17 8 +  25

(1)

1

Chapitre I Logique Leçon 1 Proposition et connections

1. Proposition (Assertion)

• Dans la communication, on utilise plusieurs phrases, plusieurs expressions par exemple les phrases interrogatives, né- gatives, impératives, volitives, exclamatives, interdites, le souhait, la demande.

Parmi les phrases suivantes, laquelle est vraie, fausse ou ni vraie ni fausse.

a. La province de Phongsaly est au nord du Laos.

b.Le mois de décembre a 30 jours.

c. 3 n’est pas un nombre pair.

d.2 est supérieure à 5 e.

9  3

f. Où vas-tu ?

Les phrases ou les expressions dont on peut répondre vraies ou fausses sont celles qui ont la valeur de vérité. Leur valeur de vérité est réalisée un et un seul cas : vraie ou fausse.

Définition :

Une proposition (ou une assertion) est un énon cé dont on peut affirmer sans ambiguïté s’il est vrai ou bien faux.

Exemples :

• " Vientiane est la capitale de la République Populaire Lao " est une proposition car c’est un énoncé dont on peut donner sa valeur de vérité : cet énoncé est vrai.

• " Le poisson st un animal terrestre " est une proposition car c’est un énoncé dont on peut donner sa valeur de vérité : cet énoncé est faux.

• "

17 8 +  25

" est une proposition car c’est une expression dont on peut donner sa valeur de vérité : cette expression est fausse.

• " Tout nombre pair est divisible par 2 " est une proposition car c’est un énoncé dont on peut donner sa valeur de vérité : cet énoncé est vrai.

• "

2 3 3 1 + = −

" est une proposition car c’est une expression dont on peut donner sa valeur de vérité : cette expression est fausse.

Remarque:

• Une assertion peut être vraie ou fausse (l’un des deux exclusivement)

• Les phrases interrogatives, impératives, volitives, exclamatives, interdit, le souhait, la demande ne so nt pas les propos i- tions car on ne peut pas donner leur valeur de vérité.

Exemples :

- Quel est le quotient de la division 10 par 2 ? - Déplacez-vous.

- Ne bavardez pas en classe.

- Fermez la porte, s’il vous plaît.

- Oh ! encore la faute.

- Je voudrais étudier à l’université.

- Stop ! au nom de la police.

• On utilise les abréviations V et F à la place de vrai et de faux.

2. Connecteurs logiques et la négation d’une proposition

Dans les mathématiques, les phrases sont obtenues en associant plusieurs phrases par les mots : " et, ou, ou bien, si

… alors …, si et seulement si “.

Les mots " et, ou, ou bien, si … alors …, si et seulement si “ sont appelés les connecteurs logiques.

Quelques phrases sont obtenues par sa négation.

Les connecteurs logiques:

• " et " noté par : conjonction

• " ou " noté par : disjonction inclusive

• " ou bien " noté par xor : disjonction exclusive

• " si … alors … " noté par



: implication

(2)

2

• " si et seulement si " noté par



: équivalence logique

• " non " noté par



: négation Exemples :

1. Le dimanche passé, Nang Kham a participé aux activités et a fait les exercices avec les amis au lycée.

2. Demain matin, je partirais à Paksé en bus ou bien en avion.

3. Le jour de congé, je fais le ménage ou j’occupe les enfants.

3. La table de vérité et la définition des connecteurs - Une proposition simple contient une seule proposition

- Une proposition composée est une proposition composant plusieurs propositions simples.

Considérons simultanément deux propositions simples p et q, nous allons leur associer d ’autres propositions dont la valeur logique (V ou F) est liée à celle de p et à celle de q.

Si * désigne un connecteur logique à deux places les valeurs de vérité de p*q sont données suivant celles de p et de q par la table de vérité du connecteur *.

Table de vérité

1.Soit p une proposition quelconque

2. Nous considérons simultanément deux propositions p et q

3. Nous considérons s imultanément trois propositions quelconques p, q et r.

Si on considère n propositions quelconques, alors il y a cas possibles. n propositions étant données un seul cas est réalisé.

