Rang de courbes elliptiques avec groupe de torsion non trivial

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

O

DILE

L

ECACHEUX

Rang de courbes elliptiques avec groupe de

torsion non trivial

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

15, n

o

_{1 (2003),}

p. 231-247

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Rang

de courbes

_elliptiques

avec

_groupe

de

torsion

non

trivial

par ODILE LECACHEUX

RÉSUMÉ. On construit des courbes

_elliptiques

_{sur Q(T)}

_{de rang}

au moins 3, avec un _{sous-groupe de} torsion non trivial. Par

spécialisation,

des courbes

elliptiques

de rang 5 et 6

_{sur Q}

sont

obtenues.

ABSTRACT. We construct

_elliptic

curves on

Q(T)

with rank

grea-ter than 3 and non zero torsion _group. After

_{specialization,}

we obtain

elliptic

curves of rank 5 and 6 on

_Q.

1. Introduction

Soit E une courbe

_elliptique

sur

Q.

Le théorème de Mordell-Weil donne

la structure du _groupe des

_points

rationnels de E :

où r est

_appelé

_{le rang}

_{sur Q}

de E et

_{E (Q) t,}

_désigne

_{le sous-groupe de}

torsion de E

_(Q).

_Lorsque

E décrit l’ensemble des courbes

_elliptiques

sur

Q,

un théorème de Mazur montre

qu’il n’y

a

_qu’un

nombre fini de groupes

de torsion

_possibles;

_par contre on

_ignore

si r est borné. Les

_exemples

con-nus de courbes avec _rang élevé

_{correspondent}

à des courbes avec un _groupe

de torsion d’ordre 1 ou 2

_(Voir

[5]

et

_[6],

_par

_exemple,

et

_[2]

_pour une liste

actualisée).

Dans un

_précédent

article

[3],

nous avons construit des courbes

elliptiques

sur Q(T")

de

_{rang &#x3E;}

3 avec

Z/5Z.

Nous

pour-suivons notre étude et montrons _que les méthodes utilisées

_{s’appliquent}

pour d’autres sous-groupes de torsion

correspondants

à toutes les surfaces

modulaires rationnelles avec

_quatre

fibres

singulières

de

_type

lc.

Nous

mon-trons les résultats suivants :

Théorème 1. Il existe une courbe

elliptique

sur Q (T) ,

d’invariant

modu-laire non

_constant,

_possédant

trois

_{points indépendants}

définis

sur Q

(T)

et un _sous-groupe de

_torsion,

défini

isomorphe

à l’un des _{groupes :}

Z/6Z, Z/2Z

x

_2/42,

_Z/3Z

x

Nous étudions aussi le cas où

Z/4Z

C

_C8,

le _groupe

_Ces

étant stable par le groupe de Galois de

Q/Q.

2. Méthode

2.1. Surfaces modulaires

rationnelles.

On considère l’ensemble

où _{les sous-groupes r}

_{(n) ,}

_rl

_(n)

et

_ro

_(n)

de

SL2

(Z)

sont définis _par

Si r E

_é5,

le

_produit

semi-direct de r _par

Z2

_opère

librement

sur Sj

x C

par

On note

_Er

la surface

_quotient

et

_Yr

= la courbe

_quotient.

La fibration

elliptique

se

_prolonge

en une fibration semi-stable

que l’on note surface

_elliptique

modulaire.

Par

_ailleurs,

si on considère les surfaces

_elliptiques

semi-stables sur

I£~1

c’est à dire les surfaces dont les fibres

_singulières

sont de

_type

_le,

_(où

_Te

est un

_polygone

à c côtés formé de courbes

rationnelles)

on montre

_qu’elles

ad-mettent au moins

_quatre

fibres

singulières

et sont rationnelles. Beauville

_[1]

a donné une liste

(finie)

de telles surfaces et montré

_{qu’elles correspondent}

Rappelons

que la courbe

(resp.

est définie

_{sur Q}

et

paramétrise

les

_couples

où E est une courbe

_elliptique,

_ayant

un

point

AN

d’ordre

_N,

_(resp.

_{(E, CN)}

où

C~

est un _groupe

cyclique

d’ordre

N).

