APPRENDRE à
RESOUDRE des PROBLEMES
NUMERIQUES
Marc Degioanni, CPC – Circonscription de Digne
Version 1 , 2021
RESOLUTION de PROBLEMES NUMERIQUES à UNE SEULE ETAPE :
« SENS des OPERATIONS », OBSTACLES, ETAYAGES, ABSTRACTION
Essai de synthèse – Marc Degioanni, CPC DIGNE
Point de départ : un exemple en CE2.
J’ai acheté un objet à 170 €, je donne 200 €, combien me rend-on ?
Un nombre significatif d’élèves additionnent au lieu de soustraire (ou de faire une addition à trous). Ce type d’erreur se retrouve à tous les niveaux.
Comment aider les élèves ? Certains parlent de « sens des opérations » ; cette expression est-elle fondée ? Est-ce inné ? Quelles démarches sont à privilégier ? Essayons d’y voir clair et de proposer des éléments pratiques de réponse.
Pour se mettre dans l’ambiance, voici deux questions qui nous font réfléchir – sauf si on est spécialiste des maths – une en trigonométrie, l’autre sur les logarithmes :
sin 30° + sin 60° = sin 90° : bien sûr ? Pas sûr ? Probablement pas ? Totalement faux ?
log 6 – log 2 = log 3 : bien sûr ? Pas sûr ? Probablement pas ? Totalement faux ?
On voit que l’incertitude peut légitimement nous gagner, comme nos élèves confrontés aux problèmes numériques les plus élémentaires. Car si nous avons peut-être un vague souvenir de ce qu’est un sinus ou un logarithme décimal, opérer avec ces objets est probablement assez flou pour la plupart d’entre nous…
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I - L’essentiel : les 10 points cardinaux de la résolution de problèmes numériques
Point 1 : comprendre le langage et les situations sociales
Vocabulaire, syntaxe, chronologie, mais aussi situations sociales (rendre la monnaie, soldes…) : ces difficultés potentielles doivent être balayées en amont, en collectif, avant d’entrer dans le processus de résolution. « L’histoire » racontée par l’énoncé doit pouvoir être comprise et mémorisée.
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Point 2 : l’estimation, une habitude à prendre
Est-il vraiment possible de donner 200 € et qu’on nous rende 370 € ? Il n’est pas évident, avant une longue pratique, de demander aux élèves une estimation précise. On peut cependant leur demander de choisir entre deux ou trois fourchettes qu’on leur fournit. Il s’agit de ne pas se précipiter vers un calcul, mais de revenir mentalement vers
« l’histoire ».
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Point 3 : représentations mentales et liens
Résoudre un problème numérique à une étape, c’est faire le lien entre la représentation mentale des actions en jeu et la représentation mentale d’une des opérations mathématiques connues. Par exemple, dénombrer le nombre de carreaux d’un quadrillage relève de la multiplication, cas simple, mais perdre des billes ne relève pas systématiquement de la soustraction : Alice avait 12 billes à la fin de la récréation, elle en a perdu 9 pendant la récréation, combien en avait-elle au début ? Beaucoup d’élèves feront une soustraction, opération prototypique liée au mot « perdu » de l’énoncé.
Cette mise en relation pourra être facilitée par trois stratégies : diminution temporaire du niveau d’abstraction (Point 4 ci-après), problèmes référents (Point 5), nombres plus petits (Point 6).
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Point 4 : approche graduelle de l’abstraction
Une diminution temporaire du niveau d’abstraction mobilisé offre aux élèves un parcours plus progressif, des marches moins hautes à gravir. On peut caractériser 4 niveaux de difficulté croissante :
Manipulation réflexive des objets.
Représentations diverses de quantités encore dénombrables.
Modélisations elles aussi variées, mais ici objets mal ou non dénombrables
Ecritures symboliques seules : signes, chiffres, opérations.
Des moments de verbalisation (en binôme, petit groupe et surtout en collectif) sont nécessaires pour passer d’un niveau à l’autre.
Plusieurs autres variables sont à considérer : les schémas employés peuvent être proportionnels ou seulement figuratifs ; ils peuvent être liés à l’aspect cardinal du nombre mais aussi à un aspect plus ordinal (droite numérique).
Sur toutes ces questions, une progression concertée de cycle et d’école est souhaitable.
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Point 5 : analogies et problèmes de référence
La grande diversité des problèmes ne rend pas simple la constitution progressive d’une banque de problèmes référents enrichie au fil des années. Pourtant, un certain nombre de structures de référence peuvent être dégagées et conservées sur un support accessible aux élèves (affichage, cahier de leçons, classeur collectif…). Pas question ici de faire apprendre aux élèves des classifications savantes, mais plutôt de leur proposer une entrée par mots-clés et une solution à la fois représentée ou modélisée et abstraite (opératoire).
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Point 6 : quantités en jeu
La même situation traitée avec des nombres plus petits est souvent bien mieux réussie. Ceci s’explique par la meilleure visualisation de ce qui se joue si on raisonne sur de faibles quantités. On reviendra ensuite vers des nombres plus grands.
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Point 7 : travailler les opérations en dehors de tout contexte de problème
Si les points précédemment proposés concourent tous à améliorer la réussite des élèves, il reste que la représentation mentale des 4 opérations peut aussi être affinée grâce à des séries de calculs effectués mentalement sur des nombres suffisamment petits. En effet, le sens des nombres est assez précis sur les premiers nombres et devient bien plus aléatoire dès que les quantités augmentent. En bref, 3x2 est porteur de sens ; 17x34pas du tout. Ces séances font appel à un mode de représentation intermédiaire (cubes et barres, points, droites numériques…)
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Point 8 : phase d’intégration. Première possibilité : produire un énoncé.
Après avoir travaillé une structure de problème, il faut passer à la phase d’intégration. On peut bien sûr reprendre des situations analogues à celles employées lors de la phase d’apprentissage, mais le procédé à ses limites.
L’objet de ce travail n’est plus de trouver une solution, mais d’inventer un énoncé à partir de données fournies.
Pour les plus jeunes on peut aussi fournir des mots utiles. Chaque élève ou petit groupe produit donc un énoncé différent ; on en retient certains pour comparaison et discussion. « Inventez une histoire d’éléphants qui a comme solution 48 – 17 = 31. » On précise évidemment que 31 ne figure pas dans les énoncés à produire. Non systématique, ce travail renforce puissamment l’appropriation des situations-types.
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Point 9 : phase d’intégration, deuxième possibilité. Situations de recherche et énigmes
Ici on cherche à rompre le schéma habituel : un problème, c’est souvent deux données et on trouve une troisième.
Un problème de recherche admet plusieurs procédures et plusieurs solutions, même si au final il n’en reste qu’une. Il faudra donc « faire tourner » la procédure plusieurs fois et ainsi mieux l’intégrer. La nature de la tâche est aussi plus motivante, ce qui n’est pas le moindre intérêt.
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Point 10 : organisation pédagogique
Fichiers et manuels offrent souvent un nombre assez conséquent de problèmes plus ou moins reliés entre eux. Si on les confronte à la série proposée, les élèves performants peuvent en résoudre plusieurs, mais certains risquent de ne pas dépasser le premier, s’ils y parviennent. Laisser les élèves directement face à cette série, généralement rédigée au plus haut niveau d’abstraction, n’est pas souhaitable.