P V F

p q

V V

V F

F V

F F

p q r

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

= 2 cas possibles un seul cas est réalisé

P

V

F

= 4 cas possibles

p et q étant données un seul cas est réalisé

p q

V V

V F F F

= 8 cas possibles

p, q, r étant données un seul cas est réalisé

F V

V

V F F

F

p q r

F F F V V V

V

(3)

3

4. Définition des connecteurs 4.1 Conjonction (et,

)

Si p et q désignent deux propositions, la conjonction de deux p ropositions p et q est une nouvelle propos ition notée p q (p et q) qui n’est fausse que si p et q sont simultanément vraies.

p q

p  q

V V V

V F F

F V F

F F F

Exemples : Soient deux propositions p et q.

1. p :

2 + 3 = 5

a pour valeur de vérité V q :

5  4

a pour valeur de vérité V

Donc la proposition p q :

2 + 3 = 5

et

5  4

a pour valeur V.

2. p :

5 + 4 = 9

6  9

a pour valeur de vérité F

Donc la proposition p ∧ q :

5 + 4 = 9

et

6  9

a pour valeur de vérité F.

4.2 Disjonction inclusive (ou,



)

Si p et q désignent deux propositions, la disjonction inclusive des deux propositions p et q est une nouvelle proposition notée

p  q

(p ou q) qui n’est fausse que si p et q sont simultanément fausses.

p q p v q

V V V

V F V

F V V

F F F

1. p :

2 + 5 = 7

2  7

Donc la proposition

p  q

:

2 + 5 = 7

ou

2  7

a pour valeur V.

2. p :

3  6 = 18

8 − 5 = 4

Donc la proposition

p  q

:

3  6 = 18

ou

8 − 5 = 4

a pour valeur de vérité V.

3. p :

6 − 7 = 1

a pour valeur de vérité F q :

3  1

Donc la proposition

p  q

:

6 − 7 = 1

ou

3  1

4. p :

5  4 = 24

a pour valeur de vérité F q :

3 + 8 = 8

Donc la proposition

p  q

:

5  4 = 24

ou

3 + 8 = 8

4.3 Disjonction exclusive (ou bien, xor)

Si p et q désignent deux propositions, la disjonction exclusive de deux propositions p et q est une nouvelle proposition n o- tée

p xor q

(p ou bien q) qui est vraie si p et q ont de valeurs de vérité différentes et elle est fausse si p et q ont de la même valeur de vérité.

(4)

4

p q

p xor q

V V F

V F V

F V V

F F F

Exemples :

1. p :

3  6 = 18

8 − 5 = 4

Donc la proposition

p xor q

:

3  6 = 18

ou bien

8 − 5 = 4

2. Kham part de Vientiane à Paksé par l’avion ou bien par le bus.

3. Dy a oublié son cartable à la salle de classe ou bien dans l’espace de francophone.

4.4 Implication (si ….. alors …..,



)

Si p et q désignent deux propositions, la proposition " si p, alors q " se note "

p  q

" p est appelé l’hypothèse et q est appelé la conclusion.

La proposition "

p  q

" n’est fausse que si p est vraie et q est fausse.

p q p  q

V V V

V F F

F V V

F F V

p : élève a une bonne note q : professeur offre du cadeau.

1. Si l’élève a une bonne note, alors le professeur lui offre du cadeau.

p est vraie et q vraie, on a

p  q

^vraie.

2. Si l’élève a une bonne note, alors le professeur ne lui offre rien.

p est vraie et q fausse, on a

p  q

^fausse.

3. Si l’élève a une mauvaise note, alors le professeur lui offre du cadeau.

p est fausse et q vraie, on a

p  q

^vraie.

Car le professeur peut lui offre du cadeau pour les autres raisons.

4.5 Equivalence logique (



)

Deux propositions sont dites équivalentes ce qu’on note "

p  q

“, si elles sont toutes les deux vraies ou toutes les deux fausses.

On dit que la proposition p est logiquement équivalente à la proposition q.

p q pq

V V V

V F F

F V F

F F V

Remarque :

La proposition

p  q

a la même valeur de vérité que la proposition

(p  q)  (q  p)

. On dit que p est la condition nécessaire et q est la condition suffisante.

