Einige S/itze iiber lineare Kongruenzen Von LARS

A R K I V F O R M A T E M A T I K B a n d 3 nr 22

M i t g e t e i l t a m 25. Mai 1955 d u r c h T . NAGEL]5

Einige S/itze iiber lineare Kongruenzen

Von LARS FJELLSTEDT

1. Man verdankt Tr~uE den folgenden Satz:

Es seien a, b und m teiler/remd. Dann ist die Kongruenz

a x - b y ~ - - O (mod m) (1)

immer 16sbar in ganzen rationalen Zahlen x, y mit [xl<~/~z, [yl<~/-m.

Dieser Satz. ist spi~ter yon TrroE selbst und yon verschiedenen anderen Autoren neu bewiesen und verallgemeinert worden. Siehe dazu BRAUm~-R~Y-

~OLDS [1]. Fiir die B6trachtungen dieser Arbeit werden die folgenden S~tze zugrunde gelegt :

1 °. Es sei (al, a2, ..., a , ) = 1, dann ist die Kongruenz

~ a t x , ~ 0 (rood m) (2)

t - I

immer 15sbar in 9anzen Zahlen xt mit Ix~lgmilr.

2 °. Dam System yon homogenen linearen Kongruenzen

~at~x~:=O

t - 1

wo r< s, hat immer eine L6sung mit

I ,1

Die Resultate, die wit in dieser Arbeit beweisen wollen, kSnnen als Ver- scharfungen des TrIvwschen Satzes und seine Verallgemeinerungen angesehen werden.

Wir werden der Einfachheit halber immer Ebcne statt Ebene oder Hyper- ebene und Parallelogramm statt Parallelogramm oder Parallelepiped schreiben.

Es sei jetzt nach der Anzahl der primen LSsungen yon (1) gefragt, die die Bedingung ix I <: ~/m, l yl ~ ~m erfiillen. NAO~LL [23 hat bewiesen, da.~s diese An- zahl gleich 1 oder 2 ist. Wenn wir statt (I) die allgemeine Kongruenz (2) be- trachten, l ~ s t sich die Frage nicht ganz so einfach beantworten. Es gilt das folgende Resultat :

v,~ 271

L. FJELLSTEDT, Einige Sdtze fiber lineare Kongruenzen Satz 1. Es sei D der Inhalt der Ebene

~ a , x, = 0 (4)

innerhalb des Wiir]els X~ < m 1/r. E8 sei /erner Ar (m) die Anzahl der LSsungen der Kongruenz (2) mit xt < m 1/r. Dann gilt

D r - 2

Es ist zu bemerken, dass die LSsungen nicht als teilerfremd vorausgesetzt sind. Weiter denken wir uns immer die Koeffizienten at modulo m reduziert.

Der Beweis yon Satz 1 wird den folgenden Hilfsiitzen vorausgeschickt:

Hilfsatz 1. Es sei W ein n-dimensionaler Wiir/el yon Kantenldnge 2 r (mit Origo als Mittelpunkt). Dann ist die Anzahl tier Gitterpunkte innerhalb und au]

dem Rande vort W gleich

(2r) n + 0 (r =-i)

oder, wenn das Gitter parallelepipedisch yon der relativen Dichte d ist, gleich d (2 r F + 0 (r ~-~).

Die relative Dichte wird dureh l / d = I n h a l t eines Fundamentalparallelogramms des enthaltenen Gitters definiert.

Der Beweis v e r l i u f t vollkommen analog wie die Restabsch~tzung 0 ( r ) i m zweidimensionalen Falle. Siehe etwa Li~DAV [3, S. 185, 3]. ~brigens sieht m a n sofort ein, dass dasselbe Resultat auch fiir einen beliebigen konvexen Be- reich gilt, der dutch eine endliehe Anzahl yon Ebenen begrenzt wird, und wo der Inhalt des Randes nicht zu gross ist.

Eine grobe A b s c h i t z u n g ergibt

bzw.

1 0 ( r n - 1 ) ] g 2 n + l ( ~ n + l ) r ~-l, r > n ~ 10(r ~-1) _gd • 2~+1 ( ~ + 1) r ~-~, r > n ~.