L’objet de cette partie est de proposer un schéma plus inclusif, sur 4 séances portant sur un type de problèmes : on commence par réfléchir collectivement à un autre problème de même structure avant la phase individuelle ; l’important ne sera pas de trouver le résultat, mais la démarche. Cette situation collective sera appuyée sur une forme d’étayage abstractif (cf. point 4 ci-dessus) et pourra établir un lien avec un problème de référence (Point 5).
On se contente d’un nombre réduit de problèmes, suffisamment limité pour pouvoir effectuer une correction réflexive étayée par une forme de représentation ou de modélisation. Pour les élèves rapides, on leur propose un bonus : problème voisin mais complexe, long à résoudre, mais qu’on ne corrigera pas collectivement : on se bornera à indiquer le résultat.
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Synthèse : une séquence d’apprentissage de la résolution de problèmes
Voir le détail / Synthèse ►
II – En détail, les points 1 à 10
► En détail, le point 1 : comprendre le langage et les situations sociales
Si on veut travailler sans interférence la construction de compétences mathématiques, il est nécessaire de s’affranchir en amont des obstacles langagiers. Parcourons-en les différents aspects.
Le vocabulaire spécifique mérite à lui seul un traitement spécifique. Par vocabulaire spécifique, il faut entendre tout un ensemble de mots que l’on rencontre essentiellement en mathématiques. Deux ensembles en particulier :
o Relations entre les nombres : le double, la moitié, le triple, le tiers, trois fois plus, quatre fois moins…
o Vocabulaire spécifique de la monnaie : remise, augmentation, soldes, rabais…
Ce vocabulaire spécifique, le plus souvent, ne sera pas intégré sans l’exemplifier. Si un des problèmes du jour comporte par exemple l’expression « deux fois plus », il est utile de faire « tourner » cette expression en collectif sur deux ou trois exemples simples. Laura a 24 ans. Sa mère est deux fois plus âgée…
Une progression d’école, connue et partage de tous, est souhaitable en la matière (cf. ressource ci-après).
Les mots les plus piégeux, tels que de plus, de moins, deux fois plus font l’objet d’un traitement spécifique (cf.
point 5, problèmes de référence).
Le vocabulaire général est celui qui peut éventuellement être rencontré dans un problème mathématique, mais le plus souvent dans d’autres contextes. On tâchera de faire réemployer ces mots dans des phrases inventées et si possible de les relier à d'autres mots davantage connus – mots de la même famille, mots synonymes ou contraires, voisins phonologiques. Se reporter si nécessaire sur cet aspect à ma publication « le français au CE », page 12, ressource 4, démarche d’enrichissement lexical, valable à tous les niveaux de classe.
https://ecoles04.monsite-orange.fr/file/e8086a517398d31d9919a4f2b27fdf1f.pdf
La syntaxe doit parfois être elle aussi déminée. Les pronoms, par exemple, sont-ils bien compris ?
Une serviette coûte 6,5 €. Madame Propre a acheté 12 serviettes pour offrir à sa fille et 2 serviettes pour elle- même. Combien a-t-elle payé en tout ?
Le mieux est de demander une reformulation orale.
La chronologie – marqueurs de temps et désinence des verbes – est souvent importante dans les problèmes. Zoé avait 42 brebis, le loup en a emporté 4, combien en a-t-elle maintenant ? Zoé avait, Zoé a, Zoé aura, ces nuances de temps ne sont pas toujours prises en compte par les élèves. Un travail spécifique est donc utile.
Les situations sociales peuvent être aussi des obstacles, car elles ne sont pas toujours partagées par tous. A titre d’exemple, dans les manuels abondent les situations de rendu de monnaie, comme si ceci était naturellement vécu par les élèves. Rien n’est moins sûr : outre que les élèves ne font plus guère des achats seuls à l’épicerie du coin, les paiements aujourd’hui se font très souvent par carte ou smartphone. Pour reprendre l’exemple du début, qui donne encore un billet de 200 € ? Personnellement je n’ai jamais vu de telles coupures, et bien rares sont les paiements de ce montant effectués en espèces, sauf cas particuliers peu recommandables… En substance, il s’agit de déminer le terrain : ce qui est évoqué par l’énoncé est-il intégré à l’univers de tous les élèves ? A défaut, une acculturation est nécessaire avant d’entrer dans le processus de résolution.
Retour l
Ressource : une proposition ajustable de progression d’acquisition du vocabulaire spécifique
A construire et compléter au cours de l’année, au fil des rencontres, et à transmettre à l’enseignant de l’année suivante. Exemple :
GS CP CE1 CE2 CM1 CM2
Moins Autant Plus Total
…
Double Moitié Partage De plus De moins
…
Le triple Augmentation Réduction Ecart Périmètre
…
Trois fois plus Quatre fois moins Répartir
Réduction Surface
…
Le tiers Le quart Remise Aire Proportion
…
Rabais Soldes Taxe Taux
…
► En détail, le point 2 : l’estimation, une habitude à prendre
Estimer le résultat avant de commencer à résoudre le problème n’est pas systématiquement pertinent ; ça le devient, surtout dans les problèmes à une seule étape, lorsque la structure est au moins un peu connue. Deux niveaux successifs peuvent être mobilisés :
Fournir des fourchettes de vraisemblance sur des calculs qui pourraient être calculés de tête. Pour reprendre l’exemple déjà évoqué, est-il vraiment possible de donner 200 € et qu’on nous rende 370 € ? L’énoncé était : j’ai acheté un objet à 170 €, je donne 200 €, combien me rend-on ? On peut proposer aux élèves des fourchettes qu’il vaut mieux au début écrire au tableau : « D’après vous, entre 20 et 50 € ? Entre 200 et 500 € ? Entre 2 et 5 € ? » Ce n’est que lorsque ce procédé fonctionne convenablement qu’on peut passer au suivant, l’estimation véritable.
L’estimation : je charge 37 caisses de pommes de 14 kg. Combien ai-je de pommes ? Là, le calcul mental devient ardu, mais l’estimation est opérationnelle : 37, c’est presque 40 ; 14, c’est un peu plus de 10. Donc, j’ai chargé autour de 40 x 10 = 400 kg de pommes. Certes le résultat réel, 518, est assez éloigné, mais reste du même ordre : si j’utilise une autre opération pertinente (+, –, :), on tombera pour le coup encore bien plus loin : 10 + 40 = 50 ; 40 – 10 = 30 ; 40 : 10 = 4.
Est-ce du temps perdu ? Certainement pas. L’estimation est en effet utile à deux niveaux :
Elle permet le contrôle de la vraisemblance du résultat, comme lors de l’étape précédente, y compris en cas de simple erreur de calcul.
Elle soutient l’élaboration du modèle mental en jeu avant de se précipiter vers une technique opératoire.
Reste à justifier auprès des élèves ce détour ; on peut à cet effet, de façon non systématique mais suffisamment fréquente, faire des fourchettes de vraisemblance ou de l’estimation une question préalable, ou la première question posée ; une bonne réponse sera ainsi considérée comme une réussite certes partielle mais réelle dans le processus de résolution et valorisée.
Exemple : une voiture de course a parcouru 5 tours de circuit en 14 minutes.
