ARITHMÉTIQUE BINAIRE

cours 5

ARITHMÉTIQUE

BINAIRE

Somme en binaire

11 010 011 1 110 101 +

0 1

1

0

1

0

1 1

0 0

1

1

1

10

128 + 64 + 16 + 2 + 1

64 + 32 + 16 + 4 + 1 256 + 64 + 8

= 211

= 117

= 328

On additionne normalement avec les retenues.

Soustraction

1

10

0 11 101 1 011

0 10

16 + 8 + 4 + 1 = 29 8 + 2 + 1 = 11

16 + 2 = 18

Faites les exercices suivants

#24 et 25

Nombre négatif binaire

Pour introduire les négatif en binaire en informatique

il y a une façon de faire sans introduire un nouveau symbole ( - )

L’idée est d’introduire un bit au début du nombre positif

0

1 négatif

Complément à un

Dans un premier temps on fixe le nombre de bits.

Disons pour cet exemple 3. On ajoute un bit de signe.

0000 0

1 0001 1 1110

2 0010

0011 3

4 0100

0101 5

0110 6

0111

7 7 1000

6 1001

1010 5

4 1011

1100 3

2 1101

1111 0

On change tous les bits pour obtenir le nombre négatif

négatif positif

Exemple

010011 = 19 Pour obtenir 19

il suffit de changer tous les bits 101100 = 19

Remarque:

0000 = 1111

Ce qui peut causer son lot de complications

Malheureusement le complément à un ne permet pas d’avoir une arithmétique fonctionnelle.

1011 7

3

0100

4 0011

7 3 3?

0111 + 1100

1000 + 0011

Faites les exercices suivants

Trouver les complément à un en 8 bits des nombres suivant a) 16

b) -16 c) -29

Complément à deux

On fait un complément à un, ensuite on ajoute 1

( les dépassement sont ignorés )

10000 1111 1110 1101 1100 1011 1010

1001 0 0000

1 0001 1 1110

2 0010

0011 3

0100 4

0101 5

0110 6

0111

7 7 1000

6 1001

1010 5

4 1011

1100 3

2 1101

1111 0

CàU CàD

Truc pour la conversion en complément à deux

0 0000

1 0001 1

2 0010

0011 3

0100 4

0101 5

0110 6

0111

7 7

6 5 4 3 2

0 10000 1111 1110 1101 1100 1011 1010 1001 CàD

On prend la partie du nombre positif à partir de la droite jusqu’au premier 1, on complémente le reste.

1000 0011 1011 7

3

0100 4

0111 1100 0011

7 3 3?

+ +

CàU

CàD 7

3

4 1100 10100

7 3 4 1001

+ 0011 0111

+ 1101

Donc pour faire de l’arithmétique binaire avec des négatifs, on doit spécifier préalablement le nombre de bits

Donc si je veux pouvoir utiliser le nombre 13, quatre bits ne suffiront pas

8 bits 2⁸ = 256

2¹⁶ = 64k 16 bits

32 bits 64 bits

2³² = 4G 2⁶⁴ = 16E avec un bit réservé pour le signe

= ±128

= ±32k

= ±2G

= ±8E

Faites les exercices suivants

Convertir les nombres suivants avec 8 bits en complément à deux

56

100 12

4 4

0000 0100 1111 1100

0110 0100 = 1001 1100 0000 1100 = 1111 0100 0011 1000

Multiplication binaire

2 ⇥ (2³ + 2¹ + 2⁰) = 2 ⇥ 2³ + 2 ⇥ 2¹ + 2 ⇥ 2⁰

= 2⁴ + 2² + 2¹ 10 ⇥ 1011 = 10110

2² ⇥ (2³ + 2¹ + 2⁰) = 2² ⇥ 2³ + 2² ⇥ 2¹ + 2² ⇥ 2⁰

= 2⁵ + 2³ + 2² 100 ⇥ 1011 = 101100

Exemple

110110

110110 0 110110

⇥ 1010

000

000 0 0 1 1 1

1

0 0

1

0

1

10 +

54 10

540

Faites les exercices suivants

# 1.26