TSI1 – Physique-chimie DS5 : Électricité – corrigé – 07/12/2019
DS5 : Électricité – corrigé
Exercice 1:Circuit RLC série
e(t)
R i
C L uL
uC
uR
I - Réponse à un échelon de tension
1. Pourt <0on est en régime permanent, la bobine se comporte comme un fil doncuL(0−) = 0et le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert donci(0−) = 0. On en déduit que uR(0−) =Ri(0−) = 0et donc la loi des mailles donne uC(0−) = 0.
2. La continuité de l’intensité qui traverse la bobine imposei(0+) =i(0−) = 0doncuR(0+) = 0et la continuité de la tension aux bornes du condensateur imposeuC(0+) =uC(0−) = 0. La loi des mailles donne enfinuL(0+) =E. 3. On applique la loi des mailles :E=uR+uC+uL, la loi d’Ohm :uR=Ri, du condensateur :i=CduC
dt et de la bobineuL=Ldi
dt. En combinant les trois (en partant de la loi de la bobine) on obtient l’équation différentielle : d2uL
dt2 +R L
duL
dt + 1
LCuL= 0 4. La pulsation propre du circuit estω0=√1
LC et le facteur de qualité est Q=R1q
L C. 5. D’après le graphique on trouveE'4 V,ω0= 2πf '105rad/s etQ'10.
6. On aω20'1010s−2=LC1 . On peut donc par exemple prendreL=0,1 mH etC=1 µF. Dans ces conditions on a R= Q1
qL
C = 101q 0.1
1×10−3 =1 Ω.
II - Régime sinusoïdal forcé 7. e(t) =Eej(ωt+ϕ).
8. On a un pont diviseur de tension formé par l’impédanceZL en série avecZC etZR. On a donc uL=e ZL
ZL+ZR+ZC
=e jLω jLω+jCω1 +R Avec les expressions deω0 etQdonnées on trouve bien :
uL=e jQωω
0
1 +jQ
ω ω0 −ωω0 9. On a :
U(ω) =|uL|=E Qωω
0
r
1 +Q2
ω
ω0 −ωω02 On aU(ω0) =QE
10. Lorsque le facteur de qualité est grand, on aU(ω0)> Eil se produit un phénomène de résonance 11. Le déphasage estϕ=arg(uL)−arg(e)soit :
ϕ=arg
jQωω
0
1 +jQ
ω ω0 −ωω0
=π
2 −arctan Q
ω ω0
−ω0
ω
Lorsque ω=ω0,ϕ= π2.
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Exercice 2:Dipôle inconnu
1. On trouve graphiquementUm=5 V etVm=3,5 V.
2. La période du signal estT =6,3×10−2s et donc la pulsation estω=2πT =100 rad/s.
3. La tensionv augmente avant la tensionudonc elle est en avance etϕest positif.
4. Graphiquement on trouve∆t=0,8×10−2s et le déphasage estϕ= 2π0.86.3 '0,8 rad.
5. La loi d’Ohm donne directementu=Ri.
6. Aux bornes du dipôleDon av=Zi. En utilisant l’expression deide la question précédente, on obtient :Z=Rvu. 7. La question précédente donne directement|Z|=R|v||u| =RUVm
m =70 Ω. Et arg(Z) =arg(R) +arg(v)−arg(u) = arg(v)−arg(u) =ϕ.
8. On aX =Zcosϕ=48,8 Ω et Y =Zsinϕ=50,2 Ω. Pour fabriquer ce dipôle on peut utiliser une résistance de 48,8 Ω en série avec une bobine d’inductanceLtelle queLω=50,2 Ω soitL'0,5 H (C’est une grosse bobine !).
Exercice 3:Atténuateur
1. Si le condensateurC2est absent etZ1est une résistanceR1, on a un pont diviseur de tension etvs= R2
R1+R2ve. Donck= R2
R1+R2
et on trouve finalementR1=1−k k R2
2. Si on gardeZ1=R1. L’impédanceZ2équivalente au dipôle formé parR2etC2en parallèle estZ2= R2
1 +jR2C2ω. On a toujours un pont diviseur de tension formé par Z1 et Z2 et vs = Z2
R1+Z2ve = R2
R1+R2+jR1R2C2ωve. L’atténuation de la tension d’entrée dépend donc de la pulsationω (quelle que soit la valeur deR1).
3. Lorsque ω → 0 on retrouve le résultat de la première question : vs = R2
R1+R2
ve (On s’y attend, car à basse fréquence le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert, tout se passe comme s’il était absent).
Lorsque ω→ ∞,vs→0. On a donc un filtre passe-bas.
4. L’impédance du dipôleZ1 estZ1= R1 1 +jR1C1ω. Pont diviseur de tension :vs= Z2
Z1+Z2
ve=kve donck= Z2
Z1+Z2. De manière similaire à la question 1 on trouveZ1=1−k
k Z2, ou 1 Z1 = k
1−k 1
Z2 soit 1
R1+jC1ω= k 1−k
1
R2 +jC2ω
En identifiant les parties réelles et imaginaires, on trouve le résultat demandé soit : R1 = 1−k
k R2 et C1 = k
1−kC2.
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