Combien lui faut-il de temps pour parcourir 15 tours de circuit ? Question 1 : sans faire de calcul, penses-tu que c’est :
□ entre 30 et 60 minutes □ entre 3 et 6 minutes □ entre 14 et 28 minutes Question 2 : trouve la réponse exacte en faisant un calcul.
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► En détail, le point 3 : représentations mentales et liens
Résoudre un problème numérique à une étape, c’est faire le lien entre la représentation mentale des actions en jeu et la représentation mentale d’une des opérations mathématiques connues. Deux représentations mentales doivent donc se rencontrer : celle de la situation en jeu et celle, multiple, des opérations possibles. Nous verrons dans les points suivants comment faciliter cette double élaboration et leur mise en relation, mais ici il nous faut ici faire deux détours, un par la façon dont opèrent ces processus, l’autre par la question féconde de la gestion mentale.
Les représentations mentales n’existent pas à priori ; distinguons ce qui relève des énoncés et ce qui relève des opérations :
Pour ce qui est des situations indiquées par l’énoncé, leurs représentations se construisent à partir d’expériences stockées en mémoire à long terme, plus ou moins proches, et qu’il faudra ajuster à la situation en jeu. Elles peuvent être appuyées sur le langage intérieur « pour ajouter plusieurs fois le même nombre, je fais une multiplication » mais aussi sur une imagerie plus visuelle « je vois un quadrillage, le nombre de cases est donc… ».
Nous y reviendrons dans le point n°5 sur les problèmes de référence, mais on mesure bien à la fois l’intérêt de cette recherche de congruence et ses limites : on ne disposera jamais en mémoire de toutes les situations possibles. La résolution est donc un processus créatif.
Pour ce qui est des opérations, nous avons tous tendance, et pas seulement les élèves, à privilégier le cas prototypique de chaque opération. Ainsi, à la question « inventer un problème dont la solution serait 9 – 4 = 5 », la plupart des gens, adultes compris, proposent un retrait, une perte, une diminution. Bien peu indiquent un gain
(Il avait 4 personnes dans le Train des Pignes ; des voyageurs sont montés, maintenant il y en a 9. Combien de voyageurs y a-t-il eu en plus ?) ou un écart (Le billet de Digne à St-André pour les adultes coûte 9€ et 4€ pour les enfants. Combien les adultes paient-ils de plus que les enfants ?). Symétriquement, la soustraction n’est pas aisément mobilisée dans ces cas non prototypiques comme le montrent ces résultats (pour plus de précision se reporter aux travaux de E. Sander) :
Il avait 4 personnes dans le Train des Pignes ; des voyageurs sont montés, maintenant il y en a 9.
Combien de voyageurs y a-t-il eu en plus ?
Il avait 9 personnes dans le Train des Pignes ; 4 sont descendues à la gare de Thorame. Combien de voyageurs y a-t-il maintenant dans le train ?
→ Réussite faible en CE1 → Réussite forte en CE1
Les cas prototypiques sont :
La réunion d’éléments de même catégorie pour l’addition
La perte d’éléments de même catégorie pour la soustraction
La somme réitérée pour la multiplication
La partition (partage) pour la division
En conséquence, les cas non prototypiques seront bien plus difficiles et demanderont un étayage plus important : ce sera l’objet principal des points suivants.
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► En détail, le point 4 : approche graduelle de l’abstraction
La diminution temporaire du niveau d’abstraction mobilisé offre aux élèves un parcours plus progressif, des marches moins hautes à gravir. On peut caractériser 4 niveaux de difficulté croissante que nous allons détailler et que l’on peut mobiliser en fonction des besoins : ne pas hésiter à « descendre » d’un niveau, voire deux et même trois, pourvu qu’on garde l’objectif de revenir dès que possible à un niveau supérieur. Diminuer l’intensité d’abstraction permet d’accéder à une compréhension inaccessible sans ce détour. Cette approche permet aussi de faire travailler des élèves de niveau différent sur le même type de problèmes, y compris en classe multi-niveaux.
Niveau 1 : manipulation. Travailler avec des objets réels
« Lorsqu’ils manipulent, ils y arrivent, mais pour passer à l’écrit, là c’est difficile ». Voilà bien un constat partagé. Nous verrons plus loin que la difficulté liée au passage du manipulé à l’abstrait est en partie liée à l’absence d’étapes intermédiaires, les niveaux 2, représenté et 3, modélisé. Mais dès le niveau 1 manipulé, si on n’est pas très rigoureux dans l’organisation de la manipulation, on rend plus difficiles les étapes suivantes. Car, et c’est là le premier point essentiel, il y a deux façons de manipuler :
Une manipulation exploratoire. Johan élève des vaches. Il a 32 vaches et décide d’en vendre 7. Combien lui reste- t-il de vaches ?
On prend 32 jetons, ou cubes, on les aligne, y compris en faisant des dizaines. Puis on enlève 7 jetons et on recompte les jetons restants.
Cette manipulation est souvent effectuée individuellement, ou par binômes.
Une manipulation réflexive ou anticipatrice : au début, on fait la même chose : on aligne les 3 dizaines de jetons et les 2 unités. Puis on met un cache (le cahier par exemple) sur les jetons, et on demande d’imaginer ce qui va se passer quand on enlèvera les 7 jetons. Ensuite, on enlève le cache et on reprend la même question, mais les élèves ne peuvent toujours pas toucher aux jetons, ils doivent effectuer une opération mentale. Ce n’est que pour valider les réponses données que l’on enlèvera vraiment les 7 jetons.
Cette manipulation est guidée en collectif, avec ses 3 étapes successives : caché, visible sans toucher, manipulé.
Une simulation projetée à l’aide d’un logiciel de gestion de tableau interactif (Open Board par exemple) soutient les verbalisations nécessaires à ce stade.
S’il ne s’agit pas de prohiber la première forme de manipulation, qui peut au début installer certaines habitudes, on voit bien que la seconde forme est bien plus porteuse d’apprentissage et doit être rapidement privilégiée.
Enfin et dans les deux cas, que ce soit lors d’une phase de manipulation exploratoire ou réflexive, et ce sera le second point essentiel, on veille à mettre en regard la manipulation effectuée et l’écriture sous forme d’opération. Ici, 32 – 7, en ligne ou en colonnes. On formalise par là-même la relation entre une manipulation et une opération abstraite.
Niveau 2, représentations
INTRODUCTION NIVEAU ADULTE : Avant toute chose, un peu d’introspection : comment nous-mêmes appréhendons la représentation d’une situation mathématique et qu’en retirons-nous ?
Reprenons l’exemple des logarithmes décimaux déjà mentionnés en tout début de document. Laquelle de ces deux affirmations est vraie : log 2 + log 5 = log 7 ou log 2 + log 5 = log 10 ? Nous l’avons tous appris au lycée, et nous l’avons en général consciencieusement oublié depuis. Normal, on ne s’en sert jamais. Voici une représentation de cette situation :
La représentation permet de répondre sans difficulté, de mieux comprendre et d’entrevoir une généralisation plausible : log a + log b = log ab. Elle permet aussi une meilleure mémorisation. Mieux : elle permet d’anticiper sur d’autres questions. Ainsi on observe sur le schéma que log 10 – log 5 = log 2, ou encore log 8 – log 4 = log 2, ce qui semble indiquer que log a/b = log a – log b. Refermons la parenthèse, mais ce qui se passe au niveau des élèves est du même ordre. Les représentations aident à la recherche de solution, permettent de mieux comprendre la situation, sont inductrices de généralisations, améliorent la mémorisation et peuvent initier le transfert. Alors, ne nous privons pas.
