SUR UNE APPLICATION DU CONTINGENT k LA TH :0RIE DE LA MESURE.
PAR
GEORGES BOULIGAND
POITIERS.
Les beaux r4sultats 4tablis par ]K. Georges Durand dans l'article qui pr6- c~de, m'ont suggdr4 le fh4or&me suivant: soit, dans l'es~ace c uclidien, "~ trois dimensions par exemple, ~t~ ensemble ponct,uel E , dont le contingent en chaque point t ), laisse ~chapper au moins une demi-droite P T (ce qui implique l'abandon de tout un pinceau conique so[ide entourant P T ) : j e dis qu'un tel ensemble 1~
est de ~nesure (cubique) nulle.
Puisque la r4union d'une infinit4 d4nombrable d'ensembles de mesure nulle est aussi de mesure nulle, il suffit d'dtablir le th4or~me pour un ensemble born6, tel qu'en chaque point, le contingent abandonne t o u t un demi-c6ne de r4volution (solide) de demi-angle au sommet ---a. Consid4rons donc ce cas.
A chaque point P de E , je puis faire correspondre une longueur ep telle qu'il existe un c6ne circulaire droit de sommet P , d'apo~h&me ~, et de demi- angle au sommet a - ne contenant s son int~rieur aueun point de E . De P
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comme centre, d4crivons les sphSres de rayons
~p ~ p
8 p , - - , . . . . , . . .
2 n
D'apr~s le th4or~me de Vitali 1, on peut. trouver une suite (Pi) de points de E e~ une suite assoei~e d'entiers ai, telles que les spheres suecessives don~ l'une
t C a r a t h e o d o r y : V o r l e s u n g e n fiber reellen F u n k t i o n e n , 2. Auflage, 1 a. 299 et s u i v a n t e s .
"~72 Georges Bouligand.
rVt
a p o u r centre P i e t p o u r r a y o n - - n e soient m u t u e l l e m e n t j a m a i s e m p i & a n t e s et recouvren~ E -s un ensemble d e m e s u r e nulle pr~s. On p e u t d'ailleurs f a i r e ce choix de mani~re que r o u t e s ces spheres soient dans un voisinage arbitraire- m e n t 6troit de E , donc que la s o m m e de leurs volumes d6passe d'aussi peu q u ' o n veut la m e s u r e extfirieure ~: de ~'. Or, si ~: n ' & a i t pas nul, eela serai~
en c o n t r a d i c t i o n avec la possibilit6 d ' 6 t e r de c h a q u e sphere u n c6ne circulaire droit, d ' o u v e r t u r e c o n s t a n t e , n e c o n t e n a n t s son i n t ~ r i e u r a u c u n point de /~'.
On a donc bien u ~ - o .
(G. Q. F. D.) Une application de ce thdor&me a &6 donnge p a r M. Georges Durand, dans sa n o t e : Sur u n t y p e de points des enveloppes de sphgres, G. R. I9 I, 193o, p- 8 2 3 ~ 8 2 5 .
