STATIQUE DES FLUIDES
I Considérons un océan en équilibre isotherme.
La masse volumique de l'eau varie avec la pression selon la loi : r = ro [1 + a (P - Po)] où a = 10-10 Pa-1.
La profondeur est notée z. Pour z = 0, P = Po = 105 Pa et r = ro = 103 kg.m-3.
1) Donner la loi P(z).
2) Que devient cette loi pour des profondeurs faibles ?
3) Application numérique : calculer P(exact) et P(approchée) pour z = 1 km. Quelle est l'erreur relative commise en utilisant la loi approchée ?
Réponse : 𝑃 = 𝑃!+"!"#$%% #$ ; P = Po + rogz ; DP/P = 0,05%.
II Une demi-sphère de rayon R repose sur le fond d'un récipient rempli sur une hauteur h > R d'un liquide de masse volumique r.
Le fond du récipient est percé d'une petite ouverture de façon qu'à l'intérieur de la demi-sphère la pression soit égale à la pression atmosphérique.
Calculer la force minimale que doit exercer un opérateur extérieur pour soulever la demi-sphère, le récipient étant solidement fixé au sol.
Réponse : 2 p R2 r g ( h/2 – R/3 ).
III Un mur plan est constitué de deux pavés de même largeur a et de hauteurs respectives h' et h". Le réservoir situé à sa gauche est rempli d'eau (fluide supposé incompressible de masse volumique µ). De l'autre côté des pavés et au-dessus de l'eau, l'air impose une pression Po uniforme. On veut choisir le rapport h"/h’ pour que les résultantes F' et F" des forces de pression subies par les deux pavés soient égales.
1) Prévoir sans calcul si on doit prendre h' > h" ou h' < h".
2) Calculer le rapport h"/h’ convenable.
Réponse : h"/h’ = 1 + √2.
IV Un hommage à Teisserenc de Bort
Données Constantes :
Constante des gaz parfaits : R = 8,32 J.K-1.mol-1 Accélération de la pesanteur : g =9,8 m.s-2
Masses :
Masses molaires (en g.mol-1):
Mair = 29 ; MH2= 2
Si le premier ballon sonde au dihydrogène est dû à Gustave Hermitte et Georges Besançon (1892), c'est incontestablement à l'ingéniosité et à la ténacité de l'atypique Léon Teisserenc de Bort (1855-1913), que nous devons la mise au point des techniques d'investigation par ballon-sonde et la première cartographie atmosphérique.
On note (Oz) l'axe vertical ascendant, z = 0 au niveau du sol. 𝑔⃗ = −𝑔𝑢*⃗&.
Étude de la troposphère
La troposphère est la partie de l'atmosphère terrestre inférieure à 10 km.
On la considère comme un gaz parfait de pression p(z), de température T(z) et de volume massique v(z). Au sol, on a la pression po et la température To.
Elle est en équilibre thermodynamique et mécanique et obéit à la loi polytropique empirique :
p-k(z) .T(z) = po-k. To avec k = 0,15 loi (1)
1) Questions préliminaires
a) Comment peut-on qualifier la transformation correspondant au cas k = 0 ? b) Définir les mots "homogène" et "isotrope". Caractérisent-ils la troposphère ?
c) Donner l'équation d'état d'un gaz parfait liant p(z), v(z), R, Mair et T(z). loi (2) d) Exprimer la loi de la statique des fluides avec g, dp/dz et v(z). loi (3) 2) Détermination du gradient thermique
a) Le gradient thermique est 𝑔𝑟𝑎𝑑**********⃗𝑇(𝑧)-𝛿𝑢*⃗& Déduire d en fonction de k, Mair, g et R à partir des lois ( (1), (2) et (3) ).
Calculer numériquement d.
b) Donner la loi de variation T(z) en fonction de To, d et z.
3) Évolution du volume d'une quantité de gaz constante
On considère une quantité constante de n moles de gaz parfait à l'altitude z qui évolue dans la troposphère. On note V(z) le volume qu'elle occupe à l'altitude z et Vo son volume au sol.
Déterminer la loi V(z)/V0 en fonction de d, z To et k.
La troposphère fut dénommée ainsi en 1902 par Léon Teisserenc de Bort à partir de la racine "tropos", le changement. Il découvrit aussi la stratosphère.
Ascension d'un ballon sonde
Le ballon sonde dégonflé et instrumenté a une masse totale mB = 1,2 kg. On gonfle au sol son enveloppe avec no moles de dihydrogène. Son volume est alors Vo.
L'enveloppe reste fermée tant que son volume V(z) < Vmax = 10 Vo.
Lorsque V(z) = Vmax, l'enveloppe se déchire et le ballon retombe sur le sol.