Avec les élèves, plusieurs systèmes de représentations sont possibles. La véritable question n’est pas forcément le choix du système de mais, comme au niveau manipulé, ses modalités d’emploi. Distinguons donc ces deux aspects au travers, à titre d’exemple, d’un même problème soustractif choisi ici niveau CE :
Coco le Castor a 42 billes bleues.
Il en donne 14 à son ami Barno le blaireau Combien de billes bleues Coco a-t-il maintenant ?
Modalités d’emploi des représentations à partir d’un exemple, les carrés de 1, barres de 10 et plaques de 100.
Voici tout d’abord un usage couramment induit par certains fichiers ou manuels :
- Colorie les 42 billes de Coco
- Barre les 14 qu’il a données à Barno - Combien lui reste-t-il de billes ?
Ici, beaucoup d’élèves de cycle 2, et même au-delà pour certains, risquent de recompter les carrés restants, au mieux en totalisant dizaines et unités, au pire en recomptant depuis 1. La bonne réponse sera trouvée, mais elle ne sera guère porteuse d’apprentissage.
Comme au niveau manipulé, cette approche au fil de l’eau n’est pas à proscrire, elle peut tout-à-fait avoir au début son utilité, mais il faudra vite aller plus loin, avec davantage de verbalisation et un minimum d’anticipation.
Mieux vaut donc d’abord projeter, ou à défaut afficher cette représentation de façon à soutenir les échanges en collectif.
Les dizaines et les unités sont fournies de préférence en surnombre de façon à renvoyer systématiquement les élèves à une approche plus réfléchie appuyée sur les décompositions : 42, c’est 4 D et 2 U.
On va leur demander d’anticiper et de produire des représentations mentales. Voici ci-dessous les étapes possibles.
A chaque fois, les élèves sont questionnés, point essentiel, sur ce qui va se passer ensuite. Enfin, là aussi on met en regard la manipulation effectuée et l’opération en ligne ou posée.
Coco a 42 billes bleues. Que dois-je colorier en bleu ?
Combien de D ? Combien de U ?
Il donne 14 billes à son ami.
Faut-il colorier d’autres cases ? En barrer ? Combien de D ? de U ?
Combien Coco a-t-il de billes ? Combien de D ? de U ?
Pose l’opération en colonnes
Pour les situations analogues suivantes, la phase collective n’est plus systématique, mais reste utile lors de la mise en commun.
Divers types de représentations
Essayons maintenant d’en dresser un panorama, forcément non exhaustif, et de réfléchir aux critères de choix. Se reporter ici au fascicule sur la numération (publication à venir).
Système Quelques aperçus (divers types) Avantages 1 – Carrés, barres de 10,
plaques de 100.
Plusieurs variantes : - à plat ou en relief - horizontal ou vertical - collé ou non
- en couleur ou non
Congruent aux matériels de manipulation de type cubes emboîtables CP CE1 et multibase CE1 CE2
Congruent à l’application projetable « blocs de base ».
2 –Polices « Cartapoints » et « Cartapoints 2 » - Avec ou sans quadrillage - Jetons colorés ou vides.
Congruent avec les jetons plats.
Rapide d’emploi
3 – Droite numérique graduée
- Graduation complète - Graduation lacunaire - Non graduée
Aspect moins cardinal, plus ordinal, donc complémentaire des précédents.
4 – Schéma en barres + Points.
?
Préparatoire au schéma en barres seul.
Niveau 3, modélisations
Le niveau modélisé est atteint lorsque les représentations ne permettent plus de dénombrer et s’approchent ainsi du concept mathématique sous-jacent. Il résulte d’un double besoin :
- Le niveau représenté devient de moins en moins gérable sur les grandes quantités, les décimaux et les fractions.
- Il faut passer à un système plus abstrait, plus proche de l’abstraction pure mais fournissant encore un étayage à la réflexion.
Trois outils sont particulièrement indiqués : - Le schéma en barres (sans points) - Les tableaux de nombres
- La droite numérique plus ou moins graduée et plus ou moins légendée. Un excellent utilitaire de fabrication de droite numérique entièrement paramétrable (empan, graduations, légende) est accessible ici (en bas d’écran) : https://helpingwithmath.com/numberlinegenerator01/#/
Le diagramme en barres est parfois présenté comme un couteau suisse susceptible d’aplanir les difficultés rencontrées. Comme on le voit dans l’exemple ci-dessous, ce n’est pas si simple. En supposant que les élèves produisent le bon schéma, ou même qu’on leur fournisse, il faut encore mettre dans les bonnes cases les deux nombres utiles, ici 18 et 52, ainsi que le point d’interrogation correspondant à ce qu’on cherche. Pas si simple…
Lézo le lézard vient de gagner 18 billes rouges.
Il a maintenant 23 billes bleues et 52 billes rouges.
Combien avait-il de billes rouges au début ?
► Pose l’opération
► Représente ci-contre les billes de Lézo le lézard
... ...
...
► Réponse : Lézo a maintenant …….... billes rouges.
Proposition de progression d’école – niveaux 2 et 3
Ce tableau n’est pas à suivre à la lettre, il est à discuter en équipe d’école. Trois principes :
- Privilégier un mode de représentation pendant une durée suffisante, ce qui permet d’offrir un repère stable aux les élèves en ayant le plus besoin.
- Enjamber les niveaux de classe de façon à assurer les continuités conceptuelles. Par exemple, on repart en CE2 avec les cartapoints avant de les inclure dans des schémas en barres.
- Utiliser en simultané des représentations franchement cardinales et la droite numérique, plus ordinale.
CP CE1 CE2 CM1 CM2
Carrés Barres (à plat ou relief)
Carrés Barres
Plaques Cartapoints Schéma en barres + cartapoints
Schéma en barres seul ; retours possibles à des représentations de niveau inférieur Droites numériques entièrement graduées Droites pouvant être partiellement graduées Droites muettes
Ressource : les « défis pour la classe », des planches de problèmes gradués pour mieux gérer la différenciation et impliquer tous les élèves en résolution de problèmes
Dans toute classe, les capacités des élèves sont assez différentes ; je vous propose quelques planches A3 graduées.
Voici un aperçu autour des problèmes de partage. Ces problèmes font tous appel à la même structure mais sont présentés en 4 colonnes de niveaux de difficulté assez différents afin de faciliter la différenciation.
Dans la colonne 1, problèmes ABC, les situations font appel à de petits nombres qui peuvent si besoin être manipulées physiquement avec des jetons ou à minima aisément représentés.
- Dans la colonne 2, problèmes DEF, les situations peuvent être représentées par des carrés groupés en dizaines.
- Dans la colonne 3, problèmes GHI, les situations peuvent être modélisées à l'aide de schémas en barres.
- Dans la colonne 4, problèmes JKL, les situations sont seulement énoncées : écritures et nombres.
- Enfin, un bonus, en fin de colonne 4, problème M, est une situation de recherche pour laquelle les élèves ne disposent pas des outils appropriés (équations, variables) et doivent donc procéder par essais successifs (cf. point 9).
