Problèmes de statique des fluides I

Problèmes de statique des fluides

I₂₃.

La pression atmosphérique est p0 = 1 bar = 10⁵ Pa ; le rapport des capacités thermiques de l’air à pression et volume constants est γ = 1,4 ; la pesanteur est g = 9,8 m.s^–2.

Un ballon communique avec l’extérieur par un col vertical de rayon R = 0,5 cm et de section s. Le volume du ballon et de son col est V0 = 1 litre On dépose en douceur dans le col une bille en acier, de masse volumique µ = 7800 kg.m^–3, de rayon exactement égal à celui du col et qui ferme de façon étanche ce col, tout en y coulissant sans frottement. La bille tombe dans le col, y descend d’une hauteur h, inférieure à la longueur du col, puis remonte...

1) Montrer que la force de pression qui s’exerce sur la bille est la même que sur un piston à faces planes horizontales.

2) Justifier que l’évolution de l’air du ballon obéit à la loi de Laplace.

3) Calculer la force totale subie par la bille en fonction de la distance x parcourue par cette bille et des autres données du problème.

4) Calculer h.

5) Calculer le temps de descente de la bille.

6) Décrire l’évolution ultérieure du mouvement de la bille si on suppose qu’il n’y a pas de cause d’amortissement.

7) On suppose à présent que la bille est soumise à un freinage proportionnel à sa vitesse. De quelle hauteur est-elle descendue au bout d’un temps très long ?

8) Dans quel sens ce freinage affecte-t-il la durée de la descente h de la première phase du mouvement ?

9) Même question si le frottement de la bille sur le col est du type frottement solide, c’est-à-dire indépendant de la vitesse.

II32. Pompage.

La pompe représentée ci-contre sert à extraire l'air contenu dans le compartiment B rigide de volume V = 1000 L. Le corps de la pompe A possède un volume maximal VM = 10 L et un volume minimal Vm = 0,1 L. Lors du n ème coup de pompe, la pression dans B passe de Pn–1 à Pn, tandis que le piston effectue un aller et retour complet :

• à l'aller, le volume du compartiment A passe de Vm (état 1) à VM

(état 3), tandis que a est fermé et que b, fermé au début, s’ouvre pour un certain volume V2 (état 2) ; P0

a

A b

B

• au retour, le volume du compartiment A passe de VM (état 3) à Vm (état 1) tandis que b est fermé et que a, fermé au début, s’ouvre pour un certain volume V4 (état 4).

L'air est considéré comme un gaz parfait. L'opération de vidage est, dans les conditions de l'expérience, isotherme et quasi statique (une transformation quasi statique est une suite d'états infiniment voisins d'états d'équilibre). Au début de l'opération, la température de l'air et sa pression sont égales à T0 = 298 K et P0 = 10⁵ Pa = 1 bar dans tous les

compartiments et à l'extérieur du dispositif. On prendra pour la valeur de la constante des gaz parfaits : R = 8,31 J.mol^-1.K^-1.

La valve a s’ouvre si la pression dans A est supérieure à la pression extérieure ; la sortie d’air consécutive fait que la pression dans le corps de pompe est alors en fait égale à celle de l’air extérieur. Elle se ferme si la pression dans A est inférieure à la pression extérieure.

La valve b s’ouvre si la pression dans B est supérieure à la pression dans A ; la sortie d’air consécutive fait que la pression dans A est alors en fait égale à celle dans B. Elle se ferme si la pression dans A est supérieure à la pression dans B.

1) Récapituler sous forme de tableau les pressions P(A) et volume V(A) du corps de pompe pour les états 1,2,3,4 en fonction de P0, Pn-1, Pn, VM, Vm, V2 et V4.

2) Ecrire les relations déterminant V₂ et V₄. Qu’y a-t-il de particulier pour le premier coup de piston ? 3) Trouver la relation de récurrence entre Pn-1 et Pn.

4) Exprimer Pn en fonction de n et des données.

5) Quelle est la limite de Pn quand n tend vers l’infini.

6) Justifier la valeur de cette limite par un raisonnement indépendant des calculs précédents.

7) Combien de coups de piston faut-il donner pour abaisser la pression dans B à 0,02 bar ? 8) Peut-on abaisser cette pression à 0,005 bar ?

III31.

