Correction d’examen 3

www.etude-generale.com 2éme BAC PC

Matière : Mathématiques 2020/2021

Professeur : Yahya MATIOUI Préparation BAC

Correction d’examen 3

Exercice 1 (Les suites numériques)

On considère la suite numérique (u_n)_n2N dé…nie par : u₀ = 3 et pour tout n de N : u_n+1 = ¹₃u_n+⁴₃

1. Montrons par récurrence que : (8n2N); u_n 2:

Initialisation : Si n= 0, alors u₀ = 3 et comme u₀ 2: Donc, l’inégalité est vraie:

Hérédité : Soit n2N: On suppose que u_n 2; et on montre que : u_n+1 2:

évaluons le signe de la di¤érence : u_n+1 2:

u_n+1 2 = 1

3u_n+ 4 3 2

= 1

3u_n 2 3 et comme u_n 2, donc : ¹₃u_n ²₃ 0: D’où : u_n+1 2:

Donc, d’après le principe de récurrence on déduit que pour tout n de N, on a : u_n 2:

2. On cherche la monotonie de la suite (un)_n2N: Soit n 2N:

u_n+1 u_n = 1

3u_n+ 4 3 u_n

= 2u_n 3 + 4

3

commeu_n 2, alors: ^2u₃ⁿ ₃⁴. Donc: ^2u₃ⁿ+⁴₃ 0:Ceci signi…e que:u_n+1 u_n 0;

c’est-à-dire la suite(u_n)_n2N est strictement décroissante, et comme elle est minorée par 2 alors la suite (u_n)_n2N est convergente.

3. Soit (v_n)_n2N la suite numérique telle que : v_n =u_n 2:

a) Montrons que la suite (v_n) est une suite géométrique de raison ¹₃: Soit n2N:

v_n+1 = u_n+1 2

= 1

3u_n+4 3 2

= 1

3u_n 2 3

= 1

3(u_n 2)

= 1 3v_n

donc la suite (vn)_n2N est géométrique de raison q = ¹₃ et de premier terme v0 = u₀ 2 = 3 2 = 1: Par ailleurs on a :

v_n =v_p q^{n p} et comme p= 0 alors on obtient :

(8n 2N); v_n= 1 3ⁿ b) Soit n2N:

On a: v_n=u_n 2; donc : u_n=v_n+ 2. On obtient : (8n 2N); u_n= 1

3ⁿ + 2

c) On considère la suite (w_n)_n2N dé…nie par : w_n= ln (u_n): Calculons : lim

n !+1w_n

nlim!+1w_n = lim

n !+1ln 1 3ⁿ + 2 comme : 1 ¹₃ 1, donc : lim

n !+1 1 3

n = 0: Ce qui signi…e que :

n lim!+1w_n= ln 2

4. On pose : S_n=u₀+u₁+:::+u_{n 1}: Montrons que : S_n = ³₂ 1 ¹₃ ⁿ + 2n S_n = u₀+u₁+:::+u_{n 1}

= 1

3

0

+ 2 + 1 3

1

+ 2 +:::+ 1 3

n 1

+ 2

= 0 BB BB

@ 1 3

0

+ 1 3

1

+:::+ 1 3

n 1

| {z }

suite geometrique deraison ¹₃

1 CC CC A+

0

@2 + 2 +:::+ 2

| {z }

n f ois

1 A

= 1

3

0 1 ¹₃ ⁿ

1 ¹₃ + 2n

= 3

2 1 1

3

n

+ 2n Exercice 2 (Les nombres complexes)

1. Dans l’ensemble C, on considère l’équation : (E) : z^{2 1} ₂^p3 z+¹₂ = 0:

a) Véri…ons que : = ¹⁺₂^{p3 2}

= b² 4ac

=

"