Chaque colonne est organisée de la même façon :
- Un premier problème (ADGJ) est fourni avec son support de représentation ou de modélisation – sauf en colonne 4.
- Un second problème (BEHK) reprend exactement la même structure mais cette fois le support de représentation ou de modélisation éventuel est à produire par les élèves.
- Un dernier problème (CFIL) reste dans le même type de situation mais cherche à rompre avec ce qui pourrait devenir un automatisme : cette fois nous sommes dans un problème de quotition. Les supports sont les mêmes.
Aperçu ci-dessous, tout est téléchargeable ici :
https://drive.google.com/file/d/1Kl1rQOS2pbqpAV0FpDkfcnUU4o7mb3RL/view?usp=sharingParcours de l'élève, y compris en classe multi-niveaux :
Je vous suggère de faire travailler les élèves par binôme de niveau à peu près comparable, mais ils peuvent aussi travailler seuls. Toute la classe peut réfléchir en collectif, par exemple la veille, à un problème "0" de même type. Ensuite, les parcours sont choisis par les élèves eux-mêmes. On leur explique que s'ils restent dans la même colonne, la difficulté sera la même, mais que s'ils changent de colonne, la difficulté augmente. Ils se déplacent en suivant les flèches : de haut en bas ou de gauche à droite, pas en oblique. Si la colonne est terminée on passe à la suivante. Les CE1 peuvent être aiguillés au départ vers la colonne 1, les CE2 la colonne 2, etc, mais ce n'est pas impératif…
Le défi pour la classe est de trouver les 26 résultats. Ce point est important : on substitue à la réussite individuelle de chacun la réussite collective. Personne ne trouvera tout, mais chacun apportera sa contribution.
Petit supplément facultatif :
Un fichier au format tableur à projeter (ou à défaut à employer sur un ordinateur) est fourni : les réponses exactes s'éclairent en vert ou en rose, les réponses erronées ne réagissent pas.
La dernière phase est une petite énigme consistant à trouver le mot mystère à l'aide des 6 cases qui s'affichent en vert sur le tableur. Il faut décoder les lettres de l'alphabet selon le code fourni puis les ordonner.
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► En détail, le point 5 : analogies et problèmes de référence
Qui dit problèmes de référence dit soutien aux apprentissages par des processus analogiques. On peut risquer un parallèle avec l’apprentissage en CP des graphèmes ou phonèmes référents, avec l’automatisation de la lecture par voie directe en cycle 2, avec la conjugaison horizontale en CE CM (et j’en passe !), des apprentissages tous situés dans le champ de l’écrit. En mathématiques, cette piste est moins fréquemment mise en avant et pourtant, elle a aussi son intérêt.
Fixons-en, ici aussi, les modalités d’usage. Lors du travail en classe, du CP au CM2, il arrive de rencontrer une structure de problème qui mérite une mise en mémoire : soit parce qu’on découvre une nouvelle procédure (multiplier plutôt que de réitérer l’addition par exemple) soit parce qu’on déjoue un piège récurrent (expression de plus qui peut exiger une soustraction par exemple). On va donc en garder la trace sous forme un problème de référence aux valeurs numériques très petites. Cette extrême petitesse permet aux élèves de raisonner au niveau du nombre intuitif (cf. point suivant).
Le problème choisi, avec ses données de petite taille, sera mis en relation, avec une forme ou une autre de représentation, voire deux et avec l’opération elle-même, ce qui peut nous donner à peu près ceci, ci-dessous à gauche en CE1, à droite en CM1 :
2 / EN TOUT
J’ai 3 étuis de 4 crayons. Combien ai-je de crayons en tout ?
10 / DE MOINS
Mon frère a 5 crayons. Il en a deux crayons de moins que moi. Combien ai-je de crayons ?
3 x 4 5 2
? 5 + 2
Afin de faciliter la constitution progressive de cette banque ainsi que l’harmonisation tout au long du parcours des élèves, je vous fournis un document assez complet sans être exhaustif, au format Word qui évidemment n’est pas à mettre en l’état entre les mains des élèves. C’est une base organisée autour de deux principes :
- verticalement, les problèmes sont listés autour de mots clés qui souvent piègent les élèves (fois plus, de moins...) - horizontalement : augmentation progressive du degré d'abstraction, des objets eux-mêmes à la droite numérique, puis au digramme en barres, et enfin à l'opération.
Pour emploi en classe, il faut sans doute supprimer au moins une colonne et les lignes non encore abordées afin de constituer un document adapté aux besoins.
A télécharger : le document modifiable « problèmes référents » au format Word https://drive.google.com/drive/folders/1zB015hSfufCbaIUzCinUYtbLoF-mnXjJ?usp=sharingAperçu réduit ci-dessous des 8 premiers problèmes de référence :
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► En détail, le point 6 : quantités en jeu
Le même problème sera plus facilement résolu avec de petits nombres qu’avec des grands, ceci semble évident, mais pourquoi ? Trois grandes raisons coexistent :
- Bien sûr, les techniques opératoires, qu’elles soient effectuées mentalement ou posées, sont plus simples. Mieux : les opérations posées peuvent être remplacées par un calcul mental nettement plus rapide. C’est déjà un point important. Le raisonnement par essai et contrôle est plus accessible. Le contrôle exécutif – « est-ce que ce que je fais est convenable ? » – est bien plus à portée de l’élève.
- Les étayages visuels, surtout au niveau représenté, sont bien plus transparents. Cubes, points, droites numériques… Tout ceci est beaucoup plus clair et maniable avec de petits nombres. Avec de grands nombres, on est souvent amené à modéliser, ce qui est moins facile d’accès.
- Enfin, il faut faire un détour du côté de la conception intuitive du nombre. Nous avons tous, même adultes, une approche cognitive et une approche intuitive de la quantité et du nombre, comme le montrent de nombreuses études convergentes à ce sujet. Regardons cette droite numérique : il nous est très facile, d’un coup d’œil, de quantifier les repères vert et rouge ci-dessous. En revanche, sans compter, combien vaut le repère noir à droite ?
Nous ne serons pas tous d’accord sur la valeur, mais l’expérience à ceci de remarquable que si on la reproduit avec suffisamment de personnes, on obtient une moyenne proche de la réalité.
Il nous est impossible par cette voie intuitive de distinguer des nombres de grande taille trop proches l’un de l’autre : pour un enfant de 8 ans, les grandeurs 17 et 21 ne peuvent pas être distinguées, alors que de très petites quantités le seront. Bien sûr, l’élève est capable d’indiquer que 17<21 et même que 17 = 21 – 4, mais ceci relève de la conception cognitive du nombre. Raisonner, pour un problème, avec de petites voire très petites quantités peut donc convoquer une voie plus intuitive.
Dès lors, et comme pour les points précédents, il nous faut aborder les modalités d’emploi de ce détour par les petites quantités, sans modifier la structure du problème. Deux principes :
- Il s’agit bien d’un détour temporaire, le temps d’assurer la compréhension de la situation. On revient ensuite à des nombres plus grands
- On peut d’abord s’appuyer sur les étayages proposés ci-dessus (Point 4) : « descendre » au niveau modélisé, si cela est suffisant, ou au niveau représenté, si nécessaire. Ensuite, éventuellement s’appuyer sur des problèmes référents (Point 5). Si ces modalités ne suffisent pas, réduire la taille des nombres peut être utile.
