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Correction Correction DS n^◦3 - Troisième - Novembre 2015

Devoir Surveillé n ^◦ 3 Correction

Troisième

Thalès

Durée 1 heure - Coeff. 4 Noté sur 20 points

Exercice 1. Application directe du cours 2 points

A×

×P

×M

×C B×

7 4

? 6

15

• Données

( ❏ Les points A, M, B et A, P, C sont alignés sur deux droites sécantes en A;

❏ Les droites(BC)et(M P)sont parallèles.

• Le théorème

Donc d’après lethéorème de Thalèson a : AM

AB = AP

AC = M P BC Puis en remplaçant par les valeurs

4 7 = 6

AC = M P 15

• Calcul deAC:

4 7 = 6

AC =⇒

par produit en croixAC = 7×6 4 AC = 42

4 = 10,5cm

Exercice 2. Dans un cercle 12 points

1. [1 point] Construire un cercleC de diamètre [AB] avecAB = 10cm. Soit D un point du cercleC tel que AD= 8cm. Construire le triangle ABD.

AM = 6

AN = 7.5

b

A

b

B

bO

bD

b

M

b b

N

b

www.math93.com / M. Duffaud 1/4

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2. [4 points] Calculer l’aire du triangle ABD.

• [1 point] Montrons que ABD est rectangle.

Le point D appartient au cercle de diamètre [AB], en étant distinct des points A et B. De ce fait, le triangle ABD est rectangle en D.

• [2 points] CalculonsBD.

Dans le triangleDBArectangle enD, d’après le théorème de Pythagore on a : BA² =DB²+DA²

10² =DB²+ 8² DB² = 10²−8² DB² = 100−64 DB² = 36

Or DB est positif puisque c’est une longueur, l’unique solution possible est donc : DB =√

36 DB = 6cm

• [1 point] Calcul de l’aire du triangle.

Le triangle ABD étant rectangle en D, son aire est la moitié du produit des longueurs des côtés perpendiculaires.

A_ADB = DA×DB

2 = 8×6

2 = 24cm²

3. [0,5 point] Construire M et N de respectivement [AD] et [AB] tels que :AM = 6cm et AN = 7,5cm 4. [2 points] Démontrer que les droites (MN) et (DB) sont parallèles.

• Données.

Les points A, M, D et A, N, B sont alignés dans cet ordre sur deux droites sécantes en A.

• Le test :.









 AM

AD = 6

8 = 0,75 AN

AB = 7,5

10 = 0,75

• Conclusion.

On a donc égalité, AM

AD = AN

AB. De ce fait, d’après laréciproque du théorème de Thalès, Les droites(M N) et(BD)sont parallèles.

5. [2 points] CalculerM N.

Pour cela on peut utiliser Thalès ou Pythagore dans le triangle AMN qui est rectangle en M. En effet, les droites (MN) et (DB) sont parallèles et (AD) est perpendiculaire à (DB), donc elle l’est aussi à (MN).

Dans le triangleM N Arectangle enM, d’après le théorème de Pythagore on a : N A² =M N²+M A²

7,5² =M N²+ 6² M N² = 7,5²−6² M N² = 56,25−36 M N² = 20,25

Or MN est positif puisque c’est une longueur, l’unique solution possible est donc : M N =p

20,25 M N = 4,5cm

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6. [2,5 points] Calculer l’aire du quadrilatère MNDB.

• Aire de AMN Méthode 1 :

Le triangle AMN est rectangle en M d’après ce qui précède donc : A_{AM N} =AM ×M N

2 = 6×4,5

2 = 13,5cm² Méthode 2 :

Le triangle AMN est une réduction du triangle ADB de rapport : k= AM

AD = 6 8 = 3

4 L’aire de AMN est donc celle de ADB multipliée park²donc :

A_{AM N} = 3

4 ₂

×A_ADB = 9

16×24 = 13,5cm²

• Aire de MNDB

A_{M N DB} =A_ADB−A_{AM N} = 24−13,5 = 10,5cm²

Exercice 3. Le parcours (Métropole 2012) 5 points

Des élèves participent à une course à pied. Avant l’épreuve, un plan leur a été remis.

Il est représenté par la figure ci-contre.

On convient que :

• Les droites (AE) et (BD) se coupent en C.

• Les droites (AB) et (DE) sont parallèles.

• ABC est un triangle rectangle en A.

Calculer la longueur réelle du parcours ABCDE.

A (Départ)

B C D

E (Arrivée)

300m 400m

1 000 m

• LongueurBC:[1,5 point]

Dans le triangleABC rectangle enA, d’après le théorème de Pythagore on a : BC² =AB²+AC²

BC² = 300²+ 400² BC² = 90000 + 160000 BC² = 250000

Or BC est positif puisque c’est une longueur, l’unique solution possible est donc : BC =√

250000 BC = 500m

• LongueurCD:[1,5 point]

Les droites(AE)et(BD)se coupent en C et les droites(AB)et(DE)sont parallèles. Le théorème de Thalès permet d’écrire :

CB

CD = CA

CE ⇐⇒ 500

CD = 400

1000 ⇐⇒CD= 1000×500

400 = 1250m

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• LongueurDE:[1,5 point]

Les droites(AE)et(BD)se coupent en C et les droites(AB)et(DE)sont parallèles. Le théorème de Thalès permet d’écrire :

CA

CE = BA

DE ⇐⇒ 400

1000 = 300

DE ⇐⇒DE= 1000×300

400 = 750m

• LongueurABCDE:[0,5 point]

ℓ(ABCDE) =AB+BC+CD+DE = 300 + 500 + 1250 + 750 = 2800m

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