Exemple :

x

²

= 4  x =  2

(5)

5

4.6 Négation d’une proposition

A toute proposition p nous pouvons associer une nouvelle proposition appelée négation de p qui se note " non p" ou bien "

 p

" ou bien "~p " et qui est fausse si p est vraie et vraie si p est fausse.

p ~ p

V F

F V

Exemples :

1. p : 2 est un nombre rationnel, p a pour valeur de vérité V.

 p

: 2 n’est pas un nombre rationnel,

 p

2. q :

3 + 2  5

 q

^:

3 + 2  5

5. Calcul de la valeur de vérité d’une proposition 5.1 A l’aide de la table de vérité

Exemple 1 : Etablir la table de vérité de la proposition (~p



q)



^(p

^

^q)

Exemple 2 : Dresser la table de vérité de la proposition (p



q)  r

p q r p



q (p



q)  r

V V V V V

V V F V F

V F V F F

V F F F V

F V V F F

F V F F V

F F V F F

F F F F V

5.2 A l’aide d’un arbre Exemple 1 :

Donner la valeur de vérité de la proposition p  (q



r) sachant que les propositions p et q ont la valeur de vérité vraie et r est fausse.

p  ( q



r ) V F V

F

D’après cet arbre, la proposition

p   ( q r )

a de la valeur de vérité fausse.

Exemple 2 :

Donner la valeur de vérité de la proposition (p



q)



^(r



s) sachant que p, q, r et s ont la valeur de vérité fausses.

p q ~ p ~p



q p



q (~p



q)



^(p

^

^q)

V V F F V V

V F F F F F

F V V V F V

F F V F F F

(6)

6

(p



q) v (r



s)

F F F F

V F

V

D’après cet arbre, la proposition (p



^{q) v (r}



s) a de la valeur de vérité vraie.

Exemple 3 :

Donner la valeur de vérité de la proposition [(p



q) v r]



(p v s) sachant que p et s sont vraies, q et r sont fausses.

[( p



q ) v r ]



( p v s )

T F F V V F T F

V

La proposition [(p



q)



^r]



(p



s) a de la valeur de vérité vraie.

Exercices

1. Parmi les phrases suivantes, lesquelles sont les propositions ? Puis donner leur valeur de vérité.

a. Faire du bien ! b. Tu vas bien ? c. Bonne santé !

d. Ne collez jamais protesté.

e. Aidez-moi, s’il vous plaît ! f. Les oiseaux ont des oreilles.

g. Il se pencha le monde.

h.

2 + 2 = 4

. i. 3 est un nombre pair.

j.

12  4 + 7

.

2. Formuler mathématiquement chacune des propositions suivantes puis donner leur valeur de vérité.

a. Le cobra et le naja (le serpent à lunettes) sont des animaux venimeux.

b.

3  4

ou

3  4

.

c. Si 2 est un nombre pair, alors 4 est un nombre impair.

d. Si

3 + 5 = 6

alors

2  6 = 12

.

3. Donner la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes.

a.

0

est un nombre naturel et

5

est nombre relatif.

(7)

7

b.

3  3 = 6 + 3

et

3

⁰

= 1

^.

c.

2

est un nombre pair et

3

est un nombre impair.

d. Si

2 + 2 = 4

alors

4 + 4 = 12

. e. Si

1 + 2 = 3

alors

3 + 4 = 7

.

d.

[( 2 + 2 = 5 )  ( 3 + 3 = 3 )]  ( 5 + 4 = 8 )

f.

[( 2 + 2 = 5 )  ( 3 + 3 = 3 )]  ( 5 + 4 = 8 )

^.

4. Donner la négation de chacune des propositions suivantes puis donner leur valeur de vérité.

a.

4 + 8 = 5 + 7

b.

2

n’est pas un nombre réel

c. les poulets sont animaux d.

2

³

 8

⁰Formuler 5. Donner la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes.

a.

p  ( q  r )

^avec

q  r

a une valeur de vérité vraie.

b.

( p    q ) ( r s )

^avec

p  q

fausse et

r  s

vraie c.

( p  q )  r

^avec

r

^vraie

d.

( p    q ) ( r s )

^avec

p  q

fausse e.

( p  q )  r

^avec

p  q

fausse f.

( p  q )  ( p  q )

^avec

p  q

vraie g.

p   ( q r )

^avec

q  r

fausse

h.

( p  q )   ( r s )

^avec

p  q

vraie et

r  s

fausse i.

p   ( q r )

avec

q  r

fausse

j.