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► En détail, le point 7 : travailler les opérations en dehors de tout contexte de problème
Toutes les situations où on joue sur les nombres sont toujours bonnes prendre. Des rituels mathématiques, notamment à base de mesures, peuvent ainsi être mis en place afin de développer le sens du nombre dès qu’un objet quelconque entre dans la classe.
Pour ce qui est des problèmes et donc des opérations, il s’agit de développer une conscience de ces opérations sur de petits nombres, de ce qu’elles font aux nombres, y compris, en cycle 3, lorsqu’on quitte le domaine des entiers. Sur ce dernier point, soyons à la fois ambitieux mais réalistes à l’école élémentaire : à la question « par quoi diviser 4 pour obtenir 8 ? », bien des élèves de 3ème ont du mal…
Pour cela, on peut agir à 3 niveaux successifs : sur une opération prise isolément, sur deux opérations mises en opposition ou sur les 4 opérations réunies.
Dans tous les cas, comme dans toutes les activités de calcul mental, une forme ou une autre de représentation accompagne au moins la mise en commun et parfois, au début, la recherche des résultats.
Gammes sur une seule opération :
Il s’agit ici de mettre en relation un ensemble de nombres avec leur transformé par une opération unique.
Exemple soustractif : soustraire 4 (écrire les résultats dans les cases du dessous) :
8 – 4 6 – 4 4 – 4 10 – 4 14 – 4 7 – 4 11 – 4 9 – 4 13 – 4 5 – 4 20 – 4 16 – 4
Exemples de supports à projeter :
Duos (ou duels) d’opérations :
Le principe est assez voisin, mais ici on oppose systématiquement deux opérations. Les concepts se construisent en effet souvent mieux par opposition que pris isolément. De la même façon qu’il est bien plus efficace, par exemple en lecture, de travailler en simultané sur deux phonèmes ou graphèmes (/a/ vs /o/, /b/ vs /d/), il est plus efficace d’opposer en particulier :
- L’addition et la soustraction - L’addition et la multiplication - La multiplication et la division - La soustraction et la division
Dans tous les cas là aussi, une forme ou une autre de représentation est utilisée.
Exemple :
8 + 4 8 x 4 5 x 4 5 + 4 7 x 4 7 + 4 10 + 4 10 x 4 6 + 4 6 x 4 8 x 4 8 + 4
Exemple de support à projeter pour cette activité :
Les quatre opérations, situation de recherche :
Cette fois on va convoquer simultanément les 4 opérations (éventuellement seulement 3 au début).
Voici une suggestion de situation de recherche simple d’emploi, à projeter (ci-contre) ; il faut utiliser toutes les étiquettes-nombres jaunes (mobiles) pour obtenir le petit nombre-cible situé au centre.
Lors de la mise en commun (ci-dessous), on utilise un système ou un autre de représentation : points mobiles à gauche, droite numérique à compléter au feutre au centre (ici la soustraction), schéma en barres à droite (ou autres systèmes bien sûr).
A télécharger : les trois fichiers « opérations » avec les 3 étayages ci-dessus au format Open Board https://drive.google.com/drive/folders/1zB015hSfufCbaIUzCinUYtbLoF-mnXjJ?usp=sharingRetour l
► En détail, le point 8 : phase d’intégration, première possibilité. Renverser la perspective.
La production d’énoncé est un exercice pas toujours très répandu mais cependant fort utile. D’un point de vue cognitif, le schéma est totalement inversé : il ne s’agit plus de comprendre un énoncé donc se représenter l’histoire et de mettre cette représentation en lien avec le bon calcul. Dans ce schéma classique, et même s’il peut y avoir plusieurs façons d’accéder à la réponse, il n’y a par essence qu’une seule bonne réponse.
En production d’énoncé, c’est le contraire : il y a de nombreuses réponses acceptables, pourvu qu’elles respectent la consigne d’invention. Cette consigne peut prendre plusieurs formes :
Une simple opération : « Inventez une histoire qui a comme solution 48 – 17 = 31 ».
Une simple opération, assortie d’un élément de contexte plus ou moins large : « Inventez une histoire d’animaux (contexte large) ou d’éléphants (plus restreint) qui a comme solution 48 – 17 = 31 »
Une simple opération, assortie d’une contrainte peu conventionnelle : « Inventez une histoire qui a comme solution 48 – 17 = 31 et qui contient les mots de plus ».
Une représentation : « Inventez une histoire qui peut être représentée comme ceci :
Une modélisation : « Inventez une histoire qui peut être modélisée comme ceci : 140
35 35 35 35
Une situation libre : « Inventez une histoire à partir de ces 3 dessins et des nombres 18, 26 et 37 » :
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► En détail, le point 9 : phase d’intégration, deuxième possibilité.
Situations de recherche et énigmes
Nous abordons ici 3 types de problèmes assez proches – on ne s’étendra pas sur cette nomenclature :
- Les problèmes dits ouverts qui peuvent déboucher sur plusieurs solutions, même si au final on n’en retient qu’une.
- Les problèmes de recherche où les procédures à employer sont inconnues des élèves qui vont donc procéder par tâtonnement, essais et erreurs.
- Les énigmes ou situations à priori impossibles et qui montrent que les mathématiques ont un pouvoir inattendu sur le monde.
Ces problèmes ne sont pas très nombreux dans la plupart des manuels. Lorsqu’on en trouve, ce sont souvent soit des énigmes logiques, soit des questions de combinatoire ; ces situations sont en soi intéressantes, mais pas très utiles pour la résolution de problèmes numériques.
Est-il donc possible de concevoir des situations complexes, ouvertes, de recherche mais qui contribuent à renforcer les compétences en résolution de problèmes numériques ? Qui font « travailler » la relation entre énoncés et opérations de façon plus soutenue que dans la forme traditionnelle du problème tout en étant plus motivantes ?
Bien entendu, ces problèmes pourront nécessiter deux étapes : ils concourent donc aussi à faire le lien entre problèmes à une et plusieurs étapes. Dans ce type de travail, les élèves travaillent le plus souvent par binômes.
Un exemple détaillé.
Cette situation a été proposée en CM1/CM2, en début d’année, à la suite d’un travail sur les transformations additives et soustractives.
Dans le train qui traverse la Sibérie il y a 345 personnes. A l’arrêt en gare de Omsk, après 3 jours de voyage, des voyageurs descendent, d’autres montent.
Peu après, dans le bureau du chef de gare, le téléphone sonne. Ce sont les bureaux de Moscou qui veulent savoir combien il y a de personnes maintenant dans le train. Mais le chef de gare a perdu son carnet où il a noté les nombres ; il se rappelle juste qu’il y avait deux nombres à deux chiffres pour les voyageurs qui sont descendus et montés, avec un 1, un 2, un 3 et un 4, mais il ne sait plus dans quel ordre.
Il se rappelle aussi que le dans le résultat il y avait un 7, mais pas de 2, ni de 6. La voix au téléphone est en colère contre lui.
Pourriez-vous aider le chef de gare à retrouver les bons nombres ? Combien de gens sont montés, descendus ? Combien y en a-t-il maintenant ?
