u 100 delasuite(101 eme termedelasuiteu).

(1)

Algorithmiques itératifs

Liene1 MASS semestre 2, 2007/08

Exerie 1 : Plus petit, plus grand

a- Enpartantdel'algorithme "deviner"duours,ajouteruntestpourindiquersilenombreproposé

estpluspetitouplusgrandquelenombreàdeviner.

b- Modierl'algorithmepourlimiterlenombredetentativesà5.

Exerie 2 : Comptage

a- Erireunalgorithmequidemandedesaisiraulavierlataillede

10

^personnes^et^alule^le^nombre

depersonnesdontlatailleest pluspetiteque1,60m.

L'entêtepourraêtrelasuivante :

Algorithme omptageTailleSup160(): entier

b- Unvoteéletroniqueest organisé,unordinateur permet de saisirhaquevoteet lesomptabilise.

LeséleteurspeuventrépondreparO(oui),N(non)ouB(blan).Erireunalgorithmequidemande

à

n

^életeurs^leur^voteêt^érit^à^laⁿ^du^vote^le^pourentage^deÔui, ^de^Nonêt ^de^votes^blans.

Algorithme votation(n: réel): rien

Exerie 3 : Suites réurrentes

Soitlasuitedenombresréelsdéniepar:

u 0 = 1

u n+1 = ¹ ₂ u n + 2, ∀n ≥ 0

a- Calulerles5premierstermes delasuite.

b- Erireunalgorithmequialuleleterme

u 100

^de^la^suite⁽

101 ^eme

^terme^de^la^suite

u

^).

Algorithme U100(): réel

- Erireunalgorithmequialuleleterme

u n

^de^la^suite.

d- Vous pourriez démontrer quelasuite

u

^onverge^vers

4

^. Êrire ûnâlgorithme^qui âlule ^l'indie

dupremierterme de lasuite qui approhela limite à

10 ⁻ ²

^près,'est-à-direqui alule l'entier

p

telque

|u p − 4| ≤ 10 ⁻ ²

^.

(2)

Soitunefontion

f

^à^variable^réelle^ayant^les^propriétés^suivantes^:

• f

êst ôntinue^surûnîntervalle

[a, b]

^.

• f

^ne^s'annule^qu'une^seule^et ^unique^fois^sur

]a, b[

• f (a) < 0

^et

f (b) > 0

a- Erire un algorithme qui alule un nombre réel qui approhe le zéro de la fontion

f

^ave ^un

préisionde

10 ⁻ ²

^. Âutrement^dit,^érireûnâlgorithme^quiâluleûn^nombre^réel

x

^tel^que

|x−s| ≤ 10 ⁻ ²

^où

f (s) = 0

^.

Algorithme zeroIteratif(f: fontion,a: réel,b: réel): réel

b- Erireunalgorithme,utilisantleprinipedereherhedihotomique,quiréaliselemêmealulque

préédemment.

Algorithme zeroDihotomie(f: fontion,a: réel,b: réel): réel

Exerie 5 : Suite de polynomes

Soitlasuitedepolynomesdéniepar:

P 0 (X ) = 1

P _n +1 (X ) = (X ⁻ ¹ + X)P n (X), ∀n ≥ 0

a- Calulerles5premierstermes delasuite.

b- Erireunalgorithmequialuleleterme

P 100

^de^la^suite

P

^.

Algorithme P100(): polynome

- Erireunalgorithmequialuleleterme

P n

^de^la^suite

P

^.

Exerie 6 : Lapins

LeproblèmedemonsieurFibonai(1170-1250):

"Possédant initialement un ouple de lapins, ombien de ouples obtient-on en douze mois si haque

oupleengendretouslesmoisunnouveauoupleàompterduseondmoisdesonexistene?"

AttentionleslapinsdemonsieurFibonainemeurentjamais!

a- Soit

u n

^le^nombre^de^lapins ^au^mois

n

^. ^Exprimer^le^nombre^de^lapins

u n

^à^l'aide^d'une^relation^de

réurrene.

b- Erireunalgorithmequialulelenombredelapinsauboutde12mois.

Algorithme lapin12(): entier

- Erireunalgorithmequialulelenombredemoisauboutduquellapopulationdelapinsdépasse

300

^.

Algorithme mois300(): entier

d- Erireunalgorithmequialulelenombredemoisauboutduquellapopulationdelapinsdépasse

lenombre

L

^.

u 100 delasuite(101 eme termedelasuiteu).

10

n

u 0 = 1

u n+1 = 1 2 u n + 2, ∀n ≥ 0

u 100

101 eme

u

u n

u

4

10 − 2

p

|u p − 4| ≤ 10 − 2

f

• f

[a, b]

• f

]a, b[

• f (a) < 0

f (b) > 0

f

10 − 2

x

|x−s| ≤ 10 − 2

f (s) = 0

P 0 (X ) = 1

P n +1 (X ) = (X − 1 + X)P n (X), ∀n ≥ 0

P 100

P

P n

P

u n

n

u n

300

L

u n+1 = ¹ ₂ u n + 2, ∀n ≥ 0

101 ^eme

10 ⁻ ²

|u p − 4| ≤ 10 ⁻ ²

10 ⁻ ²

|x−s| ≤ 10 ⁻ ²

P _n +1 (X ) = (X ⁻ ¹ + X)P n (X), ∀n ≥ 0