CORRIGE CINEMATIQUE
EXERCICE 1 : DEPASSEMENT – MOUVEMENT UNIFORME exprimer les vitesses en ms-1 en divisant par 3,6 Va=90/3,6 = 25 ms-1 ; Vc=72/3,6=20 ms-1.
distance parcourue par la voiture en t seconde 25t = 20 + 10 + 20 t + 30 + 5
t = 13 s et la voiture parcourt 25*13= 325 m EXERCICE 4 : VOYAGEUR EN RETARD
pour t=0 lorsque le train démarre.; X0=0 position du dernier wagon
abscisse voyageur x1=6t-20
abscisse dernier wagon x2=0,5.a.t²=0,5 t²
si le voyageur rattrape le train x1=x2 ; 0,5 t²-6t+20=0
α=36-40, est négatif donc il n'y a pas de solution à notre équation ; le voyageur ne rattrapera jamais le train.
Distance entre le dernier wagon et le voyageur : x2-x1 =0,5 t²-6t+20
Cette distance est minimale lorsque la dérivée par rapport au temps de cette fonction s'annule. t-6=0 ; t = 6 secondes
x2-x1 = 0,5*6²-6*6+20 = 2 m
EXERCICE 10 : MOUVEMENT ACCELERE SUR UN AXE
mouvement rectiligne uniformément freiné , arrêt, puis accélération.
vitesse,: primitive de l'accélération : v(t)=4t-3 abscisse, primitive de la vitesse : x(t)= 2t²-3t+1 passage à l'origine : 0=2t²-3t+1
solutions : t=0,5 et t=1 s
0 à 0,75 s: le mobile se déplace en sens contraire de l'axe, passe à l'origine à la date 0,5 s.
0,75 s : arrêt puis déplacement dans le sens de l'axe et nouveau passage à l'origine à t=1 s.
arrêt si v=0 soit t= 0,75 s
position: 2*0,75²-3*0,75+1= -0,125 m EXERCICE 12 : FREINAGE SUR AUTOROUTE
on doit multiplier 40 m/s par une durée en seconde
distance parcourue par le 2ème véhicule d'un mouvement uniforme : 40*2 = 80 m.
distance parcourue par le 1er véhicule d'un mouvement uniformément retardé d= ½ a t² + 40 t = -2,5 *4 + 40*2 = 70 m .
distance entre les véhicules : 40 - différence des deux résultats précédents : 40-10 = 30 m.
vitesse du premier véhicule à t=2 s : v = at + 40 avec a négatif : -5*2+40 = 30 m/s à t=0 1er véhicule situé 30 m devant l'autre; vitesse initiale 30 m/s ; a =-5 m/s² x1 = -2,5 t² +30 t +30
second véhicule : à t=0 ; vitesse initiale 40 m/s; accélération = -5 m/s² x2 = -2,5 t² + 40t
choc si x1= x2
-2,5 t² +30 t +30 = -2,5 t² +40t 30t +30 = 40 t
à t=3 s.
EXERCICE 15 : ETUDE GRAPHIQUE
vitesse : dérivée de l'abscisse par rapport au temps v = - 8t+ 6,4 accélération : dérivée de la vitesse par rapport au temps a = - 8 vitesse initiale : 6,4 m/s.
La vitesse s'annule à t = 0,8 s position d'arrêt.
sur[0 ; 0,8 s] mouvement rectiligne uniformément freiné
au delà de 0,8 s , après avoir rebroussé chemin, le mobile accélère.