DS : problèmes de statique des fluides, page 1

Dans le temple de l'Oratoire, Joseph-Étienne Bertier avait placé une balance à fléau à 25 mètres du sol. Dans le pla- teau de gauche, il posait un poids. Dans celui de droite, il plaçait une corde et une masse pour équilibrer la balance.

Ensuite, il déroulait la corde attachée sous le plateau de droite et y suspendait le poids qui équilibrait la balance avant le début de l'expérience. Quand la corde était déroulée, la balance penchait vers la gauche. Bertier en conclut que les objets pesaient plus lourd quand ils étaient plus haut. La querelle s'envenima entre Bertier et ses adversaires.

L'expérience fut reproduite dans d'autres églises. On finit par comprendre, en utilisant des objets plus ou moins denses que l'effet résulte de la diminution de la densité de l'air avec l'altitude (quand l'objet suspendu est dense et peu volu-

mineux, la poussée exercée par la masse d'air déplacée est faible et l'équilibre peu perturbé). Bertier publia à regret un article où il se rétractait, mais il continua à être convaincu que la pesanteur augmente avec l'altitude, jusqu'à une altitude qui n'avait pas encore été déterminée.

(Pour la science, n° 248 juin 1998, page 16) Données : pesanteur ; pression atmosphérique ; masse volumique de l’air ambiant

; rayon de la Terre .

9, 8 m .s 2

g= ⁻ P₀ =10 Pa⁵

3 0 1,2 kg.m⁻

ρ = R_T =6, 4.10 m⁶

1) Une grandeur augmente de un pour mille puis de deux pour mille. Quelle est sa variation relative globale ? 2) Un corps de masse , de volume V et de masse volumique est plongé dans l’air de masse volumique . Son poids apparent est la résultante de son poids et de la poussée d’Archimède de l’air. Exprimez ϖ en fonction de m,

, et .

m µ ρ

ϖ g ρ µ

1 1

1

3) Soit deux point M1 et M2 dont l’altitude diffère de h=z₂−z de l’ordre de 25 m.

3.a) Exprimez la différence de pression P2−P entre ces deux points.

3.b) Exprimez la différence de masse volumique ρ − ρ₂ entre ces deux points en fonction de , ρ g, h et P₀. 4) Selon quelle loi la pesanteur varie en fonction de la distance au centre de la Terre ? En déduire la différence relative ^{g2 g1}

g

− de la pesanteur entre M1 et M2 en fonction de h et R_T.

5) Exprimer la différence relative ^{ϖ − ϖ2} ϖ

1 du poids apparent d’un corps quand on le déplace de M1 à M2

5.a) si sa seule cause était la loi de la gravitation ;

5.b) si sa seule cause était la variation de la masse volumique de l’air avec l’altitude ; 5.c) si ces deux causes interviennent simultanément.

6) A quelle condition sur , qu’on exprimera littéralement, puis numériquement, le poids apparent croît-il avec l’altitude ?

µ

IV₃₀.

Dans ce problème, on négligera le poids de l’air devant celui d’un liquide ou d’un solide de volume comparable.

V2

V1 (P)

(S) C Soit un plan (P) et une sphère (S) de rayon dont le centre C est distant de x de

(P). Le plan découpe l’intérieur de la sphère en deux parties de volumes R

( )

(

^{3 2}

)

1 2 3

V x π3 R R x x

= − + ³ et ^{V x2( )=π}₃

(

^{2R3+3R x2 −x3}

)

^.

x

1.a) Proposez des arguments simples montrant que ces formules sont possibles.

1.b) Calculez ^dV2 et interprétez l’expression obtenue.

dx

x2

C 2) Une boule de rayon R, de masse volumique ρ et de masse m flotte sur l’eau de masse

volumique µ. A l’équilibre, son centre est en dessous de la surface de l’eau, à une distance

2 2

x =R de celle-ci. Calculez la densité d= ^ρ de la boule par rapport à l’eau.

µ

3) On enfonce cette même boule dans l’eau, jusqu’à ce qu’elle soit tout juste immergée (figure de gauche) et on la lâche. On suppose que, bien qu’il y ait mouvement, la force exercée par l’eau et l’air sur la boule est calculable par le théorème d’Archimède ; on néglige tous les frottements.

3.a) Soit x la distance entre le centre de la boule et le plan contenant la surface libre de l’eau (figure de droite) et FG

la force totale subie par la boule. Exprimez F compté positivement vers le bas en fonction de mg, d et ^{y x} .

=R

3.b) Vérifiez cette expression sur un cas particulier.