4) Quels sont les avantages et les inconvénients du dihydrogène ? 5) Phase ascensionnelle à enveloppe hermétiquement fermée
Sur ce ballon s'exerce une force de frottement
𝐹⃗
!"#$$%&%'$.La force totale s'exerçant sur le ballon est (𝐹 − 𝑚'𝑔)𝑢*⃗&+
𝐹
**⃗𝑓𝑟𝑜𝑡𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡.a) En effectuant un bilan des forces, déterminer le terme F en fonction de no, g, MH2 et Mair.
b) Calculer la valeur minimale nmin de no pour que le ballon décolle.
c) On admet le modèle de troposphère précédent. Durant l'ascension, on peut considérer que la pression et la température sont quasiment identiques à l'intérieur et à l'extérieur du ballon.
Calculer h, altitude maximale atteinte en prenant To = 293 K.
Commenter le résultat.
6) Étude qualitative dans le cas d'une petite déchirure
Dans le cas d'une petite déchirure, le ballon ne retombe pas instantanément au sol. Il se vide lentement de son gaz. On propose une simulation graphique de sa descente :
Compléter les graphes F(t) et z(t) du document réponse fourni avec le sujet en n'oubliant pas d'y reporter votre nom.
La représentation est qualitative, mais un soin particulier doit être apporté afin de respecter les lois de la physique étudiées précédemment.
Les actuels ballons sont radio-sondes depuis 1927. Le problème de la récupération du matériel est ainsi secondaire. L'altitude atteinte par ce type de ballon est de l'ordre de 25-30 km. Ils sont depuis une dizaine d'années remplis d'hélium.
Réponse : pv = RT/Mair; dp/dz= - g/v; d = Mair g k/R; T = To - d z; V/Vo = ( 1 - /
0( z )1-1/k;
F = ( Mair - MH2 ) no g; nmin = *$'()#*&)*; ℎ =+,"61 − 10-/(-#$)9.
V Un glaçon de forme cylindrique (hauteur h = 3 cm, rayon R = 1 cm, masse volumique rS = 0,92.103 kg.m-3, température 0°C) flotte à la surface de l’eau (masse volumique rL = 1.103 kg.m-3, température 0°C). On appelle a la hauteur à l’air libre (figure 1).
1) Rappeler le théorème d’Archimède.
2) Déterminer le rapport a/h en fonction des masses volumique rL et rS. Application numérique.
3) Quelle force doit-on exercer verticalement avec l’extrémité d’une paille pour maintenir ce glaçon à la lisière de la surface de l’eau (figure 2) ? Application numérique (g = 9,81 m.s-2).
4) On remplit le verre à ras bord (figure 3). Le glaçon ayant fondu, le verre déborde-t-il ? On justifiera précisément le comportement du niveau d’eau.
h a
Figure 1
h
Figure 2 F
Figure 3
h a
Réponse : a/h = 8% ; F = 7,4 mN.
VI Une cloche cylindrique de masse m, dont l’épaisseur des parois est négligeable, est renversée puis plongée verticalement dans une cuve remplie d’eau. On désigne respectivement par S et Ho la section et la hauteur du cylindre, par r la masse volumique de l’eau et par po la pression atmosphérique extérieure.
La cloche s’enfonce dans le liquide en emprisonnant un volume d’air initial égal à son volume intérieur (cf. figure ci-contre). La répartition de la masse de la cloche est telle que dans son état d’équilibre final, elle flotte en restant verticale.
On négligera la masse volumique de l’air devant celle de l’eau. On supposera que l’air dans la cloche peut être assimilé à un gaz parfait, que sa pression à l’intérieur du récipient est uniforme et qu’il subit une transformation isotherme.
On donnera les réponses en fonction des données suivantes : m, g, S, po, r, ro et Ho. 1) Exprimer la hauteur h de la partie immergée du récipient.
2) Exprimer le volume V1 de l’air emprisonné dans la cloche.
3) Calculer la pression p1 de l’air de l’air dans la cloche.
4) Une vanne située dans la partie supérieure de la cloche permet d’évacuer une quantité d’air suffisante pour que la cloche s’enfonce jusqu’à ce que la base du cylindre affleure juste la surface de l’eau dans la cuve. Calculer la pression p2 de l’air dans la cloche.
5) Calculer le volume V2 de l’air dans la cloche.
6) La cloche vide est maintenant déposée à l’endroit sur l’eau et elle est remplie d’un liquide de masse volumique ro > r . Quel est le volume maximal VM de liquide que l’on peut mettre dans la cloche avant qu’elle coule ?
Réponse : ℎ =12)+)345)3
"2𝐻! ; 𝑉$=)3455"2*
"2𝐻! ; 𝑃$= 𝑃6= 𝑃!+)32 ; 𝑉6=)1 ; 𝑉*=1271"#)
" .