[0 ; 30 s] [30 ; 50 s] [50 ; 60 s] [60 ; 80 s] [80 ; 100 s]
accélération : coef directeur de la droite 1 0 -3 0 -1,5
vitesse: primitive de l'accélération 1t 30 -3 t+30 0 -1,5 t
mouvement accéléré uniforme freiné arrêt accéléré
EXERCICE 17 : LA VOITURE ET LE PIETON coordonées des vecteurs vitesses dans le repère ci dessus : piéton : u sinα ; - u cosα
voiture : 0 ; v
coordonées des vecteurs positions dans le repère ci dessus : piéton : x= u sinα t; y= - u cosα t + d
voiture : x= 0 ; y= v t
Le piéton n'est pas écrasé s'il atteint l'abscisse x=L avant que la voiture ne le touche.
soit t= L / (u sin α ) positions à la date t :
piéton : yP= - u cosα L / (u sinα) +d= - cotanα L +d voiture : yV= v L / (u sinα)
yP> yV soit : - cotanα L +d > v L / (u sinα)
u > 72/3,6 x 2,8 / (-1,4 x cos(45)+50sin(45)) u > 0,814 ms-1 ou 2,93 km h-1.
La vitesse u sera la plus faible lorsque le dénominateur -Lcosα + d sinα sera le plus grand possible. On dérive par rapport à α l'expression -Lcosα + d sinα et on recherche la valeur de α qui annule cette dérivée.
L sinα + d cosα = 0 ou tanα = -d/L = -50/1,4 = -35,71 α = 91,6 °
EXERCICE 18 : LE TOURISTE SAUVETEUR durée du déplacement AM:
durée du déplacement MB dans l'eau:
La position de M correspondant à la durée minimale est obtenue en dérivant le temps par rapport à x et en recherchant la valeur de x qui rend cette dérivée nulle.
EXERCICE 25 : TRAJECTOIRE CIRCULAIRE ax= -0,5 cos(0,5t); ay= -0,5 sin(0,5t)
a² = a²x+a²y= 0,25 cos²(0,5t) + 0,25 sin²(0,5t) =0,25 m/ la trajectoire s'obtient en éliminant le temps entre les deux équations paramétriques :
x²+y² = 4cos² (0,5t) + 4sin² (0,5 t) = 4, cercle de centre O et de rayon R=2.
les composantes du vecteur vitesse s’obtiennent en dérivant x et y par rapport au temps : vx= 2*0,5 (-sin(0,5t)) = - sin (0,5t) ; vy= 2*0,5 cos(0,5t) = cos (0,5t)
valeur numérique de la vitesse v² = v²x+v²y= sin²(0,5t) + cos²(0,5t) ; v = 1 m/s.
abscisse curviligne s : intégrer v : s= t + cte or à t=0 , s=0 d'où s=t.
les composantes du vecteur accélération s’obtiennent en dérivant vx et vy par rapport au temps :
Dans la base de Frenet : accélération tangentielle aT= dv/dt =0 (car v=1 = constante);
accélération normale : a² = a²N+a²T d'où a = aN car aT=0 ; aN= 0,5 m/s².
rayon de courbure (rayon du cercle dans un mouvement circulaire) : aN= v²/R soit R= v²/aN=1²/0,5 = 2 m.
accélération angulaire θ"= dθ’/dt = 0,2 t
par intégration on obtient la vitesse angulaire ω (rad/s) : θ = 0,1 t2+ cte , le mobile étant parti du repos la constante d'intégration est nulle et :θ= 0,1 t2.
La vitesse linéaire est v= ωR = 0,1R t2 = 0,1*2 t2 = 0,2 t2.
la valeur 10 m/s est atteinte à la date t telle que :10 = 0,2 t2 soit t = 7,1 s.
distance parcourue à cette date : par intégration de la vitesse angulaire on détermine l'angle θ dont M à tourner
θ=0,1 /3 t3 puis s = Rθ= 0,1/3*2 t3 = 1/15 *7,13= 23,86 m.
position du point M à cette date : θ= s/R=23,86/2 = 11,8 rad soit 11,8 *180/3,14 = 676 ° 676°=360°+316° (voir figure ci-dessus)
composantes de l'accélération a à cette date : aN= v²/R= 10²/2= 50 m/s² ; aT= Rθ"= 2*0,2t = 0,4*7,1 = 2,84 m/s².