Si E est une courbe

elliptique

définie

sur Q

et si

_AN

est définie sur

Q,

il existe t

_{e Q}

telle _que E soit

_isomorphe,

sur

_Q,

à Pour cela il suffit d’écrire une

équation

de Weierstrass de E de la forme

en choisissant le

_point

de N-torsion en

(o, 0) ,

ce

_qui

donne une relation

entre b et c. Nous

expliciterons,

dans le troisième

paragraphe

et _pour

_chaque

groupe de (9

l’isomorphisme

entre

Eb,c

et la fibre en t de

Er.

On utilisera une

propriété analogue

dans les cas où le groupe de torsion n’est _pas

_cyclique.

2.2. Courbes de _{rang 2.}

On considère le

_produit

fibré associé à r

En

_général

_Er2

a des

singularités

_provenant

des

_points

_critiques

de

l’applica

tion

_{f . Cependant,}

comme

_f

n’a _que des fibres

_singulières

_{semi-stables,}

les

singularités

de sont des

_points

_singuliers

ordinaires.

On montre

_(cf.

_[7]

et

_[8])

_qu’on

_peut

construire une résolution

_projective

telle

_{que X}

soit une variété de dimension

_3,

de

_Calabi-Yau,

c’est à dire une

variété

_projective

lisse telle que

De

_plus,

la variété est

_rigide

_(h1,2

_{(X ) -}

h2,1

_(x)

=

0),

de sorte que le

nombre de Betti

_B3

_(X)

= 2.

Chercher des courbes

_elliptiques

_{de rang 2} avec une structure de torsion

correspondant

à la liste 6 revient à chercher des

_points

rationnels sur le

produit

fibré et à

_montrer,

en

plus,

_que les

points

construits sur la courbe

elliptique

(fibre

en t de

_Er)

sont

_{indépendants.}

2.3. Fibrations

_elliptiques.

Nous montrons _que les

_produits

fibrés des surfaces

_elliptiques

modulaires

Er

avec F E t~ admettent une fibration

elliptique

Nous regroupons dans un tableau les résultats

qui

sont montrés dans

_[3]

et

Les fibres

_{génériques possèdent}

toutes des

_points

de 2-torsion et des

points Q

{ a, b)-rationnels

d’ordre infini.

2.4. _{Courbes de rang} &#x3E; 3.

Soit r E

₍₄₎

n r

_(2),

_Fi

_(5),

_Fi

_(6),

_Fo

₍₈₎

n

_il

_(4)}.

Par combinaison

de

_{points Si}

_{(ou ~’)}

et de torsion on construit comme _pour

_Fi

(5) (cf.

[3])

une courbe

elliptique

sur Q (a)

de

_{rang &#x3E;}

3. Pour F

(3)

et

Fo

(9)

n

Fi

(3)

il

est

_possible

de faire une construction

_analogue

mais il faut

_changer

la base

de la fibration

_{précédente.}

Des courbes de _{rang &#x3E;} 3 ont été _{construites par} A.

_Dujella

_par

spéciali-sation des familles de _{rang 2} et 3 issues des

_exemples

donnés dans les

para-graphes

suivants. La méthode consiste d’abord à sélectionner des courbes

Plus

_{précisément,}

pour N un entier

fixé,

E une courbe

elliptique

et

ap =

p +

_{1 - JE}

_{(Fp ) ) ,}

on définit

-Il est alors

_{expérimentalement}

connu

qu’on

_peut

espérer

obtenir des courbes

de

_grand

rang si

Si=1,2,3 (N)

est

_grand.

_{Le rang} est alors minoré par

construction effective de

_{points indépendants,}

utilisant les _programmes MWRANK

_{(J. Cremona)}

et RATPOINTS

_{(M. Stoll).}

Le _rang est

ma-joré

par la borne de Mazur pour les courbes

ayant

de la torsion

_[4].

Nous

remercions A.

_Dujella

_pour les

_exemples

de courbes _{de rang 5} et 6 _que nous

donnons ici. Une étude

_plus

_approfondie

fera

_l’objet

d’une autre

publica-tion.

3. Résultats

3.1. Surface

Fi

(5).

Complétons

l’étude de ce _cas, en donnant des

exem-ples

de courbes de rang 6 et 5.

3.1.1.

_Exerraples.

Le

_plus

_grand

_rang actuellement connu

(Septembre 2002)

[2] ,

a été obtenu avec

l’exemple

(2)

de

[3]

_pour

(a, b)

=

(1, 6~ .