VII Un tour en ballon
Le repère d’étude est galiléen. Le champ de pesanteur terrestre est supposé uniforme et on prendra g = 10 m.s-2.
L’air atmosphérique est considéré comme un gaz parfait de masse volumique µ et de masse molaire Ma = 29 g.mol-1. On prend l’axe Oz vertical ascendant. Son origine est prise au niveau du sol. On donne la constante des gaz parfaits R = 8,314 J.K-1.mol-1. Au niveau du sol, la température de l’air est T0 = 290 K, sa pression est P0 = 1 bar, sa masse volumique est µ0 = 1,3 g.L-1.
1) Selon le modèle standard, on admet que dans la troposphère, partie de l’atmosphère comprise entre 0 et 11 km, la température vérifie la relation : T(z) = T0 ( 1 – az ) avec a = 22,5.10-6 m-1.
Établir la relation liant la pression et l’altitude. On posera 𝛼 =8%+3*$
". 2) Quelle est l’expression de ra(z), masse volumique de l’air à l’altitude z ?
3) Un ballon, de volume maximal Vmax = 1000 m3, est partiellement gonflé au sol avec un volume V0 = 500 m3 d’hélium. La masse totale de l’enveloppe et de la nacelle est m = 500 kg. L’enveloppe est munie d’une soupape qui assure l’équilibre mécanique et thermique entre l’hélium et l’air extérieur.
a) Montrer que la densité de l’hélium par rapport à l’air d = µHe/µa est constante lors de l’ascension. On donne la masse molaire de l’hélium : MHe = 4 g.mol-1. Calculer d.
b) On appelle force ascensionnelle la somme des forces extérieures s’exerçant sur le ballon, en mouvement rectiligne le long de l’axe Oz. Déterminer l’expression de cette force au sol, en fonction de m, g, d et µ0.
c) A quelle condition le ballon s’élève-t-il ? Exprimer le volume V(z) au cours de l’ascension tant que V(z) < Vmax. Calculer l’altitude maximale, zmax, lorsque le volume atteint sa valeur maximale. Quel est le rôle de la soupape ?
Réponse : 𝑃 = 𝑃!(1 − 𝑎𝑧)9 ; 𝜇%(𝑧) = 𝜇!(1 − 𝑎𝑧)9#$ ; 𝐹!:= 𝑔[𝜇!𝑉!(1 − 𝑑) − 𝑚] > 0 pour décollage ;
𝑧)%;=$%A1 − B<+$,<
" C$/($#9)D.
VIII L’atmosphère de Titan
Saturne possède un satellite remarquable, Titan, sur lequel la sonde Huygens, véhiculée par la capsule spatiale Cassini, s’est posée avec succès le 14 janvier 2005. Les capteurs embarqués ont permis d’enregistrer les variations de la pression et de la température en fonction de l’altitude.
La figure suivante donne sur l’axe de gauche la pression de l’atmosphère en Pascal, en échelle logarithmique, sur l’axe de droite l’altitude correspondante en km, en échelle non régulière, et sur l’axe horizontal la température en Kelvin en échelle linéaire. La courbe tracée permet donc de suivre l’évolution de la température en fonction de l’altitude ou de la pression.
On admettra que dans l’atmosphère, l’accélération de la pesanteur de Titan garde une valeur constante gT = 1,6 m.s-2.
On note R = 8,3.J.K-1.mol-1 la constante des gaz parfaits. On note µ(z) la masse volumique du gaz et P(z) sa pression à l’altitude z.
1) On assimile la mésosphère et la thermosphère à un gaz parfait en évolution isotherme de masse molaire M. En écrivant l’équation d’état des gaz parfaits et la loi de la statique des fluides, établir l’équation différentielle vérifiée par P(z).
2) Résoudre cette équation sans chercher à déterminer la constante d’intégration et en déduire si le modèle adopté est conforme avec les données de la figure.
3) Dans la troposphère, on admet que le principal constituant est le diazote N2, de masse molaire M = 28 g.mol-1, assimilé à un gaz parfait de rapport des capacités calorifiques g = 1,4, et que les évolutions sont adiabatiques et réversibles. On peut donc appliquer la loi de Laplace : P-1/gµ = constante. On note P0 et µ0 les valeurs de la pression et de la masse volumique au niveau du sol. Établir l’expression de la pression P en fonction P0, µ0, g, gTet z. Déterminer une valeur approchée de l’altitude à laquelle P s’annule et en déduire si le modèle adopté est conforme avec les données de la figure.
Réponse : 𝑃(𝑧) = 𝐾𝑒#-#./.& donc modèle conforme ; 𝑃(𝑧) = 𝑃!B1 −=#$= >"53.
" 𝑧C=/(=#$) ; 𝑧 =(=#$)*3=8+"
.≈58km donc modèle non conforme.