1 p

3 2

!#2

4 1 1

2

= 1 2p 3 + 3

4 2

= 4 2p 3 8 4

= 4 2p

3 4

= 4 + 2p 3 4

= 1 +p

3 ²

2² = 1 +p

3 2

!2

b) Les solutions de l’équation (E) : On a : = ¹⁺₂^p3

2

0: Donc l’équation (E) admet deux solutions complexes conjuguéesz1 et z2 :

z₁ = b+ip

2a =

1 p 3

2 +i ¹⁺₂^p3

2 = 1 p

3

4 +i 1 +p 3 4

!

et comme : z₂ =z₁ = ¹ ₄^p3 +i ¹⁺₄^p3 = ¹ ₄^p3 i ¹⁺₄^p3 : Donc : S =

(1 p 3

4 i 1 +p

3 4

!

;1 p 3

4 +i 1 +p 3 4

!)

2. Soient les nombres complexes : a= 1 +i , b = 1 ip

3 et c= ¹ ₄^p3 +i ¹⁺₄^p3 : a) Véri…ons que : c= ^a_b:

a

b = 1 +i 1 ip

3

= (1 +i) 1 +ip 3 4

= 1 +ip

3 +i p 3 4

= 1 p

3 +i 1 +p 3 4

= 1 p

3

4 +i 1 +p 3 4

!

= c

b) La forme trigonométrique des complexes : b et c: On a : jaj=p

2: Donc : a= 1 +i=p

2 p2

2 +i p2

2

!

=p 2 cos

4 +isin 4 On a : jbj= 2: Donc :

b= 1 ip

3 = 2 1 2 i

p3 2

!

= 2 cos

3 +isin 3 c) On déduit que : c= ^p₂² cos⁷₁₂ +isin⁷₁₂ :

On a : c= ^a_b; et par passage au module on obtient : jcj= a

b = jaj jbj =

p2 2

par passage à l’argument dans l’égalité précédente, on obtient : arg (c) arg a

b [2 ]

arg(a) arg(b) [2 ]

4 3 [2 ]

4 + 3 [2 ] 7

12[2 ]

Donc, la forme trigonométrique du complexe cest : c=

p2

2 cos 7

12 +isin 7 12 d) On déduit que : tan ⁷₁₂ = 2 p

3

On a:c= ^p₂² cos ⁷₁₂ +isin ₁₂⁷ etc= ¹ ₄^p3+i ¹⁺₄^p3 ;par identi…cation on obtient le système suivant :

8<

:

p2

2 cos⁷₁₂ = ¹ ₄^p3

p2

2 sin⁷₁₂ = ¹⁺₄^p3 ()

8>

<

>:

cos⁷₁₂ = ^{1 p3}

2p 2

sin⁷₁₂ = ^1+p3

2p 2

et comme tan⁷₁₂ = ^sin

7 12

cos⁷₁₂: Alors on obtient : tan7

12 =

1+p 3 2p

2 1 p 3 2p

2

= 1 +p 3

1 p

3

= 1 +p 3 ² 2

= 4 + 2p 3

2 = 2 p

3 3. a) Montrons que : d =b:

On a D est l’image du point B par la translation T du vecteur !u d’a¢ xe 2ip 3:

C’est-à-dire: T(B) = D:

T(B) = D () !

BD=!u () d b =z!u

() d=b+z!u

() d= 1 ip

3 + 2ip 3 () d= 1 +ip

3 () d= 1 ip 3 () d=b

b) Véri…ons que : arg _d^b ₃² [2 ] arg b

d arg (b) arg (d) [2 ] 3 arg(b) [2 ] 3 ( arg(b)) [2 ] 3 + arg(b) [2 ]

3 3[2 ] 2

3 [2 ]

La mesure de l’angle orienté : \! OD; !

OB

OD;! OB! arg b o d o [2 ] arg b

d [2 ] 2

3 [2 ] c) Véri…ons que : OD =OB :

On a: OD =jd oj =jdj = b = 2, et OB =jb oj=jbj= 2: On obtient donc que: OD=OB: Ceci signi…e que le triangle OBD est isocèle en O:

d) L’image du point D par la rotation de centre O et d’angle ₃² : On a : OD =OB et !