On commence bien sûr en collectif : le contexte culturel – la Sibérie, le Transsibérien – puis on prend un exemple pour clarifier la situation :
« Supposons que 23 voyageurs montent, combien descendent ? » On voit ensemble que c’est soit 14, soit 41.
« Supposons qu’après avoir fait les calculs on trouve 372. Est-ce possible ? Pourquoi ? » On peut fournir aussi une trame de ce type pour les essais :
Voyageurs avant Omsk Combien montent Combien descendent Voyageurs après Omsk
345 23 14
Cette trame est affichée au tableau – avec davantage de lignes, puisqu’il y a 4! = 24 combinaisons possibles. Chaque binôme qui obtient un résultat vient l’inscrire au tableau, en prenant soin de ne pas inscrire une combinaison déjà écrite.
On peut limiter les interférences en distribuant les rôles : tels binômes recherchent les cas où les gens qui montent sont soit 12 soit 21, tel autre 13 ou 31…
Enfin, il est possible et même souhaitable de projeter une feuille de tableur (Libre/Open Office Calc ou Excel). Le procédé présente en effet quatre avantages :
- Les élèves qui ont réalisé un calcul obtiennent une confirmation de leur résultat.
- Le rangement des solutions trouvées est facilité, induisant un élément de méthode (par exemple en prenant le nombre de voyageurs montant dans le train dans l’ordre croissant comme premier critère, et en cas d’égalité le nombre descendant du train comme second critère)
- Lorsque le tableur est régulièrement utilisé, ses fonctions de base sont rapidement comprises par les élèves. On pourra donc leur faire produire eux-mêmes les formules de calcul, ce qui est aussi une forme de renforcement.
La seule formule nécessaire ici en D2 est =A2+B2-C2, que l’on reproduit à volonté par « cliquer-tirer » sur le coin inférieur droit de la case D2.
- Dans certains cas où le nombre de solutions est très important, le tableur permet d’automatiser la recherche.
Aperçus ci-après : à gauche, premières lignes complétées par les élèves ; à droite, haut du tableau après tri automatisé.
Produire des problèmes de recherche à partir de contraintes sur les chiffres ou les nombres :
Dans l’exemple ci-dessus, les contraintes portaient sur les chiffres. On peut aussi jouer sur les nombres, comme on le voit sur cet exemple moins développé. On peut aussi convoquer des personnages récurrents au rôle ritualisé.
Mon personnage de Jojo l’âne, accommodé à pas mal de sauces, ne compte que de 10 en 10 : cette contrainte est une mine de situations de recherche. D’autres personnages reviennent souvent : Tom l’écureuil, qui a une mémoire de poisson rouge, oublie les données numériques, Gigi la grenouille, qui saute de n en n sans pouvoir s’arrêter est une brillante auxiliaire des situations de multiplication…
Jojo l’âne a beaucoup de billes, mais il ne sait pas bien compter : il ne compte que de 10 en 10. Voilà ce qu’il dit : « J’ai entre 30 et 40 billes. Sam le Sanglier, qui lui sait très bien compter, me dit qu’il a exactement 4 fois plus de billes que moi. A tous les deux, nous avons entre 170 et 180 billes. »
► Combien Jojo a-t-il de billes ? …….... billes
AIDE : pour trouver les réponses, il faut faire plusieurs essais. Entre 30 et 40, cela peut vouloir dire 31, 32, 33, 34… et ainsi de suite jusqu’à 39. Alors, il faut essayer…
Produire des problèmes de recherche à partir d’une équation ou d’un système d’équations :
De nombreuses situations peuvent être construites à partir d’une équation à deux inconnues liées ou de systèmes de deux équations avec deux inconnues. Deux exemples :
[Niveau CE] Samantha est pilote d’avion. Elle a un fils qui s’appelle Félix et qui, par hasard, est né le même jour que sa mère, pas la même année évidemment. Félix aimerait bien aussi devenir pilote d’avion quand il sera grand.
Aujourd’hui c’est l’anniversaire de Félix et de sa maman. Le papa a préparé un bon gâteau et il a mis 43 bougies en tout : des bougies blanches pour Samantha, et 25 bougies rouges de moins que de bougies blanches pour Félix.
Quel âge a Samantha ? Quel âge a Félix ?
Evidemment les élèves ne vont pas employer le système d’équations S + F = 43 // S – F = 25, donc 25 + 2F = 43 et F = 9. Ils vont donc faire des essais, supposer que F, ou S, a tel âge, calculer l’âge de l’autre et ajouter les deux valeurs, jusqu’à obtention du bon résultat. Si F a 1 an (et veut déjà devenir pilote ??), alors S a 26 ans ; 26 +1 = 27, on continue à chercher.
[Niveau CM] Jérôme est arboriculteur ; il cultive des pommiers. Il peut mettre sa récolte de pommes dans des caisses de 15 kg ou des caisses de 12 kg. S’il utilise des caisses de 12 kg, il lui en faudra 8 de plus que s’il utilise des caisses de 15 kg. Combien a-t-il récolté de kg de pommes ?
Ici l’équation est (si on nomme N le nombre de caisses de 12kg) : (N – 8) x 15 = N x 12 ce qui peut se simplifier 3N = 120 donc N = 40, de là on déduit l’autre valeur. Les élèves ne disposant pas de ces outils, on va procéder par essais successifs. Et pour le coup, le nombre d’essais est assez conséquent. On peut donc introduire des éléments de méthode : on essaie pour N = 10, 20, 50, 100 et on affine ensuite. Le tableau ci-dessous reste à disposition.
Bien évidemment l’usage du tableur est particulièrement indiqué. La feuille de calcul relative à ce problème est à télécharger ci-dessous. Elle peut aisément être adaptée : si par exemple on remplace 8 caisses d’écart par 5, (2ème onglet du fichier fourni) ou 12 kg par 10 kg (3ème onglet), le point d’équilibre est modifié. Attention, ce point d’équilibre n’existe pas toujours : si on remplace 12 par 6, il n’y a pas de solution !
A télécharger : le fichier « problèmes de pommes » au format tableur :https://drive.google.com/drive/folders/1zB015hSfufCbaIUzCinUYtbLoF-mnXjJ?usp=sharing Retour l Nb caisses de 12 kg Nb caisses de 15 kg Poids caisses 12 kg Poids caisses 15 kg Conclusion
10 2 120 30 Beaucoup trop de 12 kg
20 12 240 180 Trop de 12 kg
50 42 600 630 Trop de 15 kg
► En détail, le point 10 : organisation pédagogique
Voici un exemple développé de séquence d’apprentissage de la résolution de problèmes – à ne pas suivre à la lettre évidemment. Cette séquence, ici sur les problèmes de répartition, comprend 4 séances de classe, niveau environ CM1.
Les formes d’organisation privilégiées sont le travail en collectif et le travail en binômes. Un ou deux problèmes de la séance 3 sont réalisés en individuel.
SEANCE 1 – Situation préparatoire
Phase principale : problème « 0 » à faire en collectif – « On cherche le nombre de tables.
A la cantine il n’y a que des tables à 4 places. → Combien faut-il de tables pour faire manger 52 élèves ? »
On peut pour commencer convoquer une estimation, ou une fourchette de vraisemblance :
D’après vous et sans faire de calcul, pour installer 52 enfants à des tables de 4, il nous faut combien de tables ?