Plus

précisément

la courbe

avec d = de

_{rang 6.}

Les

points

suivants sont

indépendants

Si on choisit

(a, b)

-- ~ 3 , 6 ~ ,

soit d =

1292/ 12201 =

3 ~ 7 X 3 ,

les

points

d’abscisse

On obtient aussi deux courbes de _rang 5 _pour

_{(a, b)}

=

(2, 5/7)

(soit

3.2. Surface

_{Er~ ~6~ .}

Dans ce cas la courbe _pour

_équation

de discriminant

cs

_(9c

+

₁₎

_{(c +}

1)" .

n

la courbe

_Ec

est

isomorphe

à la courbe

_{d’équation}

où le

_point

_{(2, 0)}

est d’ordre

_3,

le

_point

_{(-2, 0)}

d’ordre 2 et enfin

_(-2

+

4d,

0)

d’ordre 6. Cette dernière forme de Weierstrass montre aussi que la surface

elliptique

est rationnelle.

Nous

_préférons

toutefois utiliser le modèle

dans

_lequel

les coordonnées des

_points

obtenus dans le théorème suivant

sont

_{plus simples. L’équation}

_Ed

est obtenue à

_partir

de la

_précédente

en

remplaçant

X

_{par -2 -!- 4d -1- X.}

Le

_changement

de variables

montre _que la courbe

_Ed

est birationnellement

_équivalente

à la

_quartique

Enfin,

posant

la courbe

_Ed

est birationnellement

_équivalente

à la courbe notée

_Sd

d’équa-tion

_(cf.

_[1]

et

_[9])

Remarque

2. Posant d = t +

1,

(cf.

[1])

on obtient aussi

l’équation

de

Erl (6)

Si K

_désigne

un _corps et si

Mi

et

M2

E

Ed

(K)

sont deux

_{points £}

Ed

(K) tor,

on note

_{(A, Z)}

et

_(B,

_T)

les

_{points correspondants}

sur

Sd.

Le

point

_{(A, Z, B, T)}

est un

point

K-rationnel du

produit

fibré

_{Erl (6)}

Notons aussi

....-

--On étudie la fibration

_elliptique

Définition 3. On notera la courbe affine

_{d’équation}

Proposition

4. La

_cubique

_Ca,b

a un modèle de Weierstrass

Les

_points

de coordonnées

sont

_{indépendantes}

et le

_point

_{(0, 0)}

est d’ordre 2. Posons

On définit ainsi une

application birationnelle,

définie

sur Q ( a,

b) ,

d’inverse

entre la

_cubique

_{Ca,b (Z, T)}

et la courbe

_{elliptique d’équation}

Le

_point

_(Z

=

b, T

=

a)

de _a

pour

image ,S’2.

L’étape

suivante consiste à construire une courbe

_elliptique

avec deux

points Q (a, b)

rationnels.

Au

_point

,S =

ni Si

+m181

où

(ml,n1,E) E

72

x de

Ca,b

correspond

le

_point

_{{a, Z (a, b) , b, T {a, b) )}

du

produit

fibré

_{Er! (6)}

_{x rl (6)}

Les courbes

_elliptiques

_E~

avec d = d

(a,

Z

(a, b) )

définies

sur Q(a,

b)

possèdent

alors deux

_{points Q ( a,}

_{b)-rationnels.}

Plus

_{précisément,}

nous

Exemple

1. A

_partir

du

_point

de

_{(Z, T)}

on considère la courbe

Ed,

avec

Exemple

2. A

_partir

du

_point

de

_{(Z, T)}

on considère la courbe

Ed,

avec

Exemple

3. A

_partir

du

_point

,

de

_{(Z, T)}

on considère la courbe

_Ed3

avec

Exemple

4. A

_partir

du

_point

de

_{(Z, T)}

on considère la courbe

_Ed4

avec

Dans tous ces

_exemples,

les

_points

de

Ed,

qui

vérifient Y =

2X/a

_et Y =

2X/b

engendrent

un _groupe de _{rang 2 :} dans

_chaque

_cas,

_{l’indépendance}

des

_points

est montrée _par

_{spécialisation.}

Remarque

5. Nous avons choisi des

_points

,~

qui

donnent des fractions

3.2.1. Courbes de _rang 3. On choisit x

et y

de _{sorte que}

_Zl

_(a,

_{x) =}

Z2

(a, y) ,

soit

, - 1 -

-et on considère la courbe

Ed

telle _que

Les

_points

de

_{Ed qui}

vérifient Y =

2X /a, Y

= _ou bien Y =

2X/y

sont définis sur le

L’égalité

Zl

( a, x )

=

Z2

( a, y )

définit _une courbe

Ho-

On _se ramène alors

à étudier les

_points

de cette courbe

_{sur Q(a) .}

Les factorisations de

₍₃₎

montrent _que

_Ha

est une courbe

elliptique

sur Q (a)

qui

possède

des

points

rationnels sur ce _corps. Plus

_{précisément,}

on montre _que cette courbe

a deux

_{points indépendants}

et un

_point

d’ordre

2,

définis Par

exemple

le

_point

x

=

a3+a2+a-l Y

= est

Q

(a)-rationnel

sur

a -f-2a-1 y = a -f-a --a-1

Ha .

