• Indiquez NOM, PRENOM et numéro sur chaque feuille de papier ministre ainsi que sur l’énoncé et le brouillon.
• L’examen se déroule de 14H00 à 17H00.
• Ne sont autorisés que le matériel d’écriture et de dessin éventuel.
• Répondez à une question par feuille de papier ministre.
• Déposez votre carte d’étudiant (ou document d’identité) sur le banc.
• Attention : Indiquez les développements et justifications de vos réponses. Une réponse sans développement ou justification ne sera pas prise en compte !!!
Question 1 – Théorie /4
Q1.1 : Donner et expliquer la loi de Coulomb sur le frottement de roulement statique.
Soit un cylindre homogène de masse et de rayon sur une pente d’angle . Le coefficient de frottement entre la pente et le cylindre est et le coefficient de roulement est .
Q 1.2 : Quel est l’angle maximal pour lequel il n’y a ni roulement ni glissement ? (Justifier) Q 1.3 : Quelles sont les unités de et de ?
Soit un parallélépipède rectangle homogène de masse , de largeur et de hauteur sur une pente d’angle . Le coefficient de frottement entre la pente et le solide est suffisamment important pour éviter tout
Q2 : Déterminer en toute généralité la formule qui permet de trouver les coordonnées du centre de masse pour un système de masses ponctuelles à partir de cette relation :
0
Question 3 /4
Soit le corps constitué :• D’un demi-cercle de rayon R et de masse linéique variable donné par la relation : |cos | dépendante de l’angle comme indiqué sur le schéma.
• De deux tiges homogènes AC et BC de masse respective et .
A B
C R
2 R
D
G x
y
θ
x y
) cos(
)
1(θ θ
λ =K
R
Q3.4 : Déterminer le coefficient de frottement minimal pour que le solide soit à l’équilibre dans cette position si 3 3.
Question 4 /5
Soit un système constitué de deux tiges pesantes ( et !), de masse et de longueur 2 chacune, articulées en , et d'un manchon pouvant glisser sans frottement le long de la tige verticale fixe #$, et soumis à l'action d'un ressort fixé en $. Les extrémités et ! sont astreintes à se déplacer dans un guide horizontal poli. De plus, l'extrémité ! est soumise à l'action d'un second ressort fixé en !. Le ressort #$ a une longueur libre , celle du ressort !% est nulle. Les coefficients de rappel des deux ressorts sont liés par 9 .
Q4.1 : Représenter le diagramme du corps libre du système complet.
Q4.2 : Déterminer à l'équilibre par la méthode des travaux virtuels. Représenter le déplacement virtuel utilisé pour établir l’équation.
Question 5 /5
Michel, un ouvrier travaillant en haut de l’aile A du bâtiment U, a évité un gros accident. Pendant qu’il était occupé à déjeuner, une des poutres temporaire de soutien du toit a cédé. Heureusement, Michel a eu la présence d’esprit de placer une barre métallique à angle droit contre la poutre qui se brisait ce qui a permis de ne provoquer qu’un effondrement partiel du toit. Cependant cette barre métallique reposant sur le sol glisse et il est obligé de la bloquer avec ses pieds. La situation est représentée schématiquement ci-dessous.H α
F
3 a
a
2 a
c
θ
isolé (les deux morceaux de la poutre et la barre).
Q5.2 : Combien de réactions de liaisons internes et externes comporte l’ensemble du système ? (Énumérer) Q5.3 : Établir l’expression du coefficient de rappel ) en fonction de * et de + pour que la barre métallique !%
ne soit ni en traction, ni en compression pour , -.° en utilisant les théorèmes généraux.
Q5.4 : On considère maintenant que ( +√- 0...1 23; 30005; 30°; 678√99.
Michel est bloqué et a demandé de l’aide à ses collègues par téléphone. La force maximale :;,=>?développée par Michel diminue avec le temps selon la relation : :;,=>? 400 ABC
D EEFGEHIJK
L M
5. (N 1P
Donner la force QR minimale que Michel doit appliquer sur la barre métallique pour que le système soit à l’équilibre et déterminer le temps maximum d’arrivée de ses collègues avant que le toit ne s’effondre.