( p  q )   ( r s )

avec

p  q

vraie et

r  s

fausse k.

p   ( q r )

avec

q  r

vraie

6. Etablir la table de vérité de chacune des propositions suivantes.

a.

p  ( q  r )

b.

p   ( q r )

c.

( p  q )   ( r s )

^d.

( p  ( p  q ))  q

e.

p  (  p  q )

f.

( p   q ) (  q   p )

(8)

8

Leçon 2 Propositions équivalentes

1. Propositions équivalentes

Voici la table de vérité de deux propositions



^(p



^{q) et}



^p

 

^q.

p q p v q



(p v q)



p



q



p

 

q

V V V F F F F

V F V F F V F

F V V F V F F

F F F V V V V

On constate que ces deux propositions ont même valeur de vérité pour tous les cas.

Définition :

Deux propositions composées A et B sont équivalentes si et seulement si A et B ont même valeur de vérité pour tous les cas et on la note

A  B

.

Et si A et B ne sont pas équivalents on la note

A

B

.

D’après la définition, le tableau ci-dessus montre que les propositions



(p



q) et



p

 

q sont équivalentes et on écrit :



(p



q)

 

^p

 

q (1)

Exemple 1 : Vérifier que les propositions p



q et



p



q sont équivalentes . Solution

A l’aide de la table de vérité :

p q p



q



p



p v q

V V V F V

V F F F F

F V V V V

F F V V V

D’après la table de vérité, les propositions p



q et



p v q ont même valeur de vérité.

Donc elles sont équivalentes et on écrit : (p



q) ≡



p v q (2)

Exemple 2 : Vérifier :

 (p  q)   p   q

. Solution :

p q  p  q p  q  (p  q)  p   q

V V F F V F F

V F F V F V V

F V V F F V V

F F V V F V V

D’après le tableau, on obtient donc

 (p  q)   p   q

⁽³⁾

Exemple 3 : Vérifier

(p  q)  (  q   p)

. Solution :

(9)

9 p q  p  q p  q  q   p

V V F F V V

V F F V F F

F V V F V V

F F V V V V

(p  q)  (  q   p)

⁽⁴⁾

(p  q) = (p  q)  (q  p)

p q p  q q  p p  q _(p _ _q) _ _(q _ _p)

V V V V V V

V F F V F F

F V V F F F

F F V V V V

(p  q) = (p  q)  (q  p)

⁽⁵⁾

• Les formules de Morgan :



(p



q)

 

p

 

q (1)

q p q)

(p     



(3)

• La formule

(p  q)  (  q   p)

est très souvent utilisée dans la démonstration par l’absurde.

• La formule

(p  q) = (p  q)  (q  p)

^{(5) :}

p est la condition nécessaire de q et q est la condition suffisante de p.

(p  q)  r = p  ( q  r)

p q

r

p  q _(p _ _q) _ _r q  r _p _ ₍ _q _ _r)

V V V V V V V

V V F V F F F

V F V F V V V

V F F F V V V

F V V V V V V

F V F V F F V

F F V V V V V

F F F V F V V

D’après le tableau, on constate que

(p  q)  r  p  ( q  r)

^.

2. Tautologie et contradiction 2.1 Tautologie

Définition :

- Une proposition composée A est une tautologie si elle est vraie pour toute la valeur de vérité de ses propositions simples.

Exemple 1 : Vérifier que la proposition

( p  q )  p

est une tautologie.

p q

p  q ( p  q )  p

V V V V

V F F V

F V F V

F F F V

(10)

10

Pour tous les cas la proposition

( p  q )  p

a pour valeur de vérité vraie donc elle est une tautologie.

Exemple 2 : Vérifier que la proposition p



(p v q) est une tautologie.

p q p v q p



(p v q)

V V V V

V F V V

F V V V

F F F V

La proposition p



(p v q) est une tautologie.

2.2 Contradiction Définition :

- Une proposition composée B est une contradiction si elle est fausse pour toute la valeur de vérité de ses propositions simples.

