Devoir de contrôle 1

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Exercice 1:

1) a)

1

lim ( ) ; lim ( ) ; lim ( ) 2 ; lim ( )

x f x x ₊ f x x g x x g x

→+∞ = +∞ →− = −∞ →−∞ = →+∞ = +∞ ^.

b) ( ) ( ) ( )

lim 1 ; lim ; lim 0; lim ( ( ) ) 0

x x x x

f x f x g x

g x x

x x x

→−∞ = − →+∞ = +∞ →−∞ = →+∞ − = ^.

2)

a) ^{Dh = ∈}

{

^{x IR x; ∈Dg et g x( )∈Df}

}

x∈IR et f(x)≠-1 ssi x∈IR et x≠0 ainsi Dh=IR*.

b) ⁰

0 1

lim ( ) 1

lim ( ) lim ( )

x

x x

g x

on a donc h x

f x

−

− +

+

→

→

→

 =

 = −∞

 = −∞



donc la droite d’équation x=0 est une asymptote de la courbe de h.

c) Soit a et b deux réels de ]-1,0[ tel que a<b

a<b et g décroissante sur ]-1,0[ alors -1<g(b)< g(a)<0 et comme f est croissante sur ]-1,0[ alors f(g(b))<f(g(a)) pour a et b de ]-1,0[ ainsi h est décroissante sur ]-1,0[.

.

d) Exercice 2:

1) a) 3 3 1 3

1 1

2 2

i i

AC= − =c a + − = + = donc C appartient à Γ ; C un point de Γ

d’abscisse 3 2^.

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b) Donner la mesure de l’angle

(

^,

)

^arg

^{[ ]}

^{2 arg 1} 2 ³

^{[ ]}

² 3

^{[ ]}

²

c a i

AB AC

b a

π

^{ }

π π π

− +

 

≡  −  ≡   ≡

; de plus AB=AC=1 donc ABC est équilatéral.

2)

a) Donner la forme exponentielle de

3 6 3 2

3

2 3

3 3

1 3 1 ² 3

2

1 1

1 3

3

i i i i

i

i i

c e et c i e donc d ic e e

c e

donc e

d ie

π π π π

π π

π

−

− = = + = − = =

− = =

−

.

b) On a 1 1 ²

1 3 c i

d e

−π

− =− donc

[ ] (

) ^{[ ]} (

) ^{[ ]}

1 1

1 3 3

1 3

, 2

1 , 2

arg( ) 2 2 2

1 2

c d AD

d donc donc

AC AD

c AD AC

d

π π π

π π π

 − =  − =  =

 −  

 − −  =−  =

 =  

 −



ce qui

permet de placer le point D

3)

a) M’=O ssi z’=0 ssi iz²+1=0

2

2 4 4 4

² ^{i i i i}

ssi z i e e ssi z e ou z e

π π π π

−  −  − −

= − = =  = = −

 

Ainsi O admet deux antécédents d’affixes e ⁱ⁴

−π

et -e ⁱ⁴

−π

. On pose dans la suite z=e^iθ ,

^θ

^∈

]

^{0, 2}

^π [

^.

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b)

( )

^{2 2 2 3}2

2 2 2 2

² 1

1 1 2 sin 2 sin

2 2

i i i i

i i i i i

iz i e ie ie

z e e

i e

e e e

θ θ θ θ

θ

θ θ θ θ θ θ

= = = =

− −  

−

 

 

] [

sin 0 0, 2

2 pour

θ

>

θ

∈

π

^.

c)

^θ

^∈

]

^{0, 2}

^π [

; M≠A ; '

AM et AM

sont orthogonaux ssi

' 1 ² 3 5

1 1 2 2 3, , 3

z iz

iIR ssi iIR ssi k ssi

z z

θ π π θ π π π

−  

∈ ∈ = + ∈ 

− −   ^.

Ainsi M est d’affixe

5

3 3

i i

e ou ei ou e

π π

π

Exercice 4:

1) On a

x 0 1 2

4x 0 1 2

Ainsi ^{4x 0 3≡}

[ ]

^{ssi x 0 3≡}

[ ]

2) a) 5² 1 3 donc^≡

[ ] ( )

5² ^n≡1 3

[ ]

^{ainsi 52n≡1 3}

[ ]

pour tout n∈IN.

b) on a ^52n≡1 3 donc 5.5

[ ]

^2n≡5 3 donc 5

[ ]

^{2n 1+ − ≡}5 0 3

[ ]

ainsi 5²ⁿ⁺¹-5 est divisible par 3.

c) n=2k , k∈IN ; ^{5n ≡1 3}

[ ]

n=2k+1, k∈IN ;^{5n ≡2 3}

[ ]

3)

a) = − = −

−

n n

n

1 5 5 1

U 1 5 4 ^.

b) Si Un est divisible par 3 alors Un ^≡0 3 alors 4U

[ ]

n ^≡0 3 alors 5

[ ]

^{n− ≡}1 0 3

[ ]

ainsi 5ⁿ-1 est divisible par 3.

Réciproquement : si 5ⁿ-1 est divisible par 3 alors ^{5n − ≡1 0 3}

[ ]

alors 4Un ^≡0 3

[ ]

et d’après 1) Un ^≡0 3

[ ]

^{ainsi U}n est divisible par 3 .

4) Un est divisible par 3 ssi 5ⁿ-1 est divisible par 3 ainsi n=2k, k∈IN.

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Exercice 3 :

1) a)

→+∞ →+∞ →+∞

= + − + = + − =

+ +

x x x

lim f (x) 5 lim x x² 9 5 lim 9 5 x x² 9

donc la droite y=5 est une asymptote horizontale à au voisinage de +∞.

b) c)

Soit la suite définie par : 1 et pour tout ∈ .

2) a)

on a 0 4 donc vrai pour n=0

Supposons que 0 4 et montrons que 0 4

On a 0 4 et f croissante sur [0,4] donc 0 4 donc 2 4

Donc 0 4

Ainsi 0 4 pour tout n∈IN

b) On a 0 4 donc f(Un)-Un≥0 donc Un+1-Un≥0 ainsi U est croissante.

c) U croissante, majorée par 4 donc converge vers l On a

U converge vers l f continue en l

Donc f(l)=l donc l=4 et l=-4 comme 0 4 alors l=4 Soit la suite définie sur par : ∑

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3) on a ^{= = =}

≤ ≥ ≤ = ≤ =

≤

∑

ⁿ

∑

ⁿ

∑

ⁿ

n k k

k 1 k 1 k 1

n

1 4n 4

U 4 pour tout n 1 donc U 4 4n donc U

n² n² n

ainsi V 4 n

Comme

→+∞ →+∞

≤ _n ≤ = _n =

n n

4 4

0 V et lim 0 alors lim V 0

n n

4)

a)

−

+ −

=

− + = − + − + − − + = − = −

∑

^{n 1} k 1 k 1 0 2 1 n n 1 0 n n k 0

U U U U U U ... U U U U 1 U ^. b)

− −

+

=

=

∑

^{n 1 2}+ =

∑

^{n 1} − + + = − +

n k k 1 k n

0 k 0

S U 9 ( U U 5) 1 U 5n

On a Sn 1₊ −Sn = U²n+ ≥9 0 donc la suite (S_n) est croissante et

→+∞ _n = →+∞ − _n + = +∞

nlim S nlim 5n U 1 ^. Ainsi la suite U n’est pas majorée.