OD; !

OB ²₃ [2 ]: Ceci signi…e que l’image du point D par la rotation de O et d’angle ₃² est le point B:

Problème d’analyse 3 (L’étude de la fonction exponentielle)

Partie N1. Soit g la fonction numérique dé…nie sur R par : g(x) = 1 + (2 x)e ^x:

1) La fonctiong est dérivable sur R comme la somme et le produit des fonctions dérivables sur R. (x7 !1 ; x7 !2 x et x7 !e ^x): Calculons g⁰(x) pour tout x de R:

g⁰(x) = (2 x)⁰e ^x+ (2 x) e ^{x 0}

= e ^x (2 x)e ^x

= (x 3)e ^x

2) La monotonie de la fonction g sur ] 1;3] et [3;+1[ :

On a : e ^x 0, pour tout x de R. Donc le signe de g⁰(x) sur R est celui de (x 3): Comme l’expression x 3 s’annule en3: Alors :

Ceci implique que :

(8x2] 1;3]); g⁰(x) 0 et (8x2[3;+1[); g⁰(x) 0

On déduit que la fonction g est décroissante sur ] 1;3]et croissante sur [3;+1[:

La justi…cation des limites en +1 et 1:

x lim!+1g(x) = lim

x !+11 + (2 x)e ^x

= lim

x !+11 + 2e ^x xe ^x

= lim

x !+11 + 2e ^x 1

e^x x

= 1 car : lim

x !+1

e^x

x = +1 et

x lim! 1g(x) = lim

x ! 11 + (2 x)e ^x = +1 car : lim

x ! 1e ^x = +1 et lim

x ! 12 x= +1 3) Montrons que : (8x2R); g(x) 0:

On a d’après la question précédente, la fonction g admet une valeur minimale en point d’abscisse 3 sur R. Ceci signi…e que pour tout x de R on a g(x) g(3) et comme g(3) = 1 e ³ 0; alors :

(8x2R); g(x) 0

Partie N2. Soit f la fonction numérique dé…nie sur R par: f(x) =x+ (x 1)e ^x: 1) Montrons que : lim

x !+1f(x) = +1 et lim

x ! 1f(x) = 1

xlim!+1f(x) = lim

x !+1x+ (x 1)e ^x

= lim

x !+1x+xe ^x e ^x

= lim

x !+1x+ 1

e^x x

e ^x = +1 et

x lim! 1f(x) = lim

x ! 1x+ (x 1)e ^x = 1 car : lim

x ! 1e ^x = +1 et lim

x ! 1x 1 = 1

2)-a)- La fonctionf est dérivable surR comme la somme et le produit des fonctions dériv- ables sur R. (x7 !x ; x 7 !x 1 et x7 !e ^x): Calculons f⁰(x) pour tout x de R:

f⁰(x) = 1 + (x 1)⁰e ^x (x 1)e ^x

= 1 +e ^x xe ^x+e ^x

= 1 + (2 x)e ^x

= g(x)

D’après la partie 1; on sait que pour tout x de R on a : g(x) 0. Ceci signi…e que: (8x2R); f⁰(x) 0

Donc, la fonctionf est strictement croissante surR:On déduit le tableau de variations suivante :

b) L’équation de la tangente à la courbe (C_f) au point d’abscisse 0, s’écrit sous la forme : y =f⁰(0) (x 0) +f(0) = 3x 1

3) On étudie la convexité de la courbe (C_f) :

La fonction f est deux fois dérivable sur R. Calculons f⁰⁰(x) pour tout x de R: f⁰⁰(x) = g⁰(x) = (x 3)e ^x

D’après la partie 1, on déduit le tableau de signe suivant :

La fonctionf⁰⁰ s’annule en3avec un changement de signe, alors le pointA(3;3 + 2e ³) est un point d’in‡exion de la courbe (C_f):

