Fermat 06/07 - PCSI 1 Khôlle de Maple 05
La Dynamique du rebond
Soit un plan incliné d’un angleαpar rapport à l’horizontale. Une balle est lancée dans le plan contenant la ligne de plus grande pente du plan incliné avec une vitesse initiale −→v0. Le lieu du lancé est l’origine O du repère qui se trouve sur le plan incliné. Notons −u→x le vecteur unitaire de la ligne de plus grande pente du plan incliné (dirigé dans le sens de la montée) etβ0, l’angle que fait la vitesse initiale avec cette dernière (voir figure). Notons−u→y un vecteur unitaire perpendiculaire au plan incliné et ascendant.
La balle rebondit plusieurs fois dans le sens de la montée en restant dans le plan vertical contenant la ligne de plus grande pente. Les différents chocs sont considérés comme élastiques, ainsi le module de la vitesse avant et après un choc est conservé, la composante selon−u→xde la vitesse est inchangée tandis que celle selon−u→y est changée en son opposée.
Appelonsβnl’angle que fait la vitesse−→v de la balle avec−u→xjuste après len-ième rebond et recherchons le nombreN de rebonds effectués avant qu’elle ne reparte en arrière.
Exercice 1. Résolution de la relation fondamentale de la dynamique.
Avec MAPLE dans le repère (O,−u→x,−u→y,−u→z) recherchez les solutions de la relation fondamentale de la dynamiquex(t)ety(t).
Exprimezx(t)ety(t)grâce àsolution_xetsolution_y.
Exercice 2. Calcul de l’angle après le premier rebond
Calculez l’instant touch où la balle rejoint le plan incliné pour le premier rebond. La seule solution physiquement acceptable est touch > 0? La cotangente de l’angle après le rebond est calculée comme l’opposé du rapport de la vitesse selon−u→x sur la vitesse selon−→uy juste avant le contact puisque, après ce dernier, le signe de la vitesse suivant−u→y est inversé.
Exercice 3. Recherche de l’équation de récurrence à laquelle obéissent les βn
Montrer grâce à MAPLE que
cotβ1=−2 tanα+ cotβ0
On en déduit immédiatement quecotβn=−2 tanα+ cotβn−1.
On note f(n) = cotβn, résolvez cette équation d’inconnu f(n) en fonction den grâce à la commande rsolveet à la condition initialef(0) = cotβ0
A l’aide de la fonction inverse de la cotangente, exprimezβn (que l’on noterabetan) en fonction den etβ0
Exercice 4. Application Numérique
Appliquez les valeurs suivantes aux résultats analytiques obtenus α= 100 β0= 200
Pour ce faire, il faut voir sur la figure que le dernier rebond doit correspondre à une valeur de N telle queβN soit supérieur à π2 −α
Vérifiez que l’on trouveN = 8
1