(p  q)   q

est une contradiction.

p q

 q

_p



q

( p  q)   q

V V F V F

V F V F F

F V F F F

F F V F F

La proposition

(p  q)   q

(p  q)  ( q   p)

p q p



q

 p q   p _(p _ _q) _ ₍ _q _ _ _p)

V V V F F F

V F F F V F

F V F V V F

F F F V V F

La proposition

(p  q)  ( q   p)

(p  q)  ( p  q)

p q p



q

p  q (p  q)  ( p  q)

V V V V V

V F V F F

F V V F F

F F F F V

La proposition

(p  q)  ( p  q)

n’est ni une tautologie, ni une contradiction.

(11)

11

Exercices

1. À l’aide de la table de vérité, vérifier que les propositions suivantes sont équivalentes.

a.

 ( p   q )

et

 p  q

b.

 (  p   q )

et

p  q

c.

( p   q )   (p  q)

et

 ( p   q ) (   p   q )

d.

p  (  q  r )

et

(p   q )  ( p   r )

.

2. À l’aide de la table de vérité, vérifier si chacune des propositions suivantes est une tautologie ou une contradiction ou ni tautologie ni contradiction.

a.

( p   q ) ~ ) q  ~ p

b.

(( p    q ) ( q r ))  ( p  r )

c. (

( p   q ) ~ ) q  p

d.

((( p    q ) ( r s ))  ( p  r ))   ( q s )

e.

((( p    q ) ( r s ))     ( q s ))  (~ p  ~ ) r

3. Démontrer chacune des équivalences de propositions suivantes.

a.

p   q ~ p  q

b.

^p ^{ } ^q ( ^p ^{  } ^q ) ( ^q ^p )

c.

p  p  p

d.

p  p  p

e.

p  q  q  p

f.

p  q  q  p

g.

 ( p  q )  (~ p  ~ q )

h.

~ ( p    q ) ( p ~ ) q

i.

( p q      ) r p ( q r )

^j.

( p  ( q  r ))  (( p  q )  ( p  r ))

(12)

12

Leçon 3 Prédicat, quantificateurs

1. Le prédicat Définition :

Un prédicat est un énoncé contenant l’inconnue dont elle devient une proposition lorsque l’on connaît l’inconnue.

Exemples :

- " Il est un politicien " est un prédicat car cette phrase contenant " il ".

Si on remplace " il " par une personne précise alors elle devient une proposition.

-

x − y  0

est un prédicat car cette expression contenant les variables x et y. Si on remplace " x et y " par les réels alors cette expression devient une proposition.

-

3 x − 2 = 1

est un prédicat si on remplace x par un nombre,

3 x − 2 = 1

devient une proposition par exemple : . pour

x = 1

^{, on a}

3 − 2 = 1

, une proposition qui a la valeur de vérité fausse ;

. pour

x = 0

^{, on a}

0 − 2 = 1

, une proposition qui a la valeur de vérité vraie ;

. pour

x = 2

, on a

6 − 2 = 1

, une proposition qui a la valeur de vérité fausse.

• Un prédicat de variable x se note

P(x)

^.

• Un prédicat de variable x, y se note

P(x, y)

^.

2. Quantificateur Définition :

Un quantificateur est un opérateur logique qui permet de transformer un prédicat en proposition.

Dans la logique, il y a 2 quantificateurs  et .

- "



" se lit "quelque soit ", appelé quantificateur universel.

- "



" se lit "il existe au moins un ", appelé quantificateur existentiel.

Si

P ( x )

est une proposition dépendante de variable x, trois cas peuvent se présenter : (1) . La proposition

P ( x )

est vérifiée pour tout x. On note alors :

 x , P ( x )

(2) . La proposition

P ( x )

est vérifiée pour au moins un x. On note alors :

) ( , P x

 x

(3) . La proposition

P ( x )

n’est vraie pour aucune valeur de x. On ne définit pas alors de nouveau quantificateur, car on peut remarquer que ceci signifie que la proposition

 P (x )

est vraie pour tout x. On note alors :

) ( , P x x 



On utilise parfois le symbole

 !

qui signifie qu’il existe un élément unique. L’écriture veut donc dire que la propos i- tion

P (x )

est vraie pour un et un seul x. On note :

 ! x , P ( x )

Exemple 1: Traduire à l’aide des quantificateurs des phrases suivantes.

1. Quelque soit x, on a x + 0 = x.

. 0

, x x

x + =



2. Il existe x tel que

x + 1  3

.