4) Montrons que : lim

x ! 1 f(x)

x = +1

x lim! 1

f(x)

x = lim

x ! 1

x+ (x 1)e ^x x

= lim

x ! 11 + 1 1

x e ^x = +1

La courbe (C_f) admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de 1:

5)-a)- Montrons que : lim

x !+1f(x) x= 0

x lim!+1f(x) x = lim

x !+1(x 1)e ^x

= lim

x !+1xe ^x e ^x

= lim

x !+1

1

e^x x

e ^x = 0 comme : lim

x !+1f(x) x = 0: Ceci signi…e que la droite ( ) d’équation y =x est une asymptote oblique à la courbe (C_f) au voisinage de +1:

b) On étudie la position relative de la courbe (C_f) et de la drroite ( ) : On étudie le signe de la di¤érence : f(x) x sur R:

On a

f(x) x= (x 1)e ^x

On a:e ^x 0, pour tout xdeR. Donc le signe def(x) xsur Rest celui de(x 1): Comme l’expression x 1 s’annule en1: Alors :

Ceci signi…e que :

Si x 2 ] 1;1[, alors : f(x) x 0. C’est-à-dire la courbe (C_f) est au dessous de la droite( ).

Si x2[1;+1[, alors: f(x) x 0. C’est-à-dire la courbe (C_f) est au dessus de la droite ( ).

La courbe(C_f) et la droite ( ) se coupent en point d’abscisse 1:

6)-a)- Pour montrer que la courbe (C_f) coupe l’axe (Ox) en unique point d’abscisse avec 2 ]0;1[: Il faut montrer que l’équation f(x) = 0 admet unique solution dans l’intervalle ]0;1[: En utilisant le T.V.I

La fonction f est continue sur R, et surtout sur ]0;1[: La fonction f est strictement croissante sur ]0;1[.

On a: f(0) f(1) 0:

Donc d’après le T.V.I l’équation f(x) = 0 admet unique solution telle que 2]0;1[:

b)

2 3 4 5 6 7 8

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

2 3 4 5

-1 -2 -3 -4 -5 -6

0 1

1

x y

7)-a)- En utilisant une intégration par parties. Calculons : Rln 4

1 (x 1)e ^xdx

On pose : 8

<

:

u(x) = x 1 v⁰(x) = e ^x

=) 8<

:

u⁰(x) = 1 v(x) = e ^x Donc :

Z ln 4 1

(x 1)e ^xdx = (x 1)e ^{x ln 4}₁ + Z ln 4

1

e ^xdx

= ( ln (4) + 1)e ^{ln 4}+ e ^{x ln 4}₁

= 1 4

1

4ln 4 + e ^{ln 4}+e ¹

= e ¹ ln 4 4 b) On a : f 0 sur [1;ln 4]: Donc

Aire =

Z ln 4

1 jf(x)jdx ua

=

Z ln 4

f(x)dx cm²

Caculons : Rln 4

1 f(x)dx Z ln 4

1

f(x)dx =

Z ln 4 1

x+ (x 1)e ^xdx

=

Z ln 4 1

xdx+ Z ln 4

1

(x 1)e ^xdx

= x² 2

ln 4

1

+e ¹ ln 4 4

= ln²4 2

1

2 +e ¹ ln 4 4

= e ¹ 1

2ln 2 + 2 ln²2 1 2 On obtient :

Aire= e ¹ 1

2ln 2 + 2 ln²2 1 2 cm²

8)-a)- La fonction f est continue sur R et strictement croissante, alors elle admet une fonction réciproque notée f ¹ dé…nie sur J =f(R) = lim

x ! 1f(x); lim

x !+1f(x) =R: b) Montrons que : (f ¹)⁰( 1) = ¹₃:

On a : f(0) = 1 et comme f est dérivable en 0 et f⁰(0) 6= 0; alors f ¹ est dérivable en 1, et on a :

f ^{1 0}( 1) = 1 f⁰(f ¹( 1))

= 1

f⁰(0)

= 1 3 FIN

Pr : Yahya MATIOUI

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