3.c) Montrer que ^F G

dérive de l’énergie potentielle ^{1 1 3 2 1 4}

2 8 16

Ep mgR y y y y

d

⎡ ⎛⎜ ⎞⎟⎤

⎢ ⎥

=− ⎢⎣ − ⎜⎜⎝ + − ⎟⎟⎠⎥⎦. 3.d) Représentez qualitativement le graphe de ^E_p^{( )}. Décrivez qualitativement le mouvement.

x

C eau

air

( )

Pa1

x

état ultérieur état initial

C

x

3.e) Quelle est la valeur la plus grande ^x que prend ^x au cours du mouvement ?

max

3.f) Quelle est la valeur la plus petite x que prend x au cours du mouvement ?

min

a

DS : problèmes de statique des fluides, page 3

h

1 a

4) Une boule de rayon R, de masse volumique ρ et de masse m obture un trou circulaire dans le fond horizontal d’une cuvette qui contient de l’eau de masse volumique sur une hauteur h. En dessous du fond de la cuvette se trouve de l’air sous une pression , au-dessus se trouve la couche d’eau de hauteur h surmontée par de l’air sous la pression . On suppose d’abord que la boule émerge : si a est la distance verticale entre le fond de la cuvette et le centre C de la boule, h a . La densité d de la boule est quelconque.

µ

2

Pa 1

Pa

= +x

4.a) Montrez qu’on ne peut appliquer le théorème d’Archimède à la boule que si P_a2 =P_a1+ µg .

4.b) On suppose cette condition remplie. Donnez l’expression de la force Π de pression subie par la boule en fonction de R, µ, g, a et , étant comptée positivement vers le haut.

Π1

x Π

5.a) On suppose désormais P_a2 =P . Soit Π₂ la nouvelle expression de Π. Calculez Π − Π_{2 1}. 5.b) Montrez que 2

(

2 ³ 3 ^{2 3}

)

3

g a a x x

Π =πµ + − .

5.c) Calculez la valeur maximale Π_{2 max} de Π₂ quand xvarie.

6) On suppose qu’an départ la cuvette ne contient pas d’eau. On y verse doucement de l’eau. Déterminez la condition portant sur d ρ

=µ, a et R pour que la boule, tant qu’elle émerge, ne se soulève pas au cours du remplissage de la cuvette.

7) On continue à verser de l’eau quand la boule est complètement recouverte. Montrez que la force de pression Π subie par la boule varie avec hselon , où A et restent constants au cours de cette phase du remplissage. La boule se soulève-t-elle pendant cette phase ?

A Bh

Π= + B

Réponses

I. 1) voir corrigé ; 2) transformation rapide, donc adiabatique ; 3)

0 2 0

p s x F mg

V

≈ −γ ; 4)

0 0

8 9,27 cm

3 h V g

p R

= µ =

γ π ; 5) ⁰

0

4 0,216 s

3 t V

p R

= πµ =

γ ; 6) oscillations de période 0,432 s entre x = 0 et x = h ; 7)

0 0

4 6, 49 cm

3 x g V

p R

= µ =

π ou ⁰₂

0

1 1 6

1 4 3 x V

R Rg

p

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

= π ⎢⎢⎢⎣ − + µ⎥⎥⎥⎦ =

, 45 cm

m =P Vn_{− n M} =PV_{0 4}

P V₋ V V P

+ = +

; 8) le frottement augmente la durée d’une oscillation- ; 9) ne change pas la durée d’une oscillation.

II.1) Voir ci-contre ;

2) P V et P V ; au premier coup de piston, b s’ouvre dès

le début du mouvement ; 3) P V ; 4)

0 1 2

( )

0 m n 1 M n

0 1 ^{m n m}

n M M M

V V V

P P

V V V V

⎡⎛⎜ ⎞⎛⎟⎜ ⎞⎟ ⎤

= ⎢⎢⎣⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠⎝⎜⎜ + ⎟⎟⎠ + ⎥⎥⎦ ; 5) Si n → ∞, _n ^m ₀

M

V

→V

P P ; 7)

( ) ( )

[ ]

( )

[ ]

ln / 0 / / 1 /

ln / 462

n m M m M

M

P P V V V V

n V V V

− −

= =

+ ; 8) non.

