corrigé

Exercice 1 : On considère le triangle ABC et son cercle circonscrit de centre O et de rayon R. Le segment [BB' ] est un diamètre.

1. Quelle est la nature du triangle BB' C ? Justifier.

BB' C est inscrit dans le cercle de diamètre son côté [ BB' ] donc il est rectangle en C.

2. Montrer que les angles ̂BAC et ̂BB' C sont égaux.

Les angles inscrits ̂BAC et ̂BB' C interceptent le même arc. Ils sont donc égaux.

3. Montrer que sin ̂BB ' C=BC 2 R .

Dans le triangle BB' C rectangle en C, sin ̂BB' C= BC BB' . Et le rayon du cercle étant R, BB' =2 R .

4. Montrer que 2 R= BC sin ̂BAC .

C'est immédiat après les résultats des questions 2. et 3..

Exercice 2 : Dessiner un cercle trigonométrique en prenant comme unité 4 cm.

1. Placer sur ce cercle, à la règle et au compas (pas de rapporteur !), les réels π_{3 ,} −π_{3 ,} 2 π 3 et −

2 π 3 . Laisser les traits de construction apparents.

π

3 est la mesure, en radians, d'un angle d'un triangle équilatéral.

Il suffit donc de prendre, avec le compas, un écartement de 4 cm (le rayon choisi pour le cercle trigonométrique), et de le reporter sur le cercle, depuis le point I(0,1) , pour placer les sommets d'un hexagone régulier.

2. Donner sans justification les valeurs exactes de cos

(

π₃

)

et sin

(

π₃

)

.

Il faut connaître ces valeurs et être capable de les retrouver : dans un triangle équilatéral de côté 1, on trace une hauteur (qui est aussi médiane) : cos

(

π₃

)

est la moitié d'un côté de ce triangle équilatéral et vaut donc

1

2 ; sin

(

π

3

)

est la hauteur du triangle équilatéral et vaut donc

√

₂3 . Voir le document de rappels théoriques.

3. Expliquer comment on peut trouver grâce à la figure précédente les valeurs exactes de cos

(

104 π 3

)

et sin

(

−7 π 3

)

. 104 π 3 = (3×2 π)×17+2 π 3 = 2 π 3 +17×2 π

Le point correspondant sur le cercle trigonométrique est donc à la même position que le point lié à la mesure 2 π

3 . Ce point est symétrique du point lié à la mesure π3 par rapport à l'axe (O y) donc cos2 π 3 =−cos π3=− 1 2 et sin 2 π 3 =sin π3=

√

3 2 . Finalement, cos104 π 3 =− 1 2 et sin 104 π 3 =

√

3 2 . Trigonométrie

Exercice 3 : Sachant que sin x=3

5 et que π< x< 3π2 , déterminer la valeur exacte de cos x . (cos x)2+(sin x )2=1 donc (cos x)2=16

25 De plus, π< x< 3π 2 . Donc, cos x<0 . Finalement, cos x=−4 5 Exercice 4 :

1. Résoudre l’équation sin 2 x=sin

(

x−π 2

)

a) dans ℝ; sin 2 x=sin

₍

x−π 2

)

⇔ 2 x= x− π2+k×2 π ou 2 x=π−

(

x− π2

)

+k '×2 π (k ∈ ℤ et k ' ∈ ℤ) ⇔ x=− π 2+k ×2 π ou x= π2+k '× 2 π 3 (k ∈ ℤ et k ' ∈ ℤ) b) dans ]−π;π ]. −π<− π 2+k ×2 π⩽π ⇔ −1<− 1 2+2 k ⩽1 ⇔ −1 2<2 k ⩽ 3 2 ⇔ −1 4<k ⩽ 3 4 ⇔ k =0 −π< π 2+k '× 2 π 3 ⩽π ⇔ −1< 1 2+ 2 k ' 3 ⩽1 ⇔ −3 2< 2 k ' 3 ⩽ 1 2 ⇔ −9 4<k ' ⩽ 3 4 ⇔ k ' ∈ {−2 ;−1 ;0}

Finalement,

{

sin 2 x=sin

(

x− π2

)

−π<x⩽π

⇔ x=− π

2 ou x=− 5 π

6 ou x=− π6 ou x= π2

2. Placer les points images des solutions sur un cercle trigonométrique. Voir le document de rappels théoriques.

Exercice 5 :

1. Déterminer, à la main, la mesure principale (celle appartenant à l'intervalle ]−π ;π ] ) de 15 π

2 , en utilisant la méthode des additions successives (on ajoute ou on retranche 2 π autant de fois que nécessaire).

15 π 2 −2 π= 11 π 2 11 π 2 −2 π= 7 π 2 7 π 2 −2 π= 3 π 2 3 π 2 −2 π=− π2 Et, −π 2 ∈ ]−π , π ] . La mesure principale de 15 π 2 est −π2 .

2. Écrire un algorithme qui, pour une fraction donnée de π , renvoie la mesure principale correspondante, et l'implémenter en Python 3.

Principe :

Soit une fraction donnée.

Si elle est strictement supérieure à 1, on lui retranche 2, et on recommence en boucle jusqu'à obtenir une fraction inférieure à 1.

Si elle est inférieure ou égale à −1 , on lui ajoute 2, et on recommence en boucle jusqu'à obtenir une fraction supérieure à −1 .

Si elle est comprise entre −1 (exclus) et 1 (inclus), on n'y touche pas : cette fraction de π est déjà une mesure principale.

Algorithme en pseudo-code :

Variables : fraction : rationnel

début

Entrée : saisir fraction

Traitement : si fraction > 1 alors faire tant que fraction > 1 faire fraction ← fraction – 2 fintantque

sinon faire

si fraction  – 1 alors faire

tant que fraction  – 1 faire fraction ← fraction + 2 fintantque

finsi finsi

Sortie : afficher fraction fin

Remarque : le type « rationnel » n'existe pas dans les langages de programmation habituel. Il n'est donc

normalement pas non plus admis en pseudo-code. Et il faut réécrire cet algorithme en travaillant avec le numérateur et le dénominateur de la fraction...

Algorithme en pseudo-code corrigé :

Variables : numérateur, dénominateur : entiers fraction : réel

début

Entrées : saisir numérateur et dénominateur fraction ← numérateur / dénominateur Traitement : si fraction > 1 alors faire

tant que fraction > 1 faire

numérateur ← numérateur – 2 × dénominateur

fraction ← numérateur / dénominateur fintantque

sinon faire

si fraction  – 1 alors faire

tant que fraction  – 1 faire

numérateur ← numérateur + 2 × dénominateur

fraction ← numérateur / dénominateur

fintantque finsi

finsi

Sortie : afficher numérateur et dénominateur fin