. 3 1 , + 

 x x

3. Quelque soit

x

, il existe

y

tel que

x + y = 0

.

0 , + =



 x y x y

4. Quelque soit

x

et

y

, on a

x + y = y + x

.

x y y x y

x  + = +

 ,

5. Il existe

x

et

y

dont la somme est 5.

5 , + =



 x y x y

(13)

13

Exemple 2 :

1. La fonction cosinus est minorée par -1 et majorée par 1 sur



.

1 cos

1 , −  





 x inus

2. L’équation

x

²

+ x + 1 = 0

a au moins une racine complexe.

0 1 ,

²

+ + =



 x C x x

3. L’équation

ln x = 1

a une seule solution strictement positive.

1 ln ,

!  

^*

=

 x

₊

x

3. Négation de quantificateur

• La négation de la proposition

 x , P ( x )

est la proposition

 x ,  P ( x ) ( )

( ^ ^x ^, ^P ^x ) ⁼ ^ ^x ^, ^ ^P ⁽ ^x ⁾



• La négation de la proposition

 x , P ( x )

est la proposition

 x ,  P ( x )

^.

( )

(  x , P x ) =  x ,  P ( x )



Exemple :

P ( x )

: tous les élèves apprennent de la logique :

 x , P ( x )

) ( x

 P

: quelques élèves n’apprennent pas la logique :

 (  x , P ( x )) =  x ,  P ( x )

4. Raisonnement valide et non valide

• Un raisonnement est une relation entre un ensemble de propos ition

n 2 1

, A , ..., A

A

appelées prémisses (hypothèses) et une autre proposition

B

, appelée conclusion, ce que nous no- tons :

Ou bien

 



 





A

n

A A



2 1

Hypothèses

 B

Conclusion

Ou simplement

( A

₁

 A

₂

 ...  A

_n

)  B

• Un raisonnement est dit valide si les prémisses entraînent la conclusion est une tautologie.

• Un raisonnement non valide est dit contre-vérité.

Exemple 1 : Montrer que le raisonnement suivant est valide.

, :

2 1

q A

q p A





B :  p

Solution :

À l’aide de la table de vérité

On va montrer que la proposition

( A

₁

 A

₂

)  B

c’est-à-dire que on va montrer que la proposition

(( p     q ) q ) p

est une tautologie.

p q p  q  ^q ( p    q ) q  p (( p     q ) q ) p

(14)

14

V V F F

V F V F

V F V V

F V F V

F F F V

F F V V

V V V V La proposition

(( p     q ) q ) p

est une tautologie donc ce raisonnement est valide.

À l’aide d’un arbre

On suppose que la proposition

(( p     q ) q ) p

n’est pas une tautologie.

On a :

((p  q)   q)   p

V F

V V

V F F

Cet arbre a une contradiction. La proposition

(( p     q ) q ) p

est une tautologie, donc ce raisonnement est valide.

Exemple 2 : Montrer que le raisonnement suivant est valide.

Prémisses : Si Nang Philany est malade alors elle va à l’hôpital.

Philany va à l’hôpital.

Conclusion : Nang Philany est malade.

Solution :

À l’aide de la table de vérité

Considérons Nang Philany est malade par

p

Nang Philany va à l’hôpital par

q

Le raisonnement donné est de la forme :

p q

q p





ou

(( p  q )  q )  p

p q p  q ₍ _p _ _q ₎ _ _q ₍₍ _p _ _q ₎ _ _q ₎ _ _p

V V F F

V F V F

V F V V

V V V F

V V F V La proposition

(( p  q )  q )  p

Ce raisonnement est non valide (contre-vérité).

(15)

15

À l’aide d’un arbre

On suppose que la proposition

(( p  q )  q )  p

(( p  q)  q)  p

F V

V

V F

F

Cet arbre n’a pas de contradiction. La proposition

(( p     q ) q ) p

n’est pas une tautologie, donc ce raisonnement est non valide.

Exercices

1. Parmi les phrases suivantes, lesquelles sont les propositions , lesquelles sont les prédicats ?

k. Il est un élève de second.

l. Il va au marché ? m.