1 2 3 4

V(A) Vm V2 VM V4

P(A) P0 Pn-1 Pn P0

III. 1) augmente de trois pour mille ; 2) ϖ=^mg(¹− ρ^/µ) ; 3.a) P₂−P₁ =−ρgh ; 3.b) _{2 1} ²⁰

0

gh P ρ − ρ =−ρ ; 4)

2 1

2

2

T

g g

k h

g r g R

= − ≈ − ; 5.a) ^{2 1} 2

T

h R ϖ − ϖ

ϖ ≈ − ; 5.b)

2 1 20

0

gh P ϖ − ϖ ≈ ρ

ϖ µ ; 5.c)

2 1 20

0

2

T

h gh

R P

ϖ − ϖ ρ

=− +

ϖ µ ; 6)

20

2 0

gRT

P

µ <ρ , soit µ <450 kg.m⁻³.

IV. 1.b) ^dV_dx^{2 =π}

(

^R2−x2

)

qui est l’aire interceptant la surface de l’eau ; 2) ²⁷ 0, 844 d=32≈ ; 3.a) 1 1 3 1 3

1 2 4 4

F mg y y

d

⎡ ⎛ ⎞⎤

⎠⎟

⎢ ⎜ ⎥

= ⎢⎣ − ⎜⎜⎝ + − ⎟⎟⎥⎦ ; 3.b) F=0 pour ²⁷

d=32 et ¹

y =2 ; 3.d) mouvement oscillatoire périodique limité

à la région où ; 3.e) ; 3.f) une racine de l’équation , soit

; 4.a) fluides déplacés sont en équilibre ; 4.b)

( ) ( )

p p

E x ≤E =E R x_max =R 0

R

4 2

2y −12y +11y−1= 0,1023

x = 1 3 ²( )

(

³

)

3 ^{g R a x a x}

π ⎡ ₃ ⎤

Π = µ ⎢⎣ + − + ⎥⎦ ; 5.a)

2 1 ghS

Π − ΠG G =−µ G

; 5.b) x=a ; _{2 max} 4 ³ 3

ga

Π = πµ ; 6)

3 3

d a

>R ; 7) Π₂ =Π −₁ µgSh.

Corrigé

I.

1) La force sur un hémisphère est p dS.→ p dS→. Or le vecteur surface

∫∫

=

∫∫ ∫∫

^dS→ d’une calotte ne dépend que

du contour de cette calotte et est donc égal au vecteur surface du disque section du col. La force de pression est indépendante de la forme de ce qui obture le col, dirigée dans l’axe du col et est le produit de la pression par la section du col.

2) L’air du ballon obéit à la loi de Laplace parce qu’il subit une transformation rapide, donc adiabatique.

3) Soit p la pression dans le ballon :

( ₀ ) _{0 0} ( ₀ ) ₀ ^{0 2}

0 0

. 1 sx p s x

p V sx p V F mg p p s mg p s mg

V V

γ −γ

γ ⎡ ⎛⎜1 ⎞⎟ ⎤ γ

− = ⇒ = + − = + ⎢ −⎢⎣ ⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠ ⎥ ≈⎥⎦ − La question 4) est calculable sans faire cette approximation, mais le calcul est plus compliqué

4) En appliquant le théorème de l’énergie cinétique à la phase descendante du mouvement de la bille :

0 2 2 0 0

3 3

0 0

0

2 2 4 5 3

0 0 0

0 2

2 4 8

2 3 8 10 9, 8 7800 9,27 cm

3 3 1, 4 10 5.10

h p s h

Fdx mgh V

V g R V g

h V mg

p s p R p R

−

−

= = −γ

π µ µ × × ×

= = = = =

γ γ π γ π × × ×π×

∫

5) La bille est un oscillateur harmonique de pulsation

0 2 0

p s mV ω= γ Le temps de descente de la bille est une demi période, soit

3 0 3

0 0

5

2 2 4

0 0 0

4

4 4 7800 10

3 0,216 s

3 3 1, 4 10 0, 005

R V V

mV

p s p R p R

π µ πµ −

π π× ×

=π =π = = =

ω γ γ π γ × × × .

6) La bille décrit des oscillations de période 0,432 s entre x = 0 et x = h. En réalité, il y a des causes d’amortissement comme le frottement de la bille dans le col, le frottement de l’air en mouvement, les échanges de chaleur dans l’air et entre l’air et le ballon, la non étanchéité de la bille dans le col ...

7) Si on suppose la transformation adiabatique pour l’air enfermé, la bille a descendu de h/2 = 4,63 cm.

