeton zi+1

sur l’un des mots, disons u. Si le facteur f = u[m−3ⁿ⁻ⁱ⁻¹+ 1, m+ 3ⁿ⁻ⁱ⁻¹]

est enti`erement contenu dans l’un des facteurs de u d´efinis au coup i, alors II n’a plus qu’`a jouer dans la mˆeme position relative du facteur de v

correspondant et la condition exig´ee sera bien satisfaite au niveau i+ 1.

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La strat´egie gagnante (suite)

Si au contraire, f n’est pas enti`erement contenu dans l’un des facteurs de u d´efinis au coup i, il est n´ecessairement disjoint de tous les facteurs associ´es aux jetons z1, . . . , zi.

Pour conclure, il suffit de montrer que v contient un facteur ´egal `a f et disjoint des facteurs de niveau

≤ i de v, car II pourra alors jouer au centre de ce facteur.

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La strat´egie gagnante (fin)

Or la somme des longueurs des facteurs de niveau i est ≤ 2i.3ⁿ⁻ⁱ < 3ⁿ⁺¹ et donc f a moins de 3ⁿ⁺¹ occurrences dans les facteurs de niveau i. Comme u ∼_N,3N v et comme les facteurs de niveau i ont des positions similaires dans les deux mots, il y a bien au moins une occurrence de f dans v qui est disjointe des facteurs de niveau ≤ i.

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Conclusion de la preuve

Proposition

Si ϕ est une formule de F1(S), L(ϕ) est localement testable `a seuil.

En effet, si n est le rang de quantification de ϕ, L(ϕ) est union finie de ∼_N,3N-classes et donc est localement testable `a seuil.

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La logique F

(S )

Th´eor`eme (Thomas)

Pour un langage L, les conditions suivantes sont

´equivalentes :

(1) L est localement testable `a seuil, (2) L est d´efinissable dans BΣ2(S), (3) L est d´efinissable dans F1(S).

Il reste `a savoir si on peut d´ecider si un langage rationnel donn´e est localement testable `a seuil. . . La r´eponse est oui, mais fait appel `a la th´eorie des semigroupes.

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F

(<)

Th´eor`eme (McNaughton)

Un langage L est d´efinissable dans F1(L<) ssi il est sans-´etoile.

La preuve utilise le r´esultat suivant

Proposition

Si u ∼n v et u⁰ ∼n v⁰, alors uu⁰ ∼n vv⁰

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Le probl`eme de la d´ecision pour F

(<)

Peut-on d´ecider si un langage rationnel donn´e est sans ´etoile ?

Un mono¨ıde fini M est ap´eriodique si, pour tout x ∈ M, il existe n tel que xⁿ = xⁿ⁺¹.

Th´eor`eme (Sch¨utzenberger 1965)

Un langage est sans ´etoile ssi son mono¨ıde syntactique est ap´eriodique.

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Les hi´erarchies Σ

(<) et B Σ

(<)

Peut-on d´ecider si un langage rationnel donn´e est d´efinissable dans Σn(<) et BΣn(<)?

(1) Σ0(<) et Σ0(<) sont d´ecidables (assez facile) (2) BΣ1(<) est d´ecidable (I. Simon 1972)

(3) Σ2(<) est d´ecidable (Pin-Weil 1995) (4) BΣ2(<) est d´ecidable pour un alphabet `a

deux lettres (Straubing 1988)

(5) Σ3(<) est d´ecidable pour un alphabet `a deux lettres (Glasser-Schmidt 2001)

La d´ecidabilit´e de BΣ₂(<) et au-del`a pour plus de deux lettres est un probl`eme ouvert. . .