8 + 4 = 12

n.

x

²

+ 1

o.

x

²

+ x − 6 = ( x + 3 )( x − 2 )

2. On considère

P ( x )

^{par «}

3 + x = 7

^»

R (x )

^{par «}

x

est un nombre pair »

G ( x , y )

^{par «}

x

est divisible par

y

»

Q ( x , y )

^{par «}

x − y = 5

^»

Enoncer les propositions ci-dessous en français.

a.

P ( 4 )

b.

P ( 4 )  R ( x )

c.

P ( 2 )  R ( 2 )

d.

R ( x )  ~ R ( x )

e.

G ( y , x )

f.

~ Q ( x , y )  ~ G ( x , y )

g.

R ( 10 )

h.

G ( x , y )  Q ( x , y )

i.

Q ( 2 , z )

j.

(~ P ( 5 )  ~ R ( 5 )  Q ( x , y )) → P ( x )

3. Soient

P ( x )

^{: «}

x

est un entier »

Q (x )

: «

x

est inferieur a 8 »

R ( x )

: «

x

est et un nombre pair »

S ( x )

^{: «}

x

est un nombre positif »

T ( y )

: «

y = 1

»

Donner la formulation mathématique de chacune des phrases.

(16)

16

a.

y

est positif b.

y

^{est pair}

c.

x

est un entier inférieur à 8.

d.

x

est un entier qui n’est pas inférieur à 8.

e. Si

x = 1

alors

x

est un entier positif.

f.

y

est un entier positif qui n’est pas égal à 1.

4. Soit

P ( x )

^{: «}

x

est un oiseau »

Q ( x )

^{: «}

x

est un aliment »

Enoncer les propositions ci-dessous en français.

a.

 x  P ( x )  ~ Q ( x ) 

b.

 x  P ( x ) → ~ Q ( x ) 

c.

 x  P ( x )  Q ( x ) 

d.

 x  P ( x ) → Q ( x ) 

5. Soient

P ( x )

^{: «}

x

est cultivateur »

Q (x )

^{: «}

x

travaille dur »

Enoncer les propositions suivantes en français.

a.

 x  P ( x )  ~ Q ( x ) 

^b.

 x  P ( x ) → ~ Q ( x ) 

c.

 x  P ( x )  Q ( x ) 

d.

 x  P ( x ) → Q ( x ) 

6. Soient

P ( x )

^{: «}

x

est l’habitant de la capitale de Vientiane »

Q ( x )

^{: «}

x

respecte l’environnement »

Donner la formulation mathématique de chacune des phrases.

a. « tous les habitants de la capitale de Vientiane respectent l’environnement » b. « quelques habitants de la capitale de Vientiane respectent l’environnement » c. « aucun habitant de la capitale de Vientiane respectent l’environnement » 7. Soient

P ( x )

^{: «}

x

est un élève »

Q (x )

^{: «}

x

est sportif »

Donner la formulation mathématique de chacune des p hrases.

a. « tous les élèves sont sportifs » b. « quelques élèves ne sont pas sportifs » c. « quelques élèves sont sportifs » d. « aucun élève n’est sportif »

e. « si quelques élèves sont sportifs, alors quelques élèves ne sont pas sportifs » f. « si tous les élèves sont sportifs, quelques élèves sont sportifs »

g. « si tous les élèves sont sportifs, alors quelques sportifs sont des élèves » 8. Soient

Q ( x )

: «

x

est une marchandise en bonne qualité »

P ( x )

^{: «}

x

est une nouvelle marchandise »

a.

 x , P ( x )  Q ( x )

b.

 x , P ( x )  Q ( x )

c.

 x , P ( x )  ~ Q ( x )

d.

 x ,  P ( x )   Q ( x ).

1.Enoncer en français les formulations mathématiques ci-dessus.

2.Donner leur négation puis les énoncer en français 9. Dire si chacun des raisonnements suivants est valide.

a. S’il pleut, la cour sera mouillée. Il pleut, donc la cour est mouillée.

b. Bounmy gagne la partie si et seulement s’il joue avec attention et son adversaire joue mal. Bounmy joue avec atte n- tion, mais il perd. Donc son adversaire joue mal.

c. S’il y a des embouteillages, la voiture roule doucement. S’il n’y a pas d’embouteillage et que la voiture roule vite, alors Phouthone arrive à l’école à l’heure. Phouthone arrive à l’école à l’heure. Donc il n’y a pas d’embouteillage.