En réalité, la température de l’air enfermé est revenue à la valeur ambiante au bout d’un temps suffisamment long,

( ) ^{0 0}

0 0 0 0

0 0

0

et 1 1

1 4 3

sx p p

mg p s ps p V sx p V V p p mg Rg

s p

+ = − = ⇒ − = = =

+ + µ

On peut résoudre approximativement :

0 0 3

0 0 0 0 5

4 4 4 4.9, 8.7800.10

1 1 6, 49

3 3 3 3.10 . .0.005

Rg Rg V g V

sx x

V p p s p R

µ µ µ −

− ≈ − ⇒ = = = =

π π cm

ou sans faire d’approximation :

0 3

2 2

0 5

1 10 1

1 1

4 0, 005 9, 8 7800

4 0, 005 1

1 3 3 10

x V R Rg

p

−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

=π ⎢⎢⎢⎢⎣ − + µ⎥⎥⎥⎥⎦= π× ⎢⎢⎢⎣ − + × ×× × ⎥⎥⎥⎦ =

6, 45 cm

On peut aussi remarquer que la réponse est la moitié de la réponse à la question 4) en y remplaçant γ par 1, puisqu’on remplace pV^γ = cste par pV = cste.

8) Le frottement augmente cette durée ; en effet la pseudopulsation propre de

2

2 0

d x dx

m f kx

dt + dt + = est

4 2

2 km f

m

ω= − , donc ω est plus petit en présence de frottement.

9) Un frottement solide ne change pas la durée d’une demi oscillation, parce que le frottement ne fait qu’ajouter un terme constant à l’équation différentielle.

II. Pompage.

1)

1 2 3 4

V(A) Vm V2 VM V4

P(A) P P P P

Dans la suite, nous allons exploiter le fait que lors d’une transformation isotherme sans échange de matière PV =cste.

2) Pendant les transformations 1–2 et 3–4, les deux valves sont fermées, donc P V_{0 m} =P V_{n−1 2} et P V_{n M} =P V_{0 4}

1

M n

. Pour le premier coup de piston, V₂ =V et b s’ouvre dès le début du mouvement.

3) Pendant 2–3, a est fermé et b ouvert, donc ( ) . En tenant compte de la relation déterminant ,

( )

2 n 1

V +V P₋ = V +V P V2 P V_{0 m} +P V_n−1 =(V +V_M)P_n .

Cette relation s’obtient plus simplement en exprimant que la quantité totale d’air dans A et B est la même entre les états 1 et 3.

4) La solution de cette relation de récurrence est de la forme .

En portant cette expression dans la relation de récurrence : .

En identifiant le terme en :

n n

P =Aa +B

(

¹

)

^{( )( )}

0 n n

m M

P V + Aa ⁻ +B V = V +V Aa +B

an / ( _M )

M

AV a V V A a V

V V

= + ⇒ =

+ .

En identifiant le terme constant : ₀ ( ) ₀

m n m

m M n

M M

V V

P V BV V V B B P P A P

V V V

⎛ ⎞⎟

+ = + ⇒ = ⇒ =⎜⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠ + _M ⁰ V V .

Si n =0, P_n =P₀, d’où ₀ ^m _{0 0} 1 ^m

M M

V V

P A P A P

V V

⎛ ⎞⎟

= + ⇒ = ⎜⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠. La solution est donc ₀ 1

m n m

n M M

V V V

P P

V V V V

⎡⎛⎜ ⎞⎛⎟⎜ ⎞⎟ ⎤

= ⎢⎢⎣⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠⎝⎜⎜ + ⎟⎟⎠ + ^M ⎥⎥⎦. 5) Si n → ∞, _n ^m ₀

M

P V P

→V .

6) Cela correspond au cas où b ne s’ouvre qu’en fin de course du piston, soit ^V₄ =^V_m ⇒^{P V}∞ _M =^{P V}_{0 m}.

7)

0

0

ln 1 1

ln

n m

M n m

n m m M

M M M

M

P V

P V

V

P V V V V

n V

P V V V V

V V

−

⎛ ⎞⎛⎟ ⎞⎟ −

⎜ ⎜

− =⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠⎝⎜⎜ + ⎟⎟⎠ =

+

, soit

0, 02 0, 01 ln 1 0, 01 462

ln1000 1010 n

−

= − = coups de piston.

8) On ne peut pas atteindre cette pression, car celle-ci décroît de jusque , sans passer par .

