2- Qu elques exemples d’algorithmes d’arithmétiques ? Qu’est ce qu’un algorithme d’arithmétique ? 1- Objectifs :

1- Qu’est ce qu’un algorithme d’arithmétique ?

arithmétique

Exemple :

les algorithmes qui testent la primalité, la parité ou qui calculent la factorielle, la combainaison, l’arrangement, le PGCD, le PPCM , les conversions entre les bases de numération, ... sont des exemples d’algorithmes arithmetiques.

NB :

L’arithmétique est une branche des mathématiques qui étudie les relations entre les nombres. Du grec

« arithmétiké » qui signifie « l’art des nombres », et elle se définit aussi par « la science des nombres ».

2- Quelques exemples d’algorithmes d’arithmétiques ? 2.1 Calcul de

Activité 01 :

Soit l’ensemble S={a,b,c} , calculer :

• L’arrangement de 2 éléments parmi 3 : A(2,3) Solution :

+ A(2,3) = ……….

Sachant que 1≤p≤n, pour calculer l’arrangement de p éléments parmi n éléments, on utilise la formule suivante :

Activité 02 :

On vous demande de donner l’algorithme de la fonction qui prend en paramètre deux entiers n et p sachant que n et p sont déjà saisis au niveau du programme appelant et vérifiant la condition 1≤p≤n, pour calculer l’arrangement .

2.2 Calcul de

Activité 03 :

Soit l’ensemble S={a,b,c} , calculer :

• La combinaison de 2 éléments parmi 3 : C(2,3).

Solution :

+C(2,3) = ………..……..

Pour calculer , il faut appliquer la formule suivante :

Objectifs :

1- Découvrir ce qu’est un algorithme d’arithmétique.

2- Voir quelques exemples d’algorithmes d’arithmétiques.

https://elbahi.jimdofree.com/

Disponible en ligne sur :

Un ensemble fini d’instructions qui permet la résolution des problèmes arithmétiques

Arrangement => ordre a son importance

Combinaison => ordre n’a pas d’importance

Activité 04 :

1- Calculer et .

1- Donner l’algorithme de la fonction qui prend en paramètre deux entiers p et n pour calculer et renvoyer la combinaison de p éléments parmi n éléments sachant que n et p sont déjà saisies au niveau du programme appelant et 0 ≤ p ≤ n.

Activité 05 :

1- Calculer : (2+3)² = ………. , (4+2) ³ = ………. , (1+4)³ = ……….

2-

2.3 Quelques règles de divisibilité

Un entier N est dit divisible par un entier M si (N mod M = 0) le reste de la division euclidienne de N par M, est égal à zéro.

Exemple : 10 est divisible par 5, car 10 mod 5 = 0.

Une regèle de divisibilité est une séquence d’opérations simples qui permettent de reconnaitre rapidement si un entier est divisible par un autre sans effectuer la division directement.

a) Divisibilité par 2 :

Un entier est divisible par 2 si son chiffre d’unités est divisible par 2.

b) Divisibilité par 3 :

Un entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

Activité 06 :

Faire l’algorithme de la fonction qui vérifie si un entier naturel passé en paramètre est divisible ou non par 3.

c) Divisibilité par 4 :

Un entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.

Activité 07 :

1- Répondre par oui / non :

1204 est divisible par 4 → OUI (car 04 est divisible par 4) 12351 est divisible par 4 → NON (car 51 est non divisible par 4)

2- Donner la traduction pascal de la fonction qui vérifie si un entier naturel est divisible par 4 ou non.

d) Divisibilité par 5 :

Un entier est divisible par 5 si son chiffre d’unités est égal à 0 ou 5.

Activité 08 :

1- Répondre par oui / non :

504 est divisible par 5 → NON (car 4  0,5) 1235 est divisible par 5 → OUI (car 5  0,5)

2- Donner la traduction pascal de la fonction qui vérifie si un entier naturel est divisible par 5 ou non.

e) Divisibilité par 6 :

Un nombre est divisible par 6 si et seulement s'il est divisible à la fois par 2 et par 3.

f) Divisibilité par 7 :

Un entier est divisible par 7 si la différence entre le nombre de dizaines et le double du chiffre des unités est divisible par 7.

Exemple :

• 182 est divisible par 7 car : 18 – (2 × 2) = 14 et 14 est divisible par 7.

• 17381 est divisible par 7 car:

1738 – (2 × 1) = 1736 173 – (2 × 6) = 161

16 – (2 × 1) = 14 (on s’arrête car le nombre devient < 100) Activité 09 :

Faire l’algorithme de la fonction qui vérifie si un entier naturel est divisible par 7 ou non.

g) Divisibilité par 9 :

Un entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Activité 10 :

On se propose d’écrire un module permettant de saisir, de déterminer et d’afficher si un entier N donné (N>9) est divisible par 9 ou non, en appliquant la méthode suivante :

1- On fait la somme de 1^er et de 2^ème chiffre de N,

2- Si la somme obtenue est supérieure ou égale à 9, on lui soustrait 9,

3- On ajoute ensuite à cette somme et on lui applique la règle 2 (on lui retranche 9 si elle est supérieure à 9) et ainsi de suite jusqu’au dernier chiffre de N,

4- Si le résultat final est nul, le nombre est alors divisible par 9.