La courbe

_Ed

où d =

di

(a, Zl (a, x)) =

d2

(a, Z2 (a,

y))

a alors trois

points Q ( a)-rationnels.

Par

_{spécialisation}

en a =

1/2

on montre

l’indépen-dance de ces

_points,

ce

qui

_prouve le théorème suivant â

Théorème 6. La courbe

_Ed

où

a un 3

_{(a) .}

Les

_points

Remarque

7. Les seuls facteurs

_premiers

de Z

_[a]

_qui

interviennent dans les coordonnées

Xi

et

_Y

sont des diviseurs des numérateurs et

dénomina-teurs de d et de d - 1. D’autres courbes

Ed

peuvent

être construites avec

Zi

(a, x) =

Z2

(a, y) ;

on obtient toutefois des fractions en a de

degré

plus

élevé,

par

exemple

3. 2.2. Courbes de _{rang &#x3E;} 3. Le

_{plus grand}

rang obtenu pour une courbe

elliptique

E avec E

_{(Q)tor rv}

_Z/6Z

est,

à ce

jour,

de 7. Utilisant la famille

donnée par le

théorème,

on obtient pour a

= 5/8

une courbe de rang

_6,

_pour

a = 9 _une courbe de rang 5. Les valeurs _a

= 2, 3, 4

donnent des courbes de rang 4.

Les courbes de

_l’exemple

₍₁₎

avec

(a, b) = (7,34)

et

_(2,39),

de

_l’exemple

(3)

avec

(a, b) =

(9, 25)

donnent des courbes de rang 6.

L’exemple

(2)

fournit une courbe de _rang 5 _pour

(a, b) _ (2, 39) .

3.3. Surface · La méthode et les définitions sont

essentielle-ment les mêmes que dans le cas

_précédent,

nous ne donnerons _que les

résultats.

La courbe

_elliptique

_{d’ équation}

a un _groupe de torsion

isomorphe

à

Z/2

x

_~/4.

Posant c =

1l d,

X = -dx

et Y =

_{d y,}

Z = 1 cette courbe est birationnellement

équivalente

à la courbe

d’équation

Le

_produit

fibré a _pour

équation

Nous utiliserons la fibration

_elliptique

de

_{Er~~~~rl ~4~}

et nous noterons

_Ca,b

la fibre

_générique

Les

_points

d’abscisses

_0,

ab

_(a

+

1)2

_{(b -}

1)2

ab

_{(a -}

₁₎₂

_(b

+

1)2

sont

d’or-dre 2. Le

_point

_Pl

=

Cb2

(a 2 - 1)2

₀₎

est d’ordre

_infini.

Le

_changement

de variables

d’inverse

donne le résultat.

Exemple 1.

Considérant le

_point

-8 on obtient

et

Exemple

2. Considérant le

_{point 2,S‘,}

on obtient

et la même valeur de d _que dans

_{l’exemple précédent.}

3.3.1. Courbes de rang 3. Pour a

fixé,

chercher x et y tels _que

Zl

(a,

x)

=

Z2

(a, y)

revient à chercher des

_{points Q (a)-rationnels}

sur la courbe

Cette courbe est _{de rang &#x3E;} 0

_{sur Q (a) :}

le

_point

L

est d’ordre infini. Le

_point

-2L donne la solution

On obtient alors le théorème suivant : Théorème 9. La courbe

_elliptique

avec

a un

_{rang &#x3E;}

3

sur Q

( a) ;

les

_points

d’abcsisses ~ sont

_{indépendants.}

En

_{spécialisant}

_pour a =

1/3

soit d =

-112/ 171,

_on montre

l’indépen-dance des trois

_points.