0 1bar

P = P_∞ =0, 01bar

0, 005 bar

III.

1) La grandeur a varié de trois pour mille ; en effet, si ε1 et ε′1, (^1+ε)

(

^1+ε′

)

^1+ε+ε′

/

. Les petites variations relatives s’ajoutent (mais pas les grandes).

2) ϖ=mg− ρVg ;V =m/ ;µ ϖ=mg(1− ρ µ). 3.a) dP=−ρgdz ; P₂−P₁ =−ρgh.

3.b) ( )

( ) ²

2 1 0

2 1 2 1

0

M P P gh

m m MP

PV RT P P

M V RT RT P P

− ρ ρ

= ⇒ ρ= = ρ − ρ = = − =− .

4) ₂ ^{2 1} 2

ln ln 2 ln 2

T

g g

k dg dr

g g k r

g r g

r

= = − =− − ≈ h

−R . 5.a) Comme ϖ est proportionnel à g, ^{2 1 2 1} 2

T

g g h

g R

ϖ − ϖ −

= ≈ −

ϖ .

5.b) Comme ϖest proportionnel à 1 ρ

−µ, _{2 1 2} ( ₁ ) _{2 1} ²₀

0

1 / 1 /

1 /

gh P

− ρ µ− − ρ µ

ϖ − ϖ ρ − ρ ρ

= ≈ − =

ϖ − ρ µ µ µ .

5.c)

2 1 20

0

2

T

gh h

R P

ϖ − ϖ ρ

=− +

ϖ µ .

6) Le poids apparent croît avec l’altitude si

2 2 2

0 0 0

0 0

2 2

0 2

T

T T

g g g

R P P R P

ρ ρ ρ

− + > > µ <

µ µ ₀

R , soit

2 6

3 5

1,2 9, 8 6, 4.10

450 kg.m 2.10

× × −

µ < µ < .

DS : problèmes de statique des fluides, page 5

IV.

1.a)

• Ces formules sont homogènes ;

• _{1 2} 4 ³

V +V =3πR ;

• V R₁( )=0 ; ₁( ) 2 ³

0 3

V = πR (moitié du volume d’une boule) ; ₁( ) 4 ³ V −R = 3πR ;

• V x₁^{( )}=V₂⁽−x⁾.

V2

1.b) Soit ^{S =π}

(

^{R2 −x2}

)

^{2 =π}

⁽

^R2−x2

⁾

l’aire de la section de (S) par (P). Si augmente de

, augmente de , d’où

x

dx V₂ dV₂ =Sdx ^dV_dx^{2 =π}

(

^R2−x2

)

, qui est bien vérifié par l’expression de

2. V

x

2) La boule flotte si elle déplace une masse d’eau égale à sa masse :

3 3 3 3 3

4 3 1 27 27

2 0

3 3 2 8 8 3 32

R π ⎛⎜ R R R ⎞⎟ πR d

π ρ= ⎜⎜⎝ + − ⎟⎟⎠µ = µ⇒ = ≈ , 844.

3.a)

( ) ( )

eau déplacée

3 2 3

3 3

2 3 1 1 3 1

1 3 1

4 2 4 4

3

R R x x

F m m g mg mg y y

R d

⎛ π ⎞⎟

⎜ + − ⎟

⎜ µ ⎟ ⎡ ⎛ ⎞⎤

⎜ ⎟ ⎟

⎜ ⎢ ⎜ ⎥

= − = ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎜ −ρ π ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠= ⎢⎣ − ⎜⎜⎝ + − ⎟⎟⎠⎥⎦ .

3.b) On vérifie que F=0 pour 27

d=32 et 1 y =2.

3.c) 1 1 3 1 ³ 1 3 ² 1 ^{( )}

1 2 4 4 2 8 16

p p

y ₄

Fdx mg y y Rdy E mgR y y y cste

d d

dE =− =− ⎡⎢⎢⎣ − ⎛⎜⎜⎜⎝ + − ⎞⎟⎟⎟⎠⎤⎥⎥⎦ ⇒ =− ⎡⎢⎢⎣ − ⎛⎜⎜⎜⎝ + − ⎞⎠⎟⎟⎟⎤⎥⎥⎦ + .