Exemple :

h) Divisibilité par 10 :

Un entier est divisible par 10 si son chiffre d’unité est égal à 0.

i) Divisibilité par 11 :

Pour vérifier qu’un entier est divisible par 11, on peut vérifier la règle suivante :

D’un entier X, soustraire le chiffre de ses unités du nombre de ses dizaines. Refaire l’opération avec le nombre obtenu jusqu’au moment où x devient < 100. Si le résultat obtenu est divisible par 11 alors X est divisible par 11.

Activité 11 :

Donner l’algorithme de la fonction qui vérifie si un entier naturel est divisible par 11 ou non

j) Divisibilité par 25 :

Un entier est divisible par 25 si le nombre composé de ses deux derniers chiffres est divisible par 25.

2.4 Conversion entre les bases de numération a) Définition :

Un système de numération est une méthode de comptage fondée sur une base de numération.

Si N est une base de numération, le système contiendra N chiffres allant de 0 à N-1.

Les 4 systèmes de numérations les plus utilisés sont : le décimal, le binaire, l’octal et l’hexadécimal.

Exemples :

base Système de numération

Binaire (2) 0 et 1

Octale (8) 0,1,2,3,4,5,6 et 7

Décimal (10) 0,1,2,3,4,5,6,7,8 et 9

Hexadécimale (16) 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E et F

Activité 12 :

Lancer la calculatrice de votre ordinateur et compléter le tableau suivant :

Base 10 Base 2 Base 8 Base 16

10 A

100011

400 100

b) Conversion d’un nombre décimal vers une autre base :

Conversion d’un nombre décimal en nombre binaire :

Principe :

Pour convertir un nombre décimal X en nombre binaire, il suffit de le diviser successivement X par 2 jusqu'à ce que le quotient obtenu soit égale à 0. Les restes de la division lus de droite à gauche représentent le nombre binaire.

Activité 13 :

Donner l’algorithme de la fonction qui permet de convertir un nombre de la base 10 vers la base 2.

Remarque:

- Si vous voulez convertir un nombre décimal vers une autre base différente de la base 2, il faut suivre le même principe mais en faisant les divisions successives par le numéro de la base au quelle vous voulez faire la conversion.

Exemple :

Pour convertir un nombre décimale X vers la base octale (8), il faut faire la division successive de X par 8, mais pour le cas de la base 16, il faut tenir compte des restes qui dépassent 9 et les replacer comme suit :

Reste de la

division par 16 Remplacer par

10

A

11

B

12

C

13

D

14

E

15

F

Conversion d’un nombre décimal en nombre hexadécimal : Activité 14 :

1- Convertir manuellement vers la base hexadécimale : (5347)10 = (………)16

2- On se propose d’écrire un programme qui permet de convertir un nombre décimal en son équivalent hexadécimal. Donner l’analyse de la fonction CONV_10_16 qui permet de faire la conversion d’un nombre décimal vers la base hexadécimale.

DONC : (NOMBRE)10 (NOMBRE)Division successive autre base

c) Conversion d’un nombre d’une base quelconque vers la base décimale :

Conversion d’un nombre binaire en nombre décimal :

Principe :

Pour convertir un nombre binaire à un nombre décimal, on peut appliquer le principe suivant : 1- Multiplier chaque chiffre binaire par 2 à la puissance de son poids.

2- Additionner les résultats trouvés.

Activité 15 :

1- Convertir manuellement vers la base décimale : (1001101 )2 = (………)10

2- Donner l’algorithme de la fonction qui permet de convertir un nombre binaire vers la base décimale.

Conversion d’un nombre Hexadécimal en nombre décimal : Activité 16 :

1- Convertir manuellement vers la base décimale : (1E5A )16=( ……….. )10

2- On se propose d’écrire un programme qui permet de convertir un nombre hexadécimal en son équivalent décimal. Donner la traduction pascal d’un programme qui saisit un nombre en hexadécimal puis de lui faire la conversion vers la base décimale.

d) Conversion d’un nombre de la base Hexadécimale vers la base binaire :

Activité 17 :

1- Convertir manuellement vers la base binaire : (1E5A )16 = ( ……….. )2

2- On se propose d’écrire un programme qui permet de convertir un nombre hexadécimal en son équivalent binaire. Donner la traduction Pascal de la fonction CONV_16_2 qui convertit un nombre hexadécimal en son équivalent binaire.

e) Conversion d’un nombre de la base binaire vers la base octale : Principe :

Activité 18 :

1- Convertir manuellement vers la base octale : (101111011)2 = ( ……….. )8

2- On se propose d’écrire un programme qui permet de convertir un nombre binaire en son équivalent octal. Donner la traduction pascal de la fonction CONV_2_8 qui convertit un nombre binaire en son équivalent octal.