3.3.2. Courbes de rang &#x3E; 3. Le

plus

grand

rang

obtenu,

à ce

_jour,

_pour

une courbe

elliptique sur Q

dont le _groupe de torsion est

isomorphe

à

Z/4Z

x

_Z/2Z,

est de 6. Choisissant a =

1/12,

a =

2/11

dans le

théorème,

ou bien

(a, b) -

(20, 64)

dans

l’exemple

(1) ,

_permet

de construire des

courbes de rang 5.

3.4. Surface

_{ErQ(8)nn(4)’}

La surface

_elliptique

rationnelle

correspondant

au _{groupe de congruence}

_ro

(8)

n

_Fi

₍₄₎

a _pour

_équation

de

Weierstrass

Il

_suffit,

_pour

_cela,

de _poser -x =

XY, y = -(x

+

1 )Y

et Z = 1.

Le

_point

A =

(x

= -1, d)

est d’ordre

4,

et il existe un

_point

d’ordre

8 tel _que

_{2A, =}

A. Le

_point

A1

est défini dans une extension

_galoisienne

de Q (d) .

Le

_produit

fibré a _pour

_équation

Considérons la fibration

_elliptique

-de fibre

_générique

_{d’équation}

Proposition

10.

_Ca,b

est birationnellement

_équivalente

à la courbe

Le

_point

T =

(-a2b2, 0)

est d’ordre 4. Le

_{point ,}

est d’ordre

_infini.

Le

_changement

de variables

transforme

_Ca,b

en

Exemple

1. Le

_point

29

_correspond

à

Exemple

2. Le

_point

25 + 2T

_correspond

à

3.4.1. Courbes de _rang 3. Chercher des valeurs de x et z _pour

lesquelles

revient à étudier

_{l’équation}

c’est à dire à chercher des

_points

_{Q ( a)orationnels}

sur une courbe

_elliptique.

On montre que cette courbe est de _{rang 1} sur

Q ( a)

et

_possède

un

_point

d’ordre 3

_{sur Q ( a) .}

On trouve _par

_exemple

comme solution de

Zi

(a, x)

=

Z2

(a, y) .

Théorème 11. Soit

la courbe

a trois

points indépendantes

sur

~(a) .

Plus

précisément

les

_points

de cette

courbe

_qui

sont aussi sur l’une des courbes

où

sont Q (a) -rationnels

et

_engendrent

un _groupe de _rang 3.

En

_{spécialisant}

_pour a =

1/2

on obtient

_{l’indépendance}

des

_points

d’où

le résultat du théorème.

3.5. Surface La courbe est

isomorphe

à la courbe

par

l’application

Le

_produit

fibré a _pour

équation

Nous utiliserons la fibration

_elliptique

Proposition

12. La

_{fibre générique}

_Ca,b

est birationnellement

_équivalent

à

Cette courbe

_possède

les

_points

rationnels T .i

(o, 0)

d’ordre 2 _et S =

~a3b2,

0)

d’ordre

_infini.

Le résultat est obtenu _par le

_changement

de variables

En considérant les

_points

3S’ et

_{~S° -~- T}

nous obtenons

respectivement

les

points

Ce

_qui

donne

3.6. Courbes de _{rang 3.} Cherchons des valeurs de x

_{et y}

_pour

_lesquelles

Si a =

r~,

nous trouvons _que

_{l’équation}

_Zi

_{(a, x) -}

_{Z2 (a, y)}

définit une

courbe

_elliptique

de _{rang &#x3E;} 0

_{sur Q (r) .}

Par

_exemple,

et x =

r 3 5r

alors

Zi

(r2, ~) -

Z2

(r2, y)

et

Théorème 13. La courbe

_elliptique

où

possède

trois

_points

_{indépendants}

d’abscisses

L’indépendance

des

_points

est montrée en

spécialisant

en r = 3.

Les courbes

_{correspondant}

à r

₍₃₎

sont

_isogènes

_{sur Q (d)}

aux courbes

y2 + dxy + y

=

x3.

Des résultats

analogues

sont donc obtenus _par

_isogénie.

Bibliographie

[1] A. _BEAUVILLE, Les _familles stables de courbes elliptiques sur P1 admettent quatre fibres

singulières. C.R. Acad. Sc. Paris, Série I 294 _(1982), 657-660.

[2] A. DUJELLA, High rank _elliptic curves with _prescribed torsion.

http://www.math.hr/~

duje/tors/tors.html.

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Odile LECACHEUX Institut de _{Mathématiques} Université Paris-VI case 247 175 rue du Chevaleret 75013 Paris France E-rriail : _{lecacheu0math.jussieu.fr}