3.d) L’énergie 1 ^{2 ( )} ( )

2 ^{p p}

E = mx +E x =E R est conservée. Comme la poussée d’Archimède est une fonction croissante de et comme le poids est constant, présente un minimum en x . Comme l’énergie cinétique est positive ou nulle, le mouvement est un mouvement oscillatoire périodique limité à la région où

. Aux valeurs extrêmes de x, x , donc .

x E x_p^{( )}

2

( ) ( )

E xp ≤E =E R_p =

=

0

( ) ( )

p p

E x =E =E R

x

E

p

xmin x_max 3.e) La valeur la plus grande de x est x_max R.

3.f) La valeur la plus petite de correspond à une racine de l’équation : x ( )

2 4

4 2

( )

32 3 1 32 1 3 1

27 2 8 16 1 27 2 8 16

2 12 11 1 0

E Ryp E R

y y y y

y y y

=

⎛ ⎞⎟ ⎛ ⎟

⎜ ⎜

− ⎜⎜⎝ + − ⎟⎟⎠= − ⎜⎜⎝ + − ⎟⎟

− + − =

⎞

⎠

=

− = µgh

Il faut choisir la racine comprise entre –1 et 1 et distincte de 1. La résolution numérique donne ^{x 0,1023R}. Remarque : les deux autres racines n’ont pas de signification, car, hors de l’intervalle –1,1, la boule n’est pas partiellement dans l’eau et partiellement dans l’air ; l’expression utilisée de la force est alors incorrecte.

4.a) Le théorème d’Archimède n’est applicable que si les fluides déplacés sont en équilibre. Alors, la loi fondamentale de la statique des fluides dP appliquée dans l’eau montre que P P . Il peut paraître surprenant de voir l’air en dessous de l’eau ; l’équilibre est alors instable, mais cela n’empêche pas cet état d’être un état d’équilibre.

=−ρgdz _{a2 a1}

4.b) Négligeons le poids de l’air déplacé. Le volume d’eau déplacé est

( ) ( )

^{( )}

( )

3 3 2 3 3 2 3 2 3

4 2 3 2 3 3

3 3 3 3

V = πR −π R − R x +x −π R − R a+a =π⎡⎢⎣ R a+x − a +x₃ ⎤⎥⎦.

( )

( )

2 3

1 3

3 g R a x a x

π ⎡ ⎤

Π = µ ⎢⎣ + − + ³ ⎥⎦ .

5.a) Le champ des pressions est le même qu’en 4.b), sauf en dessous du fond de la cuvette.

( )

calotteinférieure

2 1 Pa2 Pa1 dS ghS

Π − Π^{G G} =

∫∫

− ^JJG =−µ ^{G, où SG} est le vecteur surface de la calotte inférieure. Comme ce vecteur surface ne dépend que du contour délimitant la surface, SG

est égal au

dS

le haut et égal en grandeur à l’aire de ce trou.

5.b)

( )

( )

^{( )}

( )

( )

( )

^{( )}

( )

^{( )}

( )

2 3 3 2 2

2 1

2 3 3 2 2 2 3 3 3 2

3 3

3 3 3 2

3 3

ghS g R a x a x g a x R a

g g

R a x a x a x R a a x a a x a a x x

π ⎡ ⎤

Π =Π −µ = µ ⎢⎣ + − + ⎥⎦−µ + π −

πµ ⎡ ⎤ πµ ⎡ ⎤ πµ ⎡ ⎤

= ⎢⎣ + − + − + − ⎥⎦= ⎢⎣ + − + ⎥⎦= ⎢⎣ +3 − ³⎥⎦ 3

g

5.c) ^d_dx^{Π2 =πµg a}

(

^2−x2

)

^{; d}_dx^{Π2 >0 si x <a . Comme x} peut varier de −a à R, le tableau de variation est

x −a a R

Π2 / 2

qui montre que Π₂ est maximum pour x =a. Alors _{2 max} 4 ³ 3

ga

= πµ

Π .

6) La condition pour que la boule ne se soulève pas est que le poids l’emporte toujours sur , soit , ou

Π2 Π_{2 max} <mg

3 3

4 4

3 3

g R

a g

πµ < π ρ , ou

3 3

d a

>R .

7) Dans le raisonnement de la question 4.b), la masse d’eau déplacée est indépendante de ^h, donc

, où et sont des constantes ; quand h augmente, diminue, donc la boule ne se soulève pas pendant la seconde phase du remplissage.

2 1 gSh

Π =Π −µ Π₁ µgS Π₂

DS : problèmes de statique des fluides, page 7