D2916. Des chiffres merveilleux
Soit l’heptagone r´egulier OADGP HEinscrit dans le cercle unit´e.
β=OωA\ = 2π
7 , etα=AOP\ =P AO\ =OEC\ = 3π 7 OA=a= 2r sin(π
7) OP =AP = 2r sin(3π
7 ) DP = 2r sin(2π
7 )
On trace les2losanges OF CEet ECP H, etIsym´etrique deC par rapport
`
a la m´ediatrice deOA: OC = 2a sin(α
2) , etCI =AF = 2a cos(α)
Dans le quadrilat`ere isoc`eleOABC, donc inscriptible, le th´eor`eme de Ptol´em´ee indique que :
OB.AC =AC2=OC.AB+OA.CI = 4a2
sin2(α 2) +1
2cos(α)
1
Pour α= 3π
7 , l’expression
sin2(α 2) +1
2cos(α)
vaut 1 2. DoncAC = OA√
2 =AB. On se trouve bien dans les conditions du probl`eme pos´e.
Q1/ α π = 3
7
Q2/ Pour le calcul de l’aire, on remplaceADP par son sym´etriqueOAH : OA= 2r sin(π
7)
AH =AP = 2r sin(3π 7 ) OH =DP = 2r sin(2π
7 ) S(OAH) = 1
2OA.OH cos(α) = 4r2sin(π
7)sin(2π
7 )sin(3π 7 ) =√
7r2
OA2+AH2+OH2= 4r2(sin2(π
7) +sin2(2π
7 ) +sin2(3π
7 ) = 7r2
Le carr´e du produit des sinus de π 7, 2π
7 et 3π
7 est ´egal `a la somme des carr´es, et vaut7
(propri´et´e connue, cf le site de G´erard Villemin, mais que je me garderai bien d’essayer de d´emontrer).
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