□ entre 1 et 3 tables □ entre 10 et 20 tables □ entre 40 et 50 tables
Dans un second temps, on laisse chercher et proposer des idées de solutions. Prendre le temps d’inscrire au tableau les propositions, de verbaliser les méthodes employées.
Nous sommes dans une période de plusieurs mois où nous utilisons les droites numériques pour représenter les problèmes. On va donc en projeter une, reprendre le problème et trouver, ou confirmer, la réponse.
1 table 1 table etc
Si la division a été mentionnée par un élève, on s’appuie sur cette proposition. On pose la division et on l’effectue ensemble. A défaut, l’enseignant l’amène et on constate qu’on retrouve bien le même résultat.
On annonce la suite « Nous allons faire bientôt d’autres problèmes du même genre ; mais attention, comme d’habitude, certains problèmes ressembleront à celui-ci, mais d’autres pas du tout ».
Bilan : qu’a-t-on appris aujourd’hui ? Ici on apporte le mot répartition, associé au mot division. Une formalisation est conservée dans la mémoire de la classe.
Ce problème peut être conservé comme le problème de référence des situations de répartition. Lorsqu’on rencontrera un problème du même type, on pourra s’appuyer sur cette analogie.
Calcul mental : activité de renforcement sur les 4 opérations (cf. point 7) SEANCE 2, le lendemain – Première série de problèmes
Phase 1 : retour sur la séance 1 et introduction de la séance 2
Rappel du problème précédent sur les tables à 4 places
Retour sur la formalisation de l’opération de répartition
Rappel des points de vigilance
Aplanissement de difficulté langagières des problèmes du jour ; pas grand-chose dans ce qui suit, hormis le mot
« botte » (de carottes) dont il faut éclaircir la polysémie.
Phase 2 – En binômes : une série de problèmes
Problème 1 – On cherche le nombre de boîtes.
Mathilde élève des poules. Aujourd’hui, elle a ramassé 72 œufs.
Combien de boîtes de 6 œufs peut-elle remplir ? 1 – Sans calculer, choisis :
□ entre 1 et 3 boîtes □ entre 3 et 6 boîtes □ entre 10 et 15 boîtes 2 – Trouve la réponse exacte ; tu peux t’aider de la droite ci-dessous
Problème 2 – On cherche le nombre de carottes.
Nicolas cultive des carottes. Il vend des bottes de 12 carottes. Aujourd’hui il a vendu 48 bottes.
Combien a-t-il récolté de carottes ? 1 – Sans calculer, choisis :
□ entre 100 et 200 carottes □ entre 500 et 800 carottes □ entre 1000 et 2000 carottes
2 – Trouve la réponse exacte ; tu peux si tu le souhaites construire une droite sur ton brouillon
Problème 3 – On cherche le nombre de barquettes.
Alice cultive des kiwis. Elle les met en barquettes de 4. Aujourd’hui, elle a ramassé 180 kiwis.
Combien de barquettes de 4 kiwis peut-elle remplir ? 1 – Sans calculer, choisis :
□ entre 4 et 8 barquettes □ entre 10 et 20 barquettes □ entre 30 et 60 barquettes 2 – Trouve la réponse exacte ; tu peux si tu le souhaites construire une droite sur ton brouillon
Bonus-énigme (pour ceux qui le souhaitent et ont terminé)
Mathilde a rempli un certain nombre de boîtes de 6 œufs et deux boîtes de 10 œufs de moins que celles de 6 œufs.
Elle sait qu’elle a ramassé entre 180 et 190 œufs.
Combien a-t-elle rempli de boîtes de 6 œufs ? Combien a-t-elle rempli de boîtes de 10 œufs ?
SEANCE 3 – Deuxième série analogue de problèmes numériques : phase de consolidation
Séance assez proche de la séance 2, avec des problèmes différents : 2 ou 3 situations de répartition, 1 ou 2 situations autres.
SEANCE 4 – Phase d’intégration avec 2 choix possibles : problème de recherche ou production d’énoncés
Soit un problème ouvert de recherche pour tous :
Exemple :Enigme…
Jojo l’âne a acheté beaucoup de pommes pour l’hiver, mais il ne sait pas bien compter. Voilà ce qu’il dit : « J’ai acheté entre 200 et 300 pommes.
- Je les ai rangées par rangées de 2, mais il m’en restait une toute seule.
- Je les ai alors rangées par rangées de 3, mais il m’en restait toujours une toute seule.
- Je les ai rangées par rangées de 4, mais il m’en restait encore une.
- Je les ai rangées par rangées de 5, mais il m’en restait… une ! - Je les ai rangées par rangées de 6, mais il m’en restait bien sûr une.
- Je les ai rangées par rangées de 8, mais il m’en restait évidemment une.
- Je les ai rangées par rangées de 10, mais il m’en restait encore et toujours une. »
Sam le Sanglier, qui lui sait très bien compter, lui dit : « eh bien, Jojo, je vais t’aider. Je vais en manger une. Tu pourras alors les mettre par rangées de 2, de 3, de 4, de 5, de 6, de 8, de 10 et même si tu veux de 12, de 15, de 20 ou de 30 : ça marchera à tous les coups… »
Jojo l’âne est très content, mais combien a-t-il acheté de pommes ? Il va falloir faire des essais à partir de ce que dit Sam le Sanglier.
Soit une inversion de la démarche : la production de l’énoncé
Exemples :1 – Inventer une histoire qui correspond à cette opération : 168 : 12 = 14. Attention, le résultat, 14, ne doit pas être utilisé dans l’histoire.
On peut si on veut se servir d’un de ces mots : carton, caisse, boîte, paquet, rangée, pile, table, étui, lot, groupe…
On peut aussi se servir de la droite numérique.
2 – Inventer une histoire qui correspond à ces deux opérations successives : 57 + 34 = 91 puis 91 : 7 = 13. Attention, le résultat final, 13, ne doit pas être utilisé dans l’histoire.
3 – Inventer une histoire où il faudra faire une division et une soustraction.
4 – Inventer une histoire qui correspond à ce schéma :
. Retour l
► Synthèse interactive : comment agir face aux difficultés que rencontrent les élèves ?
Version 1 janvier 2021 – Vos commentaires, avis et suggestions permettront d’améliorer ce document – A adresser à : marc.degioanni@ac-aix-marseille.fr
► REPONSES AUX QUESTIONS DE L’INTRODUCTION
sin 30° + sin 60° = sin 90° : bien sûr ? Pas sûr ? Probablement pas ? Totalement faux, comme on le voit sur le graphique ci-contre :
log 6 – log 2 = log 3 : bien sûr ? Pas sûr ? Probablement pas ? Totalement faux ? Vrai, comme on le voit ici ou sur la représentation ci-dessous :
►
RETOUR VERS L’INTRODUCTION
7 - Opérations hors contexte 1 - Difficultés langagières
2 - Estimation
3 - Représentations
mentales connues ? Non
4 - Approche graduelle de l’abstraction
Niveau 1 manipulé
Niveau 2 représenté
Niveau 3 modélisé
Niveau 4 abstrait Oui
5 – Problèmes de référence
6 – Réduire les quantités 8 –Production d’énoncés
9 – Problèmes numériques ouverts