Hilfsatz 2. Die Gitterpunkte in der Ebene

~ a ~ x ~ = 0 , (a i , a 2, . . . , a n ) = l

tffil

(6)

bilden ein parallelepipedisches Gitter. Der Inhalt eines Fundamentalparallelogramms ist gleich

272

ARKIV FbR MATEMATIK. Bd 3 nr 22 Beweis. W e n n wir die E b e n e (6) auf e t w a x 1 = 0 abbilden, wird die F u n k - tionaldeterminante = al/H. D a aber noch gefordert wird, dass fiir ganzzahlige W e r t e y o n x~, ..., xn in (6) der entsprechende W e f t fiir x 1 auch ganzzahlig sein soll, so folg~, dass der I n h a l t eines F u n d a m e n t a l p a r a l l e l o g r a m m s = H i s t .

Beweis yon Satz 1. Der Satz folgt u n m i t t e l b a r aus den vorangehenden Hilf- s~tzen. Wir b e m e r k e n hier nur, dass die Absch~tzungen der O-term j e t z t nicht m e h r zu gelten brauchen. E s ist aber leicht einzusehen, class

m > r ~ .

(6')

I n analoger Weise l~sst sich fiir Syst~me v o n K o n g r u e n z e n der folgende Satz beweisen :

Satz 2. Es sei D der Inhalt der Ebene

•

~=1 (aak, a~k . . . ask) = 1

innerhalb des Wiir/els I xtl<~mrl". Es sei /erner A~ (m) die Anzahl der LSsungen des Systemes (3) yon Kongruenzen mit I x~l<=m ~18. Dann gilt

r ( r - 1 )

A~ (m) = : D + 0 (m ~- ~ ) . a ? ~k

( 8 )

Wie vorher l~sst sich das Restglied leicht absch~¢zen, worauf wir a b e r hier nicht eingehen.

U n t e r der Annahme, dass m geniigend gross ist, d a m i t wir yon den Rest- gliedern in (5) u n d (8) absehen k6nnen, wollen wir j e t z t die folgende F r a g e studieren: Wie klein k a n n D oder, was auf dasselbe hinausl~uft, wie viel k5n- h e n die E x p o n e n t e n 1/r bzw. r/s in den verallgemeinerten THu]~schen S~tzen verkleinert werden, ohne dass A~ (m) < 2 wird ? Die A n t w o r t folgt direk$ aus Satz 1 und Satz 2, die dadurch als Verallgemeinerungen der allgemeinen THU~.- schen S~tze angesehen werden kSnnen.

2. DE B A C K ~ [4] h a t die l~ichtigkeit des folgenden Satzes b e h a u p t e t : Es sei (a, m ) = 1 und b eine beliebige ganze rationale Zahl. Dann hat die Kon.

gruenz

a x - - y + b (rood m)

Dieser Satz ist falsch. Bm~UER-R~.rNoLDS [1] geben ein Gegenbeispiel an.

Dagegen gilt der folgende Sats.

273

L. FJELLSTEDT, Einige Siitze i~6r lineare Kongruenzen

Satz 3. Es sei (a, m ) = (a, b)= 1, a, b und c < Vm. Dann hat die Kongruenz

a x + b y - - c (mod m) (9)

Speziell gibt es also immer e k e LSsung mit Ix I -~ ~m, l Ylg ~/m + l o I.

Beweis: Unter den Voraussetzungen des Satzes gib~ es einen Gitterpunkt auf der Gerade

a x + b y = O (10)

fi~it: Ix[ _~ ~ , lY] =< Vm. Wenn wir nun irgendeinen Punkt (~, fl) auf (10) nehmen, so liegt auf dieser Gerade immer ein Gitterpunkt (x, y) mit I x - ~1 ~ V-m, I Y - fl I ~ V~. Die Liisungen der Kongruenz (9) bflden ein Gitter G. Die LS- sungen yon (9) fiir c = 0 bilden ein Gitter G 1 . Da G offenbar durch eine Trans- lation in G 1 iibergefiihrt werden kann, folgt die Richtigkeit der Satzes.

L I T E R A T U R

1. BRAUER, A. U. REYNOLDS, R. L.~ On a t h e o r e m of Aubry-Thue. Canadian J . of Math.

3, 367-74 (1951).

2 . . NAGELL, T., S u r u n th~0rbme d'Axel Thue. Arkiv f. Mat. Bd. 1, Nr. 33.

3. LANDAU, Vorlesungen iiber Zahlentheorie I I . Leipzig 1927.

4. DE BACKER, S. M., Solutions mod~r6es d ' u n syst~me de congruences d u p r e m i e r degr6e p o u r u n module premier p. Bull. de la C1. d . ~ Sci. de l'Acad. R. d. Belgique (5) vol.

34, 46-51 (1948).

Tryckt den31 janua~1956

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Uppsala 1956. Almqvist & Wiksells Boktryckeri AB